Täiend,ühisosa,ühend,vahe,sümmeetriline vahe. Oluliseks, kui vaja tehete järjekord paika panna ja puuduvad sulud. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalsed avaldised esinevad alati paaridena, kus mõlemad avaldised on teineteise suhtes duaalsed. Kui hulgaavaldises asendada ühisosa ühendiga,ühend ühisosaga, tühjad hulgad universaalhulgaga ja universaalhulgad tühja hulgaga, saame algse avaldise suhtes duaalse kuju. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Hulgaavaldise Cantori normaalkuju CNK on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Milline on täielik normaalkuju? Minimaalne on lihtsaim cantori normaalkuju. Täielik on selline cantori normaalkuju, kus igas ühisosatehtes või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. vt. kuidas neid teisendada(LK40, 44-46) Mis on hulkade ristkorrutis?
parempoolses Üheksas võrdub 3. parempoolses Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel? Esimene põhiseos on neeldumine Teine põhiseos on sulgude lahtiliitimine Kolmas põhiseos on DeMorgani seadus Neljas põhiseos on kleepimine Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks? 4 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid? Kolmas (3) Neljas (4) Millised tehted võivad sisalduda hulgaavaldise Cantori normaalkujus? Ühend, täiend, ühisosa Mis on (lõpliku) hulga võimsus? Hulgas sisalduvate elementide arv Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? - Kleepimisseadus Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises? Kõigepealt TÄIEND Seejärel ÜHISOSA Kolmandana ÜHEND Verbaalne nimetus igale hulgale. Esimene hulkade ühisosa Teine hulkade võimsuste
Küsimus 1 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid ? Vali üks või enam: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Küsimus 2 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks ? ( sisesta number või sõna ) Vastus: 4 Küsimus 4 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises ? kõigepealt teostatakse hulgaavaldises TÄIEND ..
Alustatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 13.53 Olek Lõpetatud Lõpetatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 14.03 Aega kulus 10 min 45 sekundit Hindepunktid 13,00/13,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 2 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järjestatud paaride hulk ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: ristkorrutis Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
... 4. vasakpoolne avaldis võrdub ... Küsimus 8 Misnimelise reegli/seaduse abil saab Õige mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada Mark 1 out of 1 täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 9 millised järgnevad võrdused kehtivad alati ? Õige
Samaselt väär predikaat: predikaat, mis ei kehti kusagil määramispiirkonnas Tautoloogia: samaselt tõene lause Täidetav predikaat: predikaat, mis on tõene osas oma määramispiirkonnas Üldsuse kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna kõigi muutujate puhul Vastuolu: samaselt väär lause Või-tehe: disjunktsioon Hulgad Alamhulk: hulk, mille kõik elemendid kuuluvad suuremasse hulka, mile alamhulk ta on Cantori normaalkuju: ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus täiendit on rakendatud ainult üksikutele hulgatähistele Grassmani valemid: esitavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu Hulga astmehulk: hulga kõikide osahulkade hulk Hulga täiend: hulka mittekuuluvate elementide hulk Hulk: algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum Hulkade ühend: elemendid, mis kuuluvad emba-kumba hulka Hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka
2011 Diskreetne Matemaatika Eksam 1. Mis on graafi värvimise ülesanne? Mis on kromaatiline arv? Joonistada mõni näide. Mis on kromaatiline arv 2 aluselisel graafil? Mis on täieliku graafi kromaatiline arv? 2. Hulgateooria mõiste sümmeetrilise vahe kohta. Taandada sümeetriline vahe cantori normaalkujuks. Kas see täielik normaalkuju on minimaalne? Taandatud? Täielik? Mis on sümmeetrilise vahe matemaatilises loogikas? 3. Avaldis (x1x2x3x4) = Mingi konjuktiivne funktsioon (ei mäleta) 1. Leida minimaalne DNK 2. Leida taandatud KNK 4. Funktsioon (x1x2x3) = E(0,2,5,6,7)1 1. Leida täielik KNK 2. Leida shannoni arendus DNK x2 järgi. 3. Leida tuletis x3 järgi. Jääk ära näidata minimaalsel kujul.
Loogikatehted. Loogikaseadused. Predikaadid. Tõestusmeetodid k a — Hulgad i Hulgaalgebra (Cantori algebra). Hulgaaritmeetika n pidev objekt diskreetne objekt e h — Graafid i t Diskreetset matemaatikat nimetatakse "diskreetseks", et vastandada teda t nn. "pidevale" matemaatikale. u
Hulkade vahe ja sümmeetriline vahe. 34. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub? Täiend, ühisosa, ühend, vahe, sümmeetriline vahe. Oluline kui avaldises puuduvad sulud. 35. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalses hulgaavaldises on ühend asendatud ühisosaga, ühisosa ühendiga, universaalhulk tühihulgaga ja tühihulk universaalhulgaga. 36. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Avaldis, milles on hulgaaritmeetilistest tehetest ühend ja ühisosa, täiend võib olla rakendatud vaid üksikutele hulkadele. 37. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Minimaalne Cantori normaalkuju on vähima keerukusega ehk vähima hulgatähistega Cantori normaalkuju. 38. Milline on Cantori täielik normaalkuju? Cantori täielik normaalkuju on selline ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus igas tehtes osalevad kõik avaldises leiduvad hulgad. 39
Barnes selle lepingu. 1944 valiti Russell taas Trinity College'i kolleegiumiliikmeks. Elu lõpul elas Bertrand Russell mitu aastat Walesis, olles enamiku sellest ajast ikka veel aktiivne ühiskondlikes kampaaniates. Logitsism Loogika ajaloos seostub Russelli nimi filosoofi ja matemaatiku Alfred North Whitrheadiga (1861-1947): Russell ja Whitehead avaldasid aastatel 1910-1913 kolmeosalise suurteose Principia Mathematica, mis võttis kokku Frege, Cantori ja Peano hiljutised tulemused ning arendas neid kaugeleulatuvalt edasi. Sellest sai sajandi esimese poole mõjukaim loogikaraamat, mis on oluline loogika- ja filosoofiatekst praegugi. Principia't läbiv filosoofiline liin logitism on Leibnizist ja Fregest lähtuv ning hiljem Gödeli ümber lükatud püüdlus tuletada kogu matemaatika otse loogikast niisugusel ühemõttelisel kujul sõnastas logitsismi teesi esimesena Russell.
hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas. Mittelõikuvad hulgad on need, millel pole ühisosa. Võimsus on hulga elementide arv. Grassmanni valemid on valemid, mis aitavad leida hulkade ühendi võimsust ning ühisosa võimsust. Asendusseosed on seosed, mille abil saab vahest ja sümmeetrilisest vahest ühendi või ühisosa. Cantori normaalkuju on hulgaavaldise kuju, mis sisaldab ainult ühend, ühisosa, täiend. Minimaalne Cantori normaalkuju on lihtsaim CNK. Täielik CNK on normaalkuju, mille iga avaldise osa sisaldab kõiki hulki. MCNKst saab TCNK kleepimisseaduse abil. Ristkorrutis on kahe hulga elemendite paaride koostamine. Järjestatud paare esitatakse loogsulgude vahel. Otseruut on hulga ristkorrutis iseendaga.
.tn), kus E on n-kohaline operaator ja ti on operaatortermid · muid op-terme pole Kui g on n-kohaline arvutatav f.-n, siis f = y[g] on n-1-kohaline osaliselt rekursiivne f.-n. Tõestus: eksisteerib registermasina programm Seega on osaliselt rekursiivsed f.-nid arvutatavad. 26. Turingi mõttes arvutatavate funktsioonide rekursiivsus. Iga registermasina programm realiseerib rekursiivse f.-ni. x programmi kood P y registrite sisu P täitmisel Kuna instruktsioonid saame Cantori numbritega kodeerida .. proge kood aga on instruktsioonide jada (lõplik korteezh naturaalarvudest), leidub ka sellele Cantori number. Iga registermasinal realiseeritav f.-n on osaliselt rekursiivne f.-n. Osaliselt rekursiivsete funktsioonide hulk langeb kokku Turingi mõttes arvutatavate funktsioonide hulgaga see tähendab, et ainult osaliselt rekursiivsed f.-nid on raalil arvutatavad. Ainult neile on võimalik koostada programm. 27. Cantori funktsioonid
= A ( C A ) ( A B C ) = T Hulgaavaldis teisendatakse hulgaalgebra põhiseoste ja hulgatehete asendusseoste abil lihtsamale / lühemale, kuid esialgsega samaväärsele kujule. = A C ( A B C ) = Teisenduse eesmärgiks võib olla hulgaavaldise viimine Cantori normaalkujule. ( DNK ja KNK analoogid hulgaavaldiste jaoks ) = A C k a |______________________________________________________________________________| i
..,xn,z) on määratud ja pole 0; b) pole määratud, vastasel juhul. Ehk y on esimene element, mille puhul g(x1,...,xn,y) = 0. Funktsiooni f esitatakse sel juhil operaatortermi abil selliselt: f = μy [g]. DEF: Osaliselt rekursiivsed funktsioonid on konstrueeritavad elementaarfunktsioonidest superpositsiooni-, rekursiooni- ja minimeerimisoperaatori abil. DEF: Kõikjal määratud rekursiivseid funktsioone nimetatakse täisrekursiivseteks funktsioonideks. 20 Cantori funktsioonid. Arvutatava funktsiooni ühekohalised esindajad. Cantori funktsioon (kahekohaline) seab igale naturaalarvude paarile vastavusse tema koodi: c(x,y) = 0,5(x +y)(x+y+1)+x. Leiduvad ka pöördfunktsioonid koodile vastava naturaalarvu leidmiseks. l(c(x, y)) = x; r(c(x, y)) = y c3(x,y,z) = c(x,c(y,z)) cm(x1,x2,...,xm) = c(x1,cm−1(x2,...,xm)) Funktsioonid cm,c1m,c2m,...,cmm on lihtrekursiivsed. Cantori numbreid kasutatakse registermasina käskude kodeerimiseks
Mis on lambda-arvutus. Proloogi näide tuleb ära tunda (et on Prolog). Mis on andmebaasid ja mis on sql. Detailseid sql- küsimusi ei tule. Sql näidet tuleks ära tunda (et on sql keeles). 12. Nädal Eksam: lahenduvus teoreetilises ja tavamõttes, mis on lahenduvad ülesanded. Positiivsete täisarvude, positiivsete/negatiivsete ja murdarvude võimsuse võrdlemine ja tõestamine. Reaalarvude suurem võimsus kui täisarvude võimsus (Cantori teoreem): tõestuse idee. Mis on peatumisprobleem, selle lahendamatuse tõestuse idee. Keerukusest: mis on algoritmide keerukus ja mis on O-notatsioon. Mis on sorteerimise parim keerukus halvimal juhul. 13. Nädal Eksamiks: mis on tugev ja mis nõrk AI, mis on turingi test ja mis on eliza. Mis on otsimeetodites minimax ja alpha-beta (tehnilisi detaile ja näiteid ei tule). Mis on masinõpe. Mis on IBM Watson ja Wolfram Alpha. Võib tulla
R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride <𝑎,𝑏> hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast : 𝐴𝑥𝐵={ <𝑎,𝑏> | 𝑎∈𝐴∧𝑏∈𝐵 }
Uuritakse lõpmatuse struktuuri, mis on kirjeldamatult keeruline Uuritakse lahendumise struktuuri, mis on kirjeldamatult keeruline Uuritakse loogikaklasside lahendumise taandumist muudele ülesannetele Kuidas lahendamatust näidata (plaan): Näitame, et algoritme on sama palju, kui täisarve (lihtne) Näitame, et probleeme on vähemalt sama palju, kui reaalarve (veidi keerulisem) Näitame, et reaalarve on lõpmatult rohkem kui täisarve (Cantori üks teoreeme) Cantori teoreem ütleb üldisemalt, et mingi hulga H kõigi alamhulkade hulk on suurema võimsusega kui see hulk H. Poollahenduvus Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. Mõne H jaoks on ülesanne lahenduv: näiteks, kui H on paarisarvude hulk, kui H on algarvude hulk jne, Mõne H jaoks ülesanne ei ole lahenduv: näiteks, kui H on arvude hulk, millele vastavad programmid peatuvad.
asub seejärel uurima loogika ``sisu'' vastandades seda ``vormile''. Ei Kant ega Hegel tegelenud kuigivõrd sümboolse, matemaatilise loogikaga. Sellegipoolest on Kanti ja Hegeli fundamentaalsed filosoofilised teosed puhta mõistuse analüüsidega väga olulised loogika, sh sümboolse loogika, hilisema arengu jaoks. 2.4 Kaasaegse loogika algus Kaasaegsele loogikale panid aluse George Boole'i, Augustus de Morgani, Gottlob Frege ja teatud mõttes ka Georg Cantori tööd 19. sajandi keskel ning teisel poolel. ``Päris kaasaegsest'' loogikast saab rääkida küll alles 20. sajandi 40. aastatest, alusmõisted ja printsiibid olid aga loodud juba 19. sajandi lõpuks. Kaasaegsele loogikale pandi alus seega märgatavalt hiljem kui kaasaegsele matemaatikale. 2.4.1 George Boole ja Augustus de Morgan Inglise matemaatiku George Boole'i (1815-1864) kaks peamist loogika-alast tööd on Loogika matemaatiline analüüs aastast 1847 ja Mõtlemise reeglid aastast 1854
"salvestamiseks". Diskreetse Matemaatika alla kuuluvad: Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . .
Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ja 𝐴̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride < 𝑎, 𝑏 > hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari
Ülesandeid · Kas kehtivad järgmised hulgateoreetilised võrdused: B= ( A B) ( A B ) ( A B) A = A ( A B ) ( A B ) A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( A B) = B A 2 · Leida hulk X, mis rahuldab järgmisi tingimusi: A X = B A X = C B A C · Tõestada, et järgmised võrdused kehtivad: A ( A B) = A B ( A B) (C D) = ( A C) (B D) · Lihtsustada hulgateoreetilised avaldised, esitada Cantori normaalkujul: (( A B) ( A B) ( A C )) A = ? A ( C A) ( A B C ) = ? ( A C) ( B C) ( A C) ( A B C) = ? (( A B) ( B C) (C A) = ? · Millistel lisatingimustel kehtivad järgmised võrdused? AB=BA AB=BA · Viidi läbi küsitlus 100 tudengi hulgas (huvialade jaotus). Vastuste analüüs näitas: 28 tudengit pidasid oma huvialaks kunsti, 30 tudengit - muusikat ja 42 tudengit - sporti. 10
B= A B A B ( A B) A A ( A B ) ( A B ) A ( B C) ( A B) ( A C) A ( A B) B A Leida hulk X, mis rahuldab järgmisi tingimusi: A X B A X C B AC Tõestada, et järgmised võrdused kehtivad: A( A B) A B ( A B) (C D) ( A C)(B D) Lihtsustada hulgateoreetilised avaldised, esitada Cantori normaalkujul: 2 (( A B ) ( AB ) ( A C )) A ? A ( C A) ( A B C ) ? ( A C) ( B C) ( A C) ( A B C) ? (( A B) ( B C ) (C A) ? Millistel lisatingimustel kehtivad järgmised võrdused? A B = B A A B = B A Viidi läbi küsitlus 100 tudengi hulgas (huvialade jaotus). Vastuste analüüs näitas: 28 tudengit
ekvivalentsed, kuid hulk sisaldab hulgaga ekvivalentset osahulka 1. Teiste sõnadega, hulga võimsus on väiksem hulga võimsusest ja kirjutatakse ||<||, kui leidub selline injektsioon : , mis ei ole pealekujutus. Loenduva hulga võimsust tähistatakse sümboliga 0 (alef-null, hebrea täht alef), kontiinumi võimsust aga tähega c. Seega on hulga võimsus vähim lõpmatu kardinaalarv ehk 0=||. Naturaalarvude hulgast vähem võimas hulk on lõplik. Niisiis 0<1<2<3< ...<<...<0<. Cantori teoreem. Iga hulga kõigi osahulkade hulga () võimsus on suurem kui hulga võimsus: < ().
automaatselt otsima ja tuletama. Siiski pole Prolog automaatse teoreemitõestamise süsteem. __________________________________________________________________ 11. nädal • Eksam: lahenduvus teoreetilises ja tavamõttes, mis on lahenduvad ülesanded. Positiivsete täisarvude, positiivsete/negatiivsete ja murdarvude võimsuse võrdlemine ja tõestamine. Reaalarvude suurem võimsus kui täisarvude võimsus (Cantori teoreem): tõestuse idee. Mis on peatumisprobleem, selle lahendamatuse tõestuse idee. Keerukusest: mis on algoritmide keerukus ja mis on O-notatsioon. Mis on sorteerimise parim keerukus halvimal juhul. Lahenduvus tavamõttes: Tüüpilised põhjused, miks me ei saa tavaprobleeme lahendada: • Ei ole piisavalt infot : kui teaks, kus on mõni peidetud aare, kaevaks kohe üles.
saada kiiresti väga palju raha (pole piisavalt infot ja juhuslikkus segab) 3. Lahendubus Eksammatemaatilises Eksammõttes Eksam- EksamInfot on piisavalt: meil on olemas kõik vajalikud aksioomid / programm / täpne ülesanne ja juhuslikkust ei ole Positiivsete täisarvude, positiivsete/negatiivsete ja murdarvude võimsuse Eksamvõrdlemine Eksamja Eksamtõestamine. Reaalarvude Eksamsuurem Eksamvõimsus Eksamkui Eksamtäisarvude Eksamvõimsus (Cantori Eksamteoreem): tõestuse idee. – Vastavusse pannes on reaalarve rohkem kui täisarve, ehkki murdarve saab vastavusse panna täisarvudega Mis on peatumisprobleem, selle lahendamatuse tõestuse idee. - Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. paneme X-le vastava programmi käima ja kui ta peatub, siis loomulikult teame, et ta kuulub hulka H
Rekursiivne millegi kordamine viitega iseendale või enesesarnaselt foo calls foo: * int foo(int x) { if (x>0) return 1+foo(x-1) else return 1} Salesman travel - 6 linna puhul 5*4*3*2*1=120 erinevat teed(N-1)! Reaalarvude hulk on suurem (võimsam) kui positiivsete täisarvude hulk. Reaalarvude hulk on suurem (võimsam) kui täisarvude hulk. N: 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ... Z: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... Tegelikult on murdarvud vs pos täisarvud üksküheses vastavuses Cantori teoreem ütleb üldisemalt, et mingi hulga H kõigi alamhulkade hulk on suurema võimsusega kui see hulk H. GNU ideoloogia: vabadus: primaarne on tarkvara vabadus, sekundaarne tasuta kättesaadavus ausus: ausam on kasutada vabavara kui piraatkopeerida teadmiste vabadus: teadmised, tarkvara tahab olla vaba,on loomu poolest vaba - teadmiste ja tarkvara kopeerimine laiendab ühiskonna majanduslikku võimsust, kaotajaid (rumalamaks jääjaid) pole
34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3
→ 0. Seega a Lause: igas lõigus pidev funktsioon on selles lõigul integreeruv. Tõestus: Olgu S fukntsioon f pidev lõigus [a,b]. Cantori teoreemi kohaselt on fukntsioon f lõigus [a,b] ühtlaselt pidev. Olgu ε suvaline positiivne arv. Vastavalt ühtlase pidevuse ¿ definitsioonile, leidub δ>0, x,x ’∈ [a,b] ja |x-x ’| <δ siis |f(x) – f(x)
g( x)={f ( x), kui x A x , kui x (0,1) Meenutame: X X ={x 1 , x 2 , ... } Hulk X on loenduv parajasti siis, kui hulk on esitatav kujul . Teoreem Vahemik (0,1) ei ole ekvivalentne hulgaga N . Cantori diagonaalprotsess: TÕESTUS Oletame vastuväiteliselt, et hulgad (0,1) ja N on ekvivalentsed. Sellisel juhul peab {x 1 , x 2 x 3 , ... } vahemik (0,1) esituma loenduva hulgana : x 1=0, a11 a12 a13 ... a1 j ... x 2=0, a21 a22 a23 ... a2 j ... x 3=0, a31 a32 a33 ..
kasutatakse? DNA evolutsiooni mudelid on matemaatilised mudelid, mis kirjeldavad nukleotiidi asendusi DNAs. Asendusi DNA järjestuses kirjeldatakse Markovi mudeli abil, mis on üleminekutõenäosustega seotud seisundite jada. Nukleotiidipositsioonil on neli seisundit: A, C, G, T. markovi mudel määratleb ühest seisundist teise ülemineku tõenäosuse ehk annab nukleotiidi asenduse tõenäosuse. 22. Milles on sarnased ja mille poolest erinevad Jukes- Cantori üheparameetriline ja Kimura kaheparameetriline mudel? Nii JK kui Kimura mudeli kohaselt toimuvad asendused juhuslikult kõigi nelja nukleotiiditüübi vahel, nukleotiidipositsioonid on samaväärsed ning nukleotiidid on samaväärsed. Samuti on sarnasuseks see, et mõlemas mudelis kõigi nelja nukleotiiditüübi sagedused järjestustes on võrdsed. JK üheparameetrilise mudeli puhul on kõigi asenduste kiirused võrdsed, kuid Kimura
,,väiksema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on naturaalarvude hulk N ning ,,suurema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on reaalarvude hulk R. *Hüpotees väidab, et ei leidu ühtki sellist lõpmatut hulka, mis oma võimsuse poolest jääks nende ,,väikse lõpmatu hulga" ning ,,suure lõpmatu hulga" vahele. Lisaks: Hulga astmehulgaks nim. hulga kõikide alamhulkade hulka. Hulga astmehulga võimsus on |P(A)|=2n *Hiljem on märgitud, et aksiomaatilise hulgateooria baasil ei ole Cantori väidet võimalik ei tõestada, ega ka ümber lükata. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. Järjendid e. korteezid e. ennikud- n-elemendilise hulga elementidest moodustatud k- kohalist järjestatud loendit nimetatakse järjendiks. *Kaks järjendit on võrdsed vaid siis, kui nad on sama pikad ning nende vastavates positsioonides on samad väärtused. Järjendi puhul on oluline temas sisalduvate elementide järjestus. (Nt. hulk [3] järjendeid on 9: 11,12,13,21,22,23,31,32,33)
algoritme. Kuna probleeme on lõpmatult rohkem kui algoritme, siis iga probleemi jaoks lihtsalt “ei jätku” lahendavat algoritmi. Kuidas seda näidata (plaan): Näitame, et algoritme on sama palju, kui täisarve (lihtne) Näitame, et probleeme on vähemalt sama palju, kui reaalarve (veidi keerulisem) Näitame, et reaalarve on lõpmatult rohkem kui täisarve (Cantori üks teoreeme) Loeng 14 Tehisintellektinduse “suur eesmärk” ehk „strong AI“ on päriselt intelligentse masina ehitamine: riistvara + tarkvara Tehisintellektinduse “filosoofiline eesmärk” on saada paremini aru mõistuse (sh inimese ja loomade) funktsioneerimise põhimõtetest üldse. Tehisintellektinduse “praktiline eesmärk” ehk „weak AI“ on teha programme,
Reaalarve on rohkem kui täisarve ITK 2007, Kalev Pihl Sissejuhatus informaatikasse 26 Kui palju on algoritme? •Iga algoritmi saab realiseerida mingis programmeerimiskeeles –valime näiteks C •Iga C programm on sisuliselt string •String omakorda on teatud kahendarv, mis teisendatult on kümnendsüsteemi täisarv •Iga täisarv loomulikult ei presenteeri üht algoritmi, küll aga vastupidi •Saab näidata, et probleemide hulk on samas suurusjärgus reaalarvude hulgaga •Cantori teoreem matemaatikas näitab, et reaalarve on rohkem kui täisarve. ITK 2007, Kalev Pihl Sissejuhatus informaatikasse 27 Poollahenduvus •Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. .Mõne H jaoks on ülesanne lahenduv: näiteks, kui H on paarisarvude hulk, kui H on algarvude hulk jne, .Mõne H jaoks ülesanne ei ole lahenduv: näiteks, kui H on arvude hulk, millele vastavad programmid peatuvad.
annaabi.ee 
