"mitteetriviaalne" - 1 õppematerjal

Analüütilise geomeetria teoreemide tõestusi

joon ning L() on joone asümptootiline siht. Tõestus: Olgu teist järku joon : a11x12+2a12x1x2+a22x22+2a1x1+2a2x2+a0. 1) Olgu L() joone iseärane siht, sell juhul on L() ka iseenda kaassiht, sest iga siht pidi olema sihi L() kaassiht. Seega on L() asümptootiline siht. Teame, et asümptootilise sihi korral on =(s1,s2) nullvektoist erinev vehtor, mille koordinaadid on lineaarvõrrandisüsteemmi a22s1+a12s2=0 ja a12s1+a22s2=0 lahendiks. Sellel süsteemil on mitteetriviaalne lahend ((s1,s2)(0,0)) siis peab maatriksi teterminant olema võrne nulliga, seega =a11a22-a122=0 ja on paraboolne joon. 2) Olgu paraboolne joon ja L() joone asümptootiline siht. Näitame, et siht on iseärane. Seega on =(s1,s2) koordinaadid lineaarsüsteemi a22s1+a12s2=0 ja a12s1+a22s2=0 lahendiks. Olgu meil L(), kus =(t1,t2) joone suvaline siht. Korrutame lin.võr.süs. esimese võrrandi t1-ga ja teise t2-ga ning liidame kokku,