". Gödeli täielikkuse teoreem ja mittetäielikkuse teoreemid. Gödeli teoreem on formaalse aritmeetika mittetäielikkuses. Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav. Täielikkuse teoreem; http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : ,,1930. aastal tõestas Gödel, et loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest." Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu
Kui nt. keegi ütleks, et ta nägi hobust pilve peal istumas, siis ma ei saa kontrollida väite vastavust faktiga, kuid ma saan võrrelda väidet olemasolevate seisukohtadega. Füüsikaseadus ütleb, et mitte kellelgi pole võimalik istuda pilve peal ning siiani teadsin, et hobused elavad vaid maa peal ning nad ei istu kunagi ja nende tõekspidamiste põhjal võin teha otsuse, et väide on vale. Poola päritolu ameerika loogik Tarski sõnastas tegelikkusele vastavuse järgmiselt: Väide p on tõene siis ja ainult siis, kui väide p. Võtame eespool nimetatud väite, et ta nägi hobust pilve peal istumas. Väide ta nägi hobust pilve peal istumas on tõene ainult siis ja siis, kui ta nägi hobust pilve peal istumas. Kas seda väidet on võimalik verifitseerida? Ei ole, sest uurida iga hobust, kas nad juhuslikult vahepeal pilve peal ei käi istumas on võimatu. Kas on olemas üleüldist tõde
"Ütelda, et olemasolevat ei ole või et mitteolemasolev on olemas, on väär. Seevastu saab 3 ütelda, et olemasolev on olemas ja mitteolemasolevat ei ole, on tõsi." (Aristoteles 1975: 141) Praeguseks on üsna paljud filosoofid jõudnud arusaamale, et tõemõistega on siiski olemuslikult seotud teatud vastavussuhe. Paljude arvates pakub parima lahenduse poola loogiku Alfred Tarski (1902-1983) semantiline tõeteooria, mille järgi on tõest rääkimine võimalik vaid fakte kirjeldavast objektkeeltest aste kõrgemal asuvas metakeeles. Esimene on keel, millest me räägime, ning teine on keel, milles me räägime esimesest (kirjeldame seda keelt ja iseloomustame temas sõnastatud väiteid). Sellisel juhul puuduks võimalus sõnastada lause, mis kuulutaks iseenda tõeseks või vääraks. Tarski tõeteooria on rakendatav formaliseeritud keelte puhul
Kas kõik tõed on suhtelised ? Läbi aegade on filosoofid proovinud seletada mõistet ,,tõde", kuid keegi pole veel suutnud päris selget ja teiste filosoofidega kooskõlas olevat tähendust ehk definitsioon sellele anda. Minu arvates kõige täpsem ja tavaarusaam tõest on see, et tõde on see, mis vastab tegelikkusele. Nüüd tekib aga küsimus, kas kõik tõed on absoluutsed? Poola päritoluga filosoof Alfred Tarski leidis mõistele ,,tõde" väga selgesti mõistetava tingimuse: ,, Väide p on tõene siis ja ainult, kui p". Näiteks Eesti lipp on sini-must-valge siis ja ainult siis, kui Eesti lipp on sini-must-valge. Minu arvates on see väga selge ja arusaadav, sest lipp, mis ei ole sini- must-valge ei saa olla Eesti lipp. Kuid see ei pruugi olla igale inimesele absoluutne. Näiteks, kui inimene on värvipime ja ta näeb sinist kollasena, aga meie väidame talle, et Eesti lipp on sini-must-
juures üle kontrollida, et kas see on tõele vastav või see on ainult minu enda arvates tõsi. Protagorase arusaama kohaselt on kõik tõde see tähendab kõik on tõde, mida tõeks peetakse. Arvan, et see tõde on suhteline, minu arvates on jumal olemas, kuid sõbrad arvavad teisiti ning seda on võimatu üle kontrollida. Siin tekib küsimus mida peetakse tõeks? Inimesed on erinevad,nii ka nende tõekspidamised, uskumused ja teadmised,mida on neile sisendatud ja õpetatud. Alfred Tarski sõnastas tõesuse tingimuse, mille kohaselt: väide p on tõene siis ja ainult siis kui p...(Näiteks. Söök on maitsev, siis ja ainult siis, kui toit on maitsev)Kas ma saan öelda ,et see uskumus on absoluutselt õige? See on suhteline, sest inimesed on erinevad kui ka nende toidu eelistused.Lätlasele ja hiinlasele pakkuda rotti süüa, arvatavasti lätlane keelduks, sest ta pole harjunud seda sööma ning rott on tema jaoks mustust sümboliseeriv loom.Hiinlane aga
aksioom- tunnustatud väide, ms ei vaja tõestamist. (päike tiirleb ümber maailma) eksperiment- katse, uurimismeetod. objektiivne- inimesest sõltumatu. INIMESED: F.Bacon- empiirik, inglane M.Schlick- saksa filosoof "muinasjutu teooria" Aristoteles- Antiikaja kuulsaim teadlane. Antiikaja filosoof. G.W.Leibniz- Ratsionalism, matemaatik, sakslane. C.G.Hempel- analüütilise ajaloofilosoofia esindaja J.S.Mill- empiirik. Inglane A. Tarski- Tõe korrespodentsiteooria R.Descartes- Pr. filosoof, ratsionalist. B.Russell- tegeles aksioloogiaga Platon- Vana-Kreeka filosoof. Antiikaja teadlane. Induõpetus I.Kant- Preisi filosoof. Tegeles tunnetusteooriaga. O.Neurath- Tõe koherentsiteooria. J.Locke- Inglane, empiirik H. Poincare- Ratsionalist. Zenon- apooriad. Antiik-Kreeka filosoof. J.Dewey- Pragmatismi tõeteooria. D.Hume- Empiirik, Inglise filosoof. A.Einstein- Saksa füüsik. Radioaktiivsuse teooria ratsionalist.
Kui p ja q on valemid, siis p∧q,p∨q,p ⇒q,p ≡q on valemid. 4. Kui p on valem ja v on indiviidmuutuja, siis ∀v p ja ∃v p on valemid. 5. Muid valemeid PA-s ei ole Muutuja on valemis seotud, kui kõik tema esinemised selles valemis on seotud. Vastasel juhul on muutuja valemis vaba. Valem on kinnine (closed), kui kõik tema muutujad on seotud ja vastasel juhul on valem vaba. Lauseks nimetatakse predikaatarvutuse valemit, milles ei ole vabu muutujaid Semantika esitus aʹla Tarski ! PA lause tõesuse kontrollimiseks on vaja vaadata läbi kõik tema tähendused. !! Tähendused sõltuvad ka seotud muutujate väärtustustest → Selleks tõeväärtuse tabelid ei sobi, vaja kompaktsemat esitust tõeväärtuse arvutamiseks. PA signatuur sisaldab antud arvutuse kõiki predikaat- ja konstantsümboleid. PA loogika sümbolid – loogikatehte sümbolid ja indiviidmuutujad. Olgu Const – PA indiviidkonstantide sümbolite loend ja Pred predikaatsümbolite loend, siis
selle objekti tegelikuks konstrueerimiseks. Seetõttu saab intuitsionistlikku loogikat kasutada arvutiprogrammide automaatseks sünteesimiseks. 2.5.4 Formaalne süsteem: süntaks, reeglid ja semantika Russell ja Whitehead nimetasid loogikaks muuhulgas nii hulgateooriat kui endaleiutatud tüüpide teooriat. Sõna ``loogika'' tähendus oli neil küllaltki laialivalguv. Poola päritolu USA matemaatiku ja loogiku Alfred Tarski (1902-1983) ning Saksa-Austria-USA filosoofi, loogilise positivisti Rudolf Carnapi (1891-1970) tööd tõid udusesse pilti vajalikku selgust. Kuigi sõna ``loogika'' tähendusväli on jätkuvalt üpris avar ja ka kitsamas mõttes ei ole loogikud sugugi ühel nõul, millist formaalset sßuteemi võib loogikaks nimetada ja millist mitte, ollakse enam-vähem ühel meelel, et iga formaalne loogikasüsteem peab sisaldama kolme järgmist komponenti: süntaksit, tuletamisreegleid ja semantikat.
vastavale esemele. Tähenduse teooria on formaalne teooria, aga osutus on seotus selle keele toimimisega. Tähenduse kriteeriumiks on tõlkimine tõlkimine on tähenduse välja selgitamine (tõlgendus, seletus on tõlge ehk tähenduse välja selgitamine). Osutamine aga pole väga selge. Gavagai pärineb indiaanlaste keelest, kuid mida see tähendab, pole teada. osutus ilma tähenduseta. · Alfred Tarski (1901-1983) Poola-Saksa-Ameerika loogik ja filosoof. Ta eitas alati seda, et ta lõi tõe konseptsiooni. 1) meie ei tea mis on tõde; 2) me teame, mis on rääkida tõtt. Aristoteles formuleeris seda, mida hiljem nimetatakse tõe vastavuse teooriaks. Rääkida tõtt, tähendab asjadest nii nagu nad on ja mitte rääkida nii nagu nad pole. Tarski formuleerib vastavus tõele järgmiselt: Meil on mingi lause nt ,,Lumi on valge"
positsioonile, vaadatakse, kuidas saab olla tõde ühiskondlikult kasulik, Tõde on see, mis osutub heaks uskumuste vadkonnas! Koherentsiteooria: tõde on kooskõla erinevate väidete vahel, uue väite võrdlemine olevasolevatega. Korrespondentsiteooria: tõde on vastavussuhe väite ja väidetava objekti vahel.eristub empiristlik ja ratsionalistlik seisukoht. Tõestamismeetodid keskpunktis! Descartes- tõde kui teadmiskindlus. Tarski lahendus: tuleb eristada keelt, millest me räägime (objektkeel) ja keelt, millest me räägime (metakeel). Tunnetuslikke probleeme keeleanalüüs ei lahenda. 17. Matemaatika aksioomide tõesus: Üldine on olemas, tõde käib üldise kohta. Lähtekohad intuitiivselt tõesed.Tõene väide on püsivalt tõene. 18. Realism teadusliku tõe suhtes: tõde teaduses on vastavus teaduse väidete (teooriate) ja tegelikkuse vahel. Instrumentalistlik: teadusteooriates leiduvad objektid (nagu nt
influence of language upon thought and of the science of symbolism" raamat keskpärane, kuid sellest saanud hitt, trükitakse siiamaani Rudolf Carnap väljapaistev filosoof, loogik, tegeles teadusfilosoofiaga ennekõike Oli üsna tuntud Austrias, kuulus Viini loogilisse ringi (oli seal 1 tähtsamaid) Occam keskaja 1 olulisimaid filosoofe, Thomase opponent (universaalne teooria) Carnapi olulisim raamat meie jaoks "Meaning and nesseserity" 1947 Alfred Tarski (1901-1983) Rääkida tõtt tähendab rääkida asjadest nii nagu nad on, mitte nii nagu nad pole The concept of truth in formalized languages (1933) Semantiline tõekontseptsioon ja semantika alused "Snow is white" is true if and only if snow is white Tähendus ja tõde tõlkes "Snow is white" "lumi on valge" mõnes keeles lume kohta 1 sõna, mõnes teises keeles täiesti erinevad (lumi, lörts, rahe, kruubid" jne, kõik tähendavad täiesti erinevat asja
ajalt rikutud. Teaduses on kõik lubatud. Tuleb kaitsa ja pooldada pluralismi [pluralism- idealistlik õpetus, mille järgi maailm koosneb paljudest üksteisest sõltumatutest üksustest]. Formaalteadused - loogika ja matemaatika. Faktiteadus - ... Intersubjektiivsus - ... 17. Mõista erinevust ontoloogilise ja epistemoloogilise lähenemise vahel tõe probleemile. Tunda erinevust tõe korrespondentsiteooria, pragmatismi tõeteooria ja tõe koherentsiteooria vahel. Valetaja paradoks ning Tarski poolt pakutud lahendus sellele. Mida arvavad tõe mõistest skeptikud (Nietzsche näitel). Epistemoloogiline tõekäsitlus [epistéme-teadmine] - tõde peab olema inimesele kättesaadav, muidu pole ta normina rakendatav. Tõde on teatud laadi suhe, mille ük pool on inimeses ja teine väljaspool. Jaguneb: 1) korrespondentsiteooria - ei tegele ülemeelelise tõeluse kirjeldamisega, vaid vaatlevad tõde lähtudes vastavussuhtelt: väide-objekt. Tode on
ikka võib leida tõe, mille tõestamiseks on vajalik uus aksioom) "tõde pääseb tõestatavuse eest pakku" Aristoteles: väide on tõene siis, kui selle sisu vastab tegelikkusele (tõe vastavusteooria) Berry paradoks "väikseim täisarv, mis pole väljendatav lühemalt kui 25 silbiga." Valetaja paradoks: "see lause on väär"; "Järgmine lause on väär. Eelmine lause on tõene" Tarski lahendus: keele ja metakeele lahutamine erinevad tõestused! Tarski: tõedefinitsioon võimaldab iga lause kohta öelda, milles seisneb selle tõesus ( tõe verbaalne definitsioon). Lahendab valetaja paradoksi, aga loob uue: keelega ei saa enam öelda kõike, mis on ütelda. Frege, Ramsy tõe liiasusteooria predikaadil "...on tõene" puudub tähendus Bradley tõe identsusteooria tõesel väitel ja seda tõeseks tegeval faktil pole vahet Koherentsiteooria tõesus seisneb väite kuulumises sobivalt piiritletud kogumisse (mis
Raimon Lull (1235-1315) Võtab kasutusele sümbolid. G. W. Leibnitz (1646-1716). Idee luua universaalne sümbolkeel, mida võib kontrolloda ka masinaga. Tegi palju matematilise loogika jaoks, kuid ei avaldanud. G. Boole (1815-64) Lausearvutus. Seda arendas A. de Morgan. (1806-1871). Gottlob Frege (1848-1925) Esimest järku predikaatarvutus. Georg Cantor (1845-1918). Hulgateooria ja paradoksid. Bertrand Russell (1872-1970). Paradoksid, tüüpide teooria Alfred Tarski (1902-1983). Objektkeel ja metakeel. Kurt Gödel (1906-1978). Mittetäielikkuse teoreem. Alan Turing (1912-1954). Universaalne programmeeritav arvuti. 4_fl_i-v L2. MÕISTEÕPETUSEST KONTEKST ja TEKST Lingvistiliselt nimetatakse kontekstiks seda lausungi osa, mis ümbritseb teatud üksust ja võib mõjutada nii selle tähendust kui grammatilist rolli.
“Hilberti programm” matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A - -A <=> A (((A => B) => A) => A) Formaalne süsteem Tarski ja Carnap Süntaks Tuletamisreeglite süsteem Semantika Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada Tõestuse idee: Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi.
Teoreem P(N ) R Lause R2 R Teoreemi ja lause tõestused on leitavad näiteks õpikust Hulgateooria. iga n N n Järeldus: R R korral. TÕESTUS Loengus? Lõpmatute hulkade otsekorrutise võimsus Lause Mis tahes hulkade A ja B korral |A × B| = |B × A|. TÕESTUS Loengus? Teoreem (Tarski teoreem) Mis tahes lõpmatu hulga A korral ¿ A × A¿ A¿ . Järeldus: Kui A on lõpmatu hulk ja B , siis ¿ A × B¿ max { A,B} . Varasemast teame, et Lause Kui A ja B on lõplikud hulgad, siis ¿ A × B¿A·B¿ . Võimsuste hierarhia Olgu A ja B hulgad. Siis 1. ¿ A¿B¿ , kui leidub bijektsioon A B . 2. ¿ A¿B¿ , kui leidub injektsioon A B , aga ei leidu sürjektsiooni A B . 3. ¿ AB¿ , kui ¿ A¿B¿ või ¿ A¿B¿ . Näide: 1
means is just that Albert is fat and Albert is not greedy and Betty is fat and Betty is not greedy. And it means that compositionally, in virtue of what a, b, F, and G denote plus the semantic rules for determining complex truth conditions from simpler ones. Suppose we could do the same for English, that is, construct a truth defini- tion that spits out something of the form, "`----' is true if and only if ----" for each English sentence. (Such products are called "Tarski biconditionals" or "T-sentences," since they were inspired by the form of Tarski's (1956) theory of truth.) And suppose each T-sentence is seen to get its target sentence's truth condition right. Then, Davidson asks, what more could reasonably be asked of a theory of meaning for English? Consider: A correct assignment of meaning to a sentence should determine that sentence's truth condition; so we know that an adequate theory of mean-
Loogik ja matemaatik: 1862-1943. Filosoofilistelt vaadetelt formalist. “Hilberti programm” matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A. Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A, - -A <=> A, (((A => B) => A) => A). Formaalne süsteem - Tarski ja Carnap: Süntaks, Tuletamisreeglite süsteem, Semantika. Täielikkus ja mittetäielikkus Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada Tõestuse idee: Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi. Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis
2. Kui p on lausearvutuse valem, siis (¬p) on lausearvutuse valem. 3. Kui p ja q on lausearvutuse valemid, siis (p & q), (p ∨ q), (p → q) ja (p↔q) on lausearvutuse valemid. 4. Valemi välised sulud võib ära jätta. Sulud võib ära jätta ka siis, kui tehete järjekorra reeglid seda lubavad. 5. Rohkem õigesti koostatud lausearvutuse valemeid ei ole. Lubatud on juurde defineerida uute sümbolitega valemeid (nt p ⊕ q), kui need on õigesti koostatud valemite lühendid. A. Tarski (1902–1983) tegi vahet objektkeele (kui räägime nt maailmast) ja metakeele vahel (kui räägime nt lausetest maailma kohta), nt lause „Väljas on ilus ilm” väljendab objektkeele 13 lausena asjaolu, et väljas on tõepoolest ilus ilm; lause „„Väljas on ilus ilm” on jaatav lause” väljendab metakeele lausena asjaolu, et tegemist on jaatava lausega. Lausemuutuja on ihtlause (millel on kindla interpretatsiooni korral kindel tõeväärtus),
2. Kui p on lausearvutuse valem, siis (¬p) on lausearvutuse valem. 3. Kui p ja q on lausearvutuse valemid, siis (p & q), (p q), (p q) ja (p q) on lausearvutuse valemid. 4. Valemi välised sulud võib ära jätta. Sulud võib ära jätta ka siis, kui tehete järjekorra reeglid seda lubavad. 5. Rohkem õigesti koostatud lausearvutuse valemeid ei ole. Lubatud on juurde defineerida uute sümbolitega valemeid (nt p q), kui need on õigesti koostatud valemite lühendid. A. Tarski (19021983) tegi vahet objektkeele (kui räägime nt maailmast) ja metakeele vahel (kui räägime nt lausetest maailma kohta), nt lause ,,Väljas on ilus ilm" väljendab objektkeele 13 lausena asjaolu, et väljas on tõepoolest ilus ilm; lause ,,,,Väljas on ilus ilm" on jaatav lause" väljendab metakeele lausena asjaolu, et tegemist on jaatava lausega.
annaabi.ee 
