nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad
Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a
2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste.
kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.
teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨ artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.01. Sellist arutelu v~oib j¨ atkata suvalise kuitahes v¨aikse raadiusega u ¨mbrusega (a - , a + ). J¨arelikult, iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨ artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suuruse v¨a¨artused kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v~orratust |x - a| < . Muutuva suuruse piirv¨a¨artuse u ¨ldine definitsioon on j¨argmine: Olgu x j¨arjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirv¨a¨
27 teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.01. Sellist arutelu v~oib j¨atkata suvalise kuitahes v¨aikse raadiusega u ¨mbrusega (a - , a + ). J¨arelikult, iga kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse x v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suuruse v¨a¨artused kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v~orratust |x - a| < . Muutuva suuruse piirv¨a¨artuse u ¨ldine definitsioon on j¨argmine: Olgu x j¨arjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirv¨a¨
rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline anal¨ uu¨s uurib funktsioone ja nende u ¨ldistusi l~opmata v¨aikeste meetodil. Nii tehnikas kui ka looduses uuritavate protsesside kirjeldamisel kasutatakse funktsionaalseid seoseid ja nende uurimiseks matemaatilist anal¨ uu ¨si. Antud ~oppevahendis k¨asitletakse klassikalist matemaatilist anal¨ uu¨si, mille p~ohiliseks uurimisobjektiks on funktsioon. Esitatud pi-
leide hilisematest perioodidest. 1959. a. v¨alja antud J¯ýnw`enbi¯an sisaldab 1894 seletatud m¨arki ning lisades 1199 veel seletamata m¨arki. V~orreldes luukirjaga oleks m¨arkide arv nagu kahanenud, aga arvestada tuleb suurt hulka luukirja seletamata ja varieeruvaid m¨arke. 14 Piiri t~ ombamine vana ja uue kirja vahele on tinglik. V¨aikese u ¨markirja v~ oiks h¨asti liigitada ka uuskirja hulka, kuna koos totalitaarse Qin riigi s¨ unniga on v¨aikse u ¨markirja kasutuselev~ ott kanji m¨arkide profaneerumise l~oplikuks murdepunktiks. 15 Termin omab mitmeid t¨ahendusi. Lisaks toodule, m¨argib n¨aiteks
2 O· / y f (x, y) = C x 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) nimetatakse muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) piirv¨a¨ artuseks kui iga etteantud kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse P v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suu- ruse v¨a¨artused kuuluvad punkti A u ¨mbrusesse U (A, ). 9) Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus? Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused? 1. Suurus P l¨aheneb punktile A siis ja ainult siis kui suuruse P ja punkti A vaheline kaugus l¨aheneb nullile, st
15 ¨ OKE ¨ SAGEDUS B . KANJI SHOHO 日 LO ジ ツ〔漢〕 ニ か〔訓〕 ひ に〔訓〕 ひ 4 13 1 31 チ〔呉〕 び〔訓〕 ひ〔訓〕 卜文 ✄ たいよう ✂象形 P¨aikese 太陽 kujutis, sisemine t¨app annab n¨aitab taevakeha ennast ✁ じったい 実体, samamoodi nagu Kuu 月 t¨apid. On selgitusi, mis r¨aa¨ givad t¨apist kui linnu kujutisest v˜oi laigust, vanad vormid n¨aitavad, et tegu on lihtsalt t¨aitva t¨apiga. 比較! ⇒ 曰 MANAGA MANAANUM 類義 ¨ 1 P¨aike ⇒ 陽 — P AIKESEVALGUS 詞》 反対
s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p~ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) ....................
s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . (1.1) .................
tis on l~opmatult kahanev suurus. See j¨areldub vahetult eelmisest j¨areldusest, sest konstantne suurus on t~okestatud. J¨ areldus 4.5. Kahe l~opmatult kahaneva suuruse korrutis on l~opmatult kahanev suurus, st kui ja on l~opmatult kahanevad suurused, siis ka on l~opmatult kahanev suurus. T~oestus j¨areldub sellest, et iga piirprotsessis x a l~opmatult kahanev suurus on a u ¨mbruses t~okestatud (ja t~okestatud v¨aikese suurusega ). Teoreem 4.6. L~opmatult kahaneva suuruse ja nullist erinevat piirv¨a¨artust omava suuruse jagatis on l~opmatult kahanev suurus, st kui on l~opmatult kahanev suurus ja lim y = b ning b = 0, siis on l~opmatult kahanev suurus. xa y T~oestus*. T~oestuses kasutame reaalarvude absoluutv¨a¨artuse omadust ||a| - |b|| |a - b|.
annaabi.ee 
