"sifikuntsioonid" - 1 õppematerjal

Majandusmatemaatika IIE eksami kordamisküsimused

z=(c,x)(y,b)=w. (1) Tõestus: Eeldame, et on vaid kaks kitsendust ja kaks muutujad, üldjuhul on tõestus analoogiline. Korrutades lähteülesande esimest kitsendust a11x1+a12x2b1 duaalmuutuja y1 ja teist y2 ning liites need avaldised kokku, same (y,Ax)(y,b). Analoogiliselt duaalülesanet korrutades x1 ja x2 saame (yA,x)(c,x) ning kuna (y,Ax)= (yA,x), siis (c,x)(yA,x)(y,b), mis tõestabki teoreemi. Teoreem 2: Kui x^ ja y^ on sellised duaalülesannete paari lubatavad lahendid, mille korral sifikuntsioonid võrduvad, siis x^ ja y^ on nende ülesannete optimaalsed lahendid. Tõestus: Oletame vastuväiteliselt, et x^ ei ole optimaalne lahend, eksisteerib vektor x*, et (c,x*)>(c,x^)=(y^,b). See võrratus on aga vastuolus võrratusega (1), mis on täidetud mis tahes lubatavate lahendite jaoks. Teoreem 3: Kui duaalülesannete paaril on optimaalsed lahendid x* ja y*, siis z*=(c,x*)=(y*,b)=W*. See on eelmise teoreemi pöördteoreem, pole vaja tõestada.