Täiend,ühisosa,ühend,vahe,sümmeetriline vahe. Oluliseks, kui vaja tehete järjekord paika panna ja puuduvad sulud. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalsed avaldised esinevad alati paaridena, kus mõlemad avaldised on teineteise suhtes duaalsed. Kui hulgaavaldises asendada ühisosa ühendiga,ühend ühisosaga, tühjad hulgad universaalhulgaga ja universaalhulgad tühja hulgaga, saame algse avaldise suhtes duaalse kuju. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Hulgaavaldise Cantori normaalkuju CNK on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Milline on täielik normaalkuju? Minimaalne on lihtsaim cantori normaalkuju. Täielik on selline cantori normaalkuju, kus igas ühisosatehtes või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. vt. kuidas neid teisendada(LK40, 44-46) Mis on hulkade ristkorrutis?
parempoolses Üheksas võrdub 3. parempoolses Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel? Esimene põhiseos on neeldumine Teine põhiseos on sulgude lahtiliitimine Kolmas põhiseos on DeMorgani seadus Neljas põhiseos on kleepimine Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks? 4 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid? Kolmas (3) Neljas (4) Millised tehted võivad sisalduda hulgaavaldise Cantori normaalkujus? Ühend, täiend, ühisosa Mis on (lõpliku) hulga võimsus? Hulgas sisalduvate elementide arv Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? - Kleepimisseadus Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises? Kõigepealt TÄIEND Seejärel ÜHISOSA Kolmandana ÜHEND Verbaalne nimetus igale hulgale. Esimene hulkade ühisosa Teine hulkade võimsuste
Küsimus 1 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid ? Vali üks või enam: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Küsimus 2 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks ? ( sisesta number või sõna ) Vastus: 4 Küsimus 4 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises ? kõigepealt teostatakse hulgaavaldises TÄIEND ..
Alustatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 13.53 Olek Lõpetatud Lõpetatud esmaspäev, 21. detsember 2020, 14.03 Aega kulus 10 min 45 sekundit Hindepunktid 13,00/13,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Misnimelise reegli/seaduse abil saab mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 2 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järjestatud paaride hulk ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: ristkorrutis Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
... 4. vasakpoolne avaldis võrdub ... Küsimus 8 Misnimelise reegli/seaduse abil saab Õige mittetäieliku Cantori normaalkuju teisendada Mark 1 out of 1 täielikuks Cantori normaalkujuks ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: kleepimisseadus Küsimus 9 millised järgnevad võrdused kehtivad alati ? Õige
mõlemasse Hulkade vahe: elemendid, mis kuuluvad esimesse hulka ja ei kuulu teise hulka Loenduv hulk: hulk, mille elementide ja naturaalarvude vahel on võimalik sisse seada üksühene vastavus Loendamatu hulk: hulk, mille elementide ja naturaalarvude vahel ei ole võimalik sisse seada üksühest vastavust (nt reaalarvud) Lõplik hulk: hulk, mis sisaldab kindla (naturaalarvuga võrdse arvu) elemente Lõpmatu hulk: hulk, mis sisaldab lõpmatult palju elemente Minimaalne Cantori normaalkuju: Cantori normaalkuju, mis koosneb vähimast võimalikust arvust hulkadest Täielik Cantori normaalkuju: CNK, kus igas ühisosa- või ühenditehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad Tühi hulk: hulk, millesse ei kuulu ühtki elementi Universaalhulk: hulk, kuhu kuuluvad kõik antud tingimustel võimalikud elemendid Venni diagramm: hulkade illustratiivse graafilise esitamise moodus, diagrammil näidatakse hulki ringjoontena, mille sees võivad näidatud olla ka hulgaelemendid
2011 Diskreetne Matemaatika Eksam 1. Mis on graafi värvimise ülesanne? Mis on kromaatiline arv? Joonistada mõni näide. Mis on kromaatiline arv 2 aluselisel graafil? Mis on täieliku graafi kromaatiline arv? 2. Hulgateooria mõiste sümmeetrilise vahe kohta. Taandada sümeetriline vahe cantori normaalkujuks. Kas see täielik normaalkuju on minimaalne? Taandatud? Täielik? Mis on sümmeetrilise vahe matemaatilises loogikas? 3. Avaldis (x1x2x3x4) = Mingi konjuktiivne funktsioon (ei mäleta) 1. Leida minimaalne DNK 2. Leida taandatud KNK 4. Funktsioon (x1x2x3) = E(0,2,5,6,7)1 1. Leida täielik KNK 2. Leida shannoni arendus DNK x2 järgi. 3. Leida tuletis x3 järgi. Jääk ära näidata minimaalsel kujul.
Mis on DISKREETNE MATEMAATIKA ? Millega Diskreetne Matemaatika tegeleb ? T Ü Mõiste "diskreetne" on teisiti väljendatav sõnadega"mitte pidev" ehk Diskreetse matemaatika alla kuuluvad: T "astmeline". Järgnev joonis illustreerib mõisteid pidev ja diskreetne: — Loogika Lausearvutus. Loogikatehted. Loogikaseadused. Predikaadid. Tõestusmeetodid k a — Hulgad i Hulgaalgebra (Cantori algebra). Hulgaaritmeetika n ...
Hulkade vahe ja sümmeetriline vahe. 34. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub? Täiend, ühisosa, ühend, vahe, sümmeetriline vahe. Oluline kui avaldises puuduvad sulud. 35. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalses hulgaavaldises on ühend asendatud ühisosaga, ühisosa ühendiga, universaalhulk tühihulgaga ja tühihulk universaalhulgaga. 36. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Avaldis, milles on hulgaaritmeetilistest tehetest ühend ja ühisosa, täiend võib olla rakendatud vaid üksikutele hulkadele. 37. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Minimaalne Cantori normaalkuju on vähima keerukusega ehk vähima hulgatähistega Cantori normaalkuju. 38. Milline on Cantori täielik normaalkuju? Cantori täielik normaalkuju on selline ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus igas tehtes osalevad kõik avaldises leiduvad hulgad. 39
Barnes selle lepingu. 1944 valiti Russell taas Trinity College'i kolleegiumiliikmeks. Elu lõpul elas Bertrand Russell mitu aastat Walesis, olles enamiku sellest ajast ikka veel aktiivne ühiskondlikes kampaaniates. Logitsism Loogika ajaloos seostub Russelli nimi filosoofi ja matemaatiku Alfred North Whitrheadiga (1861-1947): Russell ja Whitehead avaldasid aastatel 1910-1913 kolmeosalise suurteose Principia Mathematica, mis võttis kokku Frege, Cantori ja Peano hiljutised tulemused ning arendas neid kaugeleulatuvalt edasi. Sellest sai sajandi esimese poole mõjukaim loogikaraamat, mis on oluline loogika- ja filosoofiatekst praegugi. Principia't läbiv filosoofiline liin logitism on Leibnizist ja Fregest lähtuv ning hiljem Gödeli ümber lükatud püüdlus tuletada kogu matemaatika otse loogikast niisugusel ühemõttelisel kujul sõnastas logitsismi teesi esimesena Russell.
hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas. Mittelõikuvad hulgad on need, millel pole ühisosa. Võimsus on hulga elementide arv. Grassmanni valemid on valemid, mis aitavad leida hulkade ühendi võimsust ning ühisosa võimsust. Asendusseosed on seosed, mille abil saab vahest ja sümmeetrilisest vahest ühendi või ühisosa. Cantori normaalkuju on hulgaavaldise kuju, mis sisaldab ainult ühend, ühisosa, täiend. Minimaalne Cantori normaalkuju on lihtsaim CNK. Täielik CNK on normaalkuju, mille iga avaldise osa sisaldab kõiki hulki. MCNKst saab TCNK kleepimisseaduse abil. Ristkorrutis on kahe hulga elemendite paaride koostamine. Järjestatud paare esitatakse loogsulgude vahel. Otseruut on hulga ristkorrutis iseendaga.
.tn), kus E on n-kohaline operaator ja ti on operaatortermid · muid op-terme pole Kui g on n-kohaline arvutatav f.-n, siis f = y[g] on n-1-kohaline osaliselt rekursiivne f.-n. Tõestus: eksisteerib registermasina programm Seega on osaliselt rekursiivsed f.-nid arvutatavad. 26. Turingi mõttes arvutatavate funktsioonide rekursiivsus. Iga registermasina programm realiseerib rekursiivse f.-ni. x programmi kood P y registrite sisu P täitmisel Kuna instruktsioonid saame Cantori numbritega kodeerida .. proge kood aga on instruktsioonide jada (lõplik korteezh naturaalarvudest), leidub ka sellele Cantori number. Iga registermasinal realiseeritav f.-n on osaliselt rekursiivne f.-n. Osaliselt rekursiivsete funktsioonide hulk langeb kokku Turingi mõttes arvutatavate funktsioonide hulgaga see tähendab, et ainult osaliselt rekursiivsed f.-nid on raalil arvutatavad. Ainult neile on võimalik koostada programm. 27. Cantori funktsioonid
HULGAD Hulgaaritmeetilised tehted I Ü Hulgaalgebra T T A B . . . . Hulk on koosvaadeldavate hulgaelementide kogum . . . . ( hulk koosneb elementidest ) Hulkade jaoks on defineeritud 5 hulgaaritmeetilist tehet : tehte NIMI formaalne tähistus AB a hulkade ühend k __ i hulga täiend ...
..,xn,z) on määratud ja pole 0; b) pole määratud, vastasel juhul. Ehk y on esimene element, mille puhul g(x1,...,xn,y) = 0. Funktsiooni f esitatakse sel juhil operaatortermi abil selliselt: f = μy [g]. DEF: Osaliselt rekursiivsed funktsioonid on konstrueeritavad elementaarfunktsioonidest superpositsiooni-, rekursiooni- ja minimeerimisoperaatori abil. DEF: Kõikjal määratud rekursiivseid funktsioone nimetatakse täisrekursiivseteks funktsioonideks. 20 Cantori funktsioonid. Arvutatava funktsiooni ühekohalised esindajad. Cantori funktsioon (kahekohaline) seab igale naturaalarvude paarile vastavusse tema koodi: c(x,y) = 0,5(x +y)(x+y+1)+x. Leiduvad ka pöördfunktsioonid koodile vastava naturaalarvu leidmiseks. l(c(x, y)) = x; r(c(x, y)) = y c3(x,y,z) = c(x,c(y,z)) cm(x1,x2,...,xm) = c(x1,cm−1(x2,...,xm)) Funktsioonid cm,c1m,c2m,...,cmm on lihtrekursiivsed. Cantori numbreid kasutatakse registermasina käskude kodeerimiseks
Sissejuhatus infotehnoloogiasse 2018 1. Nädal. bitt(b) = 1b, Bait(B) = 8b, kB = 1024 B, MB = 1024 kB jne 2. Nädal. Eksamiks: kreeka loogikud, süllogismid, induktsioon, deduktsioon, lausearvutus (pead mh oskama tõeväärtustabelit koostada), Pascal, Leibniz, perfokaardid, kangasteljed, Babbage, Hollerith, colossus ja saksa krüptomasinad, Turing, Shannon, Zuse, esimesed programmeeritavad arvutid. Küberkaitse termineid: (turvateater, malware, cookie, phishing, social engineering). Kreeka loogikud:Parmenides, -5. Saj, pikad loogilised põhjendused Zenon Eleast, -5. Saj, apooriad/paradoksid Sokrates, -5. Saj, sofistid Platon, -5,-4. Saj Aristoteles, -4. Saj, süllogismid, stoikud (1. eeldus: iga koer on imetaja. 2. eeldus: mõned neljajalgsed on koerad. järeldus: mõned neljajalgsed on imetajad.), Stoikud uurisid, kuidas saab loo...
R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride <𝑎,𝑏> hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari teine element on teiseks teguriks olevast hulgast : 𝐴𝑥𝐵={ <𝑎,𝑏> | 𝑎∈𝐴∧𝑏∈𝐵 }
Aritmeetiline masin- 1640, ainult liitis ja lahutas, Kristlik filosoof Blaise Pascal Leibnizi arvuti 1671, Saksa filosoof Leibniz, arvuti: liitis, lahutas, korrutas, jagas Elektritelegraaf - Morse 1837 Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Perfolint - Wheatstone 1857 Frege loob kaasaegse predikaatarvutuse - 1879 Herman Hollerith perfokaartidega masin USA rahvaloenduse andmete töötlemiseks 1890, sellest firmast tekkis IBM Vaakumtoru - 1906, Lee Deforest Artikkel Turingi masinast: universaalsus, mittelahenduvus 1935-1937 Churchi lambda-arvutus, Churchi tees. - 1936,universaalsus, mittelahenduvus Z1 1936 , Konrad Zuse mehhaaniline arvuti MARK I 1939-1944, Harvardi elektriline(releedega) digitaalne arvuti ABC computer 1939-1942 , Atanasoff-Berry esimene elektronarvuti Esimene transistor - 1947 EDSAC 1949, esimene praktiline stored-program arvuti, programmid olid aukudega peberiribadel ERA 1101 1950 ESIMENE KOMMERTS-TOOTMI...
Russell ja Alfred North Whitehead; seejuures ei kasutanud nad aga mitte Frege kirjaviisi, vaid pigem Boole'i kirjaviisi edasiarendust. Frege filosoofilised ideed avaldasid hiljem olulist mõju Georg Hilbertile ja Ludwig Wittgensteinile, ning on aktuaalsed ka praegu. 2.4.3 Georg Cantor Taani päritolu ja St. Peterburgis sündinud saksa matemaatik Georg Cantor (1845-1918) loogikaga ei tegelenud, kuid koos Richard Dedekindiga peetakse teda hulgateooria rajajaks. 20. sajandil muutus Cantori hulgateooria pea kogu matemaatika baasiks: nimetatud teooria olulisus seisneb lõpmatute hulkade käsitlemises. Cantor näitas, et lõpmatud hulgad pole sugugi kõik sama ``suured'' ehk ühesuguse võimsusega, vaid et lõpmatus peidab endas kirjeldamatult keerulist struktuuri erineva ``suurusega'' lõpmatustest. 19. sajandi viimastel aastatel märkas Cantor, et tema näiliselt selge ja vastuvaidlematu hulgateooria lubab tuletada vastuolulisi väiteid ehk paradokse
A ∩ A = ∅ I = ∅ näide: {1 4 7} ja {2 3 6} on mittelõikuvad hulgad. A ∪A = A A ∩A = A kommutatiivsus: __ A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩A Hulgatehete prioriteet: ∩ ∪ ∆ assotsiatiivsus: Cantori normaalkujud (CNK): (A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C) (A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C) Hulgaavaldise Cantori normaalkuju on ühendite ühisosa või ühisosade ühend, kus osalevad üksikud hulgad või nende täiendid. distributiivsus: Lihtsaim (vähima arvu hulgatähistega) CNK on minimaalne normaalkuju.
Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ja 𝐴̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend. Täielik Cantori normaalkuju (TCNK) on selline ühisosade ühend (ühendite ühisosa), kus igas ühisosa(ühendi)tehtes osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Kahe hulga ristkorrutis 𝐴𝑥𝐵 on järjestatud paaride < 𝑎, 𝑏 > hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari
Ülesandeid · Kas kehtivad järgmised hulgateoreetilised võrdused: B= ( A B) ( A B ) ( A B) A = A ( A B ) ( A B ) A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( A B) = B A 2 · Leida hulk X, mis rahuldab järgmisi tingimusi: A X = B A X = C B A C · Tõestada, et järgmised võrdused kehtivad: A ( A B) = A B ( A B) (C D) = ( A C) (B D) · Lihtsustada hulgateoreetilised avaldised, esitada Cantori normaalkujul: (( A B) ( A B) ( A C )) A = ? A ( C A) ( A B C ) = ? ( A C) ( B C) ( A C) ( A B C) = ? (( A B) ( B C) (C A) = ? · Millistel lisatingimustel kehtivad järgmised võrdused? AB=BA AB=BA · Viidi läbi küsitlus 100 tudengi hulgas (huvialade jaotus). Vastuste analüüs näitas: 28 tudengit pidasid oma huvialaks kunsti, 30 tudengit - muusikat ja 42 tudengit - sporti. 10
B= A B A B ( A B) A A ( A B ) ( A B ) A ( B C) ( A B) ( A C) A ( A B) B A Leida hulk X, mis rahuldab järgmisi tingimusi: A X B A X C B AC Tõestada, et järgmised võrdused kehtivad: A( A B) A B ( A B) (C D) ( A C)(B D) Lihtsustada hulgateoreetilised avaldised, esitada Cantori normaalkujul: 2 (( A B ) ( AB ) ( A C )) A ? A ( C A) ( A B C ) ? ( A C) ( B C) ( A C) ( A B C) ? (( A B) ( B C ) (C A) ? Millistel lisatingimustel kehtivad järgmised võrdused? A B = B A A B = B A Viidi läbi küsitlus 100 tudengi hulgas (huvialade jaotus). Vastuste analüüs näitas: 28 tudengit
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (,), millede korral jagub arvuga . Siis 2={(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)}. Näide 2. Olgu hulgaks kõigi naturaalarvude hulk ning seoseks osahulk hulgas ×, mis koosneb kõikidest paaridest (,), mille korral arv on arv...
1. nädal • Eksamiks: pead teadma suuruse-numbreid ja mida nad tähendavad: bitt, bait, kilobait, megabait jne; oskad selgitada, kuidas tähti kodeeritakse, mis on algoritm ja mis programm. Ajaloost: Kreeka loogikud, induktsioon, deduktsioon, süllogismid, lausearvutus (pead mh oskama tõeväärtustabelit koostada), Pascal, Leibniz, perfokaardid, kangasteljed, Babbage, Hollerith, colossus ja saksa krüptomasinad, Turing, Shannon, Zuse, esimesed programmeeritavad arvutid. Algoritm – täpne samm-sammuline, kuid mitte tingimata formaalne juhend millegi tegemiseks. Nt toiduretsept, juhend ruutvõrrandi lahendamiseks. Programm – formaalses, üheselt mõistetavas keeles kirja pandud algoritm. Arvutid suudavad täita ainult programme. Bitt – info mõõtmise ühik, tuleb mõistest binary digit – nö kahendarv kahe võimaliku väärtusega 0 ja 1. Saab näidata kahte võimalikku olekut. Nibble - 4 bitti. Bait – arvutite...
λ EksamEksam 1 Eksamiks: pead teadma suuruse-numbreid ja mida nad tähendavad: bitt, bait, kilobait, megabait jne; Bit Eksam/ EksamBitt 1 or 0 Byte Eksam/ EksamBait 8 Bits Kilobait Eksam(KB) 1 024 Bytes Megabait Eksam(MB) 1 024 KB kuidas Eksamtähti Eksamkodeeritakse: ASCII (American Standard Code for Information Interchain) 8bit = 16 * 8 = 128 märki EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) 8bit, IBM UNICODE (Extended ASCII) (utf-8), 1Byte for first 128, up to 4B for the rest~143 859 märki algoritm Eksam- Eksamtäpne samm-sammuline juhend millegi tegemiseks programm Eksam- Eksamformaalses üheselt mõistetavas keeles kirja pandud algoritm Ajaloost: Kreeka Eksamloogikud Parmenides (5 sajand e.m.a.) : kasutas pikki loogilisi põhjendusi. Zen...
Rekursiivne millegi kordamine viitega iseendale või enesesarnaselt foo calls foo: * int foo(int x) { if (x>0) return 1+foo(x-1) else return 1} Salesman travel - 6 linna puhul 5*4*3*2*1=120 erinevat teed(N-1)! Reaalarvude hulk on suurem (võimsam) kui positiivsete täisarvude hulk. Reaalarvude hulk on suurem (võimsam) kui täisarvude hulk. N: 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ... Z: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... Tegelikult on murdarvud vs pos täisarvud üksküheses vastavuses Cantori teoreem ütleb üldisemalt, et mingi hulga H kõigi alamhulkade hulk on suurema võimsusega kui see hulk H. GNU ideoloogia: vabadus: primaarne on tarkvara vabadus, sekundaarne tasuta kättesaadavus ausus: ausam on kasutada vabavara kui piraatkopeerida teadmiste vabadus: teadmised, tarkvara tahab olla vaba,on loomu poolest vaba - teadmiste ja tarkvara kopeerimine laiendab ühiskonna majanduslikku võimsust, kaotajaid (rumalamaks jääjaid) pole
34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3
→ 0. Seega a Lause: igas lõigus pidev funktsioon on selles lõigul integreeruv. Tõestus: Olgu S fukntsioon f pidev lõigus [a,b]. Cantori teoreemi kohaselt on fukntsioon f lõigus [a,b] ühtlaselt pidev. Olgu ε suvaline positiivne arv. Vastavalt ühtlase pidevuse ¿ definitsioonile, leidub δ>0, x,x ’∈ [a,b] ja |x-x ’| <δ siis |f(x) – f(x)
1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lau...
kasutatakse? DNA evolutsiooni mudelid on matemaatilised mudelid, mis kirjeldavad nukleotiidi asendusi DNAs. Asendusi DNA järjestuses kirjeldatakse Markovi mudeli abil, mis on üleminekutõenäosustega seotud seisundite jada. Nukleotiidipositsioonil on neli seisundit: A, C, G, T. markovi mudel määratleb ühest seisundist teise ülemineku tõenäosuse ehk annab nukleotiidi asenduse tõenäosuse. 22. Milles on sarnased ja mille poolest erinevad Jukes- Cantori üheparameetriline ja Kimura kaheparameetriline mudel? Nii JK kui Kimura mudeli kohaselt toimuvad asendused juhuslikult kõigi nelja nukleotiiditüübi vahel, nukleotiidipositsioonid on samaväärsed ning nukleotiidid on samaväärsed. Samuti on sarnasuseks see, et mõlemas mudelis kõigi nelja nukleotiiditüübi sagedused järjestustes on võrdsed. JK üheparameetrilise mudeli puhul on kõigi asenduste kiirused võrdsed, kuid Kimura
,,väiksema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on naturaalarvude hulk N ning ,,suurema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on reaalarvude hulk R. *Hüpotees väidab, et ei leidu ühtki sellist lõpmatut hulka, mis oma võimsuse poolest jääks nende ,,väikse lõpmatu hulga" ning ,,suure lõpmatu hulga" vahele. Lisaks: Hulga astmehulgaks nim. hulga kõikide alamhulkade hulka. Hulga astmehulga võimsus on |P(A)|=2n *Hiljem on märgitud, et aksiomaatilise hulgateooria baasil ei ole Cantori väidet võimalik ei tõestada, ega ka ümber lükata. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. Järjendid e. korteezid e. ennikud- n-elemendilise hulga elementidest moodustatud k- kohalist järjestatud loendit nimetatakse järjendiks. *Kaks järjendit on võrdsed vaid siis, kui nad on sama pikad ning nende vastavates positsioonides on samad väärtused. Järjendi puhul on oluline temas sisalduvate elementide järjestus. (Nt. hulk [3] järjendeid on 9: 11,12,13,21,22,23,31,32,33)
Sissejuhatus infotehnoloogiasse 1. Loeng Algoritm on täpne samm-sammuline, kuid mitte tingimata formaalne juhend millegi tegemiseks. Näited: a. Toiduretsept. b. Juhend ruutvõrrandi lahendamiseks Algoritmiline probleem - probleem, mille lahenduse saab kirja panna täidetavate juhendite loeteluna. Programm on formaalses, üheselt mõistetavas keeles kirja pandud algoritm. Arvutid suudavad täita ainult programme. Analoogsüsteem andmeid salvestatakse (peegeldatakse) proportsionaalselt Näit: termomeeter, vinüülplaat, foto Digitaalsüsteem (pidevad) andmed lõhutakse üksikuteks tükkideks, mis salvestatakse eraldi Näit: CD, arvutiprogramm, kiri tähtede ja bittidena Ühelt teisele: digitaliseerimine The three major comparisons of computers are: Electronic computers versus Mechanical computers...
tutvu lausearvutuse keskkonnaga: http://logik.phl.univie.ac.at/~chris/gateway/formular-uk-zentral.html Millistel muutuja väärtustel on lause (Av(B&A))v(-A&(Cv(B&-C))) väär? Panna tuleb results only, 0 on väär 1 on õige Tutvu ajalooga saidis kuni II maailmasõda: http://www.maxmon.com/history.htm Loe läbi jutt ja proovi andmetega mängida: http://math.hws.edu/TMCM/java/DataReps/index.html Kahend süsteemi arvu(101101001) ->kümnend süsteemiks. Nr sisse ja bianarile punkt, ja vaatan base ten integeri kümnendarvudest annab Ecki appletis juuresoleva graafilise kujutise, teen kujundi ja vaatan base integeri mis vastab kahendsüsteemi arvule 1110001 ASCII tabelis? Nr sisse ja punkt bianari, vaatan ...teksti Kümnendsüsteemi arv 33 on kahendsüsteemis? 33 kirjutan ja Base-ten integer, vaatan bianary Loe läbi jutud Atbashi ja Caesari šifri (Caesar cipher) kohta: http://www.wikipedia.org 2 Tutvu ajalooga kuni 1970ndad: http://www.islandnet.com/~...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
