keskendudes hiljem algebrale. 1835 avas oma kooli. Kaks erinevat loogikaavaldist on võrdväärsed ehk loogiliselt võrdsed , kui Uudse lähenemisega loogikale korrastas selle kaasaegseks nad mõlemad omandavad muutujate (kõikvõimalike) samade loogikaalgebraks. väärtuskombinatsioonide korral sama loogikaväärtuse 0 või 1 . Loogikaalgebra ( { 0 , 1 } ; ¯¯ , , ) koosneb loogikaväärtuste hulgast a teiste sõnadega: loogikaavaldised / loogikafunktsioonid on teineteisega k { 0 , 1 } , millel on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe i
1.Kontrollida neeldumisseaduse x1 x1x2 = x1 x2 kehtimist võrduse mõlema poole avaldiste tõeväärtustabelite võrdlemise teel. x1 x2 x1x2 x1 x1x2 x1 x2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2.Lihtsustada avaldist loogikaalgebra põhiseoste abil: x1 x2 x1 x3 x2 = x1 x2 x2 x1 x3 = x2 x1 x3 (x2 x1 ) x2 x2 = (x2 x1 ) x2 x2 = x2 x2 x1 x2 x2 = x1 x2 x2 = x1 x2 x1 x2 (x3 x1 )= x1 x2 (x3 x1 )= x1 x2 x3 x1 x2 x1 = x1 x2 x3 x1 ( x1 x2 ) x2 = x1 (x1 x2 x1 x2 ) x2 = x1 (x1 x2 x1 x2 ) x2 = x1 x1 x2 x1 x1 x2 x2 = 0 x1 x2 x2 =x2 x1 x2 x1 x2 x2 = x2 x2 = 1 x2 (x1 x2 )( x2 x3 )= (x1 x2 x2 x2 )( x2 x3 )= (x1 x2 x2 )( x2 x3 )= x2 ( x2 x3 )= x2 x2 x2 x3 = 0 x2 x3 = x2 x3
Loogikaalgebra, Põhiseosed, loogikafunktsioonid Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on kõigest kaheelemendiline hulk {0,1}. Millest loogikaalgebra koosneb? Koosneb loogikaväärtustest 0 ja 1 ning võretehetest konjuktsioon ja disjunktsioon. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada väärtusi ainult hulgast {0,1} Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Nimetatakse konstant 1 ja konstant 0 Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon loogikaavaldis on loogikamuutuja xi, konstante 0 1 ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis tema
KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - loogikaalgebra file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... Diskreetne Matemaatika Oled sisenenud kui Oskar Liblik (Välju) Õpikeskkonna avalehele Minu kursused IAY0010 Teema 8 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - loogikaalgebra Katse 2 ülevaade Alustatud Wednesday, 9 November 2011, 09:52 AM Quiz navigation Lõpetatud Wednesday, 9 November 2011, 10:01 AM 1 2 3 4 5 6 Aega kulus 8 minutit 59 sekundit 7 8 9 10 11 12 Punktid 12,00/12,00
Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige ? Kui mingi avaldise duaalsele kujule leida omakorda edasi selle duaalne kuju, siis on tulemuseks esialgne avaldis. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 4 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehtega on samaväärne tehtemärgi puudumine operandide vahel ? Vali üks: ekvivalents disjunktsioon implikatsioon konjunktsioon inversioon Küsimus 5 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on loogikaalgebra põhiseosteks (ehk kehtivad nende muutujate x y z suvaliste väärtuste korral) Vali üks või enam: 1 2 3 4 5 6 7 8 Küsimus 6 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Sea võrdsed avaldised omavahel vastavaks (avaldised allpool) 5. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 2 3. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 1 7. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 7 1
Hasse diagramm – osalise js illustratiivne esitus. Kui a
1muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 2muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 3muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 4muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 5muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 6muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 7muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart 8muutuja funktsiooni Karnaugh' kaart Küsimus 21 Õige Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? Karnaugh' kaardi igale ruudule vastab üks konkreetne argumentvektor Vali üks: Tõene Väär LOOGIKAALGEBRA Küsimus 1 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige või vale: ? Pikk inversioon avaldise mingi osa kohal on samaväärne sulgude olemasoluga avaldise selle osa ümber Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige ? Kui mingi avaldise duaalsele kujule leida omakorda edasi selle duaalne kuju, siis on tulemuseks esialgne avaldis. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00
docstxt/14145073918795.txt
MKNK: (X1,X2,X3,X4)= A1 A4 Lihtimpl. Vahed X1 X2 X3 X4 Konjunktsioon A1 1.8 - 0 0 - X2 X3 A4 2.4 1 - - 0 X1 X 4 MKNK: (X1,X2,X3,X4)= A1 A4=( X 2 X 3 )( X 1 X 4 ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule MKNK: (X1,X2,X3,X4)= A1 A4=( X 2 X 3 )( X 1 X 4 ) X X X 2 X 4 X1 X 3 X 3 X 4 ( X 2 X 3 )( X 1 X 4 )= 1 2 Ei ole kokkulangev MDNK avaldisega. X1 X2 X3 X4 X1X 2 X 2 X 4 X1X 3 X 3 X 4 X 2 X 3 X 4 X1X 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
A7 0 1 1 0 ( x₂˅ x₃˅ x₄ f ( x ₁, x ₂, x ₃, x ₄)=¿ (x₁ ˅ x ₃ ˅ x₄) ) A10 0 1 0 0 (x₁ ˅ x₂ (x₂ ˅ x ₃ ˅ x ₄ ) ( x ₂˅ x ₃˅ x ₄ )(x₁ ) ˅ x₂ ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. f ( x ₁, x ₂, x ₃, x ₄)=¿ (x₁ ˅ x ₃ ˅ x₄)(x₂ ˅ x ₃ ˅ x ₄ )( x ₂ ˅ x ₃ ˅ x ₄ )(x₁ ˅ x ₂ )= = ( x ₁ x ₂ v x ₁ x ₃ v x ₁ x ₄ v x ₂ x ₃ v x ₃ x ₃ v x ₃ x ₄ v x ₂ x ₄ v x ₃ x ₄ v x ₄ x ₄)( x ₁ x ₂ v x ₁ x ₃ v x ₁ x ₄ v x ₂ x ₂ v x ₂ x ₃ v x ₂ x = 4
Relatsioonid Ekvivalentsisuhe. Tükeldus. Osalised järjestussuhted. Võred. t "Pidevaks matemaatikaks" võib tinglikult nimetada kõiki neid u matemaatikavaldkondi, kus tegeletakse pidevate funktsioonidega. u — Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) i t Loogikaalgebra põhiseosed. Loogikaavaldiste teisendamine. t Pidevateks funktsioonideks on sellised funktsioonid, mille graafik on s koordinaatteljestikus esitatav pideva (kõver)joonena. n — Loogikafunktsioonid I
docstxt/15111984904585.txt
Intervalli olulisteks järkudeks on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtus on kõikidel vektoritel kogu intervalli ulatuses konstantne. Intervalli kompaktseks esituseks sobib kasutada intervallli vektoresitust sümbolitest 0 1 - , kus olulised järgud on tähistatud 0 1 ja mitteolulised –. n-mõõtmeline Boole’i ruum on kõikvõimalike n-järguliste 2ndvektorite hulk { 0,1 }𝑛 võimsusega 2𝑛 : | { 0,1 }𝑛=2𝑛. Erinevate pikkustega 2ndvektorid ei saa olla võrreldavad. LOOGIKAALGEBRA Loogikaalgebra on Boole’i algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on kõigest kaheelemendiline hulk {0 1}. Loogikaalgebra ({0 1} ; - ; ∧ ; ∨) koosneb loogikaväärtuste hulgast {0 1 }, millel on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon ja binaarsed tehted konjunktsioon ja disjunktsioon. Muutuja 𝑥 või 𝑥𝑖 on loogikamuutuja kui ta saab omandada väärtusi ainult hulgast {0 1} 𝑥𝑖∈{𝑥1 𝑥2 ..𝑥𝑛}. Numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud
Võimsus: lõpliku hulga võimsus on elementide arv selles hulgas Arvusüsteemid Arvusüsteemi alus: järguväärtuste arv Järgu kaal: arvujärgu väärtus, saadakse alust arvujärgu indeksiga astendades Olulised järgud: intervalli olulised järgud on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtus on kõigil vektoritel kogu intervalli ulatuses konstantne Tüvenumbrid: numbrid kõrgeimast mittenullilisest numbrist madalaima mittenullilise numbrini Loogikaalgebra Loogikaalgebra: Boole'i algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on {0;1} Loogikamuutuja: muutuja, mis saab omandada ainult väärtusi 0 või 1 Loogikafunktsioonid Algterm: avaldise koosseisu kuuluv loogikamuutuja, selle inversioon või konstant 1 või konstant 0 Argumentvektor: loogikamuutujate komplekt, mis esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatavat väärtust 1 või 0. Muutujate väärtustamisel omandab ka loogikafunktsioon väärtuse
Tallinn 2015 Sisukord 1.Matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon.........................................3 2.Tõeväärtustabel................................................................................................... 3 3.Karnaugh’ kaardiga minimaalne DNK (MDNK) ja minimaalne KNK (MKNK)..........4 4.Täielik DNK (TDNK) 1-de piirkonnast....................................................................4 5.TDNK lihtsustamine loogikaalgebra põhiseoste abil............................................4 6.MDNK ja MKNK väärtused määramatuspiirkonnas...............................................5 7.MDNK minimaalseima keerukusega loogikaskeem (AND, OR, NOT)....................5 8.MKNK minimaalseima keerukusega loogikaskeem (AND, OR, NOT).....................7 9.MDNK loogikaskeem kahe sisendiga loogikaelementidel (OR-NOT).....................7 10.MKNK loogikaskeem kahe sisendiga loogikaelementidel (AND-NOT).................8 11
A7 X X X X f(x1x2 x3x4) = A1 v A2 v A7 MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 3 MDNK ja MKNK pole omavahel loogiliselt võrdsed, sest määramatuspiirkonna tõttu on nende tõeväärtustabelid erinevad (MDNK puhul on ka määramatuspiirkond arvestatud 1-de piirkonda). 4. Teisendada punktis 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule (ehk korrutada MKNK avaldises "sulud lahti" ja lihtsustada tekkiv DNK käsitsi). Võrrelda, kas saadud DNK ja MDNK langevad kokku. f(x1x2 x3x4) = (x1 V x3) ( xx2 V x4) (xx1 V x2 V xx3) = (x1xx2 V x1x4 V xx2 x3 V x3x4) (xx1 V x2 V xx3) = = xx1 xx2 x3 V xx1 x3x4 V x1x2x4 V x2x3x4 V x1xx2 xx3 V x1xx3 x4 Leitud DNK ei lange kokku MDNK-ga. Kontrollin, kas nad on omavahel loogiliselt võrdsed – arvutan mõlemale tõeväärtustabelid:
A1 x A2 x x A3 x x A4 x x A5 x A6 x MKNK: f(, , , ) = (v v )( v v )( v v ) 3.Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule 4. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga (loogiliselt) võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK, näidates (selgitades) mõlema jaoks ära ka nende leidmisviisi. Taandatud DNK leidmine MDNK: f(, , , ) = v v v Taandatud DNK on kõigi lihtimplikantide disjunktsioon. Kõik lihtimplikandid ehk maksimaalsed ühtede intervallid on märgitud Karnaugh' kaardil kontuuridena. x3x4 00 01 11 10 x1x2
järkudeks on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtus on kõikidel vektoritel kogu intervalli ulatuses konstantne. Intervalli kompaktseks esituseks sobib kasutada intervallli vektoresitust sümbolitest 0 1 - , kus olulised järgud on tähistatud 0 1 ja mitteolulised –. n-mõõtmeline Boole’i ruum on kõikvõimalike n-järguliste 2ndvektorite hulk { 0, 1 }𝑛 võimsusega 2𝑛 : | { 0, 1 }𝑛 = 2𝑛 . Erinevate pikkustega 2ndvektorid ei saa olla võrreldavad. OK LOOGIKAALGEBRA Loogikaalgebra on Boole’i algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on kõigest kaheelemendiline hulk {0 1}. Loogikaalgebra ({0 1} ; - ; ∧ ; ∨) koosneb loogikaväärtuste hulgast {0 1 }, millel on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon ja binaarsed tehted konjunktsioon ja disjunktsioon. Muutuja 𝑥 või 𝑥𝑖 on loogikamuutuja kui ta saab omandada väärtusi ainult hulgast {0 1} 𝑥𝑖 ∈ {𝑥1 𝑥2 . . 𝑥𝑛 }
9. Mis on n-mõõtmeline Boole’i ruum? Boole’i ruum on kõigi n-järguliste kahendvektorite hulk võimsusega (| | ). 10. Tuua näide võrreldavatest kahendvektoritest. 00010 < 00110 11. Tuua näide mittevõrreldavatest kahendvektoritest. Mittevõrreldavad vektorid on 10 ja 01. 12. Kas erinevate pikkustega kahendvektorid võivad olla võrreldavad? Omavahel saab võrrelda ainult võrdsete pikkustega vektoreid. Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised 1. Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole’i algebra erijuht, kus alushulgaks on kaheelemendiline hulk {0,1}. 2. Millest loogikaalgebra koosneb? Loogikaalgebra koosneb loogikaväärtuste hulgast {0,1}, millele on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon (¯) ja binaarsed tehted konjunktsioon (∧) ja disjunktsioon (∨). 3. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada üksnes väärtusi {0 1} 4
A5 x x Valin MKNK jaoks A1, A2, A4 ja A5. Impl Vahe A1 - 0 0 0 0 A2 2 1 1 - 0 A4 1,4 1 - 1 - A5 4,8 - - 1 1 Kirjutan välja MKNK: 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- kujule. V =V = V = V = V Seega saadud DNK on: V Karnaugh' kaardiga leitud MDNK: Võrdlen saadud DNK punktis 2 leitud DNK-ga. Tegemist ei ole kokkulangeva avaldisega. Arvutan mõlemale tõeväärtustabelid. x1 x2 x3 x4 f1 f2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
Vahed x1 x2 x3 x4 Disjunktsioon A1 2 0 1 - 0 x1 x4 A2 8 - 1 1 0 x4 A3 4 1 - 0 1 x3 A5 2,8 - 0 - 1 x2 f (x1,x2,x3,x4) = (x1 x4)( x4)( x3 )(x2 ) 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- kujule (ehk korrutada MKNK avaldises "sulud lahti" ja lihtsustada tekkiv DNK käsitsi). Võrrelda selle teisenduse tulemuseks olevat DNK-d punktis 2 leitud MDNK-ga -- kas MKNK-st teisendatud DNK on avaldisena) kokkulangev selle MDNK-avaldisega, mille andis punktis 2 kasutatud minimeerimismeetod? (Karnaugh' kaart või McCluskey' meetod) (x1 x4)( x4)( x3 )(x2 ) = = (x1 x4) x2 x2 x3 ) =
0 1 01 1 1 11 0 1 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 0 0 11 1 1 1 11 11 1 1 Seega saadud MDNK on loogiliselt võrdne saadud MKNK-ga. ÜLESANNE 4 MKNK TEISENDAMINE DNK-KUJULE Teisendada ülesandes 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. f MKNK =( x1 ∨ x 4 ) ( x´2 ∨ x 4 )=x 1 x´2 ∨ x 1 x 4 ∨ x 4 x´2 ∨ x 4 x 4 =¿ ¿ x1 x´ 2 ∨ x 4 ( x 1 ∨ x´2 ∨1 ) =x1 x´ 2 ∨ x 4 =f MDNK MKNK-st teisendatud DNK on avaldisena kokkulangev ülesandes 3 leitud MDNK-ga. ÜLESANNE 5 DISJUNKTIIVSED NORMAALKUJUD Leida vabalt valitud viisil ülesandes 3 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne taandatud DNK ja täielik DNK, selgitades mõlema jaoks ära ka nende leidmisviisi.
inverteerib selle avaldise väärtuse vastupidiseks. x x ¯ = 1 Kuna 1 1 = 0 , siis liites tehtega konstante 1 : 1 1 1 = 1 Loogikaalgebra põhiseoste hulgas leidus distributiivsusseadus, mille kohaselt konjunktsioon on distributiivne disjunktsiooni suhtes: 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1 1 = 1 x(y z) = xy xz
loogikafunktsiooni tõeväärtustabel.........................................................................8 3. Leida MDNK (minimaalne DNK) ja MKNK (minimaalne KNK), mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks......8 4. Kirjutada oma funktsiooni 1-de piirkonnast välja täielik DNK (TDNK) (ignoreerides määramatuspiirkonda)...................................................................10 5. Lihtsustada loogikaalgebra põhiseoste abil eelnevalt leitud täielikku DNK-d lihtsaima DNK-ni, milleks see TDNK lihtsustub.....................................................11 5.1 Võrrelda lihtsustamisel saadud DNK-d eelnevalt (punktis 3) leitud MDNK-ga: .......................................................................................................................... 11 5.1.1 — kas nad on võrdsed?.........................................................................11 5.1
3-4 -111 X 1-11 X 111- X Katteülesande lahendamine: i 0 2 5 6 1 15 1 A1 X X A2 X X A3 X A4 X X X X Siit saan välja kirjutada kaks minimaalset disjunktiivset normaalkuju: f 1 = A1 A3 A4 = x1 x 2 x1 x 4 x3 f 2 = A2 A3 A4 = x 2 x 4 x1 x 4 x 3 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. f ( x1 ; x 2 ; x3 ; x 4 ) = ( x 2 x3 x 4 ) ( x1 x3 ) = x1 x 2 x1 x3 x1 x 4 x 2 x3 x3 x3 x 4 = x1 x 2 x1 x 4 x3 Selle teisenduse tulemuseks olev DNK langeb kokku punktis 2 leitud MDNK-ga 4. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga (loogiliselt) võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK, näidates (selgitades) mõlema jaoks ära ka nende leidmisviisi. Taandatud DNK saab välja kirjutada punktis 2 koostatud McCluskey' minimeerimismeetodist
tulemuseks on konstant 1 Millal võib DNKs asendada kõik disjunktsioonitehted tehetega summa mooduliga 2? Kui disjunktsioonitehte operandidest on väärtusega 1 paaritu arv operande, siis võib sellises avaldises asendada kõik disjunktsioonitehted tehtega + Kuidas saab mittetäieliku DNK või KNK teisendada täielikuks? Saab teisendada täielikuks kasutades kleepimisseaduseid. Vt näiteid lk 186, kleepimisseadused leiab loogikaalgebra põhiseaduste teema alt. Kumb normaalkuju DNK või KNK on praktikas olulisem? DNK on olulisem. Millise põhiseose abil saab DNK teisendada KNK-ks? Sulgude lahtiliitmise abil. Karnaugh kaardid: Mis on Karnaugh´ kaart? Karnaugh kaart on funktsiooni tõeväärtustabeli sihipärane topoloogiline ümberpaigutus tasandil või ruumis. Tõeväärtustabeli igale reale vastab kaardil üks ruut. Millised on karnaugh kaardi põhiomadused? 2 põhiomadust:
konstant 1 universaalhulk ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) HULGAALGEBRA PÕHISEOSED distributiivsus: ( sulgude "lahtikorrutamine" ja "lahtiliitmine" ) loogikaalgebra põhiseosed muutuvad hulgaalgebra põhiseosteks, kui nendes teha eelnevalt näidatud asendused. A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Ka hulgaavaldiste korral kehtib duaalsusprintsiip. I I Ü
0101 1 1 1101 1 1 0110 0 0 1110 0 0 0111 0 0 1111 1 1 Seega saadud MDNK on loogiliselt võrdne saadud MKNK-ga. ÜLESANNE 4 MKNK TEISENDAMINE DNK-KUJULE Teisendada ülesandes 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. 7 𝒇(xMKNK (x1x2x3x4) = (x1 v x2 v x3)(x1 v x 2 v x 3)(x 1 v x2 v x 3)(x 3 v x4) = = x1 v x1 x 2 v x1 x 3 v x1 x2 v x2 x 3 v x1 x3 v x 2 x3 )( x 1 v x2 v x 3 )( x 3 v x4 ) = = (x1 x 1 v x1 x2 v x1 x 3 v x1 x 1 x 2 v x1 x 2 x 2 v x1 x 2 x 3 v x1 x 1 x 3 v x1 x2 x 3 v v x1 x 3 v x1 x 1 x2 v x1 x2 v x1 x2 x 3 v x 1 x2 x 3 v x2 x 3 v x1 x 1 x3 v x1 x2 x3 v
A7 x A8 x x x MDNK : f(x1, x2, x3, x4) = A2 A5 A8 x1 x2 x3 x4 A2 0 0 - 0 x1 x 2 x 4 A5 0 1 1 - x1 x 2 x 3 A8 - - 0 1 x3 x 4 MDNK : f(x1, x2, x3, x4) = x1 x 2 x 4 x1 x 2 x3 x3 x 4 Ülesanne 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule (x1 )( )( x3 x1 x2 x2 x3 x4 x2 x3 x4 = )( ) = x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x2 x 3 x4 x1 x 2 x3 x1 x 2 x 3 x1 x 3 x4 x1 x 2 x 3 x4 x 2 x 3 x4 x1 x 2 x 4 x1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 x1 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 = = x1 x2 x4 x3 x4 x1 x2 x3 = MDNK Ülesanne 4 1. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga võrdne Taandatud DNK Taandatud DNK on funktsiooni kõigi lihtimplikantide disjunktsioon
A5 X X X MKNK on seega: f(x1,x2,x3,x4) = A1 v A2 v A3 v A5 ( f(x ,x ,x ,x ) = x1 x 2 x 4 x1 x 2 2 1 2 3 4 )( x x 4 x1 x3 )( )( ) 3. Teisendan punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. ( )( )( f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x 2 x 4 x1 x 2 x 2 x 4 x1 x3 = )( ) = ( x1 x1 x1 x 2 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 4 x 2 x 4 )( x1 x 2 x 2 x3 x1 x 4 x3 x 4 ) = = ( x1 x 2 x1 x 2 x1 x 4 x 2 x 4 )( x1 x 2 x 2 x3 x1 x 4 x3 x 4 ) = = x1 x 2 x1 x 2 x3 x1 x 2 x 4 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x 4 x 2 x3 x 4 =
10 0 - 0 1 MKNK: f(x1x2x3x4) = (x2 v x3)( 2 v 3)( 1 v 4) Tähistan leitud MDNK ja MKNK: f D = (x2 4) v ( 1 2x3) v (x3 4) f K = (x2 v x3)( 2 v 3)( 1 v 4) 4. Kirjutada oma funktsiooni 1-de piirkonnast välja täielik DNK (TDNK) (ignoreerides määramatuspiirkonda). fTDNK ( 1 2x3 4) v( 1 2x3x4) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) 5. Lihtsustada loogikaalgebra põhiseoste abil eelnevalt leitud täielikku DNK-d lihtsaima DNK-ni, milleks see TDNK lihtsustub. Võrrelda lihtsustamisel saadud DNK-d eelnevalt (punktis 3) leitud MDNK-ga: — kas nad on võrdsed? — kui nad pole võrdsed, siis kumb nendest on väiksema keerukusega (ehk lihtsam) avaldis ja miks? fTDNK ( 1 2x3 4) v ( 1 2x3x4) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) = 1 2x3( 4 v x4) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) = ( 1 2x3) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4)
In keerukusega normaalkujul — Minimaalsel Disjunktiivsel NormaalKujul 11 (MDNK) või Minimaalsel Konjunktiivsel NormaalKujul (MKNK). 10 1 0 0 1 Loogikafunktsioone võib minimeerida nende avaldise teisendamisega loogikaalgebra põhiseoseid ja loogikatehete asendusseoseid kasutades. MDNK ja MKNK leidmised on teineteisest sõltumatud ja nad võib leida Loogikafunktsiooni minimeerimine Karnaugh' kaardi abil ükskõik kumbas järjekorras. Loogikafunktsiooni minimeerimine on Karnaugh' kaardi põhiline Leiame esimesena MDNK rakendusvaldkond
— Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused — Vastavused ja Relatsioonid MATEMAATILINE LOOGIKA — Graafid
McCluskey' meetodi järgi leitud MDNK on: MDNK: f = X1' X3' v X1' X4' v X2 X3' 4 4. Kirjutada oma funktsiooni 1-de piirkonnast välja täielik DNK (TDNK) (ignoreerides määramatuspiirkonda). TDNK: f (X1 X2 X3 X4) = X1' X2' X3' X4' v X1' X2' X3' X4 v X1' X2' X3 X4' v X1' X2 X3' X4 v X1 X2 X3' X4' v X1 X2 X3' X4 5. Lihtsustada loogikaalgebra põhiseoste abil eelnevalt leitud täielikku DNK-d lihtsaima DNK-ni, milleks see TDNK lihtsustub. Võrrelda lihtsustamisel saadud DNK-d eelnevalt (punktis 3) leitud MDNK-ga: -- kas nad on võrdsed? -- kui nad pole võrdsed, siis kumb nendest on väiksema keerukusega (ehk lihtsam) avaldis ja miks? f (X1 X2 X3 X4) = X1' X2' X3' X4' v X1' X2' X3' X4 v X1' X2' X3 X4' v X1' X2 X3' X4 v X1 X2 X3' X4' v X1 X2 X3' X4 = X1' X2' X4' (X3' v X3) v
järkudest, mille kaal võrdub vahega. Valitud Lihtimplikandid x x x x Alles jääb 10nd arv 1 2 3 4 A2 15 1 1 1 1 x1x2x3 A4 9 1 0 0 1 x1 x 2 x3 A5 4 0 1 0 0 x1 x2 x 4 A6 2 0 0 1 0 x1 x3 x 4 MDNK - f(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3Vx1 x 2 x3 V x1 x2 x 4 V x1 x3 x 4 ÜLESANNE 3 Teisendada ülesandes 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. Võrrelda saadud DNK-d ülesandes 2 leitud MDNK-ga 1 2 3 (x1V x 4 )&(x1Vx2Vx3)&( x 1 V x 2 Vx3)&( x 1 V x2V x 3 ) = x1 x 2 x3 Vx1x2x3V x1 x3 x 4 Vx2x3 x 4 V x1 x2 x 4 distributiivsus neeldumine 1. (x1V x 4 )&(x1Vx2Vx3) = x1Vx1x2Vx1 x3Vx1 x 4 Vx2 x 4 Vx3 x 4 = x1V x1 x 4 Vx1x3Vx2 x 4 Vx3 x 4 = x1Vx2 x 4 Vx3 x 4 vastuolu seadus 2
võrdsed. All tabelis on näidatud määramatuspiirkondade väärtused kummagi kuju suhtes: MDNK MKNK 3 F D(0101) = 1 f k(0101) = 0 F D(0110) = 1 f k(0110) = 1 F D(1101) = 1 f k(1101) = 0 F D(1110) = 0 f k(1110) = 0 4 4. Teisendada punktis 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule DNK = (x1 v x2 v x3 v x4) (x2 v x4) (x1 v x4) (x1 v x3) = (x1 x2 v x1 x4 v x2 x4 v x3 x2 v x3 x4 v x4 x2) (x1 x4) (x1 x3) = (x1 x2 x4 v x1 x4 v x2 x4 x1 v x2 x4 v x3 x2 x1 v x3 x2 x4 v x3 x4 x1 v x3 x4 v x4 x2 x1) (x1 v x3) = x1 x2 x4 x3 v x1 x4 x3 v x2 x4 x1 v x2 x4 x1 x3 v x2 x4 x3 v x3 x2 x1 v x3 x2 x4 x1 v x3 x4 x1 v x4 x2 x1 v x4 x2 x1 x3 = x1 x3 x4 v x1 x2 x4 v x2 x3 x4 v x1 x2 x3 v x1 x3 x4 v x1 x2 x4
6 0 1 1 0 0 0 ´x 1 v ´x 3 v ´x 4 ) 7 0 1 1 1 1 1 8 1 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 1 0 1 1 4 1 1 1 1 1 0 0 5 Vastus: MDNK ja MKNK on loogiliselt võrdsed, sest nende tõeväärtustabelid on võrdsed 4. Teisendada punktis 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- x x x x MDNK DNK 1 2 3 4 kujule 0 0 0 0 0 0 0 DNK: 1 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 0 0 f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) =¿ ( x1 v x4 )( ´x 1 v 3 0 0 1 1 1 1 4 0 1 0 0 0 0 ´x 3 v ´x 4 ) = ( x 1 ´x 1 v x 1 ´x 3 v x 1 ´x 4 v 5 0 1 0 1 1 1
A1 X X A2 X X X X A3 X X X X A4 X X X X Et minimaalselt katta kõik tabeli veerud, valime A1, A2 ja A3 ehk f(x1,x2,x3,x4) = x2 xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4 4. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule MKNK: f(x1, x2, x3, x4)=( xx 1 ∨ x2) &( xx 2 ∨ x3 ∨ xx 4 ) &( xx 1 ∨ xx 2 ∨ xx 3 ) DNK: f(x1, x2, x3, x4)= (xx 1 xx 2 ∨ xx 1 x3 ∨ xx 1 xx 4 ∨ x2 x3 ∨ x2 xx 4 ) &( xx 1 ∨ xx 2 ∨ xx 3 )= xx 1 xx 2 ∨ xx 1 x3 ∨ xx 1 xx 4 ∨ xx 1 x2 x3 ∨ xx 1 x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 2 x3 ∨ xx 1 xx 2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 3 ∨ xx 1 xx 3 xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 =
0 0 0 1 0 0 1 0 MDNK-ks saime sama tulemuse nagu enne TDNK teisendamisel Ü 0 1 0 1 — kas Karnaugh' kaardilt väljakirjutatud DNK-avaldist võib olla võimalik T 0 1 1 1 lihtsustada käsitsi edasi veelgi lihtsamaks (loogikaalgebra põhiseoste abil )? T 1 0 0 0 1 0 1 1 — milline oleks olnud kaardilt loetav DNK-avaldis, kui oleksime mingi 1 1 0 1 kontuuri valinud väiksema ? 1 1 1 1
Nende baasil koostatakse juhtimisskeemi loogikaosa, kus sõltuvalt signaalidest elementide sisendeil tekivad nende ja samuti skeemi väljunditel signaalid ,,1" või ,,0". Need signaalid võimendatakse ning nad juhivad täiturelemente (kontaktorid, kontaktivabad türistorkommutaatorid, elektromagnetid jne). Juhtimissignaalide kogumit, mis on vajalik kontaktivabadest loogikaelementidest, käsklus- ja täituraparaatidest koosneva skeemi toimimiseks, saab kirjeldada loogikaalgebra valemitega. Need valemid kirjeldavad kõiki süsteemi elementide vahelisi seoseid ja sõltuvusi sõltumatute muutujate ja nende funktsioonide näol, millistel võivad olla väärtused ,,1" või ,,0". Loogikaelemendid kui elementaarseid loogikafunktsioone realiseerivad seadmed võivad samuti olla tähistatult loogikaalgebra sümbolitega. Kontaktivabad juhtimisskeemid võivad olla koostatud elementaarseid loogika- funktsioone realiseerivate kontaktivabade loogikaelementide baasil, kuid võib ka
LOOGIKA Klassikaline loogika on KAHEVALENTNE(bivalent): igal lausel saab olla üks kahest tõeväärtusest, mille nimetusteks saab olla tõene või väär. Funktsioonid, mis on defineeritud ühe hulga põhjal, st funktsioonid, mis kujutavad suvalise hulga A otseastme sellesama hulga elemendiks. Selliseid funktsioone nimetatakse algebralisteks teheteks või ka lihtsalt teheteks(operation). Tehte tulemid kuuluvad võimalike argumentide hulka A. Tehte argumente nimetatakse operandideks. LOOGIKAALGEBRA TEHE on tõeväärtuste hulgal(tõene, väär) defineeritud tehe. Neid arve, millega tehet sooritatakse nimetatakse OPERANTIDEKS. Kui tehtes on kaks operanti, siis on tegemist BINAARSE tehtega. Kui tehtel on üks operant, nt ruutu tõstmise tehe, siis on see UNAARNE tehe. Lauseloogikas on kasutusel KAKS ALGEBRAT, mis kuuluvad BOOLE’I algebra klassi: tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole’i algebra
F ( 1001 )=0∧0 V 1∧1V 0∧1V 0∧1=1 F ( 1010 )=0∧1 V 1∧0 V 0∧0 V 0∧1=0 F ( 1011 ) =0∧1 V 1∧1V 0∧1V 0∧1=1 F ( 1100 )=1∧0 V 0∧0V 0∧0 V 0∧0=0 F ( 1101 ) =1∧0 V 0∧1 V 0∧1 V 0∧0=0 F ( 1110 )=1∧1 V 0∧0V 0∧0 V 0∧0=1 F ( 1111 )=1∧1V 0∧1V 0∧1V 0∧0=1 MDNK on loogiliselt võrdne MKNK-ga, sest tõeväärtustabelis on samad väärtused. ÜLESANNE 4 Teisendada MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK kujule F ( X 1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 )=( X 3 V X 4 V X´ 2) ∧( X´ 1 V X´ 2 V X 3 )∧( X´ 1 V X 2 V X 4 ) =¿ ¿> ( X 3 X´ 1 V X 3 X´ 2 V X 3 V X 4 X´ 1 V X 4 X´ 2 V X 4 X 3 V X´ 2 X´ 1 V X´ 2 V X´ 2 X 3 ) ∧( X´ 1 V X 2 V X 4 )=¿ ¿> ( X 3 V X 4 X´ 1 V X´ 2 ) ∧( X´ 1 V X 2 V X 4 ) =¿ ¿> X 3 X´ 1 V X 3 X 2 V X 3 X 4 V X 4 X´ 1 V X 4 X´ 1 X 2 V X´ 2 X´ 1 V X´ 2 X 4=¿
P 1 P 2 - P 1 · P2 = P 1 . · Boole'i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja · ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja · on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad elemendid 0 ja 1, nii et x · x = 0 ning x + x = 1. Näited. {2A ,,, } - Cantori algebra. { (0,1) n ,&,V, } - loogikaalgebra. · Kaks algebrat on isomorfsed ( A1 = < M1 ,S1 > A2 = < M2 ,S2 > ), kui eksisteerib üksühene vastavus nii, et : (M1 S1 ) ( M2 S2 ), kus fi (mj1 ,....,mjk-1)=mjk (fi )((mj1 ),....,((mjk-1 )) = (mjk), mjl M1 , (mjl) M2 , fi S1 , (fi ) S2 . Cantori algebra ja loogikaalgebra on isomorfsed. Ülesanded. · A={0,1,...,p-1}. Operatsioonid : +(mod p) ja x(mod p) (s.o. liitmine ja korrutamine mooduliga p). Kas selliselt kirjeldatud algabra on rühm? · A={1,2,3,4}
7 Boole’i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad elemendid 0 ja 1, nii et x x = 0 ning x + x = 1. Näited. {2A ,,, } - Cantori algebra. { (0,1) n ,&,V, } - loogikaalgebra. Kaks algebrat on isomorfsed ( A1 = < M1 ,S1 > A2 = < M2 ,S2 > ), kui eksisteerib üksühene vastavus nii, et : (M1 S1 ) ( M2 S2 ), kus fi (mj1 ,....,mjk-1)=mjk (fi )((mj1 ),....,((mjk-1 )) = (mjk), mjl M1 , (mjl) M2 , fi S1 , (fi ) S2 . Cantori algebra ja loogikaalgebra on isomorfsed. Ülesanded. A={0,1,...,p-1}. Operatsioonid : +(mod p) ja x(mod p) (s.o. liitmine ja korrutamine mooduliga p)
Kui liitmise tulemus on negatiivne tuleb see lõpliku vastuse saamiseks viia täiendkoodist otse koodi. Selleks tuleb inverteerida kõik arvu järgud väljaarvatud märgi järk ja noorimale järgule liita 1. Kodus_: N1=10111 N2=00001 Liita N1 ja N2 pöörd ja täiend koodis. Digitaaltehnika konspekt 9 2. Loogikafunktsioonid 2.1. Loogikafunktsioon ja loogika seade Loogikaalgebra ehk Boole'i algebra on matemaatilise loogika üks osa ja seda nimetatakse ka lause arvutuseks. Kui lause on tõene, siis tähistatakse seda numbriga üks ja kui lause on väär siis tähistatakse seda numbriga null. Muutujat mille väärtus võib olla kas null või üks nimetatakse kahendmuutujaks. Nulli nimetataks loogiliseks nulliks ja ühte loogiliseks üheks. Sõltumatuid muutujaid (sisendeid) nimetatakse argumentideks. Neist sõltuvaid muutujaid (väljundeid) nimetatakse funktsioonideks
Kui liitmise tulemus on negatiivne tuleb see lõpliku vastuse saamiseks viia täiendkoodist otse koodi. Selleks tuleb inverteerida kõik arvu järgud väljaarvatud märgi järk ja noorimale järgule liita 1. Kodus_: N1=10111 N2=00001 Liita N1 ja N2 pöörd ja täiend koodis. Digitaaltehnika konspekt 9 2. Loogikafunktsioonid 2.1. Loogikafunktsioon ja loogika seade Loogikaalgebra ehk Boole’i algebra on matemaatilise loogika üks osa ja seda nimetatakse ka lause arvutuseks. Kui lause on tõene, siis tähistatakse seda numbriga üks ja kui lause on väär siis tähistatakse seda numbriga null. Muutujat mille väärtus võib olla kas null või üks nimetatakse kahendmuutujaks. Nulli nimetataks loogiliseks nulliks ja ühte loogiliseks üheks. Sõltumatuid muutujaid (sisendeid) nimetatakse argumentideks. Neist sõltuvaid muutujaid (väljundeid) nimetatakse funktsioonideks
Loogikaseadusteks nimetatakse tavaliselt binaarloogika algebra ehk Boole' i algebra seadusi. (George Boole [2.11.1815-8.12.1864], inglise matemaatik ja loogik oli üks matemaatilise loogika rajajaid.) Algebraks nimetatakse üldjuhul elementide hulka, millega tehakse tehteid, kusjuures nende tehete aluseks on kindlad reeglid ehk aksioomid. Aksioomid määravad ära algebra põhitehete omadused ja seosed. Kuna nüüdismatemaatikas on palju algebra like (universaalalgebra, hulgaalgebra, loogikaalgebra), siis kehtivad neis ka erinevad tehted ja aksioomid. Boole'i algebra elementideks on binaarloogika signaalid (argumendid) kahe tõeväärtustega: väär ehk 0 (false) ja tõene ehk 1 (true). Võib lisada et polüvalentse (mitmevalentse) loogika puhul on tegemist enam kui kahe erineva tõeväärtusega. Hägusloogika (fuzzy logic) puhul antakse tõeväärtustele tõenäosuslikud hinnangud. Nüüdisaegne digitaal- ja arvutustehnika põhineb binaarloogikal. Käesolevas
laiendatud versiooni kujul gcd(x,p). *Jagamistehte olemasolu võimaldab meil teatud juhtudel lahendada modulaararitmeetilisi lineaarseid võrrandeid ning isegi modulaararitmeetilisi võrrandsüsteeme. *Alternatiivselt on moodularitmeetilisi võrrandeid võimalik lahendada mooduli kordsete liitmismeetodiga ning võrrandsüsteeme hiina jäägiteoreemi abil. *Lisaks 12-tunnisele kellale on headeks moodularitmeetika näideteks veel nö. ,,nädalapäevade aritmeetika" (mod 7) ning Boole'i loogikaalgebra (mod 2). [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. *Fermat test: Fermat' teoreemist tulenevalt on teada, et kui p on algarv ja 1 < a < p, siis ap - 1 1 (mod p) ehk ap a (mod p). *Seega, et Fermat' testi abil kontrollida, kas naturaalarv n on kordarv või algarv: a).Kirjutan teatud hulga juhuslikult valitud aluste a = 2, 3 ,... n 1 baasil välja kongruentsi an- 1 1 (mod n). Kui antud kongruents osutub paari suvalise aluse korral kehtivaks, on
tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole'i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe tõeväärtusega Boole'i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Tõeväärtuste Boole'i algebras (loogikaalgebras) on kandvaks hulgaks tõeväärtuste hulk {tõene, väär} ehk {1,0}, lausearvutuse algebras on kandvaks hulgaks lausete hulk. Loogikaalgebras on tehete operandideks tõeväärtused ja tehete tulemiteks on samuti mingid tõeväärtused, teisiti öeldes: loogikaalgebra tehted on defineeritud tõeväärtuste hulgal. D7.2.1. Loogikaalgebra tehe on tõeväärtuste hulgal {tõene, väär} defineeritud tehe. 3 Selliseid funktsioone (algebralisi tehteid), mille kandvaks hulgaks on tõeväärtuste hulk {1,0}, nimetatakse tõeväärtusfunktsioonideks (truth function). Loogikaalgebra tehted on tõeväärtusfunktsioonid. Lausearvutuse Boole'i algebra kandvat hulka võiks nimetada formaalsete lausete
tõeväärtuste algebra ja lausearvutuse algebra. Boole'i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe tõeväärtusega Boole'i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Tõeväärtuste Boole'i algebras (loogikaalgebras) on kandvaks hulgaks tõeväärtuste hulk {tõene, väär} ehk {1,0}, lausearvutuse algebras on kandvaks hulgaks lausete hulk. Loogikaalgebras on tehete operandideks tõeväärtused ja tehete tulemiteks on samuti mingid tõeväärtused, teisiti öeldes: loogikaalgebra tehted on defineeritud tõeväärtuste hulgal. D7.2.1. Loogikaalgebra tehe on tõeväärtuste hulgal {tõene, väär} defineeritud tehe. 3 Selliseid funktsioone (algebralisi tehteid), mille kandvaks hulgaks on tõeväärtuste hulk {1,0}, nimetatakse tõeväärtusfunktsioonideks (truth function). Loogikaalgebra tehted on tõeväärtusfunktsioonid.
annaabi.ee 
