KOLMNURGA KONSTRUEERIMINE Matemaatika I Kaija Kibal Kolmnurga joonestamine kolme külje järgi (Kolmnurga joonestamiseks läheb vaja mõõtejoonlauda ja sirklit) On antud kolmnurga kolm külge: KL = 35 mm; ML = 40 mm; KM = 50 mm 1. Joonesta kolmnurga üks külg KM = 50 mm K M 2. Võta mõõtejoonlaualt sirkli haarade vahele kolmnurga kolmas külg KL = 35 mm 3. Pane sirkli teravik külje KM otspunkti K ning joonesta ringjoone kaar.
1. Peegeldus punktist ehk tsentraalsümmeetria 21.Võrdkülgne kolmnurk 2. Sümmeetrilised kujundid 22.Võrdhaarse kolmnurga omadused 3. Lõigu keskristsirge joonestamine 23.Võrdhaarse kolmnurga omadused 4. Nurga poolitamine 24.Kolmnurga alus ja kõrgus 5. Kolmnurk 25.Kolmnurga alus ja kõrgus 6. Kolmnurga külje vastasnurk ja lähisnurk 26.Täisnurkse kolmnurga pindala 7. Nurga vastaskülg ja lähisküljed 27.Kolmnurga pindala 8. Kolmnurga nurkade summa 28.Positiivsed arvud- definitsioon 9. Võrdsed kolmnurgad 29.Negatiivsed arvud- definitsioon 10.Võrdsed kolmnurgad 30.Arvtelg 11
Valemileht 1. Heroni valem: b c S= p(p-a)(p-b)(p-c) a+b+c p= 2 a 2. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. ab sin ac sin bc sin S= 2 = 2 = 2 3. Siinusteoreem: a b c sin = sin = sin 4. Koosinusteoreem: Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2 = b2 + c2 2bc cos
3. Kolmnurga küljed avalduvad muutuja y kaudu järgmiselt: 2y 1, y + 2 ja 3y 4. Avalda kolmnurga ümbermõõt ja arvuta see, kui y = 12 cm. Lahendus: Kolmnurga ümbermõõt on 2y 1 + y + 2 + 3y 4 = 6y 3. Kui y = 12 cm, siis ümbermõõt on 6 * 12 3 = 72 3 = 69 cm. Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on 6y 3 ehk 69 cm. 4. Rööpküliku lähisküljed on 4y + 6 ja 2y 4. Esimese ja teise külje vahe on 26 cm. Leia arv y ja rööpküliku ümbermõõt. Lahendus: Esimese ja teise külje vahe on 26 cm ehk 4y + 6 (2y 4) = 26, milles y väärtuseks saame 4y + 6 2y + 4 = 26; 2y = 16; y = 8. Rööpküliku ühe külje pikkus on 4 * 8 + 6 = 32 + 6 = 38 (cm) ja teise külje pikkus 2 * 8 4 = 16 4 = 12 (cm). Rööpküliku ümbermõõt on 2(38 + 12) = 2 * 50 = 100 (cm). Kontroll:
Soengurull kinnitatakse rullinõelaga. Teine rull keeratakse ülesse suunatud kohevusega. Paremale küljele soengurulle keerates seistakse selja taga. Analoogiliselt keeratakse soengurullid kuni ülemise kuklaosa A-teljeni. Pea kumeruse tõttu eraldatakse kukla piirkonnas salgud trapetsikujuliselt, kus kaela poole on salgu paksuseks rulli läbimõõt pealae suunas väiksem. Keeratakse soengurull. Analoogiliselt keeratakse kuni A-teljeni. Sõltuvalt pea suurusest saab külje peale keerata soengurulle kahte moodi. Lühemate juuste korral keeratakse kõrva ees olevale osale soengurull(id) horisontaalselt. Rullid keeratakse suunaga ülevalt alla. Kõrva tagant keeratakse soengurullid vertikaalselt. Pikemate juuste korral keeratakse soengurullid vertikaalselt. Soengurullid keeratakse analoogiliselt eelmise rea rullide keeramisega. Külje peale keeratud soengurullid Analoogiliselt keeratakse vasaku külje ja kukla juuksed.
Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega: ,-kui on acsin(),-bcsin() Kolmnurga pindalad: S=1/2 ¤ A ¤ H
4) Tule- ja niiskuskindlamad kipskartongplaadid (GKFI), 5) Erikõvad (KEK), 6) Põrandakipsplaadid, 7) Tuuletõkke kipskartongplaadid (KTS), 8) Remondi kipskartongplaadid (KS). NIMETUS SELGITUS MÕÕDUD TÄHISTUS KASUTUSVALDKOND Tuletõkke Kartongkattega Laius: Tagumise Sisetöödel normeeritud kipskartongplaadid kipskartongplaadid, 1200 mm külje tulepüsivusajaga mille kipsist sisu on Pikkus: markeering aluskonstruktsioonile seinte, tugevdatud ja 2600 mm punane lagede ja muudetud tule 3000 mm kandekonstruktsioonide mõjule Paksus: vooderkatted ning vastupidavaks 3 12,5/15/18 karkassvaheseinad
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7
sin sin sin Koosinusteoreem. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos Kolmnurga ... · kõrgused lõikuvad ühes punktis. · nurgapoolitajad lõikuvad ühes punktis, mis on siseringjoone keskpunktiks. · külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on ümberringjoone keskpunkt. · mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 1:2, kusjuures üks kolmandik jääb külje poole ja kaks kolmandikke tipu poole. b c · nurgapoolitaja jaotab vastaskülje võrdeliselt lähiskülgedega = b c Kolmnurgas on võrdsete külgede vastas võrdsed nurgad ja võrdsete nurkade vasta võrdsed küljed. Kolmnurgas on pikema külje vastas suurem nurk ja suurema nurga vastas pikem külg. Pindala: ah S= 2
Valem sõnades: täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga. koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht täisnurksete kolmnurkade jaoks. Siinusteoreem on seos kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Selle järgi on kolmnurga suurima külje vastas ka suurim nurk. Täpsemalt öeldes on kolmnurga kõigi külgede suhe vastasnurga siinusesse konstantne ning
nürinurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk radiaani ( rad). Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega , ja . Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega ning teravnurki tähtedega ja . 5 1.2. Kolmnurga küljed Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki. Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c. 6 2. Täisnurkne kolmnurk Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = /2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on 2kaatetid ja üle jääv külg on 3hüpotenuus.
Eelteadmised See on keemilise loki rullikeeramisskeem erineva pikkusega juuste jaoks. Seda skeemi kasutatakse kõige enam juuksuritöös. Juuste jaotamine osadeks. Tehke kaks paralleelset sik-sakilist jaotusjoont pealaelt juuksekasvupiirilt läbi pöörise kuni juuksekasvupiirini kaelal. Jaotusjoonte vahe on keemilise loki rulli pikkune. Pealae osa eraldatakse pöörise juurest ja kukla osa jaotatakse pooleks kuklaluu juurest ülemiseks ja alumiseks kukla osaks. Külje ja kukla juuksed jaotatakse pooleks kõrva kõrgemast tipust otse üles. Kõrvataguse osa juuksed jaotatakse pooleks ülemiseks ja alumiseks kukla osaks. Analoogiliselt jaotatakse juuksed osadeks pea teisel poolel. Keemilise loki rulle hakatakse keerama pealaelt. Juuksekasvupiiri äärest eraldatakse keemilise lokirulli läbimõõdu paksuselt sik- sakilise joonega juuksesalk. Juuksesalk kammitakse läbi ja pingutatakse risti peanahaga. Juukseotste kaitsepaberasetatakse juuksesalgu otsa.
BC = 16 cm ning DE = CE (vt joonist). Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 12. (1999) Antud on kolmnurgad ABC ja ADF (vt joonist). a) Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. b) Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. 13. (1999) Ristküliku KLMN küljed KL = 18 cm ja ML = 12 cm ning punkt P poolitab külje MN (vt joonist). Arvuta nelinurga KLPN ümbermõõt ja pindala. 14. (1999) On antud täisnurksed kolmnurgad KLM ja KPN (vt joonist). 1) Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. 2) Arvuta lõigu PN pikkus, kui KL = 20 cm, ML = 12 cm ja KN = 16 cm. 15. (2000) Ristküliku lühem külg on 12 cm ning nurk selle külje ja diagonaali vahel on 600. Tee joonis ja arvuta: 1) nurk pikema külje ja diagonaali vahel;
Kas prisma on korrapärane või mitte sõltub tema põhjast. Kõik kaldprismad on mittekorrapärased prismad. Sk= PH V= SpH Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+2Sp Püramiid: Kaldpüramiid ja püstpüramiid 1 tahk on hulknurk ja ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad Kõrgus on tipu kaugust põhjast, alati põhjaga risti. Tipp on külgservade ühine punkt Korrapärased ja mittekorrapärased püramiidid m = külje kõrgus ehk apoteem Sk=Pm/2 Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+Sp V=SpH/3 Pöördkehad Pöördkehad on ruumilised kujundid, mis tekivad mingi tasandilise kujundi pöörlemisel ümber ühe külje. Silinder tekib ristküliku pöörlemisel Külgtahk on ristkülik. Silindritelg ristküliku külg, mille ümber ta pöörleb Selleks, et silindril kõik ära arvutada on vaja tema raadiust ja kõrgust Moodustaja = m telje vastas asetsev ristküliku külg
nurkade järgi:tervanurkseteks,nürinurkseteks, täisnurkseteks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse tipuks vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku või selle pikkust.Kolmnurga külge, millele on tõmmatud kõrgus, nimetatakse kolmnurga aluseks. Kolmnurga mediaaniks nim. Kolnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga külje keskristsirgeks nim. Sirget, mis läbib külje keskpunkti ja on selle küljega risti. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. Kolmnurga iga nurga poolitaja jaotab nurga vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja samas punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. Kolmnurga kesklõiguks nim. lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte.
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7
Hulknurk on piiratud murdjoonega. Murdjoone lülid on hulknurga küljed, murdjoone tipud on hulknurga tipud.Hulknurga tipud on tema külgede otspunktid. Ühest Tipust Väljuvad hulknurgaküljed on lähisküljed.Hulknurga kaht nurka, mille tipud asetsevad ühe ja sama külje otspunktides, nimetatakse lähisnurkadeks. Hulknurga ümbermõõt on tema külgede pikkuste summa. Hulknurga diagonaal on lõik, mis ühendab kaht samale küljele mittekuuluvat tippu. Kumer hulknurk on hulknurk, mille ühegi külje pikendus ei lõika hulknurka piiravat murdjoont.
KOONUS SELETUSED, VALEMID SKEEM r - koonuse põhja raadius; h - koonuse kõrgus; V - koonudse ruumala - põhja pindala - koonuse külje pindala S - koonuse pindala Tabel 1. Koonuse valemid ja koonuse skeem. KOONUS SELETUSED, VALEMID PILT r - koonuse põhja raadius; h - koonuse kõrgus; V - koonudse ruumala - põhja pindala - koonuse külje pindala S - koonuse pindala Tabel 2. Koonuse valemid ja koonuse pilt RINGJOON SELETUSED, VALEMID SKEEM r - ringjoone raadius d - ringjoone diameeter ehk läbimõõt P - ringjoone perimeeter ehk õmbermõõt S - ringjoone pindala Tabel 3. Ringjoone valemid ja ringjoone skeem. Mul millegi pärast ei lubanud diameetri textboxi keerata
Kui üks arv on 42 ja kahe arvu summa on 70, siis teine arv on 70 42 = 28. Ühe arvu kahekordne st 2 * 42 = 84 peab võrduma teise arvu kolmekordsega ehk teise arvu kolmekordne on 3 * 28 = 84. Vastab ülesande tingimustele. Vastus: Arvud on 42 ja 28. 4. Viisnurgal on kahesuguse pikkusega külgi, mis erinevad 4 cm võrra. Viisnurga ümbermõõt on 118 cm2. Leia viisnurga külgede pikkused, kui lühemaid külgi on 3. Lahendus: Olgu viisnurga lühema külje pikkus x cm ja pikema külje pikkus x + 4 cm. Viisnurga ümbermõõt on 118 cm2, kusjuures lühemaid külgi on 3. Saame võrrandi: 3x + 2(x + 4) = 118. 3x + 2x + 8 = 118; 5x = 110; x = 22. Kontroll: Viisnurga lühema külje pikkus on 22 cm ja pikema külje pikkus 22 + 4 = 26 cm. Viisnurgal on 3 lühemat külge ning ümbermõõt on seega 3 * 22 + 2 * 26 = 66 + 52 = 118 cm. Vastab ülesande tingimustele.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poolkorrutisega või hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse poolkorrutisega MIS TAHES KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Kolmnurga sisenurkade summa on . Kolmnurga külgede pikkused on võrdelised vastavate vastasnurkade siinustega. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. Mis tahes kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poolkorrutisega
Alumise tapi tegime jooniste järgi Ülemise tapi mõõtmed võtsime sirkliga 2 3 4 TÕMBI PAIGALDAMINE Tõmbi aukude puurimine pika puuriga TAPPIDE NUMMERDAMINE Nummerdasime tapid klammerdajaga (esimene rooma number tähistab külge, teine mis küljega tapi moodustab ning kolmas number mitmes tapp alt lugedes see on) SERVADE FREESIMINE Prussi välimise külje nurkade freesimine 5 mm POSTI FREESIMINE Esmalt freesisime posti servad Seejärel rakke külje sisse tapi SALAPULKADE PAIGALDUS Esmalt puurisime 16mm puuriga augu ning siis lõime salapulga sisse ( ei 1 löönud põhja välja ja ka ülevalt jätsime 4mm kuivamis ruumi) 2 3 4 POSTI KINDLUSTAMINE Kindlustasime postide vertikaalsuse
3 Kokkuvõte 4 Kasutatud materjal 5 3 Monitorid Monitoridel on 4 liiki Kineskoopmonitor- See monitor on algne monitor mis on suure kujuga ja see monitor on väidetavasti eluohtlik. Selle monitori sees on väga palju volte ja kui oma käsi taha kasti juude panna ja sealt on midagi kahjustatud võib saada surmava elektrilöögi. Kineskoopmonitoril külje pealt on raske ekraani näha ja kineskoopmonitor on eest suurem ja tagant läheb madalamaks kui eestpoolt. LCD monitor- LCD monitor on õhuke ja kerge arvuti mis näitab pilti läbi kristallse vaate. LCD ekraane on väga palju sülearvutitel ja ka on lauaarvutite monitoridel mis on LCD monitorid. LCD monitorid näitavad paremini värve ja kui vaadata külje pealt või kaugemalt näeb pilti täiega selgesti võrreldes kineskoopmonitoriga millega ei näe mitte midagi
Leia selle ruudu külg. Lahendus: Olgu ruudu külg x cm. Ruudu pindala on sel juhul x2 cm2 ja ristküliku pindala on 3x cm2. Ülesande andmete järgi, ristküliku pindala on sama suur, kui kahel võrdsel ruudul, saame võrrandi 2x2 = 3x; 2x2 3x = 0. Lahendame: x(2x 3) = 0; x1 = 0 ja 2x 3 = 0 ehk x2 = 1,5. Kuigi saadud võrrandil on kaks lahendit, sobib neist ülesande vastuseks ainult teine, sest ruudu külje pikku ei saa olla 0 cm. Kontroll: Kui ruudu külje pikkus on 1,5 cm, siis pindala on 1,5 . 1,5 = 2,25 cm2. Ristküliku küljed on 3 cm ja 1,5 cm ning pindala 3 . 1,5 = 4,5 cm2, mis on 2 korda suurem kui ruudu pindala. Vastab ülesande tingimustega. Vastus: Ruudu külg on 1,5 cm. 4. Kahe arvu vahe on 6. Nende arvude ruutude summa on 260. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame ühe arvuga x, siis teine arv on 6 + x. Nende arvude ruutude summa st x2 + (6 + x)2, on 260
väiksemad kui 90° Külgede järgi: 1. erikülgne kolmnurk Erikülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on ebavõrdsed 2. võrdhaarne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 3. võrdkülgne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed. · Kolmnurga kõrguseks nimetatakse ristlõiku kolmnurga tipu ja külje vahel. (märgitakse h- ga). · Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (märgiktakse k-ga). Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate nurkadega A+C=B' Teoreemid: Kolmnurga sisenurkade summa on 180° Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
Tekkinud trapetsi lühem haaron 2,0 cm. Leia trapetsi lühema haara pikkus. 2. Ristküliku KLMN kohta on antud: PL = 15 cm, PN = 4 cm ja cos = 0,8. Arvuta, mitu korda on ristküliku pindala suurem kui trapetsi KLPN pindala. N P M K L 3. Ristküliku diagonaal on 28 cm ning ta moodustab pikema küljega nurga 30°. Tee joonis ja arvuta : 3.1. nurk lühema külje ja diagonaali vahel 3.2. lühema külje pikkus. 4. Ristküliku ABCD külg AB = 16 cm ja BC = 6 cm ning DE = CE. Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 5. Antud on kolmnurgad ABC ja AFD. 5.1. Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. 5.2. Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. C 75° D A 75° B F 6. 7. 8.
· Nihutada patsiendi ülakeha voodi servale. · Ühel abistajal julgestada patsienti ning tõsta puusa ja teisel abistajal asetada patsiendi pöördesisene sirge käsi peopesaga vastu reie eesmist külge. 2. Pöörata patsient küljele: ühel abistajal julgestada patsienti õla- ja puusaliigesest (pilt 1) ning teisel abistajal võtta patsiendi käsi õla- ja küünarliigesest (pilt 2, 3), küünar- ja randmeliigesest patsiendi külje alt välja. Pilt 1 Pilt 2 Tööergonoomika konspekt 1 Maie Timm Pilt 3 3. Pöörata patsient selili (pilt 3). 4. Kohendada patsiendi asendit vastavalt vajadusele (pilt 4, 5, 6). Pilt 4 Pilt 5 Pilt 6 5
180 180 Siinusteoreem Siinusteoreem Lahendamine 180 180 2 lahendit, kui antud väiksema külje vastasnurk! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ja võrdeteguriks a b c Siinusteoreem 2R on ümberringjoone diameeter. sin sin sin
4. kirjelda ja too näide pikkuse, pindala ja ruumala otsest ning kaudsest mõõtmisest: Pikkus otsene: võrdleme keha või nähtust vahetult mõõtühikuga, nt. võrdleme vihiku laiust vahetult joonlaua skaalaga Pikkus kaudne: Saame mõõtarvu arvutuste teel, nt. mõõdame traadi läbimõõtu, keerame traadi 10-20 korda umber pliiatsi ja mõõdame saadud mähise pikkuse ja jagame selle keerdude arvuga. Pindala otsene:leian ristküliku kujulise papitüki pindala, mõõtes iga külje pikkuse ja liites kõik need pikkused kokku. Pindala kaudne: leian ruudukujulise papitüki pindala, mõõdan ühe külje pikkuse ja siis korrutan selle pikkuse iseendaga. Ruumala otsene:Kartuli ruumala leidmiseks sukeldan kartuli mõõtesilindrisse, kus on nt. 20 dm3 vett, asetan vette kartuli, vesi tõusis 0.5 dm3 võrra, seega on kartuli ruumala 0.5 dm3. Ruumala kaudne: Kuubikujulise klotsi ruumala leidmiseks, mõõdan ühe külje pikkuse ja
5 max Tsentreerimisjoon 10 s=min 0,5 mm (Lehe iga külje keskel) Raamjoon s=0,5 ...1,0 mm 170 (180 formaadil A4) 20 50 14 16
ja küljed on võrdelised. Teoreem: Kahe sarnase hulga ümbermõõtude suhe võrdub vastavate külgede suhtega ehk sarnasusteguriga. P / P 1= k Teoreem: Kahe sarnase hulknurga pindalade suhe võrdub nende hulknurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. Kitsam variant: Kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe võrdub nende kolmnurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. KNK (kolmnurkade sarnasuse tunnus kahe külje ja nendevahelise nurga järgi): Kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega, ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed, siis need kolmnurgad on sarnased. NN (kolmnurkade sarnasuse tunnus kahe nurga järgi): Kui ühe kolmnurga 2 nurka on vastavalt võrdsed eise kolmnurga kahe nurgaga, siis need kolmnurgad on sarnased. KKK (kolmnurkade sarnasuse tunnus kolme külje järgi):
Kordamine V 1. Silindri kõrgus on 10 cm ning telglõike diagonaal moodustab põhja diameetriga nurga 30°. Arvuta silindri täispindala ja ruumala. 2. Ristkülik külgedega 5 cm ja 10 cm pöörleb ümber pikema külje. Arvuta tekkinud silindri põhja pindala, külgpindala ja täispindala ja ruumala. 3. Täisnurkne kolmnurk kaatetitega 5 cm ja 12 cm pöörleb ümber pikema külje. Leia tekkinud kujundi põhja pindala, külgpindala, täispindala ja ruumala. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Kolmnurkse püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 15 cm ja üks kaatet 12 cm. Prisma kõrgus on 11 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 13. Nelinurkse püstprisma põhi on romb, mille diagonaalid on 6 cm ja 8 cm. Prisma kõrgus on 7 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 14
a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pikkust. 6. Ruudul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. Romb: Mõiste: Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. Pindala: S=ah või S=d1·d2 Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: -Rombil on kõik rööpküliku omadused -Rombi kõik küljed on võrdsed -Rombi diagonaalid on risti -Rombi diagonaalid poolitavad nurki -Rombi diagonaalid on tema sümmeetriatelgedeks.
Kasutatud järgnevaid valemeid: m 1. Tiheduse valem D= V Kus D on katsekeha materjali tihedus Kus m on katsekeha mass Kus V on katsekeha ruumala 2. Silindri valemid Sp=πr2 ; V=SpH Kus Sp on silindri põhja pindala Kus π on pii Kus r2 on raadius ruudus Kus V on ruumala Kus H on silindri kõrgus 4 3. Kera valemid V= 3 π r3 ; Kus V on ruumala Kus π on pii Kus r3 on raadius kuubis 4. Nelinurga valemid V=abh Kus V on ruumala Kus a on külje pikkus Kus b on külje laius Kus h on külje kõrgus TABELI TÄITMINE Mõõdud d 1 (mm) d 2 (mm) h (mm) V (mm3) m (g) kg D( m3 ) Tulemused 1. 21,53 - 29,98 10914,64 30,5 2.7*103 2. 23,8 14,28 26,76 7619,21 63,8 8,37*103 3. 15,80 - 54,3 10646,42 95,5 8,9*103 4
3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega, mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja = 40o. Antud: a = 3 cm b = 5 cm
asendisse, lastakse lahti (see hakkab sirisedes aeglaselt vasakule tagasi liikuma), okulaarist aga jälgida samal ajal, kas niit on täpselt ja kogu aeg keerme välisläbimõõdul. Töölaua kiire liigutamine Töölaua ülemise plaadi pikisihis pööramine 1. Keerme keskläbimõõdu mõõtmine a) Ühitada okulaarvõrgu kriipsjoon keermeprofiili vasakpoolse külgpin- naga nii, et teine kriipsjoon jaotaks profiili vaadeldava külje pooleks. b) Teha ristiliikumise kruvikult lugem L1 . c) Viia ristliikumise kruvikuga keere niitristi selle asendi alt läbi (üles) ja seada niitrist sama keermeniidi alumise poole keskele (asend II). d) Teha ristliikumise kruvikult lugem L2 . e) Arvutada keerme vasakpoolne keskläbimõõt d2V = L1 L2 f) Korrata samad mõõtevõtted parempoolsel profiilil (asendites III ja IV). g) Saadud mõõtetulemuste järgi arvutada keerme parempoolne samm d2P
Planimeetria Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed )
arvutusi * küsida nime *küsida numbreid, kujundeid Ring x = input ("Sisesta ringi raadius ja vajuta ENTER :") import math C = math.pi*2*x S = math.pi*x**2 print (C) print (S) Silinder- r = input ("Sisesta põhja silindri raadius r ja vajuta ENTER :") h = input ("Sisesta silindri kõrgus h ja vajuta ENTER :") import math K = math.pi*2*r*h T = 2*math.pi*r*h**2 V = math.pi*r**2*h print (K) print (T) print (V) Kolmnurga pindala ja ümbermõõt- a = input ("Sisesta kolmnurga ühe külje pikkus ja vajuta ENTER :") b = input ("Sisesta kolmurga teine külje pikkus ja vajuta ENTER :") c = input ("Sisesta kolmnurga kolmanda külje pikkus ja vajuta ENTER :") P = a+b+c p = 0.5*(a+b+c) import math S = math.sqrt [p*(p-a)*(p-b)*(p-c)] print (P) print (s) Samuti saab koostada ka igasuguseid kujundeid, nt E-täht: e = "E" print (e *8) print (e) print (e *4) print (e) print (e *8) Lihtne arvutamis programm: x = input ("Sisesta üks arv ja vajuta ENTER")
2 240 cm 2 . Vastus. Kolmnurga pindala on 240 cm². 2) Võrdhaarse trapetsi diagonaal on risti haaraga. Arvutage trapetsi pindala, kui trapetsi haar on 15 cm ja diagonaal 20 cm. Lahendus. b D C 15 20 15 h x x A a B E 3 Leiame külje a = AB (hüpotenuus) täisnurksest kolmnurgast ABD Pythagorase teoreemi abil a 20 2 15 2 25cm . Järgmisena leiame trapetsi kõrguse h, mis on ka kolmnurga ABD kõrguseks. Kolmnurga ABD pindala saame leida nii kaatetite kui ka aluse ja kõrguse kaudu 20 15 ah 25 h S 150cm 2 150 150 h 12cm . 2 2 2
1. Ettevalmistavad tegevused: · Vajalik hulk patju asetada kärule. · Valmistada toestus talje nõgususe jaoks linast või käterätikust (kui patsiendi puusad on laiad, siis asetada puusanõgususse toestus). · Rulli või voldi käterätik või lina pahkluu alla toestuse panemiseks. · Enne külili pööramist asetada padi pea ja kaela alla (pilt 1). Pilt 1 2. Külili asendi toestamine: · Asetada külje toestus talje nõgususse (pilt 2, 3). Pilt 2 Pilt 3 · Asetada selja taha või madratsi alla pikuti kokku rullitud padi (pilt 4) ja vajadusel tõsta üles voodi võre ehk piire, et seljatoestus ei vajuks ära (pilt 5). Tööergonoomika konspekt Maie Timm Pilt 4 Pilt 5
nende arvude korrutis on 19*26=494. Vastus: Need arvud on 19 ja 26. 1)Leian põranda pindala S=ab S=3,*2,7=8,91 (m²) 2) Leian ruudukujulise plaadi pindala S=a² S=15²=225 (cm²)=0,0225 (m²) 3) Leian mitu ruudukujulist plaati mahub põrandale, kui vahesid pole jäetud 8,91:0,0225=396 (plaati) 4) 90% ON 396 396*100%/90%=440 (plaati) 1) Täisnurkne 2) Arvutan lõigu AB ligikaudse pikkuse 1) Kasutades Pythagorase teoreemi leian külje AC a²+b²=c² c=9²+12²=225=15 2) Kasutades Pythagorase teoreemi leian külje AB ligikaudse pikkuse a=15²-14²=29=5,39 (cm) 3) Leian ACD Pindala S=ab/2 S=9*12/2=54 (cm²) 4) Leian ABC pindala S=ab/2 S=14*5,39/2=37,73 (cm²) 3) Leian nelinurga ligikaudse pindala S=54+37,73=91,7 (cm²)
pool lõikajat ning haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180kraadi ja sirged on paralleelsed. Kui põiknurgad ei ole võrdsed, siis ka lähisnurkade summa ei ole 180kraadi ja sirged ei ole paralleelsed. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpkülikuks saab veel nimetada rombi, ruutu, ristkülikut. Rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180kraadi, sest nelinurga vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku sisenurkade summa on 180kraadi + 180kraadi = 360kraadi. Teiste nelinurkade sisenurkade summa on ka 360kraadi. Kolmnurga sisenurkade summa on 180kraadi. Võrdkülgse kolmnurga sisenurga suurus on 60kraadi. Tipunurgaks nimetatakse võrdhaarse kolmnurga haarade vahelist nurka. Alusnurgaks nimetatakse võrdhaarse kolmunrga aluse lähisnurki.
Nt arvutada pindala ja ruumala Kasutada võib ka erinevaid meetodeid, et neid suurusi leida Nt ühikruudumeetod või sukeldumismeetod Kõiki kehi ei ole võimalik mõõta mõõteriista skaalaga Seetõttu on välja mõeldud erinevaid mõõtmismeetodeid otseste ja kaudsete mõõtmiste jaoks Mõõtmismeetod on viis, kuidas mõõta füüsikalist suurust PINDALA MÕÕTMINE Kui otsitava keha kuju on ruut, on pindala leidmine lihtne Ühe külje pikkus tuleb korrutada iseendaga ehk tõsta ruutu Siit tuleb ka pindalaühik ruutmeeter 1m*1m =1m2 Kui keha on ristküliku kujuline, siis tuleb korrutada omavahel kahe erineva külje pikkused Tähis S PINDALA MÕÕTMINE Kui otsitava keha kuju ei ole tavaline kujund, siis on vaja pindala leidmiseks kasutada teisi meetodeid Nt saab kasutada ühikruudumeetodit Sel juhul jagatakse keha pind teadaoleva pindalaga ruutudeks Nt jagame toa ruutudeks
Akvaariumi mõõtmed on: pikem külg 1,23 m, lühem külg 0,68 m, kõrgus 0,72 m, klaasi paksus 0,5 cm. Vee tase moodustab akvaariumi kõrgusest 75%. Klaasi tihedus on 2,5*103 kg/m3, ja vee tihedus 1,0*103 kg/m3. Lahendus: Kuna akvaarium on klaasist, siis on meil vaja kõigepealt arvutada klaasitükkide ruumala st akvaarium koosneb 5 klaasitükist: põhjast ning neljast külgtahust. 1) Leiame klaasist põhja ruumala: 1,23 . 0,68 . 0,5 = 0,004182 (m3). 2) Arvutame suurema klaasist külje ruumala: (0,72 - 0,005) . 1,23 . 0,005 = 0,0043972 (m3). Kahe suurema külje ruumala on seega: 2 . 0,0043972 = 0,0087944 (m3). 3) Arvutame väiksema klaasist külje ruumala: (0,68 - 0,005) . (0,72 0,005) . 0,005 = 0,0024131 (m3). Kahe väiksema külje ruumala on seega: 2 . 0,0024131 = 0,0048262 (m3). 4) Arvutame klaasi koguruumala: 0,004182 + 0,0087944 + 0,0048262 = 0,0178026 (m3). 5) Arvutame klaasi kogumassi: 0,0178026 . 2,5 . 103 = 44,5065 (kg).
34. Kolmnurga alus on 60 cm ja kõrgus 12 cm, alusele tõmmatud mediaan 13 cm. Leida kolmnurga küljed. 35. Kolmnurga kaks külge on a ja b ning nurk nende vahel 120°. Leida selle nurga poolitaja. 36. Kolmnurga mediaanide lõikepunkti ja tippe ühendavad lõgud suhtuvad nagu 1:2:3 ning nende lõikude pikkuste summa on 36 cm. Leida mediaanid. 37. Arvutada kolmnurga küljed, kui suuruse poolest keskmine külg erineb kummastki ülejäänud küljest ühe ühiku võrra ning suurema külje projektsioon keskmisel küljel on 9 ühikut. 38.Kolmnurga kõrgus on 4 cm ja see jagab aluse suhtes 1:8. Leida kõrgusega paralleelse lõigu pikkus, kui lõik jagab kolmnurga kaheks pindvõrdseks osaks. 39. Kolmnurga alusega paralleelne sirge jaotab kolmnurga küljed suhtes 1:5 ( tipust alates). Missuguses suhtes jaotab see sirge kolmnurga pindala? 40. Kolmnurga alus on 16 cm. Leida alusega paralleelne sirglõik, mis jagab kolmnurga pindala pooleks. 41. Kolmnurga ABC külje AB pikkus on a
Nurgapoolitajate lõikepunkt siseringjoone keskpunkt, . Külgede keskristsirgete lõikepunkt ümberringjoone keskpunkt, . Kesklõik ühendab kahe külje keskpunkte ja paralleelne kolmanda küljega ning ½ sellest. Siinusteoreem 2 Koosinusteoreem 2 · Pindala valemid , , , , ,
/ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24. Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega: a/sin = b/sin = c/sin 25. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2= b2+c2 2bc*cos b2= a2+c2 2ac*cos c2= a2+b2 2ab*cos 26. ja 27. sin ( ± ) = sin cos ± cos sin
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7
4. Pindala valemid. ch ab sin abc S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7
Teise toa pildid tundusid olevad vanemate tehtud kuna seal oli rohkem akrüülmaale. Maalidest ootan mina lihtsust, puhtust ja detailiderohkust. Silma hakkasid 3 peamist. Esimesel pildil oli taustaks kasutatud heledaid kollaseid-rohelisi toone ning peale joonistatud musta tintenpeniga roose. Teisel pildil ei olegi teatud kuju. Lausa võtab sõnatuks. Pilti võib vaadata nii kaua kui viitsimist on, iga vaatekorraga leiab midagi uut. Pildil on kujutatud minu arust ühe külje pealt taime, teise külje pealt jällegi kiili. Igal vaatajal oma nägemus. Ning kolmandaks minu lemmik- maastiku pilt. Pildil on kujutatud väga lihtsal ja miniatuursel kujul maastik ning meresinise taeva kohal on tähine öö. Rohukünka tagant piilub päike, ei teagi, kas ta on kadumas või alles ärkab. Kui rääkida näitusest üldiselt, siis kahjuks ei saa täpselt õelda, kui hea või halb see on.
2. ristuvateks sirgeteks 28.täisnurkse kolmnurga vastas asetsev külg 3. Paralleelsed sirged 29. tundmatud sisaldav võrdus 4. kõrguseks 30.esimese astme võrrand 5. täisnurkseks kolmnurgaks 31.nurk , mille haarad moodustavad sirge 6.eriküljeline kolmnurk 32.kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega siis on kolmnurgad võrdsed 7. võrdhaarne 33. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis need kolmnurgad on võrdsed 8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17.naturaalarvu tegur 18.lihtmurd 19.on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga 20
annaabi.ee 
