KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1. 8 õuna, 13 ploomi, 6 pirni Mitu võimalust on, kui võtta.. a) Üks õun või üks ploom või üks pirn? Liitmislause (või) – 8 + 13 + 6 = 27 võimalust
Ülesandeid kombinatoorikast Lahendused 3. Mitmel erineval viisil võivad 40 koosolekust osavõtjat valida endi hulgast koosoleku juhataja, tema asetäitja ja protokollija? Lahendus: Kõik koosolekust osavõtjad võivad võrdselt täita nimetatud ülesandeid. Iga osaleja jaoks on kolm erinevat võimalust. Järelikult on vaja leida, mitu erinevat järjestatud kolmikut saab moodustada. Nende järjestatud kolmikute arvu saab leida kahel moel: 1) Korrutamislause abil. Valida tuleb nii koosoleku juhataja, tema asetäitja kui ka protokollija. koosoleku juhataja - 40 erinevat võimalust juhataja asetäitja - 39 erinevat võimalust (kõik v.a. juhatajaks valitu) protokollija - 38 erinevat võimalust (kõik v.a. juhatajaks ja tema asetäitjaks valitud) Kõigi erinevate võimaluste arv m = 40x39x38 = 59 280 2) Variatsioonid 40-st kolme kaupa 40! V403 = = 40 39 38 = 59280 37! Vastus: Erinevate võimaluste arv on 59 280. 7
b) kaks 17-aastast poissi ka kaks 18-aastast tüdrukut c) neli ühevanust õpilast? KOMBINATOORIA ÜLESANNETE VASTUSED 1. . 19. 2. 20. 3. 21. 4. 22. 5. 23. Korrutamislause: 6. 24. 7. 25. 8. 26. 9. 27. 10. 28. 11. 29. 12. 30. 13. 31.
3. V64 360 21. 0 C5 C15 C5 2 16 3 4. V12 1320 22. C3 8 56 4 5. C12 495 23. Korrutamislause: 4 4 3 48 3 6. V10 720 24. V54 120 3 7. C10 120 25. 54 625 8. V65 720 26. V62 6 36 9. V53 60 27. C04 C14 C24 C34 C4 4 16
1. C27 = 21; C24 = 6; C33 = 1; C14 C13 = 12 . 19. P7 = 7! = 5040 2. P4 = 4! = 24 20. C37 = 35; C17 C16 C15 = 7 6 5 = 210 3. V64 = 360 21. C50 + C15 + C52 = 16 3 4. V12 = 1320 22. C3 8 = 56 4 5. C12 = 495 23. Korrutamislause: 4 4 3 = 48 3 6. V10 = 720 24. V54 = 120 3 7. C10 = 120 25. 5 4 = 625 8. V65 = 720 26. V62 + 6 = 36 9. V53 = 60 27. C04 + C14 + C24 + C34 + C44 = 16 10. V51 + V52 + V53 + V54 + V55 = 325 28. C 70 + C71 + C72 + ... + C77 = 128 11. (V ) 1 5
Geomeetrlise hääbuva jada summa: s=a1/1-q logab=c ac=b alogab=b logabc=logab+logac logab/c= logablogaC log443=3log44 logax= logbx/logbx Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega. Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning: · valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!] · Variatsioonid n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad. Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid · Kindel sündmus sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p().
Klassikaline või geomeetriline tõenäosus μ(ΩA)=(2,25-2*0,5)=1,25 k V =k! Ck P(A)=1,25/2,25=5/9 Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
Üksteist välistavate sündmuste summa tõenäosus. Teineteist välistavate sündmuste A ja B summa tõenäous võrdub nende tõenäosuste summaga P ( A ∪ B )=P ( A ) + P( B) ehk ühendiga. 14. Sündmuste sõltumatus ja tinglik tõenäosus. Sündmused on sõltumatud, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist. Tinglikuks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A toimumise tõenäosust juhul, et toimus P (A ∩ B) sündmus B. P ( A|B )= P( B) 15. Korrutamislause. Sündmuste A ja B korrutise tõenäosuseks nimetatakse arvu, mis saadakse ühe sündmuse tõenäosuse korrutamisel teise sündmuse tingliku tõenäosusega esimese suhtes. Korrutamislauset kasutatakse tihti sündmuste sõltuvuse ja sõltumatuse kontrollimiseks. P ( A ∩ B ) =P (B) ∙ P( A∨B) 16. Kas sündmus ja tema vastandsündmus on teineteist välistavad? Kas nad on sõltumatud? Sündmus ja tema vastandsündmus on teineteist kindlasti välistavad, sest ühe toimumisel ei
0) annab tulemuseks 10.0 Üsna analoogiline on lahutamislause kujuga (erijuhtu vt. allpool) ( arv1 arv2 ...) Kui arve on vähemalt kaks, siis esimesest arvust lahutatakse kõigi ülejäänute summa. Ainult ühe arvu korral muudetakse selle arvu märki. Näiteks ( 50 40) annab tulemuseks 10 ( 50 40.0) annab tulemuseks 10.0 ( 50 40.0 2.5) annab tulemuseks 7.5 ( 8) annab tulemuseks 8 Korrutamislause kujuga (* arv1 arv2 ...) leiab arvude korrutise. Jagamislause kujuga (/ arv1 arv2 ...) leiab esimese arvu jagatise kõigi ülejäänute korrutisega. Näiteks (/ 100 2) annab tulemuseks 50 (/ 100 2.0) annab tulemuseks 50.0 (/ 100 20.0 2) annab tulemuseks 2.5 (/ 100 20 2) annab tulemuseks 2 (/ 7 0) väljastab veateate error: divide by zero
annaabi.ee 
