Graafid Graaf koosneb tippudest(sõlmedest) ja neid ühendavatest kaartest. Kaarega võib ühendada suvalisi graafi tippe, sealhulgas on võimalik kaar samale tipule (iseendale). Iga kaar on määratud kahe tipuga. Orienteeritud graaf: kaared on järjestatud tipupaarid. Def: Graaf on paar (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Näide lk 47 (Palm) Tipu aste tipust väljuvate servade arv. Teoreem: Igas graafis on kõigi tippude astmete summa võrdne servade arvu kahekordsega. Järeldus: Igas graafis on paaritu astemga tippe paarisarv. Ahel graafis tippude järjend, kus iga kaks järjestikust tippu on servaga ühendatud (esimene ja viimane on otstipud vahepeal sisetipud). Ahela pikkus on k kui selles on k+1 tippu. Ahel võib läbida mõnda tippu mitu korda. Lihtahel kõik tipud läbitakse üks kord. Tippude u ja v vaheline kaugus - tippude u ja v vahelise lihtahela pikkus Tsükkel ...
ühisosa, täiend. Minimaalne Cantori normaalkuju on lihtsaim CNK. Täielik CNK on normaalkuju, mille iga avaldise osa sisaldab kõiki hulki. MCNKst saab TCNK kleepimisseaduse abil. Ristkorrutis on kahe hulga elemendite paaride koostamine. Järjestatud paare esitatakse loogsulgude vahel. Otseruut on hulga ristkorrutis iseendaga. Korteežid on järjestatud paarid, kolmikud, nelikud jne. Graafid: Graaf on objektide vaheliste seoste mudel. Graaf koosneb tippudest ja kaartest. Orienteeritud graafis saab ühest tipust teise minna ainult noolega suunatud kaare mööda. Orienteerimata graafil saab liikuda mistahes suunas kaarel. Tühi graaf on graaf, kus ühegi tipu vahel ei ole ühtegi kaart. Täielik graaf on graaf, kus iga tipp on seotud iga teise tipuga. Väljundaste on tipust väljuvad kaared.
Tõestame, et ( ( + ) = + ) ( + ) = + Implikatsiooni tõestamiseks eeldame ( + ) = + ja näitame, et siis on tõene ka ( + ) = + Teisendame võrduse vasakut poolt, kuni saame parema poole: ( + ) = ( + ) = ( + ) + = ( + )+ = + ( + )= + Teisendusteks kasutasime: liitmise aksioomi P4, korrutamise aksioomi P6, implikatsiooni vasakut poolt, liitmise assotsiatiivsust, aksioomi P6. Sellega on L 3.2 ja teoreem 3 tõestatud. GRAAFID Graaf on paar G=(V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks Hulga E elemente nimetatakse graafi servadeks Multigraaf on graaf, mis võimaldab serva, mis ühendab tippu iseendaga, ning võimaldab mitut erinevat serva kahe antud tipu vahel Täisgraafiks nimetatakse n-tipulist graafi, kui selles graafis on olemas serv iga kahe tipupaari vahel
d. R pöördrelatsiooni R-1 maatriks on RT = (rji), st transponeeritud maatriks (read ja veerud on vahetatud). e. ** Kui relatsioonide R X × Y ja S Y × Z maatriksid on vastavalt R = (rij) ja S = (sij), siis kompositsiooni R S maatriks on maatriksite R ja S (Boole'i) korrutis: RS = (cij), kus ... f. **Relatsiooni astme maatriksi saab leida järjestikuse korrutamise teel: R1 = R, Rn+1 = Rn R Graafid 31) a. Graaf on paar G = (V, E), kus V on mittetühi hulk ja E on hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. b. Hulga V elemente nimetatakse graafi tippudeks. c. Hulga E elemente nimetatakse graafi servadeks. d. Kui graaf sisaldab silmuseid ja/või kordseid servi, on tegemist multigraafiga. e. Kui n-tipulises graafis on olemas serv iga kahe tipupaari vahel, on tegemist
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 4 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1. $ - 2 0 (J 11) Toon x-i sulgude ette. ( - 2) 0 (J 11) Siit järeldub, et kas 11É või 11É( - 2), sest vastasel juhul ei saaks jäägiks 0-i. Seega on võrrandil kaks lahendit: # 0 (J 11) ja $ 2 (J 11), sest jäägi null annab - 2, seega peab $ ise andma jäägiks 2-e. Vastus: # 0 (J 11); $ 2 (J 11) ÜLESANNE 2. 25 + 41 = 1 Täisarvuliste kordajatega võrrandil I + I = I leiduvad täisarvulised lahendid parajasti siis, kui gcd(I, I)ÉI. Seega leian alguses kordajad u ja v nii, et 25 + 41 = gcd(25,41) Kasutan selleks Eukleidese algoritmi. gcd(25,41) = gcd(16,25) = gcd(9,16) = gcd(7,9) = gcd(2,7) = gcd(1,2) = 1 Kirjutan vä...
Eksam 1. Binoomkordajad 1.1 Tuletada valem binoomkordaja (n/m) väärtuse arvutamiseks. 1.2 Kasutaddes eelmises punktis tuletatud valemit tõestada, et binoomkordajate vahel kehtib võrdus (n/m) = (n-1/m)+ (n-1/m-1). 1.3 Eelmine võrdus avaldab bioomkordaja (n/m) kahe kahe binoomkordaja kaudu, mille ülemine indeks on n-1. Leida seos, mis avaldab binoomkordaja (n/m) niisuguste binoomkordajate kaudu, mille ülemine indeks on n-2. 2. Graafid 2.1 Def graaf 2.2 Tõestada, et igas graafis on paaritu astmega tippe paarisarv 2.3 Olgu G mingi n-tipuline graaf, milles on m paaritu astmega tippu. Teha kindlaks kui palju on paaritu astmega tippe graafi G täiendis ja kuidas nende arv sõltub graafi G tippude arvust. 2.4 Leida graaf, milles on pooled tipud teatava ühesuguse paaritu astmega d1 ja pooled tipu ühesuguse paarisastmega d2 ning mile täiendis on samuti pooled tipud paaritu astmega d1 ja pooled paarisasmtega d2.
vahel (ehk siis kõik elemendid mõlemast hulgast on haaratud ja igaühele vastab vaid 1 kindel element). Lõpmatut hulka nimetatakse loenduvaks, kui see on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga. |H| on hulga võimsus ehk lõpliku hulga korral elementide arv hulgas. Lõpmatu hulga võimsus leitakse, seades tema elemendid bijektiivsesse vastavusse (üks- ühesesse) mõne tuntud võimsusega hulga (näiteks naturaalarvude hulga) elementidega. 4. Graafid. Puude esitused. Programmide esitamine puuna Mittejärjestatud ja mitteorienteeritud graaf on paar G = (A,R), kus A on tippude hulk ja kaarte hulk R on seos hulgal A. Graafi saab esitada paaride hulgana (A + R analüütiliselt, või predikaadina) või joonisena. Graafide võrdsus: Graafid G1 = (A1, R1) ja G1 = (A2, R2) on võrdsed ehk isomorfsed, kui leidub selline bijektiivne kujutus f: A1 A2 nii, et aR1b = f(a)R2f(b)
k a — Hulgad i Hulgaalgebra (Cantori algebra). Hulgaaritmeetika n pidev objekt diskreetne objekt e h — Graafid i t Diskreetset matemaatikat nimetatakse "diskreetseks", et vastandada teda t nn. "pidevale" matemaatikale. u — Algebralised struktuurid v Poolrühmad. Rühmad. Ringid. Integriteetkonnad. Väljad. r vs. A
tipuga, mille aste on 2. Kuid parempoolses graafis pole tipud astmega 3 omavahel servaga ühendatud ning mõlemad tipud astmega 3 on ühendatud kolme tipuga, mille aste on 2. Seega olen leidnud sellised tipud, mis on vasakpoolses graafis naabrid, kuid parempoolses graafis ei ole(need on 2 tippu, mille aste on 3). See aga tähendab, et nende kahe graafi tipuhulkade vahel ei leidu sellist bijektsiooni, et need kaks graafi oleksid isomorfsed. Seega ei ole need graafid isomorfsed. Vastus: Need graafid ei ole isomorfsed. ÜLESANNE 4. Graafi G sidususkomponentideks nimetatakse tema maksimaalseid sidusaid alamgraafe. Vähim võimalik graafi sidususkomponent on seega üksik tipp, mille aste on 0(ehk selline tipp, mis pole teistega ühendatud). Väide kehtib vaid juhul kui n m, sest graafil ei saa olla negatiivne arv sidususkomponente ning juhul n = m on tal 0 sidususkomponenti ehk tegemist on tühja graafiga, mis on lubatud olukord. Tõestan väite induktsiooniga. Baas
Küsimus 13 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises ? kõigepealt teostatakse hulgaavaldises TÄIEND ...seejärel teostatakse tehe ÜHISOSA ...kolmandana tehe ÜHEND ◄ HULGAD I — kontrollküsimustega test Mine... GRAAFID — printimiskõlblik õppematerjal visuaalselt väiksemal .PDF-kujul ►
diagrammina. 6. Algoritmiline keel (komponendid) mõeldud arvutist sõltumatute protsesside kirjeldamiseks. Selle abil esitatakse aritmeetilised arvutused algebraliste avaldistena. Selles kasutatakse spetsiaalseid lausekonstruktsioone peamiste algoritmiliste juhtstruktuuride (seeria, korduse ja hargnemise) esitamiseks. Võimalik on sisendi-väljundi kirjeldamine. Ning saab erinevate objektide omadusi esitada kasutades erinevaid andmetüüpe (arvud, massiivid, hulgad, kirjed, puud, graafid jne). (V.Viies)Neid võib klassifitseerida: Kasutusala järgi, struktuuri järgi (semantiline lähenemine). Praktiliselt jaotati 5-ks rühmaks. o Teadus tehnika PASCAL o Modelleerimiskeeled MODULA o Majndusinfo COBOL o Nimistutöötlus LISP o Universaalkeeled PL/1 6. Mis on makro(MS Office) - Makro on tööriist toimingute automatiseerimiseks ja
....... 14 Vastavused ja relatsioonid............................................................................................................................... 16 Tükeldused ...................................................................................................................................................... 18 Järjestussuhe ................................................................................................................................................... 19 Graafid ............................................................................................................................................................. 20 Arvusüsteemid 1. Milline on tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem? Rooma numbrite süsteem. 2. Mis on positsioonilise arvusüsteemi alus? Mida ta määrab? Alus määrab ära positsioonilise arvusüsteemi ning mitmest numbrimärgist arvusüsteem koosneb. 3. Mis on arvujärgu kaal? Kuidas on iga järgu kaal määratud
[23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood. Märgendatud puude loendamine. Cayley teoreem. [37]. Märgendamata puude arv. [38]. Kooskõlad graafis. Berge'i teoreem. [39]. Kooskõlad kahealuselises graafis. Halli teoreem. [40]. Tasandiline graaf
· Mittearvulised tunnused · Nominaalne (kvalitatiivne) · Järjestatud · Arvulised tunnused · Diskreetne (loendamine) · Pidev (mõõtmised) · Arvskaala ainult liitmistehtega · Täielik arvskaala liitmis- ja korrutamistehtega Loeng 8 Andmete struktuur, hoidmine andmebaasis Loeng 9 Topoloogia · Topoloogia algebra/geomeetria osa, mis tegeleb ruumide sarnasusega (homomorfism) · Ruumiliste objektide suhteline asetus o Võrgustikud ja graafid; -graafid ja nende omadused Seotud sirglõikude jada (võrgustik) võime käsitleda graafina: a) Kaart b) Seosed asendame sirglõikudega c) Eemaldame konteksti d) Graafi servad ja tipud Graafi peamine element on ühendus, suund võib vahel olla ka oluline. Omadused - Servade lõikumispunktid ehk graafi tipud - Servad ehk ühendused - Alamgraafid ehk eraldiseisvad hulgad
Loogikafunktsioonide täielikud süsteemid. Baasid Baas: minimaalne täielik loogikafunktsioonide süsteem Loogikafunktsioonide täielik süsteem: loogikafunktsioonide süsteem, mille abil on võimalik kujutada suvalise keerukusega loogikafunktsiooni Täielikkuse kriteerium: loogika funktsioonide süsteem on täielik, kui ta sisaldab vähemalt ühte igast järgnevast funktsioonist: 0 mittesäilitav, 1 mittesäilitav, mittepööratav, mittemonotoonne, mittelineaarne **** Graafid Graaf: objektidevaheliste seoste joonismudel, mis koosneb tippudest ja kaartest. Orienteerimata graaf: kõik kaared suunamata, neid tähistatakse harilike joontega Orienteeritud graaf: kõik kaared suunatud, neid tähistatakse nooltega Ahel: tee orienteerimata graafis Alamgraaf: graaf on mingi graafi alamgraaf, kui ta on selle graafi mingi taandatud graafi jääkgraaf Baas: selline minimaalne tippude osahulk, kus selle osahulga tippudest leidub tee selle graafi
1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Lahendus. Joonistades välja graafide täiendid, leiame, et graafi G täiend on tsükkel tippudega 1, 4, 5, 3, 2, 6 ning graafi H täiend on tsükkel tippudega 1, 2, 5, 4, 3, 6. Et kaks sama tippude arvuga tsüklit on isomorfsed, siis on ka graafid G ja H isomorfsed. Üks isomorfism on näiteks bijektsioon , mis teisendab graafi G tipud graafi H tippudeks järgmisel viisil: (1) = 1, (2) = 3, (3) = 4, (4) = 2, (5) = 5, (6) = 6. Materjal õpikus. Lk 5759 (graafide isomorfism). Lk 62, ülesanded 3741. Ülesanne 4. Mitu serva peab 9-tipulisel graafil vähemalt olema, et selles graafis kindlasti ei leiduks sildu? Lahendus. Oletame, et graafis leidub sild ja uurime, milline saab olla sel juhul graafi suurim servade arv
sorteerimise eesmärgiks saada selline tippude järgnevus, kus iga tippu töödeldakse enne neid tippe, millele ta osutab; õigeks vastuseks tavaliselt mitu erinevat järgnevust. Sügavuti otsimine – minnakse ühte pidi nii sügavale kui võimalik; tipult tema naabrile jne; kui naabrid otsas, siis minnakse tagasi & otsitakse uut teed; nii jätkatakse, kuni on veel uurimata tippe; iga tipp saab sattuda vaid ühte otsimispuusse; sobivad nii suunatud kui suunamata graafid; tipud märgitakse läbituks; tähistus DFS; saab kasutada graafis tsüklite & kahe tipu vahelise seose leidmiseks. Laiuti otsimine – sobiv kasutada parima lahenduse/lühima tee otsimisel; tee pikkuseks on kaarte arv kahe tipu vahel; kõiki lahendusvariante uuritakse paralleelselt, mitte ei võrrelda hiljem; võetakse lähtetipp; kõigepealt otsitakse tipud, kuhu saab ühe kaare läbimisel; siis kahe kaare läbimisel jne; kui järgmine tee on pikem, siis seda ei fikseerita
Tänu küpsistele Marsruutimisprotokolli eesmärk on tuvastada ,,hea" rada (ruuterite jada) läbi võrgu alguspunktist lõpppunkti. Marsruutimise Iga kiht lisab saadud andmetele juurde kindla päise ja edastab tulemuse temast madalamal olevale kihile. Vastuvõtmisel võtab iga kiht saadakse kliendist palju teada. kujutamiseks kasutatakse graafe. Graafid kujutavad ruutereid ja graafide servad on füüsilised ühendused. ,,Hea" rada tähendab enamasti talle määratud päise maha. 14.FTP odavat rada
korrutis: RS=( c ij ) , kus cij =r i 1∧s 1 j ∨… ∨r ℑ ∧smj =¿ k=1 ¿ m r ik∧s kj 29 ( ) 0 1 00 R= 0 0 10 0 0 01 0 1 00 Relatsiooni astme maatriks Relatsiooni astme maatriksi saab leida järjestikuse korrutamise teel: 1 R =R Rn+1 =Rn ∘R GRAAFID 33. Graafi definitsioon. Tipud, servad. Multigraaf. Täisgraaf, nullgraaf, täiendgraaf. Kaalutud graaf. Intsidentsus. Naabertipud. Graafi naabrusmaatriks. Alamgraaf. Regulaarne graaf. [2] Graaf, tipud, servad o Graaf on punktide hulk (tavaliselt lõplik), kus mõned punktid on ühendatud joontega. o DEF. Graaf on paar G = (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Hulga V elemente nimetatakse graafi
𝑥2 {⊕ →} 𝑥̅ = 𝑥 → (𝑥 ⊕ 𝑥) 𝑥1 ∨ 𝑥2 = 𝑥1 → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ) → 𝑥2 𝑥1 𝑥2 = (𝑥1 → (𝑥2 → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ))) → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ) LISALUGEMINE GRA. AFID Graaf on objektidevaheliste seoste joonismudel. Graaf koosneb tippudest ja neid ühendavatest kaartest. Kui tippute hulk on T ja kaarte hulk K, saab graafi G esitada 𝐺 = (𝑇, 𝐾). Graafid jagunevad orienteeritud ja orienteerimata graafideks. Orienteeritud graafi kõik kaared on suunatud ja neid esitatakse nooltega. Orienteerimata graafi kõik kaared on suunamata ja neid esitatakse kahte tippu ühendava lihtsa joonega. Kaarte läbimise käigus liigutakse graafi tuppude vahel kaarte „kaudu“. Suunamata kaart saab läbida mõlemas suunas. Kui graafil pole ühtegi kaart, siis nim seda tühjaks graafiks. Kui iga tipp on ühendatud kõikide teistega, on graaf täielik
· Kõiki ülejäänud reaalaja piiranguid nimetatakse Ka kasutatava platvormi ajaline käitumine ............ Andmevoo mudelid pehmeteks. (kiirus) peaks end module Süsteemid on kirjeldatud, kui suunatud graafid, olema teada run p1; kus: Väga suur mõju disainiprotsessile! [run p2 || run 3]; Sõlmed esitavad arvutusi (protsesse)
Ahelate loomiseks kasutatakse identifikaatorit, mis ei ole unikaalsed globaalses mõttes, vaid igas ruuteris hoitakse vastavuste tabelit, mille järgi saab teada, kuhu antud identifikaatoriga pakett on vaja edasi saata. (Tee algpunktist lõpppunkti on paljuski nagu telefonivõrgu puhul.) 27. MARSUUTIMINE ==> Marsruutimise eesmärk on leida hea tee saatjast vastuvõtjasse, mis tähendab üldjuhul kõige kiiremat teed. /// Marsruutimise kujutamiseks kasutatakse graafe. Graafid kujutavad ruutereid ja graafide servad on füüsilised ühendused. // ,,Hea" rada tähendab enamasti odavat rada. // Marsruutimise elemendid: sammude arv, maksumus, viivitus, läbilaskevõime. //// ==> Kas globaalse või hajutatud infoga: Globaalne: kõik ruuterid omavad infot topoloogia, ühenduskulude kohta (Link state algoritmid). // Hajutatud: ruuter teab oma naabreid, ühenduskulu naabriteni; kogu tee maksumuse arvutamine iteratiivne, vahetatakse infot
Ahelate loomiseks kasutatakse identifikaatorit, mis ei ole unikaalsed globaalses mõttes, vaid igas ruuteris hoitakse vastavuste tabelit, mille järgi saab teada, kuhu antud identifikaatoriga pakett on vaja edasi saata. (Tee algpunktist lõpppunkti on paljuski nagu telefonivõrgu puhul.) 27. MARSUUTIMINE ==> Marsruutimise eesmärk on leida hea tee saatjast vastuvõtjasse, mis tähendab üldjuhul kõige kiiremat teed. /// Marsruutimise kujutamiseks kasutatakse graafe. Graafid kujutavad ruutereid ja graafide servad on füüsilised ühendused. // „Hea“ rada tähendab enamasti odavat rada. // Marsruutimise elemendid: sammude arv, maksumus, viivitus, läbilaskevõime. //// ==> Kas globaalse või hajutatud infoga: Globaalne: kõik ruuterid omavad infot topoloogia, ühenduskulude kohta (Link state algoritmid). // Hajutatud: ruuter teab oma naabreid, ühenduskulu naabriteni; kogu tee maksumuse arvutamine
ja milline on nende allikat käitumine. • Allika käitumist ja tema parameetreid saab kirjeldada allika mudeliga. • Allika mudeleid on palju, nad erinevad üksteisest detailsuse ning keerukuse poolest. Mida detailsem mudel, seda paremini ta reaalset allikat kirjeldab ja seda täpsemad on saadud hinnangud sidesüsteemi nõuetele. Samas on detailsem mudel ka keerukam kirjeldada ja analüüsida. NT: tõenäosustabel, Markovi mudel, erinevad graafid jne 29. Entroopia mõiste ja arvutamine, allika sümbolikiirus ja informatsiooni tekkekiirus Kui allika sümbolite esinemise tõenäosused on erinevad, siis saab seda allikat iseloomustada Shannoni entroopiaga ehk antud informatsiooniallika poolt toodetava informatsiooni (üllatuse) keskmise hulgaga Nagu näeme, on kasutatava logaritmi aluseks kaks, seega on ka entroopia mõõtühikuks bitt.
— Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused — Vastavused ja Relatsioonid MATEMAATILINE LOOGIKA — Graafid LAUSEARVUTUS — Kombinatoorika: Kombinatsioonid, Variatsioonid, Permutatsioonid Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles
ühikud, mis on kombineeritud kindlate reeglite järgi, kuid me pole kindlad, kas nende sisud on seostatavad täpsete tähendustega) Leiutis, väljamõeldis (invention) Seos tüübi ja tokeni (üksikmärk ) vahel on lihtne suhe. Loomulikus keeles tavaline (tähistaja ja tähistatava seos). Kuid mitte ainult arbitraarsed märgid, vaid ka näiteks sümptomid. Väljamõeldise näited: Ühildumised (congruences) Projektsioonid (projections) Graafid (graphics) Päikesekella näide Väljamõtleja projekteeris (geomeetrilises mõttes) konkreetse kogemuse andmed väljenduslikku diagrammi. Projektsioon kui kultuuriliste operatsioonide kogum, määrab ära just sellise väljenduse võimalikkuse. leiutis piirides: sobivate punktide maksimum (näiteks surimask) ühilduvuses läbi produktsiooni tüüpide kuni saadakse sobivate punktide miinimum graafidena
Ruumilis- Visuaalne ja ruumi- Kunstnikud, Disainida riietus- Pildid, kujundid, visuaalne line taju, visuaalsete disainerid, koo- ese, tõlgendada maalid, 3D-ruum piltide interpretat- miksijoonistajad, maali, luua ruumi sioon ja loomine, multifilmikunstnikud, asetus, luua firma piltlik kujutamine arhitektid, foto- logo, disainida maja, ja väljendamine, graafid, skulptorid, mahutada kohver mõistab piltide ja linnaplaneerijad, auto pungil täis tähenduste seost leiutajad, insene- pagasiruumi ning tunnetab ruumi rid, kosmeetika- ja mõju olulisust ilunõustajad Interper- Teiste inimeste Terapeudid, Tõlgendada Inimlik side, suht- sonaalne tunnete tajumine, vahendajad, juhid, näoilmete kaudu lemine, koostöö,
annaabi.ee 
