Trapetsi kesklõik Töölehe 8.klassile koostas Malve Zimmermann, Tõrva Gümnaasium DEFINITSIOON: Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. TEOREEM: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. b k II a II b k a+b k= 2 S=k·h
TRAPETS 7. Klass Keidi Lees Muhu Põhikool Juhendaja : Tiina Saar Õpime järgmist Trapetsi definitsioon, joonis Trapetsi liigid, joonised Trapetsi pindala, pindala kesklõigu kaudu Ülesanded Vastused Trapetsi definitsioon, joonis Trapetsiks nim. b nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja e c h kaks mitteparalleelsed. Paralleelseid külgi nim. alusteks ja nendevahelist a a ja b on alused kaugust trapetsi kõrguseks. h on kõrgus Mitteparalleelseid külgi c ja e on haarad nim. haaradeks. Trapetsi liigid, joonised
Võrdhaarne trapets Kui trapetsi haarad on võrdsed, siis nimetatakse trapetsit võrdhaarseks. Võrdhaarse trapetsi teoreemid: · Kui trapets on võrdhaarne, siis aluste keskristsirge läbib diagonaalide lõikepunkti. · Kui trapets on võrdhaarne, siis aluste keskristsirge jaotab trapetsi kaheks võrdseks täisnurkseks trapetsiks. · Kui trapets on võrdhaarne, siis trapetsi alused on paralleelsed. · Kui trapets on võrdhaarne, siis trapetsi diagonaalid on võrdsed. · Kui trapets on võrdhaarne, siis tema alusta keskristsirge on sümmeetriateljeks. · Kui trapets on võrdhaarne, siis tema aluse lähisnurgad on võrdsed. Ümbermõõt: P=a+b+c+d
Trapets Mis on trapets? Nelinurka mille kaks külge on parallelsed ja teised kaks mitte,nimetatakse trapetsiks. Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja mitteparallelseid külgi haaradeks.Trapetsi aluste lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Trapetsit, mille haarad on võrdsed,nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks.(Joonis number 1) 1) Võrdhaarse trapetsi omadused lisaks trapetsi omadustele: * haarad on võrdsed * aluse lähisnurgad on võrdsed * diagonaalid on võrdsed Kui trapetsi üks haar on alustega risti,siis nimetatakse trapetsit täisnurkseks trapetsiks. (Joonis number 2) 2) Trapetsi omadused: * alused on paralleelsed. * trapetsi haara lähisnurkade summa on 180 kraadi.
nende otspunktide vahel asetsev ringjoone kaar. 17. Sirgel, millel on ringjoonega ainult üpks ühine punkt, nimetatakse ringjoone puutujaks. 18. Kui sirge lõikab Ringjoont kahes punktis siis nimetatakse seda sirget ringjoone lõikajaks. TRAPETS 1. Trapets on kumer nelinurk, mille kaks külge on omavahel paralleelsed ja kaks külge mitte. 2. Trapets (ld sõnast trapezium, mis tuleneb kr sõnast trapezion 'lauake'). 3. Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja ülejäänud kaht külge haaradeks. 4. Aluste vahelist kaugust nimetatakse trapetsi kõrguseks. 5. Trapetsi haarade keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse trapetsi kesklõiguks. 6. Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180°. 7. S=(a+b)/2*h 8. S=ak (kus k on kesklõigu pikkus) 9. Kui trapetsi haarad on võrdsed nimetatakse trapetsi võrdhaarseks trapetsiks. 10. Trapetsit, mille haara ja aluse vaheline nurk on täisnurk nim. täisnurkseks trapetsiks
Romb-rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Robmi omadused: · romb on sümeetriline oma diagonaalide suhtes · rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurki · vastasnurgad on võrdsed · diagonaalid poolitavad teineteist · lähisnurkade summa on 180 C · rombi diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks osaks Pindala:S-ah S- d1 x d2 : 2 Ümbermõõt: P-4a Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku omadused: · vastasküljed on võrdsed · vastasnurgad on võrdsed · lähisnurkade summa on 180 C · diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks · diagonaalid poolitavad teineteist Trapets-kaks külge on paralleelsed ja kaks mitte 1. Võrdhaarne trapets · haarad on võrdsed alusnurgad on võrdsed täisnurkne trapets: üks haar on risti alusega S-a plus b : 2
Tallinna Tehnikaülikool Referaat Määratud integraali ligikaudne arvugtamine trapetsi valemiga. Veahinnangud. Näited. Tatjana Kruglova 142442IAPB Sisukord Määratud integraal.................................................................................................................................3 Pindfunktsioon ning selle tuletis........................................................................................................3 Kõverjoonelise trapetsi pindala.......................................................................................
suunduvad vastamisi nim. põiknurkadeks. ¤Kolmnurga välisnurk- kolmnurga välisnurgaks nim. kolmnurga sisenurga kõrvunurka. ¤Kolmnurga välisnurga teoreem- kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. ¤Kolmnurga kesklõik- Lõiku, mis ühendab kahe külje keskpunkte, nim. selle kolmnurga kesklõiguks. ¤Kolmnurga kesklõigu teoreem- Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. ¤Trapetsi kesklõik- Leitud haarade keskpunktid ja need omavahel ühendatud. ¤Trapetsi kesklõigu teoreem- Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. ¤Mediaan- Aluse keskpunktist vastastippu tõmmatud lõik. ¤Mediaani teoreem- Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. ¤Raskuskese- Kolmnurga mediaanide lõikepunkt nim
· psühholoogia ( häälikute vastuvõtt) · laulmine · retoorika Häälikusüsteemi jagunemine : · Konsonandid : kaashäälikud tagavad sujuvuse ja rütmi · vokaalid : täishäälikud tagavad kõlavuse, lihtsaimas vokaalsüsteemis i,a,u Läänemeresoome keeled : eesti,liivi,vadja, soome, karjala, vepsa, isuri keeled. kõrged ette - ü,i kõrged taha - õ ,u Praktika: 1. Vokaalide trapetsi keskkõrged ette - ö ,e keskõrged taha - o tundmine, helitud häälikud ette - ä taha madalad - a 2. Omasõnade õigekirja reeglite tundmine (töölehed 1ja2, töövihiku harjutused, õpiku materjal)
TRAPETS Slaidid on mõeldud kasutamiseks 7. klassi matemaatika tundideks. Slaidikomplekti koostas Eva Tomson Viljandi 2002.a. TRAPETS •Trapetsi definitsioon • Trapetsi koostis •Trapetsite liigitus •Trapetsi kesklõik •Trapetsi pindala •Ülesanded Tagasi TRAPETSI DEFINITSIOON Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks mitteparalleelsed. D C AB // CD AD // BC A B Tagasi TRAPETSI KOOSTIS 1. Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. AB ja CD on alused. Mitteparalleelseid külgi D C nimetatakse haaradeks.
Trapets Martna Põhikool 8. klass Gerli Helts Trapetsi definitsoon Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille 2 külge on paralleelsed ja 2 mitteparalleelsed a a II b b c II d c d Trapetsi omadused Haarad ei ole paralleelsed Alused on paralleelsed Haara lähisnurkade summa on 180º Trapetsi ehitus Trapetsi paralleelsed külgi nimetatakse D C 1 2 alusteks, joonisel on alused sirge AB ja sirge CD Trapetsi mitteparalleelseid külgi h nimetatakse haaradeks, joonisel on 4 3
58. Rombi külje ja diagonaali vahelise nurga poolitaja lõikab rombi külge 72°-se nurga all. Leida rombi nurgad. 59. Rombi külg on a ja teravnurk 60°. Arvutada rombi siseringi pindala. 60. Rombi siseringjoone raadius on R ja rombi pikem diagonaal 4R. Avaldada rombi pindala. 61. Leida rombi teravnurk kui rombi pindala on Q ja siseringi pindala S. 62. Romb, mille külg võrdub tema lühema diagonaaliga, on pindvõrdne ringiga raadiusega R. Leida rombi külg. 63. Diagonaal jaotab täisnurkse trapetsi kaheks kolmnurgaks: võrdkülgseks küljega a ja täisnurkseks. Leida trapetsi kesklõik. 64. Täisnurkse trapetsi alused on a ja b (a>b) ja pindala S. Avaldada haarad. 65. Avaldada täisnurkse trapetsi pindala, kui trapetsi teravnurk on A ja siseringjoone raadius R. 66. Võrdhaarse trapetsi pikem alus on 2,7 m, haar 1 m ja nurk nende vahel 60°. Leida trapetsi lühem alus ja nürinurk. 67. Võrdhaarse trapetsi alused on 12 cm ja 20 cm ning pindala 144 cm². Arvutada trapetsi diagonaal. 68
39. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse tema sisenurga kõrvunurka. 40. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. 41. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte. 42. Kolmnurga kesklõik on parallelne kolmnurga vastava küljega ning võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. 43. Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed. 44. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. 45. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. 46. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. 47. Trapetsi ümbermõõt P= a+b+c+d 48. Trapetsi pindala S= a+b : 2 x h või S= k x h 49. Trapetsi paralleelsed külgi nimetatakse trapetsi alusteks. 50. Trapetsi kõrguseks nimetatakse trapetsi aluste vahelist kaugust. 51
Kolmnurga välisnurgaks nim tema sisenurga kõrvunurka. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. · Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte Teoreem: kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga vastava küljega ja võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. · Trapets Trapetsiks nim nelinurka, mille kaks külge paralleelsed ja kaks külge mitte. Trapetsi paralleelseid külgi nim trapetsi aluseks. Trapetsi aluste kaugust nim trapetsi kõrguseks. Trapetsi liigid: võrdhaarne trapets, täisnurkne trapets, trapets Trapetsi kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. Omadus 1: trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. Omadus 2: trapetsi kesklõigu pikkus võrdub poolega aluste poolsummaga. Trapetsi P= a+b+c+d Trapetsi S= a+b/2*h S= k*h Traaketsi kesklõik k= a+b/2 · Kolmnurga mediaanid
X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. · Igal kolmnurgal on 3 kesklõiku P=a+b+c (ümbermõõt) S= (pindala) 5. Trapetsi kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. · Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alusega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega (poolsummaga). · Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja trapetsi kõrguse korrutisega. S=kh P= a+b+c+d (ümbermõõt) S=k×h (pindala) 6. Ruutvõrrand · · ·
x 24 Saame kaatetid AB = 10 + 6 =16 (cm), ja D x AC = 6 + 24 = 30 (cm). Leiame pindala 6 A 6 F x C ab 16 30 S 2 2 240 cm 2 . Vastus. Kolmnurga pindala on 240 cm². 2) Võrdhaarse trapetsi diagonaal on risti haaraga. Arvutage trapetsi pindala, kui trapetsi haar on 15 cm ja diagonaal 20 cm. Lahendus. b D C 15 20 15 h x x A a B E 3 Leiame külje a = AB (hüpotenuus) täisnurksest kolmnurgast ABD Pythagorase teoreemi abil a 20 2 15 2 25cm .
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku.
Kordamine IV 1. Kolmnurga küljed on 6,0 cm; 5,4 cm ja 3,6 cm. Kolmnurka on lõigatud pikkuselt keskmise küljega paralleelse sirgega. Tekkinud trapetsi lühem haaron 2,0 cm. Leia trapetsi lühema haara pikkus. 2. Ristküliku KLMN kohta on antud: PL = 15 cm, PN = 4 cm ja cos = 0,8. Arvuta, mitu korda on ristküliku pindala suurem kui trapetsi KLPN pindala. N P M K L 3. Ristküliku diagonaal on 28 cm ning ta moodustab pikema küljega nurga 30°. Tee joonis ja arvuta : 3.1. nurk lühema külje ja diagonaali vahel 3.2. lühema külje pikkus. 4. Ristküliku ABCD külg AB = 16 cm ja BC = 6 cm ning DE = CE. Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 5. Antud on kolmnurgad ABC ja AFD. 5.1
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6. (1997) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 1,5 dm ja kaatet 1,2 dm. Arvuta kolmnurga
Teoreem: Kolmnurga sisenurkade summa on 180 Eeldus: On antud kolmnurk ABC Väide: 8. KOLMURGA KESKLÕIK * Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küjega ja võrdub poolega sellest küljest. Eeldus: DE on kolmnurga ABC kesklõik: AD = DC ja BE = CE Väide: 1. DE || AB 2. DE = 0,5AB 9. TRAPETSI KESKLÕIK * Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. * Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja trapetsi kõrguse korrutisega. S = k * h Teoreem: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega ( poolsummaga ) . Eeldus: EF on trapetsi ABCD kesklõik: AE = ED ja BF = CF Väide: 1. 2. EF || AB || DC 10. KOLMNURGA MEDIAANID
Reede, 27.02.2015 #6 4.5. TRAPETS Joonis 1. Joonisel 𝒔||𝒕 ja 𝒖 ∦ 𝒗. Seega nelinurk ABCD on trapets. Definitsioon 1: Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja teised kaks mitte, nimetatakse trapetsiks. Näiteülesanne: 646 Trapets ja rööpkülik ei ole teineteise erijuhud. Definitsioon 2: Trapetsi paralleelseid vastaskülgi nimetatakse alusteks ja mitteparalleelseid vastaskülgi haaradeks. Alused: 𝐴𝐵 ja 𝐶𝐷 Haarad: 𝐴𝐷 ja 𝐵𝐶 Definitsioon 3: Aluste lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Alusnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐵; ∠𝐶 ja ∠𝐷 Haarade lähisnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐷; ∠𝐵 ja ∠𝐶 Näiteülesanne: 647 Osutub, et haarade lähisnurgad on paralleelsete sirgete (alused) lõikamisel kolmanda sirgega (haar) tekkinud lähisnurgad
kolmnurgad on sarnased 19.KNK - Kui ühe kolmnurga kaks külge ja üks nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja ühe Nurgaga, siis need kolmnurgad on sarnased 20.NKN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka ja üks külg on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurga ja ühe küljega, siis need kolmnurgad on sarnased 21.Võrdhaarse trapetsi diagonaalide omadus - Selle diagonaal poolitab trapetsi teravnurga 22.Paraleelsuse tunnus lähisnurkade järgi - Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad , mille summa on 180o 23.Paraleelsuse tunnus põiknurkade järgi - Kui kahte paraleeslet sirget lõigata kolmanda sirgega 24.Kolmnurga välisnurkade omadus - Välisnurkade summa võrdub täispöördega 25
Kolmnurkkade sisenurkkade summa on 180. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurkka. Kolmnurgal on üldse kokku 6 välisnurkka. Kolmnurga välisnurkkade summa on 360. kolmnurga sisenurk 7.kolmnurga kesklõik Lõiku ,mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub selle külja poolummaga. Kolmnurga kesklõigu arvutamise valem: 7.trapetsi kesklõik Lõikku, mis ühendab trapetsi harade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks.Trapetsi pindala võrdub trapetsi kesklõigu ja kõrguse korrutisega: s =hk. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga 8. kolmnurga mediaanid Kolmnurga mediaan on kolmnurga küljepoolitaja. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
Mõõda küljed ja arvuta võrdhaarse trapetsi pindala. ( joonis 1,0 ) 4p a = . ............................................................ . .
Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kolmnurga küljepoolitajaks ehk mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga · Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. 7. Trapetsi kesklõik Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. · Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega. S=kh
paralleelsed. a=b s½½u Kolmnurga sisenurkade summa. Kolmnurga sisenurkade summma on 180°. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka. Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõik Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse selle kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Trapetsi kesklõik Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. Kolmnurga mediaanid Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
Sirgete paralleelsuse tunnus vastaskülgede paari järgi Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad Teroeem vastavalt ristuvate haaradega nurkadest Nürinurk ja tervanurk on 180 kraadi. Teoreem kolmnurga välisnurgast Välisnurk on võrdne mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. Teoreem vastavalt paralleelsete haaradega nurkadest Kolmnurga kesklõik Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Trapetsi kesklõik Lõiku mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Kolmnurga mediaan Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem kolmnurga kesklõigust Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Teoreem trapetsi kesklõigust Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega.
y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala P kindel väärtus, seega pindala S on x funktsioon S = S(x). Seda funktsiooni nimetatakse pindfunktsiooniks. Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku all. P Leiame pindfunktsiooni tuletise P ' = lim . x 0 x
692 järgi - kaks sirget on paralleelsed parajasti Joonisel on antud trapets KLMN, diagonaal siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega KM, ühel poolel nurgad 3 ja 2, teisel poolel tekivad võrdsed põiknurgad nurgad 1 ja 4. Põhjendada, et nurk1=nurk2 ja NB kasutatakse kahe sirge paralleelsuse nurk3nurk4 tõestamisel 1)nurk1=nurk2 trapetsi alused on paralleelsed, nende lõikamisel sirgega tekivad võrdsed põiknurgad 2)nurk3nurk4 trapetsi haarad pole paralleelsed, nende lõikamisel sirgega tekivad põiknurgad, mis pole võrdsed 24.Kahe sirge paralleelsus lähisnurkade Ül.686
y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala S kindel väärtus, seega pindala S on x funktsioon S = S(x). Seda funktsiooni nimetatakse pindfunktsiooniks. Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku all. S Leiame pindfunktsiooni tuletise S ' = lim . x 0 x
M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4. Leia trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus. 4. Rööptahuka kolme külje vektorid on järgmised: a = (-2; 4, 6 ) ; = (5;6;-4) ja b c = (-1;6;-7) . 4.1. Leia selle rööptahuka ruumala
Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused.........................................................................7 Omadus 1............................................................................................................. 7 Omadus 2...............................................
rohkem kui teisel? 25, 20 4.Ristkülikukujuline lillepeenar mõõtmetega 2 m ja 4 m on piiratud ühelaiuse teega. Leidke tee laius, kui tee pindala on 9 korda suurem peenra pindalast. 3m 5. Kolmnurka külgedega 10 cm, 12 cm ja 16 cm on lõigatud pikema küljega paralleelse sirgega nii, et haaradevahelise lõigu pikkus on 9 cm. Leia tekkinud trapetsi ümbermõõt. 24,628 cm 6. Rööpküliku kõrgused on 12 cm ja 16 cm ning pindala 96 cm2. Leia rööpküliku ümbermõõt. 28 cm 7. Võrdhaarse kolmnurga haarad on 17 cm ja kõrgus 15 cm. Leia kolmnurga pindala ja nurgad. 120 cm2, 61056,61056,56 08 8
Vastus andke kümnendiku täpsusega. 3. (7 p.) Lahendage võrrand 3x2 + 4x = 7 ja kontrollige selle lahendeid. 4. (7 p.) Juku brutopalk oli aasta alguses 12500 krooni ja seda tõsteti 1. märtsil 7,5% ning palka tõsteti ka 1. aprillil, seekord 2,5% võrra. Kui suur on nüüd Juku brutopalk ja kui mitme protsendi võrra on viimane palk suurem aasta alguses saadud palgast? 5. (8 p). Täisnurkse trapetsi alused on 10 cm ja 6 cm ning lühem haar 5 cm. Leidke trapetsi pindala ruutdetsimeetrites (kümnendiku täpsusega). Kui palju tuleb kumbagi haara pikendada, et need lõikuksid? 6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm.
Rööpkülik Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Rööküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude kahekordse summaga: 2 2 ( ) d1 + d 2 = 2 a 2 + b 2 . Rööpküliku pindala: 1) S = ah ; 2) S = ab sin = ab sin . Trapets Trapetsi kesklõik on alustega (a ja b) paralleelne ja võrdub aluste poolsummaga: a+b k= . 2 a+b Trapetsi pindala S = h = kh , kus h on trapetsi kõrgus ja k on kesklõik. 2 Ringjoon ja ring Ringjoone pikkus c = 2 r .
S = ah Rombi pindala võrdub diagonaalide poolkorrutisega: d1 d 2 S= 2 Trapets Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed nimetatakse trapetsiks. Trapetsi aluse lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180 kraadi. Võrdhaarne ja täisnurkne trapets Trapetsit, mille haarad on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks. Võrdhaarse trapetsi alusnurgad on võrdsed. Kui trapetsi üks alusnurk on
KODUTÖÖ Kodutööga on maksimaalselt võimalik koguda 20 punkti. Palun näidake lahendus ja loomulikult ootan korrektset vastust. 1. AS Trapets toodab seadmeid suurköökidele, s.h matkamiseks vajalikke priimuseid. Muutuvkulud ettevõttes kokku on 350 000. Muutuvkulud ühe priimuse valmistamiseks on 470 , püsivkulud 31 200, ühe priimuse hind on 680. Priimuste läbimüük 1 kuu jooksul on 250 ühikut. (10 punkti) 1. Arvuta ja koosta AS Trapetsi piirkasumiaruanne! (priimused) Müügitulu=toote kogus*hind=250*680=170000 Muutuvkulud= muutuvkulu 1 toote valmistamiseks*kogus=250*470=117500 Püsivkulud=31200 Ärikasum=müügitulu-muutuvkulud-püsivkulud=170000-117500- 31200=21300 1 ühiku piirkasum=1 ühiku hind 1 ühiku muutuvkulu=680-470=210 Piirkasumi summa=kogus*1 ühiku piirkasum=250*210=52500 PIIRKASUMIARUANNE
Mõõda vajalikud pikkused (tähista nad samuti!) ja arvuta kolmnurga pindala, ümberringijoone pikkus ja siseringi pindala. 3. ringjoonele, mille raadius on 25cm, on joonestatud kaks ristuvat puutujat. Kui kaugel on puutujate lõikepunkt puutepunktist? Põhjenda vastust ja tee selgitav skitseering 4. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud mediaan eraldab antud kolmnurgast võrdkülgse kolmnurga. Leia täisnurkse kolmnurga teravnurgad. Tee selgitav skitseering. 5. trapetsi üks alus moodustab 30% teisest lausest ja kesklõik on 3,20 m. Leia trapetsi alused. 6. Võrdhaarse kolmnurga alus on 16 cm ja haar 22 cm. Arvuta kolmnurga kesklõikude poolt moodustatud kolmanurga ümbermõõt. 1. Joonesta täisnurksele kolmnurgale ümberringjoon 2. Joonesta korrapärane kõõl - kaksteistnurk
Kolmnurga alusele joonestatud kõrgus moodustab 80% haarast. Arvuta kolmnurga pindala. 13. Täisnurkse kolmnurga pindala on 24 cm² ja hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on 4,8 cm. Üks kaatet moodustab hüpotenuusist 80% ja teine kaatet moodustab esimesest kaatetist 75%. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 14. Rööpküliku pindala on 80 cm² ja lühemate külgede vaheline kaugus on 10 cm, pikem külg on lühemast küljest 75% võrra pikem. Arvuta rööpküliku ümbermõõt. 15. Trapetsi üks alus on 15 cm ja teine alus moodustab sellest 60%. Trapetsi kõrgus on võrdne trapetsi kesklõiguga. Arvuta trapetsi pindala. 16. Trapetsi üks alus on 8 cm ja teine alus on 25% võrra pikem. Aluste vaheline kaugus on 65% pikemast alusest. Arvuta trapetsi pindala. 17. Perekonna kuusissetulek on 7200 kr, millest 24% läheb eluaseme kuludeks. Ülejäänud rahast pannakse 1000 kr panka. Mitu krooni jäi perel muudeks kuludeks? 18. Televiisori hind kaupluses oli 5600 kr
Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem kolmnurga kesklõigust. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ja on paralleelne kolmanda küljega. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. 1Mis on trapetsi kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem trapetsi kesklõigust. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ning on paralleelne alustega ja võrdub nende aritmeetilise keskmisega. 1Mis on kolmnurga mediaan? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem mediaanide lõikepunkti kohta. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Igal kolmnurgal on kolm mediaani.
Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) tundmatuteks; e) eeldusteks. Lauseid, mida pole keegi tõestanud, aga mille tõesuses pole põhjust kahelda nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) eeldusteks; e) Thaleese teoreemideks. Kolmnurga mediaan on kolmnurga a) nurgapoolitaja; b) keskristsirge; c) kõrgus; d) alus; e) küljepoolitaja. Trapetsi kesklõik on alustega a) risti; b) lõikuv ; c) paralleelne; d) võrdne; e) ühtiv. Kõrvunurkade summa võrdub a) põiknurgaga; b) kaasnurgaga; c) täisnurgaga; d) lähisnurgaga; e) sirgnurgaga. Kolmnurga sisenurkade summa on a) 100°; b) 360°; c) 90°; d) 180°; e) 50°. Tippnurgad on a) risti; b) 180° ; c) paralleelsed; d) võrdsed; e) teravnurgad. Korrapärase n-nurga sisenurkade summa on a) 180°; b) 180°(n-2); c) (n+2)180°; d) 90°; e) 360°.
Parabooli ning selle sirge lõikepunktide A ja B vaheline kaugus on 32 cm, parabooli telje ning nimetatud sirge lõikepunkti C ja parabooli tipu D vaheline kaugus on 6 cm. Punktist B 8 cm kaugusel, punktis E on lõigule AB tõmmatud ristsirge, mis lõikab parabooli punktis F. Leia E ja F vaheline kaugus 14. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserva a ja külgserva b kaudu avalda üht külgserva ja püramiidi kõrgust läbiva lõike pindala. 15. Võrdhaarse trapetsi aluste pikkuste suhe on 0,75. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub trapetsi kõrgusega h = 7 m. Leia trapetsi ümberringjoone pikkus. 16. Leia hüperbooli y = puutujad, mis on paralleelsed sirgega y = -x. 17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1)
TOOLID - Järil oli neli väljapoole kaarduvat jalga, millel asetses plaat - Nelinurkne kast, küljed maalitud - Kokkupandav tool, jalad lõppesid küüniste või loomakäppadega - Klismos oli väljapoole kõverdatud sirbi kujuliste jalgadega, seljatugi oli kumer ja lõppes õlgade kõrgusel, puudusid kaunistused - Troonilaadsel istel olid postjalad ja seljatugi, nikerdustega kaunistatud, jalgade hoidmiseks madal pink LAUAD - Söögilaual olid 3 või 4 saldat jalga, plaat oli trapetsi kujuline, puust või kivist - Töölaud oli amuti trapetsi kujuline, masiivsed, jalad ahenesid või olid loomakäpa kujuga või olid lihtsalt painutatud jalad KIRST - Riided riputati nakki - Saranes kujult egiptuse kirstule, kaas oli lame või kumer või viilkatuse kujuga VOODID - Kuset, puhke- ja söögidiivan - Mugav, kõrge, voodi ees jalapink - Koosnes raamist ja nelinurgsetest postjalgadest - Kaunistati maalingutega,voluutide ja palmettidega - Põhi põimitud naharibadest
ETTEVÕTTE RAHANDUS KODUTÖÖ 1. AS Trapets toodab seadmeid suurköökidele, s.h matkamiseks vajalikke priimuseid. Muutuvkulud ettevõttes kokku on 350 000. Muutuvkulud ühe priimuse valmistamiseks on 470 , püsivkulud 31 200, ühe priimuse hind on 680. Priimuste läbimüük 1 kuu jooksul on 250 ühikut. (10 punkti) 1. Arvuta ja koosta AS Trapetsi piirkasumiaruanne! (priimused) 2. AS Trapetsi nõukogu ei ole rahul ettevõtte tulemustega ja seetõttu on planeeritud järgmisel kuul müügi suurenemist 10%. Koosta eelarvestatud kasumiaruanne ja arvuta piirkasumimäär! 3. Arvuta AS Trapetsi kasumilävi nii naturaalühikutes kui ka müügikäibena. 4. Samuti soovib AS-i nõukogu saavutada sihtkasumiks 9 000. Arvuta sihtkasumi saavutamiseks vajalik müügikogus ning müügikäive - nii
algandmete täpsusega. 16 17 5. ÜLESANNE (10 punkti) Ülesannete tekstid b I Tiik on täisnurkse trapetsi kujuline. Trapetsi alusteks olevate kallaste pikkused on a ja b (a b) ning nendega ristuva kalda c pikkus on c, vt joonist. Trapetsi diagonaalide lõikepunktis paikneb purskkaev. 1) Leidke purskkaevu kaugus tiigi kaldast pikkusega a. a 2) Arvutage see kaugus, kui a = 60 m, b = 40 m ja c = 30 m. II Hoone külgsein on täisnurkse trapetsi kujuline. Seina pikkus on c
Intensiivsema laine saamiseks, keeratakse juuksesalgud väiksema läbimõõduga rullile. Et ei tekiks juustele käharaid kohti, siis tuleb rullid üksteise suunas keerata(üksteisele vastu) Juuksesalgud eraldatakse ziq-zaq meetodil, seejärale kammitakse salgud ettevaatlikult läbi ja keeratakse rulli Edasine töö toimubki teiste rullide järgi Trapetsi kujuliselt keeratud lokirullid annavad meile lõpptulemuseks hästi püsiva ja hoidva soengu. Juuksed jäävad hoidma näo ligi ja on hästi töödeldavad. Lokirullide keeramist alustatakse kuklaluust ja liigutakse edasi pealae poole. Esimene lokirull keeratakse vastu peanahka(kuni nö juukse väljakasvu piirini) ning teised rullid keeratakse järjest
Diagonaalid poolitavad teineteist ja on risti. 5. Diagonaal jaotab kaheks võrdseks kolmnurgaks. 6. Diagonaali suhtes sümmeetriline. 7. Diagonaal poolitab rombi nurga. 8. Sisenurkade summa 360°. Trapets 1. Trapetsi haara lähisnurkade summa on 180°. P= a+ b+ c+ d Nelinurk, mille kaks külge on II- sed ja kaks külge 2. Võrdhaarse trapetsi lähisnurgad on võrdsed. S= (a+b): 2*h mitteparalleelsed on trapets.
Vastus andke kümnendiku täpsusega. 3. (7 p.) Lahendage võrrand 3x2 + 4x = 7 ja kontrollige selle lahendeid. 4. (7 p.) Juku brutopalk oli aasta alguses 12500 krooni ja seda tõsteti 1. märtsil 7,5% ning palka tõsteti ka 1. aprillil, seekord 2,5% võrra. Kui suur on nüüd Juku brutopalk ja kui mitme protsendi võrra on viimane palk suurem aasta alguses saadud palgast? 5. (8 p). Täisnurkse trapetsi alused on 10 cm ja 6 cm ning lühem haar 5 cm. Leidke trapetsi pindala ruutdetsimeetrites (kümnendiku täpsusega). Kui palju tuleb kumbagi haara pikendada, et need lõikuksid? 6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm. 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x2 3x 4 ja 233yx=-+ graafikud
12 20 3. Leia α tan 24̊ 17’= cos 37̊ = sin 52̊ 33’= 4. Leia nurk α, kui cos α=0,8645 sin α=0,2574 tan α=0,4284 5. Lahenda täisnurkne kolmnurk, kui (10 punkti) ☺ a=15 m ja α=45̊ 23’ ☺ a=8 dm ja b=6 dm 6. Rombi diagonaal on 12,8 cm ja teravnurk 52̊. Arvuta rombi nurgad, pindala ja ümbermõõt. 7. Võrdhaarse trapetsi teravnurk on 53̊, lühem alused on 18 cm ja 12 cm. Arvuta trapetsi ümbermõõt ja pindala. 8. Päikese kõrgus on 34̊. Lipuvarda varju pikkus on 8,6 m. Leia lipuvarda pikkus. 9. Kaldtee on 12,6 m pikk ja selle tõusunurk on 7 °. Kui kõrgele see kaldtee viib? 10. Redel toetub maja seinale 35° nurga all. Kui kaugele seinast on redel asetatud, kui maja seinal ulatub see 3,6 m kõrgusele? Kui pikk see redel on? 11. Maantee tõuseb 86 meetri jooksul 7 meetrit
Vastus andke kümnendiku täpsusega. 2 3. (7 p.) Lahendage võrrand 2x + 3x = 5 ja kontrollige selle lahendeid. 4. (7 p.) Aadu brutopalk oli aasta alguses 13500 krooni ja seda tõsteti 1. märtsil 6,5% ning palka tõsteti ka 1. aprillil, seekord 3,5% võrra. Kui suur on nüüd Aadu brutopalk ja kui mitme protsendi võrra on viimane palk suurem aasta alguses saadud palgast? 5. (8 p). Võrdhaarse trapetsi alused on 10 cm ja 4 cm ning kõrgus 4 cm. Leidke trapetsi pindala ruutdetsimeetrites (kümnendiku täpsusega). Kui palju tuleb kumbagi haara pikendada, et need lõikuksid? 6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest on suuremad moodist? Tehke hinnete jaotusele vastav sektordiagramm. 2 7. (11 p)
annaabi.ee 
