3 4 5 6 Kaht nurka nimetatakse 8 7 tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused, üle nende ühise tipu. Tippnurgad on võrdsed. Lähisnurgad: 4 ja 5; 3 ja 6; 1 2 3 4 5 Nurki, mille haarad lõikajal 6 8 on vastassuunalised ja mis 7 asuvad ühel pool lõikajat nimetatakse lähisnurkadeks Põiknurgad: 3 ja 5; 4 ja 6; 2 1 Nurki, mille haarad lõikajal 3 4 5 on vastassuunalised ja mis 6 7 8 asuvad teineteisel pool lõikajat nimetatakse põiknurkadeks Nurkade omadusi: •Põiknurgad on võrdsed, siis ja ainult siis,kui lähisnurkade summa on 180°. • Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdne ka teine paar. • Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180°.
lõikajat ning haarad lõikajal suunatud nurk2 ja nurk7 teineteisele vastu tippnurgad on võrdsed: nurk7=nurk5, nurk2=nurk4 NB lähisnurki kasutatakse kahe sirge nurk7+nurk2=180° paralleelsuse tunnuses 21.Põiknurgad - kaks nurka, mille Ül.676 sisepiirkonnad on teine teiselpool lõikajat Antud: nurk3=nurk5 põiknurgad ja mille haarad lõikajal on suunatud 1)nurk4 ja nurk5 teineteise vastu nurk4 ja nurk5 on lähisnurgad teoreem: kui põiknurgad on võrdsed, siis NB põiknurki kasutatakse kahe sirge lähisnurkade summa on 180° paralleelsuse tunnuses nurk4+nurk5=180° 22.Lähisnurkade ja põiknurkade vaheline Ül.677
Kaht nurka, mille sisepiirkonnad on ühel pool lõikajat nimetatakse sisenurkkadeks näiteks nurgad 4 ja 5. Lähisnurkkadeks nimetatakse nurkki, mille sisepiirkonnad asuvad uhel ja samal pool lõikajat näiteks: nurgad 1 ja 2. Kaasnurkkadeks nimetatakse nurkki mis on ühel ja samal pool nurgapoolitajat ja on võrdsed. Kaasnurgad on näiteks nurgad 2 ja 6. Kui poolitada kaks sirget s ja t tekib nende vahel 8 nurkka . Põiknurgad asetevad nurgapoolitajast erinrvatel pooltel. Kui põiknurgad on võrded, on sirged paralleelsed. Lähinurgad on 180 parajasti siis, kui põiknurgad on võrdsed. 6.kolmnurga sisenurkkade summa. Kolmnurkkade sisenurkkade summa on 180. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurkka. Kolmnurgal on üldse kokku 6 välisnurkka. Kolmnurga välisnurkkade summa on 360. kolmnurga sisenurk 7.kolmnurga kesklõik
Tippnurkadeks nimetatakse kahte nurka, kus ühe haarad on teise haarade pikendused üle ühise tipu. Tippnurki on alati kaks paari! Tippnurkade omadus: tippnurgad on võrdsed. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teiselpool lõikajat ja mille haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Lähisnurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on ühel ja samal pool lõikajat ning haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180kraadi ja sirged on paralleelsed. Kui põiknurgad ei ole võrdsed, siis ka lähisnurkade summa ei ole 180kraadi ja sirged ei ole paralleelsed. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpkülikuks saab veel nimetada rombi, ruutu, ristkülikut. Rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180kraadi, sest nelinurga vastasküljed on paralleelsed.
Planimeetria kordamiseks Kõrvunurgad 2 nurka, millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. 180° Tippnurgad nurgad, mis on ühe ja sama nurga kõrvunurkadeks. Tippnurgad on võrdsed. Kahe sirge lõikamine kolmandaga kaasnurgad, põiknurgad, lähisnurgad. Kahe paralleelse sirge lõikamisel kolmandaga: 1. kaasnurgad võrdsed; 2. põiknurgad võrdsed; 3. kahe lähisnurga summa on 180°. Kiirteteoreem: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega on ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud vastavate lõikudega.
lõiku. · Väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. · Kui kaks sirget on paralleelses kolmanda sirgega c, siis on nad paralleelsed teineteisega. · Kui sirge c lõikab üht kahest sirgest a ja b, siis ta lõikab ka teist. · Kui kaks sirget a ja b on risti ühe ja sama sirgega c, siis sirged a ja b on paralleelsed. · Kui üks paar põiknurki on võrdses, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki. · Põiknurgad on võrdsed parajasti siis, kui lähisnurkade summa on 180 . · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad. · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad, mille summa on 180 . · Kui nelinurgas on üks paar võrdseid ja paralleelseid vastaskülgi, siis see nelinurk on rööpkülik. 6.Kolmnurga sisenurkade summa, kesklõik ja mediaanid.
Kolmnurga kesklõik DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB) VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on
teineteist ja diagonaalid jaotavad nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks. Põiknurgad Nurgad, mis asetsevad teine teiselpool lõikajat ja haarad lõikajal on vastassuunalised. Lähisnurgad Nurgad, mis asetsevad ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal on vastassuunalised. Kolmnurga välisnurk Nurk, mis on sisenurga kõrvunurk. Sirgete paralleelsuse tunnus põiknurkade järgi Kui sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad, siis sirged on paralleelsed. Sirgete paralleelsuse tunnus lähisnurkade järgi Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekkivate kolmnurkade lähisnurkade summa on 180 kraadi, siis sirged on paralleelsed. Sirgete paralleelsuse tunnus vastaskülgede paari järgi Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad Teroeem vastavalt ristuvate haaradega nurkadest Nürinurk ja tervanurk on 180 kraadi.
37. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ristkülikut. 38. Ruuduks nimetatakse rombi, mille lähisnurgad on võrdsed. · Kahe sirge lõikamine kolmanda sirgega Lähisnurkadeks nim nurki, mille sisepiirkonnad on ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. Põiknurkadeks nim kaht nurka, mille sisepiirkonnad on teineteisel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. Kui üks paar põiknurki on võrdsed on võrdsed ka teine külg paar põiknurki. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180 kraadi. Kui lähisnurkade summa on 180 kraadi, siis põiknurgad on võrdsed. · Kolmnurga sisenurkade summa, kolmnurga välisnurkade omadus Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. Kolmnurga välisnurgaks nim tema sisenurga kõrvunurka. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. · Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte
¤Paralleelsed sirged- Kahte tasandil asuvat sirget nim. paralleelseteks kui neil ei ole ühiseid punkte ¤Kaasnurgad- Kahte nurka mis asuvad ühel pool lõikajat ja mille haarad lõikajal suunduvad ühtepidi nim. kaasnurkadeks. ¤Lähisnurgad- Kahte nurka, mis asuvad ühel pool lõikajat ja mille haarad lõikajal suunduvad vastamisi nim. lähisnurkadeks. ¤Põiknurgad- Kahte nurka, mis asuvad üks ühel ja teine teisel pool lõikajat ja mille haarad lõikajal suunduvad vastamisi nim. põiknurkadeks. ¤Kolmnurga välisnurk- kolmnurga välisnurgaks nim. kolmnurga sisenurga kõrvunurka. ¤Kolmnurga välisnurga teoreem- kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. ¤Kolmnurga kesklõik- Lõiku, mis ühendab kahe külje keskpunkte, nim. selle kolmnurga kesklõiguks. ¤Kolmnurga kesklõigu teoreem- Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. ¤Trapetsi kesklõik- Leitud haarade keskpunktid ja n...
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
Selle teoreemi pöördteoreem on : Kui arv jagub 10-ga, siis see arv lõppeb nulliga. Vastuväiteline tõetusviis Iga väite korral on tõene kas väide ise või selle eitus, kolmandat võimalust ei ole. Teoreemi väide ei ole tõene, siis peab tõestama, et see ei ole tõene ja kui sa ei suuda seda tõestada, siis see teoreemi väide osutub tõeks. Kahe sirge lõikamine sirgega Kui paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180°. Kahe sirge paralleelsus Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid kaasnurki, siis need sirged on paralleelsed. a=b s½½u Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid põiknurki, siis need sirged on paralleelsed. a=b s½½u Kolmnurga sisenurkade summa. Kolmnurga sisenurkade summma on 180°. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka.
N: on hulgad : A = {2;3;4;5;8} B = {2;3;7} A B = {2;3;4;5;7;8} 22.Lähisnurgad Lähisnurkadeks nimetatakse kaht nurka, mis asetsevad ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal on vastupidised. Lähisnurgad on 4 ja 6 ; 2 ja 5 . 23.Põiknurgad Põiknurkadeks nimetatakse kaht nurka, mis asetsevad teine teisel pool lõikajat ja haarad lõikajal on vastupidised. Põiknurgad on 4 ja 5 ; 2 ja 6 . 24. Kahe sirge paralleelsus 1.Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid kaasnurki, siis need sirged on paralleelsed. 2.Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid põiknurki, siis need sirged on paralleelsed. 3.Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivate lähisnurkade summa on 180º, siis need sirged on paralleelsed. 25.Rööpkülik
moodustavad sirge. Omadus: Kõrvunurkade summa võrdub sirgnurgaga. Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui neil on ühine kõrvunurk. Omadus: Tippnurgad on 7 Kahe sirge lõikamine sirgega 1 1 1 1 Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180. Ülesann =40 ja e: 1=130 8 Kahe sirge paralleelsus Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid kaasnurki, siis need sirged on paralleelsed. s u s u Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid põiknurki, siis need sirged on paralleelsed. s
kuid küljed ei ole võrdsed. Seega see lause ei ole teoreem. 6. VASTUVÄITELINE TÕESTUSVIIS 1. Iga väide on kas õige või on selle eitus õige. 2. Väite eitamine on vastuväiteline tõestusviis. Teoreem: Kui kaks sirget a ja b on paralleelsed kolmanda sirgega c, siis nad on paralleelsed teineteisega. Eeldus: a || c ja b || c Väide: a || b 5. KAHE SIRGE LÕIKAMINE SIRGEGA. * Põiknurgad Kaht nurka, mille sisepiirkond on teine teiselpool lõikaja ja mille haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. * Lähisnurgad Sisepiirkond on ühel ja samal pool lõikajast, haarad on suunatud teineteisele vastu . Teoreem: Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki. Eeldus: Väide: 6. KAHE SIRGE PARALLEELSUSE TUNNUSED
33. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ristkülikut. 34. Ruuduks nimetatakse rombi, mille lähisnurgad on võrdsed 35. Lähisnurkadeks nimetatakse nurki, mille sisepiirkonnad on ühelpool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. 36. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teisel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. 37. Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar. 38. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180 kraadi. 39. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse tema sisenurga kõrvunurka. 40. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. 41. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte. 42. Kolmnurga kesklõik on parallelne kolmnurga vastava küljega ning võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. 43. Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge
Matemaatika 9.klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutj...
Kesknurk on ringjoone keskpunktist tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk, mis toetub kaarele. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. NURGAD Kahe sirge lõikamisel tekkinud kõrvunurkade summa on 180° ning tippnurgad on võrdsed. Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud · Kaasnurgad on võrdsed · Põiknurgad on võrdsed · Lähisnurkade summa on 180° KIIRTETEOREEM: kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Pöördteoreem. Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii, et ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised vastavate lõikudega nurga teisel haaral, siis need sirged on paralleelsed. KOLMNURGAD 3/6
+ = 180 Kaht nurka nimetatakse tipunurkadeks, kui neil on = ühine kõrvunurk. Tipunurgad on võrdsed. Paralleelsed sirged Kahe sirge lõikamine sirgega ja 1 ja 1 ja 1 1 Kaasnurgad ja Lähisnurgad ja 1 ja 1 ja 1 ja 1 Põiknurgad 1 ja 1 ja ja 1 ja 1 Mitmesugused hulknurgad Kumer ja mittekumer hulknurk Hulknurka nimetatakse kumeraks kui ta asetseb ühel pool mistahes sirgest, mis on saadud külje pikendamise teel. Nelinurkade klassifikatsioon N e lin u r g a d
Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad. Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad ühel pool lõikajat, nimetatakse lähisnurkadeks. Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad teine teisel pool lõikajat, nimetatakse põiknurkadeks, 16. Kahe sirge paralleelsuse tunnused. Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekivad võrdsed põiknurgad, siis on need sirged paralleelsed. Kaks sirget on paralleelsed, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud lähisnurkade summa on 180º. Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asetsevad samal tasandil ega pikendamisel lõiku. 17. Kolmnurga välisnurk ja selle omadus. Kolmnurga sisenurkade summa. Välisnurk on kolmnurga sisenurga kõrvunurk. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. 18. Kolmnurga kesklõik, selle omadus.
Antud: AB a , DC b, AD c. O Leida: kolmnurga AOB kõrgus h. c 1) Trapetsi diagonaalide AC ja BD lõikumisel tekivad võrdsed h tippnurgad, seega 1AOB 1DOC . Kahe paralleelse sirge (trapetsi alused) lõikamisel kolmandaga (diagonal AC) tekivad A a B võrdsed põiknurgad, seega 1CAB 1ACD . Kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on need kolmnurgad sarnased, seega 2AOB 2DOC . 18 19 Sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud. Kui kolmnurga AOB kõrgus
teravnurga. Avaldage trapetsi küljed, kui trapetsi pindala on S. Arvutage trapetsi küljed, kui S =3 3 . Lahendus: antud on a = 2b; S = 3 3 ; a ja b on trapetsi alused, c on haar ja h on trapetsi kõrgus. a+b 2b + b 3b 3b S= h= h= h; S = h 2 2 2 2 = , kui põiknurgad paralleelsete sirgete lõikamisel 3. sirgega, d-ga. Nelinurk A1BCD on romb: alusnurgad ei ole täisnurgad, diagonaalid poolitavad nurgad, vastasküljed on paralleelsed. Järelikult lühem alus võrdub haaraga c = b. Kolmnurk CEB on täisnurkne. Pythagorase teoreemi järgi saame 2 2 b 2 b 3b 2 3b 2 b h = c - = b - = 2 2 h= = 3.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
