serva, siis see graaf on sidus Graafe G=(V,E) ja G1=(V1, E1) nimetatakse isomorfseteks, kui leidub bijektsioon f: V->V1 nii, et graafis G on serv tippude u ja v vahel parajasti siis, kui graafis G1 on serv tippude f(u) ja f(v) vahel o Näitamaks, et kaks graafi ei ole isomorfsed: näitame, et kas tippude arv, servade arv, tipuastmete järjend, lühima tsükli pikkus või erinevate lihtahelate arv kahe tipu vahel on erinevad o Neid suurusi nimetatakse invariantideks Tsüklit, mis sisaldab kõiki graafi tippe ja läbib graafi kõik servad täpselt üks kord, nimetatakse Euleri tsükliks Graafi, kus leidub Euleri tsükkel, nimetatakse Euleri graafiks (nt ümbriku joonistamine ühe joonega) Euleri tsükli leidumise kriteerium: graafis leidub Euleri tsükkel parajasti siis, kui graaf on sidus ja tema iga tipu aste on paarisarv
Väga tuntud homöomorfism on ka nö. trefoil'i sõlm, mis on iseenesest samuti homöomorfne sõõrikuga. Kuratowski' teoreem: Graaf on tasandiline parajasti siis ja ainult siis, kui ta ei sisalda alamgraafi, mis oleks homömorfne kas graafiga K5 või K3,3. Teisisõnu, graaf G ei ole tasandiline parajasti siis, kui temas sisaldub K5 või K3,3 järgmiselt: 1). Graafi G tipud on K5 või K3,3 tippudeks. 2). Graafi G lihtahelad, mis ei lõiku (v.a. otstippudes) lihtahelate koosseisus sisalduvad tipud on sel juhul tekitatud serva poolitamise operatsiooniga(ning seega graafid on homoömorfsed) on K5 või K3,3 servadeks. K.Wagneri teoreem: Graaf on tasandiline parajasti siis, kui ta ei sisalda alamgraafi, mis servi kokku tõmmates on muudetav graafiks K5 või K3,3. Serva kokkutõmbamise operatsioon kahte servaga intsidentset tippu lähendatakse teineteisele lõpmatult (paratamatult lähenevad teineteisele ka muud tipuga ühendatud servad).
• Igal sammul lisame ühe tipu ja ühendame ta mingi olemasoleva tipuga. 45. Tarvilikud ja piisavad tingimused, et graaf oleks puu. [2] o Teoreem 3. Kui G on graaf, siis on järgmised väited samaväärsed. 1. G on puu 38 2. G on sidus, kuid ükskõik millise serva kustutamisel muutub mittesidusaks 3. G ei sisalda tsükleid, kuid ükskõik millise serva lisamisel tekib tsükkel 46. Puu tingimus lihtahelate kaudu. [2] o Teoreem. Graaf G on puu parajasti siis, kui tema iga kahte erinevat tippu ühendab täpselt üks lihtahel. o Tõestus. Tarvilikkus. Olgu G puu. Et puu on sidus, siis G iga kahte tippu u ja v ühendab vähemalt üks lihtahel. Kahte lihtahelat u ja v vahel olla ei saa, sest siis saaksime nende abil konstrueerida tsükli. Piisavus. Ühendagu graafi G iga kahte erinevat tippu täpselt üks lihtahel. G on sidus, sest
annaabi.ee 
