Antsla Gümnaasium 8B klass CARL FRIEDRICH GAUSS Referaat Juhendaja: õpetaja 2008 Sisukord Sissejuhatus 3 Carl fr. Gauss 4 Kokkuvõte 7 Kasutatud allikad 8 Lisad 9 Sissejuhatus Valisime Carl Friedrich Gaussi sellepärast et ta tundus meile kõige sobivam matemaatik.Raamatust vaadates tundus just tema jutt ja nimi huvitavam kui teised. Gauss olevat ilmutanud oma matemaatilisi võimeid juba siis kui ta oli kolme aastane. Ta oli väga tark laps.Ta arvutas alati isaga koos arveid ja oli omapärane poiss. Gaussi aju kaalus kolm naela ehk 1492 grammi. Carl fr. Gauss Matemaatikute vürsti gaussi sugupuu oli kõike muud kui vürstilik. Ta sündis armetus hütis vaeste vanemate lapsena 30
Gaussi_tabel z x y x1 x2 -4 -5 -9 -11 0 0 1 1 1 1 1 0 3 5 10 15 1 1 Page 1 Gaussi_tabel x3 0 15 109 Page 2
tisarvude 1 kuni 100 liitmiseks. Ta ppis Braunschweigis ja Gttingenis. Kui Gauss oli 14 aastane, esitleti teda Braunschweigi hertsogile, kes poisi andekusest vaimustus ning teda ka pikka aega rahaliselt toetas. likooli ajal 1796 nitas, et sirkli ja joonlaua abil on vimalik konstrueerida korraprast seitseteistnurka. Umbes samal ajal tuletas ta vhimruutudemeetodi. Doktorits testas algebra phiteoreemi. Vhimruutude meetodi phjal tuletas ta ,,Gaussi meetodi" taevakehade trajektooride kindlaks tegemiseks. Seda meetodit kasutatakse siiani satelliitide jlgimisel. Aastatel 1802 ja 1809 kandideeris Gauss ka Tartu likooli professoriks. Tulemuste eest astronoomias mrati Gauss 1807 Gttingeni observatooriumi direktoriks. 1827 ilmunud t pani aluse diferentsiaalgeomeetriale. Gaussi kvera nime kannab normaaljaotuse kver. Kompleksarve nimetatakse ka vahel Gaussi arvudeks. Gaussi meetodi nime kannab meetod lineaarvrrandissteemide lahendamiseks
Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid. Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte. Kui astmelisele kujule
mõlema laengu suurusega ja pöördvõrdeline laengute vahekauguse ruuduga. Jõu siht ühtib laenguid läbiva sirge sihiga. 2. Elektrivälja tugevus. Elektrivälja tugevus on arvuliselt võrdne jõuga, mis mõjub antud punktis asuvale ühikulisele punktlaengule. Vektori E suund ühtib positiivsele laengule mõjuva jõu suunaga. Elektrivälja tugevus on positiivsele ühikproovilaengule antud väljapunktis mõjuv jõud. 3. Gaussi teoreem integraalsel ja diferentsiaalsel kujul. Gaussi teoreem: elektrivälja tugevuse vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud elektrilise konstandiga 0. Gaussi teoreem diferentsiaalse kujul: Vähendatakse ruumala kuni see muutub punktiks. Elektrostaatilisevälja divergents Divergents skalaarne funktsioon koordinaatidest Divergents näitab kuidas elektriväli muutub selle punkti läheduses. Mittehomogeenne väli ( väljatugevus ei ole kõigis punktides ühesugune) muutub
elektriväljas. Vektori E suund ühtib positiivsele laengule mõjuva jõu suunaga. Joon.2-2. Punktlaengu elektrivälja tugevus E. kus F [N] on elektriline jõud, mis mõjutab üht laenguühikut elektriväljas piki laenguid ühendatavat joont, q1 [C] punktlaeng,0 - dielektrilise läbitavuse konstant või vakuumi dielektriline läbitavus. Elektrivälja voog ja Gaussi seadus: Gaussi seadus on üks Maxwelli võrranditest. Ta võimaldab hinnata elektrivälja paljudes praktilistes situatsioonides, moodustades laengut ümbritseva sümmeetrilise Gaussi pinna, ja leida elektrivälja voo läbi selle pinna. Väljatugevuse vektori E voog E läbi väikese tasapinna määratakse seda pinda läbivate jõujoonte arvuga. Seega elektrivälja voog läbi pinnaelemendi ds elektriväljas on defineeritud kui selle pinna suhtes
Töö koostaja: Aet Udusaar 030740 IATM Tallinn 2007 Ülesanne Uurida ja analüüsida joonisel 1 antud skeemi. Joonis 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeem Andmed: Edastuskanal: AWGN+Rice (K=1) Modulatsioon: BPSK Häirekindel kood: CC (4;2,8) Edastuskanal AWGN lühikirjeldus AWGN (Additive White Gaussian Noise) tähendab lühendit valge gaussi müraga edastuskanalile (additive white gaussian noise). Vastuvõtjas võetakse vastu signaal, mis omab kuju r(t) = s(t) + n(t), kus r(t) on vastu võetud signaal, s(t) edastatud signaal ja n(t) on valge müra. Valge gaussi müra on müra, mille sagedusspekter on pidev ja ühtlane üle kogu sagedusala. Samuti on valgel müral iga hertsi kohta võrdne võimsus sagedusalas. AWGN kanali lihtsa matemaatilise tausta tõttu on see digitaalkommunikatsioonikanali jaoks
mille punktides elektrinihkel on uuritav väärtus: pikkusega, mille punktides magnetvälja Elektrinihe=laeng/pindala tugevusel on uuritav väärtus: magnetvälja tugevus=voolutugevus/joone pikkus Väljavektori voog näitab välja jõujoonte Magnetvoog = magnetinduktsioon ×pindala läbiminekut mingist pinnast. Elektrinihke voog = = B S cos = Bn S elektrinihe ×pindala D = D S cos = Dn Gaussi seadus: elektrinihke voog läbi kinnise Gaussi seadus magnetvälja kohta: magnetvoog pinna võrdub selle pinna poolt piiratud läbi kinnise pinna võrdub nulliga. Magnetvälja elektrilaengute algebralise summaga jõujooned on kinnised, ilma alguse ja lõputa jooned. Magnetlaenguid pole olemas Tsirkulatsioonilause elektrivälja kohta: Kogu voolu seadus(ehk magnetvälja
rea või veeru järgi. Determinant võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. 6)Maatriksid. Tehted maatriksitega. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on rakendatav ka juhul, kui süsteemi kordajate maatriksi determinant võrdub nulliga või kui süsteemi tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust. Põhimõtteliselt on Gaussi meetod liitmisvõtte edasiarendus. Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis
Lineaarse võrrandisüsteemi teisendamisel samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi: 1) süsteemi suvalist võrrandit korrutatakse mistahes nullist erineva arvuga; 2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega. Gaussi meetod Teoreemist selgub, et teisenduste 1) ja 2) rakendamine võrrandisüsteemile on samaväärne võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi ridade elementaarteisendustega. On lihtne näha, et kui võrrandisüsteemi maatriks A on nullmaatriks, siis peab tema lahenduvuseks olema ka vabaliikmete maatriks b nullmaatriks. Sel korral on lahendiks suvaline n-mõõtmeline aritmeetiline vektor. 1 0 0 0 1 0
seonduvad aine konvektsioonivoolud. Välistuuma moodustab suuremas osas sulaolekus raud, mis on hea elektrijuht. Maa pöörlemise ning konvektsiooni tõttu tekivad sularaua voolud, mis omakorda indutseerib elektromagnetvälja. Spiraalselt liikuvad ioonid põhjustavad aga elektrivoolu, mis omakorda genereerib dipoolisarnase magnetvälja. Välja tugevus. Magnetvälja tugevus on suurim poolustel ja nõrgim ekvaatoril. Globaalselt jääb magnetvälja tugevus 0,25 0,65 gaussi piiresse. Võrdlusena on keskmise külmkapimagneti tugevus ligikaudu 100 gaussi. Välja tugevuse miinimum on Lõuna Ameerika kohal, maksimum aga Põhja-Kanada, Siberi ja Austraaliast lõunasse jääval Antarktika ranniku kohal. Maa magnetvälja tugevus on alates 19. sajandist vähenenud kuni 10% võrra.
seonduvad aine konvektsioonivoolud. Välistuuma moodustab suuremas osas sulaolekus raud, mis on hea elektrijuht. Maa pöörlemise ning konvektsiooni tõttu tekivad sularaua voolud, mis omakorda indutseerib elektromagnetvälja. Spiraalselt liikuvad ioonid põhjustavad aga elektrivoolu, mis omakorda genereerib dipoolisarnase magnetvälja. Välja tugevus. Magnetvälja tugevus on suurim poolustel ja nõrgim ekvaatoril. Globaalselt jääb magnetvälja tugevus 0,25– 0,65 gaussi piiresse. Võrdlusena on keskmise külmkapimagneti tugevus ligikaudu 100 gaussi. Välja tugevuse miinimum on Lõuna Ameerika kohal, maksimum aga Põhja-Kanada, Siberi ja Austraaliast lõunasse jääval Antarktika ranniku kohal. Maa magnetvälja tugevus on alates 19. sajandist vähenenud kuni 10% võrra.
: - : : 7. Optimaalne vastuvõtt Gaussi kanali korral eristajad . n'(t) . 8. Optimaalse vastuvõtja efektiivsus erinevate
Väljavektori voog näitab välja jõujoonte läbiminekut mingist pinnast. Elektrinihke voog = elektrinihe × pindala Magnetvoog = magnetiduktsioon × pindala D = D S cos = Dn S = B S cos = Bn S Magnetvoo ühik veeber 1 Wb = 1T 1m2 Gaussi seadus: elektrinihke voog läbi kinnise pinna võrdub Kogu voolu seadus: magnetiline pinge kinnisel joonel selle pinna poolt piiratud laengute algebralise summaga. (väljatugevus × joone pikkus) võrdub kogu vooluga (kõigi voolude summaga), mis läbib selle joonega piiratud pinda. Gaussi seaduse mõte: kõik kinnise pinna sees paiknevad Kogu voolu seaduse mõte: kõik kinnise joonega
tekitamiseks elusate organismide läbipaistmatute elundite sisemusest (kasvajad jne). MRT masinas on suur horisontaalne tuub, kuhu patsient siseneb, millega jookseb paralleelselt ka magnet. Aga see pole lihtsalt tavaline magnet, vaid väga võimas süsteem, mis on võimeline tekitama väga tugeva ning stabiilse magnetvälja. MRT masinas asuva magneti tugevust mõõdetakse gaussides. Selle magneti võimsus varieerub 5000-20 000 gaussi vahel. Sellest ei pruugi kohe aru saada, aga kui mõelda, et maa magnetväli on 0,5 gaussi, siis me taipame, kui võimsad need magnetid seal sees on. Enamus MRT masinaid kasutavad ülijuhtivaid magneteid, mis koosnevad paljudest mähistest või keerdus juhtmetest läbi mille elektrivool lastakse tekitades tugeva magnetvälja. Sellise suure magnetvälja säilitamise jaoks on vaja kõvasti energiat, mida saavutatakse elektritakistuse vähendamisega juhtmetes peaaegu nullini.
4 0 V r 3 r Graafiliselt iseloomustatakse elektrivälja väljatugevuse joonte e E - joonte abil nende r tihedus on võrdeline vektori E arvväärtusega ja puutujad neile igas punktis ühtivad r vektori E suunaga nendes punktides. r Gaussi teoreem: E - voog läbi kinnise pinna S on võrdne selle pinna sisse jäävate r q laengute q S algebralise summaga, jagatud 0 -ga: E dS = S . Siit on saadavad S 0 valemid ühtlaselt pindtihedusega laetud lõputu tasandi elektrivälja jaoks: E = ja
❑ ❑ Φ=∫ E(→) dS(→)=∫ EdScos α See integraal on kahekordne, nn pindintegraal, mis tähendab, S S et integreerimine toimub üle 2 ruumikoordinaadi. Kui pind S on kinnine (nt sfääri pind), siis ❑ lisatakse integraali märgile ringjoon ∮ ❑. ❑ 4. Gaussi teoreem elektrivälja korral. 2 Gaussi teoreem: elektrivälja tugevuse vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud elektrilise konstandiga ε0. Gaussi teoreem Φ= qsees/ qsees - kogulaeng kujuteldava kinnise pinna (Gaussi pinna) sees ja Φ on elektrivälja koguvoog läbi selle pinna.
ühe reaga liita mistahes teguriga ka, et süsteem on kooskõlas). nimetataks fookustek , on korrutatud teine rida. Determinant seda Lineaarne võrrandisüsteem on konstatrtne. omadust kasutatakse mõnede lahenduv_r _ r´ (see on nn. II järku jooned. Hüperbool elementide nulliks muutumiseks, et astakutingimus). Hüperpooliks nimetatakse tasandi Determinandi arvutamist lihtsustada. Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. nende punktide hulka, mille Maatriks, tehted maatriksitega Näited Gaussi meetodi puhul kauguste vahet tasandi kahest Kirjutades nende vektorite teisendatakse laiendatud maatriksi antud punktist on koordinaadid välja tabelina, nii et AB kõik elemendid allpool absoluutvdäärtuselt konstantne. ühe ja sama vektori Koordinaadid peadiagonaali nullideks, II järku jooned
purske Viimased pursked on olnud aastatel 2007, 2010 ja 2012 Lähim inimasustus on 30 km kaugusel VULKAANIPURSETE MÕJU 28 okt 2010 purskusid Kamtsatka poolsaarel korraga vulkaanid Kljutsevskaja Sopka ja Siveluts 30 km kaugusel asuv UstKamtsatki küla mattus tuha alla, suleti koolid ja lasteaiad, nähtavus vaid mõni meeter HUVITAVAID FAKTE Vulkaanijalamile on paigaldatud veebikaamerad. Populaarne turistide ja mägironijate seas. Esmakordselt roniti tippu 1788. a, Daniel Gaussi juhtimisel 1960. a ronisid vulkaani tippu eestlased, teiste seas ka Lennart Meri
SI-süsteemis on laengu ühik defineeritud elektrivoolu tugevuse kaudu: 1C (1 kulon) on laeng, mis läbib juhi ristlõiget sekundis, kui vooutugevus on 1 A (amper). Seega võrdetegur : kehadele tõmbe- või tõukejõudu. Elektrivälja kohta käib kaks teoreemi · Elektriväljad on sõltumatud; laengule mõjub summaarne väli. · Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga(gaussi teoreem) Coulomb'i seadus kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. (Ilmne sarnasus ülemaailmse gravitatsioonijõuga) (k on võrdetegur, q on laengud, r on vahekaugus) Erinevalt grav-jõust, võib vastasmõjuks olla nii tõmbe-, kui tõukejõud. Antud valemit võib veidi ratsionaliseerida (asendame võrdeteguri) SI-süsteemis:
Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud
süsteemis, mis vähendavad süsteemi võimet teha tööd, sest osa energiast on pöördumatult muundunud soojuseks. Iseenese hooleks jäetud süsteem läheb üle vähem tõenäosest olekust enam tõenäosesse olekusse. enam tõenäone on see süsteemi olek, mille realiseerumisviiside arv on suurem. 10. Elektriväli vaakumis a. Elektrilaengu jäävuse seadus b. Elektriväli, selle tugevus c. Elektrivälja energeetiline karakteristika d. Elektriväljatugevuse voog e. Gaussi teoreem elektrostaatilise välja jaoks vaakumis f. Gaussi teoreemi rakendusi A) Elektrilaengu jäävuse seadus isoleeritud süsteemi elektrilaengute algebraline summa on jääv B) Elektriväli, selle tugevus C) Elektrivälja energeetiline karakteristika Väljapunkti potentsiaal on sellesse punkti paigutatud ühikproovilaengu energia. Väljatugevus näitab potentsiaali kõige kiirema kahanemise suunda ja selles suunas potentsiaali muutust pikkusühikul.
juhtveeruks valitakse sihifunktsiooni reas kõige negatiivsema elemendiga veerg 2. hinnang veeru positiivsele elemendile saadakse vabaliikme jagamisel hinnatava elemendiga 1.juhtelemendiks valitakse juhtveeru see positiivne element, mille hinnang on kõige väiksem 2.kui juhtveerus ei ole positiivseid elemente, sihifunktsioonil ei ole nendel tingimustel maksimumi (sihifunktsioon kasvab tõkestamatult) Gaussi meetodil arvutatakse lahendi uus esitus, mille baaslahend on lubatav. Uues baaslahendis on sihifunktsiooni väärtus suurem kui eelmise esituse baaslahendis. Kui uue maatriksi sihifunktsiooni reas ei ole enam negatiivseid elemente, on maksimum leitud; kui on, tehakse järgmine samm Duaalne simpleksmeetod Reeglid 1. Kui leidub vähemalt üks negatiivne vabaliige, alustatakse duaalse simpleksmeetodiga 2. Juhtreaks valitakse kõige negatiivsema vabaliikmega rida
10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? Normaaljaotuse omadusi: Normaaljaotus on sümmeetriline oma keskväärtuse suhtes. Normaaljaotuse korral ühtivad keskväärtus, mood ja mediaan. Kui dispersioon suureneb, muutub graafik madalamaks ja seega ka laiemaks (hajuvus suureneb) ning lamedamaks. Gaussi kõvera alune pindala x-teljeni on 1, sest juhusliku suuruse X kõikvõimalike väärtuste tõenäosuste summa peab olema 1. Juhusliku suuruse X väärtustest ligikaudu 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? 15
dq dq dq Ruumtihedus - = ; pindtihedus - = ; joontihedus - = dV dS dl 1 r dV E= 4 V r 3 Vektori E voog arvuliselt võrdne välja joonte arvuga läbi selle pinna = ES Elementaarvoog d = EdS cos 1.4. Gaussi teoreem 1 1 EdS = q s = i =1 qi pideva jaotuse korral EdS pdV n qs = S 0 S 0 V 1.5
Elektrostaatiline väli - paigalseisvate laengute tekitatud elektriväli Elektrivälja tugevus- elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehale. Homogeene elektriväli- homogeense välja jõujooned on omavahel paralleelsed sirged, mille vahekaugus ei muutu Elektrivälja punkti potentsiaal- näitab, kui suur on selles punktis ühikulise positiivse laenguga keha potentsiaalne energia. Pinge- kahe punkti potentsiaalide vahet nim. Pingeks Gaussi teoreem ja rakendused praktikas Juhtivale kehale antud laeng jaotub samanimeliste laengute tõukumise tulemusena keha pinnale. Keha sees valitud mistahes kinnise pinna ehk Gaussi pinna (Gaussian surface) poolt piiratud ruumalas laenguid ei paikne. Seetõttu ei läbi valitud pinda ka elektrinihke või väljatugevuse voog ning järelikult on elektrivälja tugevus sellise pinna punktides null. Joonis (b):Analoogiliselt on elektrivälja tugevus null ka juhul, kui valitud pinna sees paikneb õõnsus
saavutada kõikvõimalikke väärtusi (mõistlikust vahemikust) · Näiteks vastsündinud laste kaal on pidev juhuslik suurus Normaaljaotuse teke · Looduses tekkivad tunnused jaotuvad sageli normaaljaotuse järgi · Palju on objekte, mille väärtus on keskmisele lähedal, vähe objekte, mis keskmisest väga erinevad · Normaaljaotusega on näiteks Inimeste pikkus ja kaal Inimeste pea ümbermõõt ... Normaaljaotuse graafik e Gaussi kõver Esinemise tõenäosus Tunnuse suurus Normaaljaotuse omadusi 1. Sümmeetriline keskväärtuse suhtes 2. Keskväärtus, mood ja mediaan ühtivad 3. Dispersiooni suurenedes muutub graafik madalamaks ja lamedamaks 4. Graafiku alune pindala on 1 (tõenäosuste summa on 1) 5. Juhusliku suuruse väärtustest ligikaudu 68% kuulub piirkonda [EX - ; EX + ]; 95% kuulub piirkonda [EX - 2; EX + 2];
küljes kahte moodustist, kuid ta ei suutnud välja selgitada, millega on tegemist. Saturni rõngad on oma nime saanud nende avastamise järgi tähestikulises järjekorras. Rõngaste osakesed koosnevad jääst, mis on segatud metaani ja ammoniaagiga. Osakeste suurus kõigub mikromeetrist kilomeetrini. Saturn Saturnil on olemuslik magnetväli, mis on lihtne, sümmeetriline kuju-magnetilise dipooli. Tema tugevus ekvaatoril - 0,2 gaussi umbes 1 / 20 kui väli ümber Jupiteri ja veidi nõrgem kui Maa magnetväli. Selle tulemusena Saturni magnetosfäär on palju väiksem kui Jupiteri. See magnetosfäär on tõhusaks kaiteks päikesetuulte osakestest Päikeselt. Saturni magnetosfäär, nagu Maa, toodab revonit. Kasutatud allikad http://et.wikipedia.org/wiki/Saturn http://en.wikipedia.org/wiki/Saturn http://www.miksike.ee/documents/main/elehed/4klass/1kosmo http://opik.obs.ee/osa2/ptk07/tekst.html
Pindala määramine graafiliselt.Määrata graafiliselt topograafilisel plaanil piiritletud maatüki pindala. Pindala mehaaniline määramine e. pindala määramine planimeetriga: a) määrata planimeetri jaotise väärtus, b) määrata ühe kõlviku pindala planimeetriga. Töövahendid: Taskuarvuti, andmed laboratoorsest tööst nr.5, planimeeter. Metoodika: Analüütiliselt: kasutades laboratoorses töös nr. 5 saadud koordinaate arvutan välja maatüki pindala kasutades Gaussi valemit. Saadud tulemused tabelis 1. Graafiliselt: jaotan maatüki kolmeks kolmnurgaks, arvutan iga kolmnurga pindala ja liidan need, saades kogu maatüki pindala. Saadud pindalad tabelis 2. Ülesanne 1. Analüütiline pindala määramine.Arvutada maatüki pindala piiripunktide ristkoordinaatide järgi. Punkt Xi Yi Yi+1-Yi-1 Xi-1-Xi+1 X i(Yi+1-Yi-1) Yi(Xi-1-Xi+1) 1 2 3 4
mõõdetud horisontaal- ja vertikaalnurkade kaudu. Vaatlusi sooritati mitmest seisupunktist ning vaatlusvõrgu punktidelt. Igast seisupunktist tehti vaadeldavatele reeperitele 3 täisvõtet. Kuna mõõtmiste käigus kasutati elektrontahhümeetrit Trimble S6, siis oleks kaarereeperite plaanilisi koordinaate ja kõrgusi saanud mõõta ka kasutades selleks instrumendi laserit. Kaarereeperitele arvutati koordinaadid kasutades jällegi Geo2012 programmi. Koordinaatide arvutamine toimus Gaussi otselõike põhimõttel. Deformatsioonide määramine toimus mõõtmistulemuste võrdlemisel kaheksa varasema mõõtmise andmetega. Lisaks on oluline hinnata deformatsioonide määramise täpsust. Sellest tulenevalt peaks selguma kas hälbed varasematest mõõtmistest on tingitud reeperite vajumisest. Martin Sirk on oma töös deformatsiooni määramise täpsust hinnanud erinevatest mõõtmistest saadud kõrguste standardhälvete kaudu. Kõrguste
Sellest järeldub – mida avaldub valemiga: e2=2 α- α2 UKTM; ellipsoidil GRS-80 Rakendatud Eesti suurem on trajektoori ekstsentrilisus, seda 6. Kirjelda taustsüsteemi WGS-84. WGS-84 on baaskaart TM Balti) ja puutujasilindrit kasutav rohkem muutub satelliidi kiirus traektooril. ülemaailmne ruumiliste geotsentriliste koordinaatide Gaussi-Krügeri projektsioon( näiteks Krassovski 34. Kepleri 3 seadus- Planeetide süsteem alguspunktiga Maa masskeskmes. Z-telg on ellipsoidile rakendatud 60 tsoonidest koosnev tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu Maa pöörlemistelg, x- telg on suunatud ekvaatori ja Venemaa maailmakaart NL42 ning 30 tsoonidest nende planeetide orbiitide suurte pooltelgede
tänapäevani. Elulugu Carl Fr. Gauss sündis 30. aprillil 1777 Braunschweigi linnas vaesesse perekonda. Ta ei saanud läbi oma isa Gebhard Dietrichiga (1744–1808), kes ei pooldanud poja haridusteed, vaid eelistas, et Carl tegeleks pigem käsitööga, näiteks müürsepa või aednikuna. Samas olid Carlil väga head suhted oma ema Dorothea Benzega (1743– 1839), kes oli kohusetruu, kindla iseloomuga, tark ja alati rõõmsameelne ning kes tundis Gaussi üle suurt uhkust. Tartu Ülikooli kandideerimine Gauss kandideeris aastatel 1803 ja 1809 Tartu Ülikooli astronoomia- ja matemaatikaprofessori kohale. Esimene kord Tartu Ülikool ei pannud tema kandidatuuri hääletusele, sest rektor professor Georg Friedrich Parrot (1767–1852) soovis leida õppejõude oma tutvusringkonnast, ning esitas kirjaliku avalduse, kus selgitas, et Gauss ei lahku Braunschweigist. Valituks sai Parroti soovi kohaselt J. W. A. Pfaff, kuid kes ei olnud
nomenklatuur, mille aluseks kuuekraadilised pikkuskraaditsoonid ja kaheksakraadilised • laiuskraadi vööndid • Tsoone loendatakse ööpäevarajast alates ida suunas 1-60, laiusvööndeid alates 80o ll kuni 80o pl tähestikuga C-X • Koordinaatide alguspunkt asub iga tsooni jaoks eraldi ekvaatori ja telgmeridiaani ristumisest 500 km läänes ja 10 000 km lõunas [1] Joonis 8. UTM Mercatori põikprojektsioon • Gaussi-Krügeri projektsioon ehk ortomorfne silindriline põikprojektsioon • Iseloomustab sirgjooneline ekvaator ja sellega ristuv ainuke sirgjooneline meridiaan (telgmeridiaan) • Ülejäänud paralleelid ja meridiaanid on kõverjooned • Meridiaanid ja paralleelid ristuvad alati • Projektsioon võib olla puuteprojektsioon, mille puhul 9
Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendusteks nimetatakse 1. tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2. tema mingile võrrandile teise mistahes reaalarvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist 3. süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist. Lahenduv LVS Võrrandisüsteemi nimetatakse kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt üks lahend. Vastuoluline LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole lahendeid. Gaussi meetod Gaussi meetod baseerub võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Vabad tundmatud Maatriksi astakust lahutada juhtelemendid, siis saab vabad tundmatud. Neid kasutame juhtelementide arvutamiseks. Maatriksi astak Maatriksi astak on nullist erinevate täiendusmiinorite kõrgeim järk.
veaparandusega Tabel 1. Lähteandmed 2. Struktuurskeemi osade lühikirjeldused 2.1 Modelleerimise struktuurskeem SIMULINKis Kogu ülesande lahendamisel kasutasin ühte ja sama struktuurskeemi: Joonis 2. Struktuurskeem SIMULINKis 2.2 Edastuskanal -> AWGN AWGN (Additive White Gaussian Noise) aditiivse valge Gaussi müraga kanal on laialdaselt kasutatav kanali mudel: Joonis 3. AWGN kanali struktuurskeem Kanalis liitub edastavale infosignaalile gaussi normaaljaotusega valge müra, kusjuures müra spektraaltihedus on kõikidel sagedustel konstantne. Väljundis saadakse liitunud signaal. AKF Rv(), mis sisaldab kaalutud deltafunktsiooni. AWGN mudel on ka sageli piisavalt hea, et seda kasutatakse ka satelliitsides juhul kui saatja ning vastuvõtja üksteist näevad. 2
LABORATOORNE TÖÖ NR. 8. PINDALADE MÄÄRAMINE Eesmärk: Määrata pindala analüütiliselt, graafiliselt ja mehaaniliselt. Ülesanne 1. Analüütiline pindala määramine. Arvutada maatüki pindala piiripunktide ristkoordinaatide järgi. Lähteandmed (punktide 1, 2, 3, 4 5, 6 ja 7 ristkoordinaadid X ja Y) võtta laboratoorsest tööst nr. 7 " Plaani koostamine ristkoordinaatide järgi" Metoodika: Pindala arvutatakse Gaussi valemitest (kaks korda): Tabel 1.1. Pindala arvutamine TM-Baltic koordinaatide järgi Punkti nr. Xi Yi Yi+1-Yi-1 Xi-1-Xi+1 Xi(Yi+1-Yi-1) Yi(Xi-1-Xi+1) 1 2 3 4 5 6 7 - 653 604 246842113
See jaotus eeldab, et nähtusel on mingi keskmine tase, mille ümbruses varieerub suurem osa väärtustest. Suuri kõrvalekaldeid esineb harva ja need toimuvad võrdvõimalikult mõlemale poole. Normaal- jaotus on määratud ja täielikult kirjeldatav kahe parameetriga keskväärtuse ja standardhälbe ehk dispersiooniga. Normaalajotust kujutav graafik on kellukese kujuline ja sümmeetriline keskväärtuse suhtes. Jaotust nimetatakse ka Gaussi-Laplaci kõveraks. Joonis 1. Normaaljaotus tekib siis, kui tunnuse väärtust mõjutavad väga paljud juhuslikud tegurid ja neist igaühe mõju on väga väike. Normaaljaotus on teoreetiline abstraktsioon. Eluslooduses ei ole ükski asi täpselt normaaljaotusega, kuid paljud tunnused on looduses normaaljaotusele väga lähedase jaotusega. Joonis 1. Normaaljaotuse graafik Normaaljaotusega tunnuse väärtuste ulatust saab iseloomustada standardhälbe kaudu. Kolme
(lk 37) Kui õpetaja suudab teha õppeaine lihtsakas ja huvitavaks , siis saab ta tagada ka edu elamuse ja õpihuvi. Õpetja kelle ainetes ei ole palju positiivseid hindeid võib kahelda oma proffessionaalsuses. Õpetaja peaks arvestama, et õpitulemused peegeldavad tema pedagoogilist oskust. (lk 38) Normaaljaotsut ei ole mõtekas kasutada hindamise lausena. Esiteks kui normaaljaotus on hindamise alusek sei peagi õpetajad tegelema kõigi inimestega, sest alati jaotuvad õpilased Gaussi kõveras. Teiseks langeb Gaussi kõvera alusel ka õpimottivatsioon. Komandaks normaaljaotuskõverast lähtumine hindamisel ei saa õpetaja tagasisidet oma õpetamis oskuse kohta. Nimelt kõver ütleb, et õpetaja suudab selgeks teha aine ainult vähestle. Neljandaks, normaaljaotusesse mahtumine võib tekitada stressi ka õpetajas. (lk 40) Madala enesehinnaguga inimestel on probleemid reaalses igapävaelus, kaasaarvatud õpimisel
leiduvad alternatiivsed lahendid? Kuidas seda hinnata graafilise lahendusmeetodi puhul, kuidas simpleksmeetodiga lahendades? Graafiliselt on ühene siis, kui parim nivoojoon omab lubatava hulgaga ainult ühte ühist punkti; Graafiliselt on mitmene siis, kui parim nivoojoon omab aga lubatava hulgaga rohkem kui ühe ühise punkti, siis on olemas ka alternatiivsed optimaalsed lahendid Simpleksmeetodiga on mitmene siis, kui peale Gaussi teisenduste sooritamist süsteemi maatriksi ridade arv (ehk süsteemi lineaarselt sõltumatute võrrandite arv) on väiksem muutujate arvust. Simpleksmeetodiga on ühene siis, kui peale Gaussi teisenduste sooritamist süsteemi maatriksi ridade arv (ehk süsteemi lineaarselt sõltumatute võrrandite arv) on võrdne muutujate arvuga 12. Mida tähendab, et lineaarse planeerimise ülesanne on tõkestamata? Kuidas lugeda simplekstabelist välja, et ülesanne on tõkestamata?
Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid. N: -1 2 1 1 ! 7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A
päritavus", kus uurimise aluseks oli entsüklopeedias avaldatud suurmeeste elulood. Lahtine oli küsimus, kui suures osas on andekus ja iseloom päritavad. Puudus ka meetod, kuidas väljendada päritava omaduse seose tugevust. Galton lahendas probleemi nii: 1885.a mõõtis ta ligikaudu tuhande täiskasvanud mehe ja naise pikkuse ning tuletas andmetest nende vanemate keskmise pikkuse. Vanemate ja laste pikkuste vahel puudub väga jäik ja kindel seos. Pikkused on jaotunud normaalselt (Gaussi kõver, normaaljaotus; keskmisele taandumise reegel- regression to the mean) . Gaussi avastus kehtib mitte ainult pikkustele vaid ka nt vaimsete omaduste puhul. Kuigi pikkuste vahel puudub jäik seos, on püsiv tendets, et pikkade vanemate lapsed on keskmisest pikemad ja lühematel keskmisest lühemad, vaatamata sellele, et toimub keskmisele taandumine. Sellise seose olemasolu kutsutakse korrelatsiooniks.
1.6. Tabelites kasutatud valemid 1.6.1. =mõhus / (mõhus - mvees) * 1000, Tiheduse arvutamise valem(6) Tihedus, kg/m3 mõhus - Proovikeha mass õhus, g mvees - Proovikeha mass vees, g 1.6.2. Rs = Fs / A, Survetugevuse arvutamise valem (7) Rs - Survetugevus, MPa F Purustav jõud, N A Survepind, mm2 1.7. Katsetulemustest saadud graafikud 1.7.1. Survetugevuse jaotus Gaussi kõveral (kõikide rühmade katsetulemuste põhjal) * Esimene number näitab rühma, teine number näitab tulemuste arvu antud survetugevuse juures (näide 1-1, 1 rühm, 1 tulemus). Graafik 1. Survetugevuse Gaussi kõver 1.7.2. Värvide spetsifikatsioon rühmade kaupa: 10 1. Lektor Tuist, esmaspäevane grupp, paaritu nädal 2. Assistent Liisma, teisipäevane grupp, paaritu nädal 3
pedagoog.Tema sõbralik ja asjatundlik juhendamine tõi nähtavale 15.aastase Abeli võimed.16.aastaselt hakkas ta täiesti iseseisvalt läbi töötama selliste matemaatikute uurimusi nagu näiteks Newton ja Euler.Sellest ajast hakkas Abelile matemaatika suurt huvi ja naudingut pakkuma.Holmboe ja Abel said lähedasteks sõpradeks.Kuigi õpetaja polnud ise loov matemaatik hindas ta matemaatika suurteoseid.Tema juhendamisel tuli Abel toime ka kõige raskemaga klassikaga nagu näiteks Gaussi teosega 'Artimeetilised uurimused'.Abel avastas lünki eelkäijate tõestustest ning otsustas end pühendada nende kõrvaldamisele. Aastal 1820 suri Abeli isa.Nüüd langes ema ja kuue õe-venna ülalpidamine 18.aastase Niels Henriku õlule.Ta võttis kogu vastutuse enda kätte ning oli optimistlik ja rõõmus.Kuid igapäevase elu mured olid suuremaks takistuseks Abeli kui matemaatikateadlese arengule.Holmboe oli
On lihtne näidata, kuidas ideaalse gaasi rõhk sõltub massipunktide liikumise keskmisest kineetilisest energiast: p=2/3nEkin Selle sõltuvuse tuletamisel ei lahendanud me ära mehaanika põhiülesannet kõikide ideaalse gaasi massipunktide jaoks, vaid kasutasime tõenäosusteooriat kuidas suure hulga punktmasside liikumine on kirjeldatud juhuslikke suurusi iseloomustavate suuruste (keskmine, ruutkeskmine hälve, Gaussi ja Maxwell'i jaotused) kaudu. Kasutades sama loogikat, on võimalik näidata, et Ekin=3/2kT, mis on temperatuuri "definitsiooniks" Ei ole raske näha, et niimoodi defineeritud rõhku ja temperatuuri kasutades saame meile tuntud gaasi oleku võrrandi. Ainult nüüd me teame ka, kuidas need suurused on seotud punktmasside liikumist iseloomustavate suurustega Ideaalne gaas (näiteks kolviga silindris) on võimeline osaledes erinevates
.. n vötab ta tõenäosusega PN,M {n, m}, kus N, M, n on jaotuse parameetrid. Tagasipanekuta skeem 9. Poisson jaotus Jaotusseadus Pt(X=x) = () / x! = fP(x,a) 10. Ühtlane (ristkülik) jaotus f(x) = {1/(b-a)}, kui a x b JS nimetatakse ristkülikjaotusega intervallis [a; b] kui tema tõenäosuse tihedus on konstantne c vahemikus [a; b] ja väljaspool [a; b] võrdne 0. 11. Normaaljaotus. Normeeritud normaaljaotus Normaaljaotus, mille tihedus on normeeritud ja tsentreeritud (a =0 ja ,=1) on Gaussi kõver 12. Eksponentsiaalne jaotus. (Töö)kindlusfunktsioon 13. Gammajaotus. Beetajaotus. Logaritmiline jaotus = 0 kui t <0 14. 2 jaotus. F jaotus. Studenti jaotus 52 jaotuseks n vabadusastmega nimetatakse sõltumatute standardsete normaalsete suuruste n ruutude summa jaotust 20. Matemaatiline ootus ja tema omadused JS keskkaalutud väärtus tõenäosusega. Tähis E või varasemalt M. Omadused: 21. Dispersioon ja tema omadused
Samal aastal hakkas Niels uurima algebraliste võrrandite astmeid ja leidis, et viienda ja kõrgema astme algebralised võrrandid ei ole radikaalides lahenduvad. See tegi ta väga kuulsaks teiste matemaatikute seas ja teda kutsuti tihti välismaale üritustele. Abel kirjutas isiklikult kuningas Karl III Johanile ning saigi 1825 lõpuks oma reisiks valitsuse stipendiumi. Tal oli plaan sõita kõigepealt Saksamaale Göttingeni matemaatik Gaussi juurde ning seejärel Pariisi. Ent Kopenhaagenisse jõudes mõtles ta ümber ning sõitis septembris 1825 oma sõpru saates hoopis Berliini, kuhu ta algul ei kavatsenud minna. Seal tutvus ta Altonast tulnud astronoomi Heinrich Christian Schumacheriga, kes oli kuuekuulisel külaskäigul Berliinis, ning matemaatikahuvilise inseneri August Leopold Crellega, kellest sai tema suur abistaja ning toetaja. Too oli alati tahtnud välja anda matemaatikaajakirja, mis võiks võistelda Prantsuse
valemist arvutatud krv-ga. Hälbeks nim. aritmeetilise keskmise L ja iga üksiku mõõtmistulemuse li vahet vi. (vt. valemite lehelt osa nr.4 b-punkti) Mõõtmiste täpsuse hindamine kaksikmõõtmiste järgi kui objekti mõõdetakse kaks korda nim. seda kaksikmõõtmiseks. Nt. nurga mõõtmisel Rp asendis ja Rv asendis. Ligikaudsed ja ümardatud arvud nendeks on mõõtmistulemused. Arvude ümardamisel lähtutakse Gaussi reeglist: 1) viimane allesjääv number ei muutu kui sellele järgnev arv on < 5. 2) viimane allesjääv number suureneb ühe võrra, kui sellele järgnev arv on > 5. 3) viimane allesjääv arv ümardatakse paarisarvuks, kui sellele järgnev arv on täpselt 5. Ümardatud arvude vead vahe ümardatud arvu a ja tema täpse väärtuse vahel x nim. ü. Küllalt suure rea puhul ilmuvad ümardatud arvude vigade omadused:
1 ∗q 1∗q 2∗r 12 4 PI∗E 0∗E F 12= r 2∗r 12 Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende laengute vahelise kauguse ruuduga Vihikus paremini arusaadav (Loeng 10). 13. Kuidas kirjeldavad elektrivälja jõujooned elektrivälja? Mida tihedamalt on jõujooned, seda tugevam on elektriväli. Jõujoon on suunatud nii, nagu elektrivälja tugevus. 14. Gaussi teoreem vaakumi kohta. (Tähtede tähendused) – Elektrivälja voog läbi kinnise pinna on võrdeline selle pinna poolt piiratud ruumalas oleva laenguga ja pöördvõrdeline dielektrilise konstandiga. FII = q / E E0 (E – aine dielektriline läbitavus, E0 – dielektriline konstant – 8,85*10-12 F/m, q – laeng. 15. Kui suur on elektrivälja töö laengu liigutamisel mööda kinnist trajektoori? (Põhjendada) 16. Mida näitab elektrivälja potentsiaal
{ ( 12 + 12 + 11 )- ( 11 )-0=-22 - 111 1 2 1 1 1 1 1 1 -1 11 ( + + )- ( )- ( + )= + 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + + )- ( + )-0= 3 2 1 1 1 1 1 1 4 { 2 1-2-0 3=-12 3 2-1-2 3=10 3 3-2 2-0 1=1 Arvutame Gaussi meetodiga: ( 2 -1 0 -12 0 -2 3 1 | ) ( |) 1 0 0 -4 -1 3 -2 10 0 1 0 4 0 0 1 3 Ja saime : 1=-4 S ; 2=4 S ; 3 =3 S Sõlmepingete alusel arvutada antud elektriahela skeemi kohaselt haaruvoolud I1 ... I6 . 1- 4 + 1 -4-0+ 2 4 -1 0-(-4) I1 = = =-1 A I2 = = =2 A R1 2 R2 2
. . , n. MAATRIKSVÕRRAND Maatrikskujul antud võrrand AX = B LAHENDUB MAATRIKSKUJUL parajasti siis, kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1. Seega, kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriks on regulaarne, ehk ta on nullist erineva determinandiga ruutmaatriks (vrdl Crameri peajuhtumiga), siis on süsteemi võimalik lahendada maatrikskujul: X = A-1B. 18 GAUSSI MEETOD Gaussi (17771855) meetod on universaalne meetod lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks. Selle abil vastatakse küsimusele süsteemi lahenduvusest ja kui süsteem lahendub, siis leitakse tema üldlahend. Meetod tugineb järgmisele tulemusele. LAUSE. Kui lineaarse võrrandisüsteemi AX = B ühele võrrandile liita nullist erineva arvuga korrutatud teine võrrand, saadakse süsteem, mis on esialgsega ekvivalentne. GAUSSI MEETOD:
annaabi.ee 
