"lahendaatakse" - 1 õppematerjal

Diferentsiaalvõrrandite 1 Kollokviumi spikker

leidub võrrandil y'+p(x)yq(x) parajasti üks lahend y=y(x), mis rahuldab tingimust y(Xo)=Yo *Tõestus: kasutame Cauchy teoreemi (f-pidev, f/y-pidev, (Xo,Yo)D)* y'=q(x)-p(x)y *kas f(x) on pidev?* 1) f(x)= q(x)- p(x)y lausest järeldub, et need on pidevad suurused!*2) x/y=/y[q(x)-p(x)y]=0-p(x)=-p(x) see on pidev!*3) (Xo,Yo)D={(x,y):a on võrrandil alati üks lahend. m.o.t.t. Lahenduskäik: 1)Lahendaatakse vastav lin. Hom. DV: y ´+p(x)y=0, kus y´=dy/dx. *dy+p(x)ydx=0 * y((1/y)dy + p(x)dx)=0* a)y=0 <- sobib lahendiks b) (1/y)dy + p(x)dx)=0 -> (1/y)dy + p(x)dx)=0 * ln|y|=C-p(x)dx* e ln|y|=eC-p(x)dx * y=eCe-p(x)dx=C1e-p(x)dx, kus C1=eC0 yh=Ce-p(x)dx 2)Leitakse ühe lin mitte hom. DV konkreetne lahend y*=C(x) e-p(x)dx, kus C(x) on tundmatu suurus, sõltub x-st. Lagrange´i meetod:y* on konkreetne lahend y'+p(x)y=q(x) võrrandile. * y*'+p(x)y*=q(x). * C´(x) e- p(x)dx