Tükeldused: Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe? Binaarushet ehk relatsiooni nimetatakse ekvivalentsisuhteks, kui ta on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Mis on ekvivalentsiklass? Ekvivalentsisuhte alushulga sellist osahulka, mille kõik elemendid on omavahel relatsioonis, nimetatakse ekvivalentsiklassiks. Mis on hulga tükeldus? Hulga tükeldus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk, millel on kindlat omadused. Millest tükeldus koosneb? Tükeldus kui hulkade hulga elementideks ehk mittelõikuvateks osahulkadeks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid. Mis on tükelduse plokk? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks. Millisel juhul on kaks hulgaelementi ekvivalentsed? Ühte ekvivalentsiklassi kuuluvad hulgaelemendid on ekvivalentsed. Millised omadused on tükelduse osahulkadel?
Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ... (n - k +1) = = C nk + Pk (n - k )! n! C nk = k! ( n -k )! (a + b) n = C n0 a n + C n1 a n -1b + C n2 a n -2 b 2 + ..
Venni diagramm koos hulgaelementidega Tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral Hulkade ühend on hulkade liitmine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on suurem kui operandideks olnud hulgad. Kaks hulka on võrdsed siis, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Hulga täiend on osa universaalhulgast? Tõene Kuidas nimetatakse minig hulga kõikide osahulkade hulka? Astmehulk Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk. Hulga täiend on hulk ,mille moodustavad kõik sellesse hulka mittekuuluvad elemendid. Lõpmatut hulka saab esitada tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit äratuntavad, regulaarset seaduspära. A ja B on hulgad. A ja b on hulgaelemendid. Millised avaldised on ebakorrektsed? Ebakorrekted on: 4, 7, 8, 10, 11. Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? 1
täiend Küsimus 5 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: Lõpmatut hulka saab esitada tema elementide loeteluna, mis esitab mingit osalise äratuntavat, seaduspära. regulaarset Küsimus 6 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse mingi hulga kõikide osahulkade hulka ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: astmehulk Küsimus 7 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 A ja B on hulgad. a ja b on hulgaelemendid. Millised järgnevad avaldised on seljuhul ebakorrektsed? Vali üks või enam: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Küsimus 8 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mitu tükki saab igat elementi hulgas sisalduda? (sisesta arv) Vastus: 1 Küsimus 9 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 sisesta lahtrisse õige sõna:
Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Hulgaelementide loetelut esitatakse Valige üks: ( tavaliste sulgude vahel ) { loogsulgude vahel } [ nurksulgude vahel ] Küsimus 2 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kuidas nimetatakse mingi hulga kõikide osahulkade hulka ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: astmehulk Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige: tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Küsimus 4 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Vali kõik viisid / vahendid, mida kasutatakse hulkade esitamiseks: Valige üks või mitu: numbriline kümnendesitus
elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine.
Question 6 sisesta lahtrisse õige sõna: Correct Kui 2 hulka on samaaegselt teineteise osahulkadeks, siis need hulgad on võrdsed Mark 1 out of 1 Question 7 Kuidas nimetatakse mingi hulga kõikide osahulkade hulka ? ( sisesta ühesõnaline vastus Correct ) Mark 1 out of 1 Answer: astmehulk Lehekülg 1/4 24.11.2012 19:39
millal kasutatakse : S= ,|q|<1 1−q 67) Permutatsioonid . Faktoriaali arvutamine. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn=n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗3∗2∗1=n ! NT. 4 !=4∗3∗2∗1, 1!=1 68) Variatsioonid ja arvutamine. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k ≤ n ¿ nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi j-elemendiliste osahulkade elementide n! v kn =n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗( n−k +1 )= erinevaid järjestusi. ( n−k ) ! 69) kombinatsioonid ja arvutamine. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa k n! (k ≤ n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki Cn =
Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone. 4. Kombinatsioonid. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Vnk =Cnk Pk . Cnk =n! / k! (n-k)! 5. Newtoni binoomvale Nt: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 Püramiid :
Üldsuse kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna kõigi muutujate puhul Vastuolu: samaselt väär lause Või-tehe: disjunktsioon Hulgad Alamhulk: hulk, mille kõik elemendid kuuluvad suuremasse hulka, mile alamhulk ta on Cantori normaalkuju: ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus täiendit on rakendatud ainult üksikutele hulgatähistele Grassmani valemid: esitavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu Hulga astmehulk: hulga kõikide osahulkade hulk Hulga täiend: hulka mittekuuluvate elementide hulk Hulk: algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum Hulkade ühend: elemendid, mis kuuluvad emba-kumba hulka Hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka Hulkade ristkorrutis: järjestatud paaride hulk, kus esimene element on pärit esimesest teguriks olevast hulgast ja teine teisest teguriks olevast hulgast Hulkade sümmeetriline vahe: elemendid, mis kuuluvad ühte või teise hulka, aga mitte mõlemasse
Hulka nimetatakse loenduvaks, kui leidub üksühene vastavus naturaalarvude hulga ja hulga vahel. Seega loenduvad on parajasti need hulgad , mida saab esitada kujul ={1,2,3,...}. Näiteid 1. Täisarvude hulk ja paaris-naturaalarvude hulk on loenduvad hulgad. 2. Igasugune hulga lõpmatu osahulk on ise loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk . 3. Ratsionaalarvude hulk on loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk või täisarvude hulk . 4. Hulga kõikide osahulkade hulk () ei ole loenduv, täpselt samuti nagu ei ole loenduvad irratsionaalarvude hulk või reaalarvude hulk. Veelgi põnevam, ka vahemik (0,1) ei ole loenduv. Teoreem 2. Hulk on loenduv parajasti siis, kui hulga elemendid saab esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana: ={1,2,3,...}. Tõestus. Kui hulk on loenduv, siis leidub paaride hulk {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),... }, mis seab hulgad ja üksühesesse vastavusse. Selles paaride hulgas esineb iga naturaalarv täpselt
hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed. Venni diagramm on hulkade illustratiivne esitusviis. Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend.
- Vaatlemine on nähtuste või esemete tunnuste ning detailide märkamine. Matemaatika tegevuste aluseks. - Rühmitamine paljudest esemetest ühesuguste tunnustega esemete eraldamine. Tegevus, millega esemeid või nähtusi nende ühiste tunnuste alusel klassifitseeritakse so. jaotatakse rühmadesse, gruppidesse, klassidesse, hulkadesse jms. - Järjestamine esemete ja nähtuste korrastamine võrdsustunnuse alusel. - Loendamine esemete arvu kindlakstegemine hulgas. - Liitmine on osahulkade ühendamine. - Lahutamine on koguhulgast osahulga eemaldamine. 6. Kuidas arvestada erineva õpistiiliga õppijate eripära õppetegevustes? Miks seda tuleb arvestada? Osad õppijad on kuulajad, teised nägijad ja kolmandad tegutsejad. Õpetaja peab kasutama õppetegevuses kõiki kolme varianti. Jutustama, näitama ette, kasutama pildimaterjale, tegema tegevusi läbi mängude ja kunstitsegevuse. 7. Pange järgnevad õppimise alusoskused loogilisse järjekorda (võrdlemine,
tühjad hulgad on üheselt määratud. Pärisosahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B osahulk ja A B. Näide: 1. Kui S = {4, 5, 7} ja T = {3, 4, 5, 6, 7}, siis S T. 2. Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused . 3. Kui a < b, siis (a, b) (a, b] [a, b]. Kõigi osahulkade hulk Hulga A kõigi osahulkade hulka tähistatakse tavaliselt P( A)={ X X A }. Ülesanne: Iga hulga korral leia tema kõigi osahulkade hulk. Samuti määra |A| ja |(A)|. 1. A = 2. A = {a, b} LAHENDUS 1. A = , ()=? |A| = 0, () = {X | X } = , |()| = 1 2. A = {a, b} |A| = 2, (a, b) = {X | X {a, b} } = {, {a}, {b}, {a, b}}, |()| = 4 Lause Kui hulgas A on n elementi, siis hulgal A on 2n erinevat osahulka TÕESTUS {a 1 , a2 , ... , an }
2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3 … }. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆.
või A D C D 12. Mis on universaalhulk? Universaalhulk on kõigi hulkade hulk. 13. Mis on hulga täiend? Hulka mittekuuluvad elemendid. 14. Millise hulga osahulgaks on iga hulk? Iga hulk on iseenda osahulk ning universaalhulga osahulk. 15. Mitu erinevat osahulka on n-elemendilisel hulgal? Igal hulgal on osahulka. 16. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on hulga kõigi osahulkade hulk. 17. Mitu elementi on n-elemendilise hulga astmehulgas? elementi. 18. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. 19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. 20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loendub, kui tema elementidele saab vastavusse seada naturaalarve {0,1,2,3,...}. 21. Mis on „loendamine“? Hulga elementidele naturaalarvude omistamine
teada saada? Lahendus Kuna numbrid on erinevad, algus- ja lõpunumber aga teada, siis tuleb leida V83 = 8 7 6 = 336 Seega, kui on tehtud juba 335 katset ning PIN2 koodi veel ei ole kätte saadud, siis 336. katsel saab Ants täie kindlusega Peetri PIN2 koodi sisestada. 3. kombinatsioonid n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestamata osahulgad; võrreldes variatsioonidega on erinevus selles, et elementide järjestus ei ole oluline, tähtis on vaid see, et väljavalitud osahulkade elementide hulgas oleks erinevaid elemente) Näiteks. 1) Klassis on 20 õpilast. Mitu võimalust on 2 korrapidaja väljavalimiseks/määramiseks? 2) Kaardipakis on 52 kaarti. Mitu erinevat 5 kaardist koosnevat kombinatsiooni saab moodustada (kaartide kättesaamise järjestus ei ole oluline). 3) Viking Lotto loosimisel valitakse välja 6 numbrit 48 numbrist. Mitu erinevat kombinatsiooni on? n (n -1) (n - 2) ...(n - k +1)
2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ
Tööd arhitektuuri alal on otstarbekas alustada, kui nõuete väljatöötamisest on täidetud ligikaudu 80%. Sellel etapil peab selgelt sõnastama ka tarkvarastruktuuri kujundamise üldised eesmärgid, näiteks kuivõrd peab arendatav tarkvara olema modifitseeritav. Lisaks on sageli otstarbekas vaadelda ka arhitektuuri teatud vaateid, mis hõlmavad vaid arhitektuuri teatud elemente. Vaateid võib kujutada näiteks disaini-faasis koostatud UML- mudelite teatud abstraktsioonide või osahulkade abil. Kõige sagedamini vaadeldakse järgmiseid vaateid (vt. Näiteks http://www.rational.com/media/whitepapers/Pbk4p1.pdf): · Disaini vaade (loogiline vaade), mis kirjeldab disaini mudeli arhitektuurselt olulisi struktuure ja funktsioone. Lähtutakse eelkõige kasutajast. · Protsessi vaade, mis kirjeldab ülejäänud kolme vaate vahelisi seoseid. Aluseks on mittefunktsionaalsed nõuded (jõudlus, tarkvara integreeritus, veakindlus jne),
1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B}
Käesoleval juhul peame hulgamõistet käsitlema lähtemõiste tasemel, sellepärast räägime eelkõige lihtsamatest, konkreetsete hulkadega teostatavatest operatsioonidest. Nende lihtsate operatsioonide all on vaja mõista 1) hulkade tajumist; 2) hulkade võrdlemist nende elementide üks-ühesesse vastavusse seadmise teel; 3) uute hulkade moodustamist kahe või enam hulga ühendamise teel; 4) hulgast osahulga või osahulkade eraldamist. Tunnetusteoreetilises (gnoseoloogilises) plaanis huvitab meid esmajärjekorras hulgamõiste ontogenees, s.o. hulgamõiste kujunemise psühholoogiline aspekt. J. Piaget'i järgi kujuneb lapsel hulgamõiste tavaliselt mõtlemise arengu II etapil, mida ta nimetab operatsioonieelseks perioodiks. Sellel perioodil hakkab laps mõistma, et ühes ja samas esemete grupis eksisteerivad kindlad püsivad
Kahe hulga A ja B ühendisse A ∪ B kuuluvad elemendid , mis ∀A ( ∅ ⊂ A ∧ A ⊂ A ) kuuluvad hulka A või hulka B : ASTMEHULK A ∪ B = { x | x∈A ∨ x∈B } Mingi hulga A astmehulgaks 2A ehk P (A) nimetatakse selle hulga kõikide osahulkade hulka. I näide: Olgu antud A = { a b } Sellise hulga A astmehulk on: A B 2A = P (A) = { { } { a } { b } { a b } } Hulga { 0 , 1 , 2 } astmehulk on: A∪B ühend {0 , 1 , 2}
annaabi.ee 
