teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? - Kleepimisseadus Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises? Kõigepealt TÄIEND Seejärel ÜHISOSA Kolmandana ÜHEND Verbaalne nimetus igale hulgale. Esimene hulkade ühisosa Teine hulkade võimsuste summa Kolmas element kuulub hulka Neljas hulkade summeetriline vahe Viies - hulkade lahutamine(Vahe) Kuues ühendi täiend Seitsmes ühisosa täiend Kaheksas - otsekorrutis ehk ristkorrutis Üheksas üks hulk on teise osahulgaks Millised võrdused kehtivad alati? Alati kehtivad: 1, 2, 4. Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järjestatud paaride hulk? Ristkorrutis Milline hulgaavaldis esitab millise Venni diagrammi rohelist hulka/piirkonda ? Vasakpoolsele diagrammile vastab keskmine avaldis Keskmisele diagrammile vastab vasakpoolne avaldis Parempoolsele diagrammile vastab parempoolne avaldis
5. avaldis on: hulkade lahutamine (vahe) 2. avaldis on: hulkade võimsuste summa 9. avaldis on: üks hulk on teise osahulgaks 1. avaldis on: hulkade ühisosa 6. avaldis on: ühendi täiend 4. avaldis on: hulkade summeetriline vahe 7. avaldis on: ühisosa täiend 8. avaldis on: otsekorrutis ehk ristkorrutis 3. avaldis on: element kuulub hulka Küsimus 12 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järjestatud paaride hulk ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: ristkorrutis Küsimus 13 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 hulgaavaldise üleviimiseks tema duaalsele kujule tuleb selles avaldises: kõik tehted ÜHEND . . . . . . asendada tehtega ÜHISOSA kõik UNIVERSAALHULGAD .
sümmeetriline vahe täiend ühend Küsimus 9 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige verbaalne nimetus igale hulgaavaldisele: 3. avaldis on: element kuulub hulka 6. avaldis on: ühendi täiend 9. avaldis on: üks hulk on teise osahulgaks 8. avaldis on: otsekorrutis ehk ristkorrutis 2. avaldis on: hulkade võimsuste summa 5. avaldis on: hulkade lahutamine (vahe) 7. avaldis on: ühisosa täiend 4. avaldis on: hulkade summeetriline vahe 1. avaldis on: hulkade ühisosa Küsimus 10 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks
o 3. De Morgani seadused (A ∩ B)’ = A’∪ B’, (A ∪ B)’ = A’∩ B’ o 4. Vahe ja sümmeetriline vahe avalduvad ühisosa, ühendi ja täiendi kaudu: AB = A∩ B’, AΔB = A∩ B’ ∪ B∩ A’ o 5. Vahe seosed teiste tehetega: AB = A (A∩ B), A∪ B = A∪ (B A), (AB)C = A(B∪ C). o 6. Sümmeetriline vahe avaldub sümmeetriliselt A ja B suhtes: AΔ B = (A∪ B) (A∩ B] 16. Hulkade otsekorrutis. Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a∈A ja b∈B: A × B = { (a, b) | a∈A & b∈B } Otseaste o DEF: Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A × … × A, kus A esineb n korda. Otsekorrutise omadused
Järgmiseks teeme kindlaks, rea loenduvuse omadusi, mis on seotud ühendi ja otsekorrutisega. Teoreem 5. 1. Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2. Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3. Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4. Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5. Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6. Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv. 7. Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv. Teoreem 6. 1. Kui on lõplik tähestik {1,2,3,...,}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. 2. Programmide hulk igas programmeerimiskeeles on loenduv. 3. Kui on loenduv tähestik {1,2,3,...}, siis kõigi (lõpliku pikkusega) sõnade hulk tähestikus on loenduv. Mitteloenduvad hulgad. Kontiinumi võimsusega hulgad Vahemik (0,1) ei ole loenduv hulk. Iga vahemik (,) arvsirgel on ekvivalentne vahemikuga (0,1) ja seega on mitteloenduv. Tõestus.
41) Tabelile veeru lisamiseks tuleb kasutada käsklust: a) alter table b) create table c) create database 42) Millega algas andmebaaside päringkeelte areng? a) teise maailmasõjaga b) Eesti vabanemisega c) relatsioonalgebraga 43) Missugune keel on SQL peamiselt? a) mitteprotsenduuriline b) võimekas c) arenemisvõimeline 44) Mis on kahe tabeli ühend? a) kaks tabelit koos b) ridade hulk, mis pärineb vähemalt ühest kahe tabelilisest komplektist. c) kahe tabeli andmed ühenenud 45) Mis on otsekorrutis? a) ridade hulk, mis saadakse asetades kõrvuti ükshaaval iga rea esimesest tabelist ridadega teisest tabelist. b) kahe numbri korrutis c) kahe andme ruut korrutada esimese andme kuubiga 46) Mis on valik tabelis? a) tabelite valik b) ridade hulk (komplekt) tabelist, mis rahuldab tingimuste seeriaid, mis on näha valikust endast. c) saad valida erinevate tabelite vahel 47) Mida esindab projektsioon? a) andmete projekteerimine b) projektor
vahe EXCEPT korteežid, mis on relatsioonis S, kuid puuduvad relatsioonis R, hulgateoreetiline summa UNION ilma duplikaatideta ehk kõik korteežid Sist ja ka Rist, uhendamine JOIN igasuguste tingimustega “a teeta b” (teetaühendamine), kus teeta on = (siis on equijoin) või <, >, <=, =>, <> (siis on nonequijoin) või hoopis NATURAL JOIN, mille puhul ühendatakse tabelid ühesuguste nimedega veergude põhjal; otsekorrutis iga Ri korteež on ühendatud iga Si korteežiga, jagamine nt leida töötajate ja osakondade vastavuse tabelist töötajad, kes töötavad osakondades 2 ja 3.
. . . . . . . . .42 5 KONSTRUKTSIOONID TOPOLOO- GILISTE RUUMIDEGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1 Topoloogia originaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Topoloogia kujutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Alamruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Faktorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 5.5 Otsekorrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ¨ 5.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 4 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.1 Eralduvuse aksioomid ja j¨areldusi neist . . . . . . . . . . 60 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 ¨ 6.3 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AB={x: (xA ja xB) või (xA ja xB)} Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka AxB, mis koosneb kõigist järjestatud paaridest (x,y), kus xA ja yB. AxB={(x,y) : xA ja yB}. Paarides on elementide järjekord oluline. Otsekorrutist AxA nimetatakse hulga A otseruuduks ja tähistatakse A2. Üldiselt, otsekorrutist Ax...xA, kus hulk A esineb n korda, nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse An. Otsekorrutise omadused: 1. Otsekorrutis tühja hulgaga a. Ax= xA= 2. Distributiivsus a. Ax(BC)=(AxB)(AxC) Ax(BC)=(AxB)(AxC) Ax(BC)=(AxB) (AxC) Funktsioon: Eeskirja f, mis seab hulga A igale elemendile vastavusse hulga B elemendi, nimetatakse funktsiooniks hulgast A hulka B. f:AB Kui funktsioon f seab elemendile xA vastavusse elemendi yB, siis kirjutatakse y=f(x) või y=fx või f: xy
Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride <𝑎,𝑏> hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast : 𝐴𝑥𝐵={ <𝑎,𝑏> | 𝑎∈𝐴∧𝑏∈𝐵 }. Hulkade otseruut on hulga otsekorrutis iseendaga 𝐴𝑥𝐴=𝐴2={ <𝑎,𝑏> | 𝑎∈𝐴∧𝑏∈𝐴 }. Järjestatud paare, kolmikuid, nelikuid … jne nim korteežideks. ARVUSÜSTEEMID Kõik olulised arvusüsteemid on positsioonilised ehk arvu numbrid asuvad ettenähtud asukohtadel (arvujärkudes 𝑎𝑖). Tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem on rooma numbrite süsteem märkidega I V X L C D M. Igal positsioonilisel arvusüsteemil on täisarvuline alus p, näitab süsteemi (nt kümnend)
Dubleeritud kirjed kõrvaldatakse, nii et alles jääb vaid üks. Ühendatavad relatsioonid peavad olema ühilduvad (ingl. k. union compatible). See tähendab, et ühendatavates 7 relatsioonides peab olema ühepalju atribuute, kusjuures erinevate relatsioonide vastavatel/ühendatavatel atribuutidel peab olema sama domeen. Ühilduvate relatsioonide saamiseks võib kasutada projektsiooni operatsiooni. Otsekorrutis ehk Cartesiuse ristkorrutis - Hulkade X ja Y otsekorrutiseks nimetatakse hulka X x Y, mis koosneb kõikvõimalikest paaridest (x; y), kus xX ja yY. Relatsioonialgebras on vaadeldavateks hulkadeks relatsioonid, mis koosnevad hulgast kirjetest. Otsekorrutis annab tulemuseks relatsiooni, kus iga relatsiooni R kirje on ühendatud iga relatsiooni S kirjega. Sageli võib korrutise tulemuseks olla väga suur andmehulk. Kui relatsioonil R on I kirjet ja
(A ∆ B ) C Cantori täielik normaalkuju sisaldab igas ühendis või ühisosas kõiki avaldises osalevaid hulki. Avaldiseliikmes puuduvaid hulki saab lisada kleepimisseadust rakendades: __ __ A=(A∪B) ∩ (A∪B) A=(A∩B) ∪ (A∩B) Hulkade RISTKORRUTIS ehk OTSEKORRUTIS × Kahe hulga ristkorrutis A × B on järjestatud paaride < a, b > hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast: A × B = { < a, b > | a ∈ A ∧ b ∈ B } näide: A = { 1, 2, 3 } B = { a, b } A × B = { < 1, a > < 1, b > < 2, a > < 2, b > < 3, a > < 3, b > } Elementide (paaride) arv ristkorrutises: |A × B| = |A| • |B|
Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride < 𝑎, 𝑏 > hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast : 𝐴𝑥𝐵 = { < 𝑎, 𝑏 > | 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 }. Hulkade otseruut on hulga otsekorrutis iseendaga 𝐴𝑥𝐴 = 𝐴2 = { < 𝑎, 𝑏 > | 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 }. Järjestatud paare, kolmikuid, nelikuid … jne nim korteežideks. Hulgaalgebra põhiseosed 𝐴 = 𝐴̿ 𝐼 ̅ = ∅ ∅̅=𝐼 𝐴∪∅=𝐴 𝐴∪𝐼 =𝐼 𝐴∩𝐼 =𝐴 𝐴∩∅=∅ 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝐼 ̅ Idempotentsus 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
nõutavatele omadustele. Ei tohi olla korduvaid korteeze Ei tohi olla mitu samanimelist atribuuti Hulgateoreetilised operatsioonid. Hulgateoreetiline summa - Relatsioonidele r ja s rakendatud hulgateoreetilise summa leidmise operatsioon r U s annab tulemuseks relatsiooni, mille moodustavad kõik kas relatsiooni r, relatsiooni s või mõlemasse kuuluvad korteezid. Lõige Hulgateoreetiline vahe Hulkade ristkorrutis e. otsekorrutis e. Descartesi korrutis Spetsiaaloperatsioonid. Piirang Projektsioon Ühendamine Jagamine 11. Virtuaalne relatsioon e. vaade (teema 5) Virtuaalne relvar e. vaade (ingl. k. view) väärtus leitakse kasutaja poolt vaate poole pöördumise hetkel Vaade e. virtuaalne relatsioon on ühe või mitme baasrelatsioonile rakendatud relatsioonilise operatsiooni tulemus, mille tulemuseks on samuti relatsioon. Selle
3. Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv, st kui hulgad , n on loenduvad, siis i=1 A i on loenduv. A i ,i N 4. Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv, st kui hulgad , on loenduvad, siis i=1 A i on loenduv TÕESTUS Loengu videos Lause Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv. Lause Kahe loenduva hulga otsekorrutis on loenduv. Järeldus: Lõpliku arvu loenduvate hulkade otsekorrutis on loenduv. (Järeldub matemaatilise induktsiooni abil.) Lause Olgu A ja X sellised lõpmatud hulgad, et A X . Kui A on mitteloenduv, siis ka X on mitteloenduv. TÕESTUS Loengus Näide: A {a 1 , a2 , ... , an } 1
Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B} Hulkade vahe C = {x | x kuuulub A XOR x kuulub B} Hulga A täiend A* = {x | x kuulub universaalhulka AND x ei kuulu A} A x B hulkade ristkorrutis e otsekorrutis e Descartes' korrutis A x B = {(a,b) | a kuulub A, b kuulub B} Paradoksid: Russelli ehk habemeajaja paradoks (hulga esitamine predikaadi abil): P(X) = true, kui argumendina esitatud hulk pole iseenda elemendiks. P(X) = false, kui argumendina esitet hulk on iseenda elemendiks. Kontrollime hulka Y = {X | P(X)} Eeldades, et Y kuuluks hulka Y, saame P(Y) = false => Y ei kuulu hulka Y Eeldades, et Y ei kuulu hulka Y, saame P(Y) = true => Y kuulub Y
annaabi.ee 
