* Öeldakse, et f'ni f(x) graafik on nõgus punkits a kui leidub punkti a selline -ümbrus, et f'ni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a-,a+) ülalpool puutujat, mis on tõmmatut punktis f(x) f'ni graafikule * Öeldakse, et f'ni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui selle f'ni graafik on kumer hulga X igas punktis * Öeldakse, et f'ni f(x) graafik on nõgus hulgal X, kui selle f'ni graafik on nõgus hulga X igas punktis * Öeldakse, et punkt a on f'ni f(x) graafiku käänupunkt, kui leidub selline >0, et f'ni f(x) graafik on kumer hulgal (a-,a) ja nõgus hulgal (a,a+) või nõgus hulgal (a-,a) ja kumer hulgal (a,a+) * Kui f''(x) on pidev punktis a siis f''(a)<0 f'ni f(x) graafik on kumer punktis a A f''(a)>0 f'ni f(x) graafik on nõgus punktis a * Kui lõigul [a,b] pidev f on vahemikus (a,b) kaks korda diferentseeruv, siis f'ni f(x) graafiku kumerusest(nõgususest) vahemikus (a,b) järeldub, et x (a,b) f''(x)<=0 (f''(x)>=0)
graafik on selles vahemikus allpool punktis (a,f(a)) f-ni graafikule tõmmatud puutujat, st funktsiooni graafik on kumer punktis a. Analoogiliselt näidatakse, et f''(x)>0 järeldub funktsiooni graafiku nõgusus punktis a. L2. Kui f(x)[a,b] ja , siis funktsiooni f(x) graafiku kumerusest (nõgususest) vahemikus (a,b) järeldub, et L3. Kui f''(a)=0, f'''(a)0 ja f'''(x) on pidev punktis a, siis punkt a on funktsiooni f(x) käänupunkt. Tõestus. Lause tingimustel on funktsiooni funktsiooni f(x) teist järku Taylori valemil punktis a kuju Et f'''(a)0 ja f'''(x)C(a), siis punktile a piisavaöt lähedaste argumendi x väärtuste korral suurus f'''(a+(x-a)) säilitab märki. Järelikult, argumendi x läbiminekul punktist a jääkliige Ei muuda märki, kuid teine tegur muudab. Seega on ühelpool punkti a jääkliige positiivne ja teisel pool negatiivne, st ühel pool punkti a on punktis a konstrueeritud puutuja
tuletis on negatiivne, s.t. tuletis on positiivne, s.t. f (x) < 0, siis joon y = f (x) on f (x) > 0, siis joon y = f (x) on 16 selles vahemikus kumer. selles vahemikus nõgus. Funktsiooni käänupunktid Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. y = f (x) Käänupunkt y 0 x Funktsiooni f graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f (x) kriitilises punktis (s.t. punktis, kus f (x) on 0 või puudub) . Kui tuletisel f (x) on kriitilises punktis a lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f (a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. 17 Funktsiooni graafiku asümptoodid
selline - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- ; a + ) ülalpool (täpsemini, mitte allpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule. Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on nõgus hulga X igas punktis. Definitsioon: Öeldakse, et punkt a (täpsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt , kui leidub selline > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a- ; a) ja nõgus hulgal (a; a + ) või nõgus hulgal (a - ; a) ja kumer hulgal (a; a + ). 18.Näidata, et f'' märk määrab kas meil on tegemist antud punktis kumera või nõgusa funktsiooniga. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv
Otsustuste teooria Otsustused "Mäng" otsustaja ja keskkonna vahel · määramatuse tingimustes · riski tingimustes Otsustaja valib m alternatiivi Ai vahel Keskkond võib olla n olekus Bj Tasuvusmaatriksi element näitab otsustuse Ai kvantitatiivset tulemit tingimuse Bj realiseerumisel · maximax reegel määramatuse tingimustes { } Riskialdis otsustaja, optimistlik Alternatiivi hindamisel eeldab, et realiseerub keskkonna parim olek a * = max max aij i j { } Otsustuste kriteeriumid a * = max min aij · i j maximin reegel määramatuse tingimustes Konservatiivne otsustaja, ettevaatlik Alternatiivi hindamisel eeldab, et realiseerub keskkonna halvim olek a * = min aij + (1 - ) max aij · j ...
väärtus on negatiivne Ekstreemumkohad -argumenti väärtused, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi Ekstreemumpunktid - graafiku punktid, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Funktsiooni y=f(x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Käänupunkt - Punkt, millest läbiminekul joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks Kumeruspiirkond- vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus Nõgususpiirkond vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus Joone asümptoot - sirge, millele joone graafik piiramatult läheneb. Püstasumptoot - y-teljega paralleelne asümptoot
oleva funktsiooni graafiku piirkonna igas punktis joone y=f(x) puutuja suhtes. paikneb ülevalpool antud joont. Kui aga vaadeldava joone puutuja paikneb piirkonna X igas punktis allpool antud joont, siis seda joont nimetatakse piirkonnas X nõgusaks ehk kumeraks alla. Mis on joone käänupunkt? Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. (kui ühel pool punkti joon on kumer ning teisel pool nõgus) Kuidas leida funktsiooni Kui vahemiku (a; b) kõigis punktides kumeruse ja nõgususe piirkondi funktsiooni f (x) teine tuletis on negatiivne, ning käänupunkte? s.t
väärustel ümbrusest (aδ,a+δ) allpool (ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a,f(a)) fun.graafikule. Öeldakse, et funktsiooni graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis. Öeldakse, et punkt a on fun. graafiku käänupunkt , kui leidub selline δ>0, et fun.graafik on kumer hulgal (a‒δ,a) ja nõgus (a,a+δ) v vastupidi. Tarvilik.Kui f´´(x)∈C(a₋ δ,a+δ) ja punkt a on funktsiooni käänupunkt, siis f´´(a)=0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva fun statsionaarseks punktiks, kui f´(a)=0. Punkkti a nimetatakse funktsiooni kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole funktsiooni tuletist
joon y=f(x) on selles vahemikus nõgus. 2. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera (nõgusa) oleva funktsiooni graafiku suhtes. Kumer: Funktsioon f graafik on vahemikus X kumer, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut. Nõgus: Funktsiooni f graafik on vahemikus X nõgus, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja asetseb allpool graafikut. 3. Mis on joone käänupunkt? Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse joone käänupunktiks. Kui tuletisel f'(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. Käänupunkt: f''(x)=0 või kui f'' puudub 4. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgitada, mis on joone asümptoot
on selles vahemikus nõgus. 2. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera funktsiooni graafiku suhtes? Kuidas asetseb joone puutuja igast punktis nõgusa funktsiooni graafiku suhtes? Kumer: Funktsioon f graafik on vahemikus X kumer, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja astseb ülalpool graafikut. Nõgus: Funktsioon f graafik on vahemikus X nõgus, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja astseb allpool graafikut. 3. Mis on joone käänupunkt? Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse joone käänupunktiks. Kui tuletisel f´(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 4. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgita, mis on joone asümptoot
14). (Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilised punktid) hulga X igas punktis. *Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne *Öeldakse, et punkt a (täpsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt , kui arv δ, et 0 < │Δx│ < δ → Δy ≤ 0: leidub selline 𝜹 > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a- 𝜹; a) ja nõgus hulgal (a; a *Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline positiivne + 𝜹 ) või nõgus
võrdsusele. 16. Defineerida joone kumerus ja nõgusus. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera (nõgusa) oleva funktsiooni graafiku suhtes. Kumerus nimetatakse piirkonnas X kumeraks, kui selle piirkonna igas punktis joone puutuja paikneb ülevalpool antud joont Nõgusus - nimetatakse piirkonnas X nõgusaks, kui selle piirkonna igas punktis joone puutuja paikneb allpool antud joont 17. Mis on joone käänupunkt? Kui ühel pool punkti (a, f(a)) joon on kumer ning teisel pool nõgus, siis punkti (a, f(a)) nimetatakse joone y=f(x) käänupunktiks 18. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Tuleb leida funktsiooni teise tuletise nullkohad ja võrrelda teoreemiga, kus f''(x)>0 siis on nõgusus piirkond ja f''(x)<0, siis kumerus piirkond. Ühe vahetumine teisega on funktsiooni käänupunkt (teise tuletis nullkoht
interval" väärtuseks 100 ms. Spektrianalüsaatori seadete menüüst valisime ,,Display Mode" väärtuseks ,,Peak Hold" ning tulemuste kujutamiseks lineaarne skaala "Scale - linear". Spektriakna laiuseks seadsime 97,66kHz. Käivitasime laotus ja ootasime kuni generaator on kogu sagedusala läbi skaneerinud. Salvestasime tulemus. Joonis 5. Mõõteobjekti Sageduskarakteristik. Leidsime saadud sageduskarakteristikult käänupunkt: f = 49,53kHz. A = 427,2mV Leidsime kallete tõusu = 12,75 dB/oct Kokkuvõte. Selles töös tutvusime PicoScope 2205 võimalusega genereerida signaali etteantud .csv failist. Õppisime kuidas genereerida erinevaid signaali kujusid sellest failist. Mõõteobjekti sageduskarakteristik mida me saime vastab LC-ahela sageduskarakteristikule.
d. Selle seose põhjendus: d.i. Liikudes vasakult paremale joone puutuja tõus suureneb ja seega on joon ülespoole. d.ii. Liikudes paremalt vasakule joone puutuja tõus väheneb ja joon kaardub allapoole e. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks f. Käänupunkti tarvilik tingimus kui P=(x1,f(x1)) on joone y=f(x) käänupunkt, siis on x1 funktsiooni f teist järku käänupunkt. Vastupidine väide ei kehti, sest funktsioonil võib olla sellised kriitilisi punkte, kus käänupunkte ei esine. g. Käänupunkti tarviliku tingimuse põhjendus: Näiteks funktsioonil on teist järku kriitiline punkt , kuid selle funktsiooni tuletis kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud ka . Järelikult on funktsioon kõikjal nõgus ja tal ei esinegi käänupunkte. h
t. f ''(x) < 0, siis joon y = f(x) on selles vahemikus kumer. Kui vahemiku (a;b) kõigis punktides funktsiooni f(x) teine tuletis on positiivne, s.t. f''(x) > 0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus nõgus. 27. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera (nõgusa) oleva funktsiooni graafiku suhtes. Öeldakse, et funktsiooni f graafik on vahemikus X kumer (nõgus), kui selle vahemiku X igas punktis x graafiku puutuja asetseb ülalpool (allpool) graafikut. 28. Mis on joone käänupunkt? Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Funktsiooni f graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f'(x) kriitilises punktis. Kui tuletisel f '(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. 29. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Funktsiooni teise tuletise abil. 30. Selgitada, mis on joone asümptoot
Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab. märki, siis on P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 28. Joone asumptoodi definitsioon. Vertikaalasumptoot. Millistel tingimustel on sirge x =
Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Teoreem Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Tõestus Joone puutuja tõus punktis võrdub funktsiooni tuletisega siis võime järeldada, et seal kus f' kasvab on joon nõgus ja kahanedes kumer. Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast Teoreem Käänupunkti vajalik tingimus Kui on joone käänupunkt, siis on funktsiooni teist järku kriitiline punkt. Vastupidine väide ei kehti, sest funtksioonil võib olla sellised kriitilisi punkte, kus käänupunkti ei esine. Tõestus Näiteks funktsioonil on teist järku kriitiline punkt , kuid selle funktsiooni tuletis kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud ka
Kui iga x(a,b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b) funktsioonile f''(x) saame järgmised laused: 1.Kui , siis iga korral, siis on joon nõgus vahemikus 2.Kui , siis iga korral, siis on joon kumer vahemikus d. Joone käänupunkti definitsioon Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. e. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega Kui on joone käänupunkt, siis on funktsiooni teist järk kriitiline punkt. Põhjendus: Vastupidine väide ei kehti. Funktsioonil võib olla ka selliseid teist järku kriitilisi punkte, kus käänupunkti pole. Näiteks funktsioonil on teist järku kriitiline punkt Samas aga selle funktsiooni esimest järku tuletis kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti ümbrus. Seega on joon kõikjal nõgus, millest järeldub, et tal ei ole üldse käänupunkte. f
esitatav Lagrange kujul. nõgus hulga X igas punktis. Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi: Definitsioon: Öeldakse, et punkt a (täpsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt , kui leidub selline δ > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a- δ; a) ja nõgus hulgal (a; a + δ) või nõgus f ( k ) (a ) n hulgal (a - δ; a) ja kumer hulgal (a; a + δ). f ( x)
tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 9. Nõgus joon Joon on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Joone asümptood Vaatleme tasandil xy- teljestikus joont . Sirget nimetame joone
Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , antud juhul on 0,22 < 2,87, seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle aegrea juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterida Järjestatud rida Märgirida Käänupunkt 69 1 + 10 1 - k 76 7 + 79 10 + 84 15 + k 41 16 15 19 - k
96 77 39 19 52.4 656.8 0.36 259 4951.3 688.16 990.26 51.8 172.04 0.17 Fkr = F1-α (k-1, N-k) = F0,95 (4;20) = 2,87 Fkr : nii see on (0,17 < 2,87). eskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks Käänupunkt Pikim seeria Lmax = 3 Seeriate arv Ns = 14 Lmax < 3,3(log N+1) ja Ns > 0,5(N+1-1,96√(N-1)) Kuna mõlemad võrratused kehtivad, siis võib aegrea mediaankr. järgi luge k Käänupunktide arv p = 15 p > (2(N-2) - 1,96√(1,6N-2,9))/3
Definitsioon: Joon y=f(x) on piirkonnas X nõgus, kui selle piirkonna igas punktis on joon ülalpool oma puutujat Definitsioon: Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer, ja teiselt poolt rangelt nõgus. Leidmine: 1) kui teine tuletis on väiksem nullist piirkonnas X, siis joon on kumer selles piirkonnas 2)kui teine tulestis on suurem nullist piikronnas X, siis joon on nõgus selles piirkonnas 3)käänupunkt on kohas, kus kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi 24. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta. Definitsioon: funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x)=f(x) piirkonnas X Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant
(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a ; a + ) ülapool (täpsemalt, mitte allpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule. Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on nõgus hulga X igas punktis. o Öeldakse, et punkt a (täpsemalt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) käänupunkt, kui leidub selline > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a , a) ja nõgus hulgal (a, a + ) või vastupidi.
Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Põhjendus: Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral teist järku tuletis võrdub nulliga või lõplik teist järku tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab. märki, siis on P
Seega F(a) = F(b). Ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, vahemikus (a, b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi. Rolle'i f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. teoreemi põhjal leidub vahemikus Põhjendus: Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral teist järku tuletis võrdub nulliga (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et F(c) = 0
Kui f(x) C[a, b] ja f''(x) (x (a, b)), siis funktsiooni f(x) graafiku kumerusest (nogususest) vahemikus (a, b) jareldub, et x (a, b) f''(x) 0 (f''(x) 0). 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Oeldakse, et punkt a (täpsemini punkt(a, f(a))) on funktsiooni f(x) graafiku käänupunkt, kui leidub Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku tuletiseks kohal x ja selline > 0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a - , a) ja nogus hulgal (a, a + ) voi nogus tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= .
Rakendades teoreemi: Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b) tõestatud väiteid: 1.Kui f ' (x)>0 , iga x(a,b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a,b) 2.Kui f ' (x)<0 iga x(a,b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b) Joone käänupunkti definitsioon Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega Kui P=( x , f ( x )) on joone y=f (x) käänupunkt, siis x on funktsiooni f teist järk kriitiline punkt. Põhjendus: Vastupidine väide ei kehti. Funktsioonil võib olla ka selliseid teist järku kriitilisi punkte, 4 kus käänupunkti pole. Näiteks funktsioonil f ( x)=x on teist järku kriitiline punkt x=0( sest f ' ' (0)=0) . Samas aga selle funktsiooni esimest järku tuletis f ' (x)=4 x 3 kasvab
ekstreemumid; funktsiooni lahenduste Funktsiooni suurim graafiku kumerus- ja otsimine ja vähim väärtus nõgususvahemikud ning ekstreemumül lõigul. Funktsiooni käänupunkti; esannete graafiku kumerus- 4) uurib funktsiooni täielikult ja lahendamisel. ja skitseerib funktsiooni omaduste Majandusalast nõgususvahemik, põhjal graafiku; e reaalse käänupunkt. 5) leiab funktsiooni suurima ja eluga seotud Funktsiooni vähima väärtuse etteantud lõigul; ülesannete uurimine tuletise 6) lahendab rakenduslikke lahendamine. abil. ekstreemumülesandeid (sh Erinevate Funktsiooni majandussisuga). kujundite graafiku suurim ja skitseerimine vähim pindala
Kumerus. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) kumer ehk kumer üles (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) nõgus ehk kumer alla (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb allpool graafikut. Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni y = f(x) teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni y = f(x) teist järki kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 18. Algfunktsioon ja määramata integraal. Teoreemi 5.1 tõestus. Algfunktsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F'(x) = f(x)
Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , antud juhul on 0,17 < 2,87 Seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisuse nivoo α = 0.05 juures selle aegrea juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterida Järjestatud rida Märgirida Käänupunkt 1 1 - 2 2 - 17 2 - 81 14 + 97 17 + k 75 19 + 22 21 -
muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkonnad 19. Koostage animatsioon, mis näitab konkreetse funktsiooni f(x) korral funktsiooni II tuletise muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe piirkonnad. 20. Mis on funktsiooni f(x) ekstreemum ja selle funktsiooni graafiku käänupunkt? Esitage 2 näidet! F-ni ekstreemumiteks nim. f-ni max ja min väärtusi. , - ekstreemumkohad , - ekstreemumid , - ekstreemumpunktid Käänupunkt on punkt, kus f-ni graafiku kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi. Näited: v.t. labor 8 21. Defineerida funktsiooni alternatiivne tuletis! Leida konkreetse funktsiooni tuletis alternatiivse tuletise definitsiooni abil ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga!
funktsioonile f(x) saame järgmised laused: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on f kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on f kahanev vahemikus (a, b). Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi (Teoreem 4.5.) Joone kaanupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Kaanupunkti tarvilik tingimus koos pohjendusega. Teoreem 4.6 Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Vastupidine v.aide kehti. funktsioonil võib olla ka selliseid teist j.arku kriitilisi punkte, kus käänupunkti ei ole. Näiteks funktsioonil f(x) = x^4 on teist järku kriitiline punkt x = 0 (sest f(0) = 0). Samas aga selle funktsiooni esimest järku tuletis f(x) = 4x^3 kasvab kogu arvteljel, kaasa arvatud punkti x = 0 ümbrus. Seega on joon y = x^4 kõikjal nõgus, millest järeldub, et tal ei ole üldse käänupunkte
järeldus Max KP Min Ekstreemumi ei ole a) tarvilik tingimus y = 0 b) b) piisav tingimus Max üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi + -lt -le Min üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi -lt + -le Ekstreemumi ei ole üleminekul üle kriitilise punkti y ei muuda märki Käänupunkt a) tarvilik tingimus y = 0 b) piisav tingimus üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märki Funktsioon kasvab kumeralt, kui y > 0 ja y < 0 Funktsioon kahaneb nõgusalt, kui y < 0 ja y > 0 Funktsioon kasvab nõgusalt, kui y > 0 ja y > 0 Funktsioon kahaneb kumeralt, kui y < 0 ja y < 0 Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum a) tarvilik tingimus zx = 0 ja zy = 0 b) piisav tingimus A B Max, kui 0 ja A < 0 B C
järeldus Max KP Min Ekstreemumi ei ole a) tarvilik tingimus y = 0 b) b) piisav tingimus Max üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi + -lt -le Min üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märgi -lt + -le Ekstreemumi ei ole üleminekul üle kriitilise punkti y ei muuda märki Käänupunkt a) tarvilik tingimus y = 0 b) piisav tingimus üleminekul üle kriitilise punkti y muudab märki Funktsioon kasvab kumeralt, kui y 0 ja y 0 Funktsioon kahaneb nõgusalt, kui y 0 ja y 0 Funktsioon kasvab nõgusalt, kui y 0 ja y 0 Funktsioon kahaneb kumeralt, kui y 0 ja y 0 Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum a) tarvilik tingimus zx = 0 ja zy = 0 b) piisav tingimus A B Max, kui 0 ja A < 0 B C
Põhjendus: Öeldakse, et joon ¨ y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon ¨ y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot.
2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis f ` on kahanev vahemikus (a; b). Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmised väited: 1. Kui f ` ` (x) > 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ` ` (x) < 0 iga x (a; b) korral siis joon y = f(x) on kumer vahemikus (a; b). Joone käänupunktid. Punkti mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse selle joone käänupunktiks. Olgu punkt P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida võrratus f ` ` (x1) > 0. Tõepoolest, kui kehtiks f ` ` (x1) > 0 siis ülaltoodud väite 1 põhjal oleks joon y = f(x) nõgus argumendi väärtuse x1 ümbruses. See ei saa aga nii olla sest vastavalt käänupunkti definitsioonile nõgusus asendub kumerusega kui argument x läbib käänupunkti P ordinaati x1. Samal põhjusel ei saa kehtida ka võrratus f ` ` (x1) < 0 sest sellisel juhul järelduks ülaltoodud väitest 2 et y = f(x) oleks kumer argumendi x1
2. relat min, kui f'(x)-e märk on vasakul- ja paremal +. 3. ei kumbki, kui f'(x)-e märk säilub (punkti x0 ümbruses). d) Teise tuletise test: Kui f'(x0)=0, siis f(x0) on: 1. relat max, kui f''(x0)<0 f''(x0)=0 korral mitterakenduv 2. relat min, kui f''(x0)>0 e) N-dat järku tuletise järk: Kui f'(x)=0 ja esimene nullist erinev tuletis punktis x0 on n-ndat järku: f(n)(x0)0, siis statsionaarne väärtus f(x0) on: 1. relat max, kui N=2k ja f(n)(x0)<0 2. relat min, kui N=2k ja f(N)(x0)>0 3. käänupunkt, kui N=2k+1. 17. Kitsendustega optimeerimine, kitsenduse efektid, statsionaarsete väärtuste leidmine, teist järku tingimused. Kitsendused on eritingimused otse valikmuutujatele. a) Kitsenduste efektid: Kitsenduste pealepanek opt ül-le tähendab teatud riiravate faktorite avastamistopt-e. Matemaatiliselt kitsendus tõmbab mäpi kokku. Mõistlikes ül-tes kitsenduste arv selline, et valikuvõimaluste arv on vähenenud, aga valiku võimalus in siiski säilinud
( nõgususvahemike ( X ) leidmiseks aga võrratus f ( x ) > 0 . Punkte, mis eraldavad pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktideks. Nende punktide abstsisse nimetatakse käänukohtadeks. Olgu joon määratud võrrandiga y = f ( x ) . Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud ja üleminekul väärtusest x = x0 teine tuletis f ( x ) muudab märki, siis joone punkt, mille abstsiss on x = x0 , on käänupunkt. Enne graafiku joonestamist on otstarbekas lisaks eelnevale leida piirväärtused lim f ( x ) , lim f ( x ) ja lim f ( x ) (vajadusel ka vasak- ja parempoolne piirväärtus), kus a on x x - x a katkevuskoht. Katkevuskohas x = a on funktsioonil sageli vertikaalne asümptoot. 4.9 Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni y = f ( x ) diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul dy = f ( x ) dx = ydx , kus dx = x (vt. joonist).
nõgususvahemike ( X ) leidmiseks aga võrratus f x 0 . Punkte, mis eraldavad pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktideks. Nende punktide abstsisse nimetatakse käänukohtadeks. Olgu joon määratud võrrandiga y f x . Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud ja üleminekul väärtusest x x0 teine tuletis f x muudab märki, siis joone punkt, mille abstsiss on x x0 , on käänupunkt. Enne graafiku joonestamist on otstarbekas lisaks eelnevale leida piirväärtused lim f x , lim f x ja lim f x (vajadusel ka vasak- ja parempoolne piirväärtus), kus a on x x x a katkevuskoht. Katkevuskohas x a on funktsioonil sageli vertikaalne asümptoot. 4.9 Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni y f x diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul
8 8 –256 ymin = f(xmin) = (3 )3 – 4· 3 = 27 . 8. Funktsiooni graafiku ekstreemumpunktid. 8 –256 Pmax(0; 0) ja Pmin(3 ; 27 ). 9. Graafiku käänukohad, käänupunktid. Käänukohal f (x) = 0 ja teine tuletis muudab märki. 4 Lahendame võrrandi 6x – 8 = 0, millest xk =3 . –128 Leiame nüüd yk = f(xk) = 27 . 4 –128 Käänupunkt on Pk(3 ; 27 ). 10. Funktsiooni graafiku nõgusus ka kumerus. Skitseerime teise tuletise graafiku ja loeme sellelt vastavad piirkonnad. 4 Graafiku nõgususpiirkond X = ] 3 ; [, X 4 4 kumeruspiirkond X = ]–; 3 [. X 3
Joone käänupunkti, kumerus- ja nõgususpiirkondade leidmine. Eksamiteemad 1. Lagrange'i keskväärtusteoreem. Selle geomeetriline ja füüsikaline sisu. Cauchy teoreemi ei pea teadma. 2. L'Hospital'i reegel piirväärtuse arvutamiseks. 3. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad. 4. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid. Kriitiline punkt. Teoreem 6.7. 5. Kumer ja nõgus joon. Teoreem 6.8. 6. Joone käänupunkt. PEATÜKK 6. FUNKTSIOONI UURIMINE 6.1 Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoree- mid Definitsioon 6.1 Olgu funktsioon f määratud hulgal D. Me ütleme, et funktsioonil f leidub maksimaalne väärtus hulgal D, punktis c D, kui f (x) f (c) iga x D. Analoogiliselt ütleme, et funktsioonil f leidub minimaalne väärtus hulgal D, punktis c D, kui
annaabi.ee 
