PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8. Täisnurkse kolmnurga siseringjoon jaotab puutepunktis hüpotenuusi osadeks 5 cm ja 12 cm. Arvut...
Antsla Gümnaasium DEVIA PAAP MARILIN NIILUS 8A klass KOLMNURKADE LIIGITAMINE Referaat Juhendaja: õpetaja SIGNE KINNAS Antsla 2008 1 Sisukord Sissejuhatus..........................................................................................................................................3 1. Kolmnurk..........................................................................................................................................4 1.1. Kolmnurga nurgad.........................................................................................................................5 1.2. Kolmnurga küljed..........................................................................................................................6 2. Täisnurkne kolmnurk.....................................
Kordamine IV 1. Kolmnurga küljed on 6,0 cm; 5,4 cm ja 3,6 cm. Kolmnurka on lõigatud pikkuselt keskmise küljega paralleelse sirgega. Tekkinud trapetsi lühem haaron 2,0 cm. Leia trapetsi lühema haara pikkus. 2. Ristküliku KLMN kohta on antud: PL = 15 cm, PN = 4 cm ja cos = 0,8. Arvuta, mitu korda on ristküliku pindala suurem kui trapetsi KLPN pindala. N P M K L 3. Ristküliku diagonaal on 28 cm ning ta moodustab pikema küljega nurga 30°. Tee joonis ja arvuta : 3.1. nurk lühema külje ja diagonaali vahel 3.2. lühema külje pikkus. 4. Ristküliku ABCD külg AB = 16 cm ja BC = 6 cm ning DE = CE. Leia kolmnurga ABE ümbermõõt ja pindala. Selgita lahendust. 5. Antud on kolmnurgad ABC ja AFD. 5.1. Põhjenda, et need kolmnurgad on sarnased. 5.2. Arvuta lõigu DF pikkus, kui AC = 10 cm, BC = 12 cm ja AF = 6 cm. C ...
5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk 8.klass Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk. kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ring...
HULKNURKADE SARNASUS Kiirteteoreem NKN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Näiteül.: Kas pildil olevad kolmnurgad on sarnased? Põhjenda http://www.miksike.ee/docs/elehed/9klass/3matemaatika/images/image894.gif 180 70 30 = 80 ...
Kolmnurk P=a+b+c Kolmnurga liigid Nurkade järgi: 1. täisnurkne kolmnurk Täisnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on 90°. 2. nürinurkne kolmnurk Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on suurem kui 90°. 3. teravnurkne kolmnurk Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik nurgad on kõik väiksemad kui 90° Külgede järgi: 1. erikülgne kolmnurk Erikülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on ebavõrdsed 2. võrdhaarne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 3. võrdkülgne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed. · Kolmnurga kõrguseks nimetatakse ristlõiku kolmnurga tipu ja külje vahel. (...
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. ...
RAUDVARA 3. PEATÜKK DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE 1. HULKADE ÜHISOSA JA ÜHEND *Kui kahes hulgas A ja B on ühiseid elemente, siis öeldakse, et need elemendid moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites : A B *Ühendi saame siis, kui võtame mõlemast osapooles olevad arvud või tähed. Märk tähendab sidesõna ,,ja" Märk tähendab ,,ühisosa" Märk U tähendab ,,ühend" Märk V tähendab sidesõna ,, või" 2. DEFINEERIMINE * Defineerimine Küsimusele vastamine on mõistele definitsiooni andmine. * Algmõiste Mõiste alguses olev mõiste. * Definitsioon Annab täpse ja lühikese vastuse küsimusele ,,Mida nim?Mis on...? 3. TEOREEM * Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda teoreemiks. * ...
Planimeetria Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete ...
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge....
Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 1. Lihtsusta ja arvuta avaldise väärtus. a) (t 3s) (2t + s), kui s = 2 ja t = 3 (t 3s) (2t + s) = t 3s 2t s = 4s t; Lahendus: 4s t = 4 * 2 3 = 11 b) (4c 5d) + (4d c), kui c = 5 ja d = 1 (4c 5d) + (4d c) = 4c 5d + 4d c = 3c d; Lahendus: 3c d = 3 * 5 (1) = 16 c) (a y2) + (a + y2), kui a = 4 ja y = 3 (a y2) + (a + y2) = a y2 + a + y2 = 2a; Lahendus: 2a = 2 * 4 = 8 d) (2s2 s) (s2 2s), kui s = 2 (2s2 s) (s2 2s) = 2s2 s s2 + 2s = s2 + s; Lahendus: s2 + s = (2)2 + (2) = 4 ...
Teoreemid Kiirteteoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Kiirteteoreemi järeldus: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. k sarnasustegur Kaks hulknurka on teineteisega sarnased, kui nende hulknurkade vastavad nurgad on võrdsed ja küljed on võrdelised. Teoreem: Kahe sarnase hulga ümbermõõtude suhe võrdub vastavate külgede suhtega ehk sarnasusteguriga. P / P 1= k Teoreem: Kahe sarnase hulknurga pindalade suhe võrdub nende hulknurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. Kitsam variant: Kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe võrdub nende kolmnurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. KNK (kolmnurkade sarnasuse tunnus kahe külje ja nendevahelise nurga järgi): Kui ühe kolmnurga kaks k...
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI teema Geomeetria PLANIMEETRIA Tasandilised kujundid ja nendega seotud valemid. Ristkülik d b S ab P 2a b d a2 b2 a a Ruut d S a2 a P 4a d a 2 Rööpkülik d1 S ah ab sin h b P 2a b d2 180 0 d1 d 2 2a 2 b 2 a ...
KOLMNURKADE LIIGITAMINE NURKADE JÄRGI Kolmnurki liigitatakse nurkade järgi teravnurkseteks, nürinurkseteks ja täisnurkseteks kolmnurkadeks. Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on teravnurgad. Nürinurkse kolmnurga üks nurk on nürinurk, ülejäänud nurgad on teravnurgad. Täisnurkse kolmnurga üks nurk on täisnurk, ülejäänud kaks teravnurgad. Ühegi kolmnurga nurkade hulgas ei saa olla kahte nürinurka ega kahte täisnurka. Täisnurkse kolmnurga puhul nimetatakse ühte külge hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud külge - täisnurga lähiskülgi - kaatetiteks. Mille alusel saab kolmnurki veel liigitada? 1. Kirjuta iga kolmnurga juurde, kas ta on terav-, nüri- või täisnurkne kolmnurk. .............Teravnurkne........................Teravnurkne..........................................täisnurkne .............................................................. 2. Joonesta kolmnurk, mille üks külg 3. Otsu...
Matemaatika valemid ja seadused. Ringjoon Ringjoone kõik punktid asetsevad ühel ja samal kaugusel ringjoone keskpunktist. Ringjoone pikkus on tema diameetrist (3,14) korda suurem. Ringjoone pikkuse arvutamise valemid: 1) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Valem: C = d. C 10 ; C 31,4 cm 2) Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r² Ruut Ümbermõõt: P = 4 a Pindala: S = a² (vastus alati .. cm² !) Ristkülik - Ümbermõõt: P = 2 (a+b) Pindala: S = a b Kolmnurk Iga kolmnurkade nurkade summa on 180° Ümbermõõt: P = kl + lm + km (küljed). Pindala: Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega:...
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk + + = 180 o 2. Siinusteoreem a b c = = = 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes...
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk 180 o 2. Siinusteoreem a b c 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin abc S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaan...
6 KLASS KORDAMINE 1. Arvuta. (2 (2 (5 5 3 (3 10 + 9 19 7 3 1 6 -5 1 1) 7 +6 = 13 = 13 = 14 6) 3 -1 =2 =2 6 4 12 12 12 5 2 10 10 (2 2 2 9 2 9-2 7 3 2 3+4 7 7) 16 - 7 = 9 - = 8 - = 8 =8 2) 14 + = 14 = 14 10 5 10 10 9 9 9 9 9 9 (5 (9 (5 (7 ...
6 KLASS KORDAMINE 1. Arvuta. (2 (2 (5 5 3 (3 10 + 9 19 7 3 1 6 -5 1 1) 7 +6 = 13 = 13 = 14 6) 3 -1 =2 =2 6 4 12 12 12 5 2 10 10 (2 2 2 9 2 9-2 7 3 2 3+4 7 7) 16 - 7 = 9 - = 8 - = 8 =8 2) 14 + = 14 = 14 10 5 10 10 9 9 9 9 9 9 (5 (9 (5 (7 ...
Matemaatika 9.klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutj...
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6. (1997) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 1,5 dm ja kaatet 1,2 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 7. (1998) Kahe sarnase ristküliku ümbermõõdud on 54 cm ja 10,8 cm. Suurema ristküliku üks külg on 10 cm. Arvuta väiksema ristküliku pindala. 8. (1998) Võrdhaarse kolmnurga...
Kaht sirget , millel on ainult üks ühine punkt nim. ___1___ . Sirgeid , mille lõikumisel tekib täisnurk nim . ___2___ . ______3_____ on sirged , millel ei ole ühtki ühist punkti . Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nim. ___4___ . Kolmnurka , mille üks nurk on täisnurk nim . ____5____ kolmnurgaks . Kolmnurk , mille kõik küljed on erineva pikkusega nim __6_. Kolmnurk , mille kaks külge on ühe pikkusega on __7___ . Ruut on ___8___ , mille kõiik nurgad on __9__ . ___10___ on rööpkülik , mille kõik küljed on võrdsed. Ringjoone diameetriks nim lõiku , mis ühendab ringjoone__11___ ja ___12___ . Joon , mille iga punkt asetseb ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel on __13__ . Naturaalarvu , millel on ainult kaks tegurit ( 1 ja see arv ise ) nim ___14___ . Naturaalarvu , millel on enam kui kaks tegurit nim __15___ . Arv , millega antud arv jagub nim ___16___ . Arv , mis jagub antud arvuga on ___17___ . Murd , mille lugeja o...
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahut...
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S ...
Matemaatika põhimõisted. Definitsioon. Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks...
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 ...
Matemaatika definitsioonid 1.Lõikuvad sirged on sirged, millel leidub ühine punkt. 2.Paralleelsed sirged on sirged, mis paiknevad ühel ja samal tasandil ning ei lõiku. 3.Ristuvad sirged on kaks lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 4.Sirgnurk on sirge, mille haarad moodustavad sirge. 5.Täisnurk on sirge, mis on 90kraadi. 6.Teravnurk on nurk, mis mahub täisnurga sisse. 7.Nürinurk on nurk, mis mahub sirgnurga sisse, aga mitte täisnurga sisse. 8.Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. 9.Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu. 10.Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. 11.Teravnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad. 12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on ko...
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
Uued mõisted · Asendusvõte 1. Avaldan ühest võrrandist ühe tundamatu 2. Asendan saadud avaldise teise võrrandisse avaldatud tundmati kohale 3. Lahendan saadud võrrandi 4. Asendan saadud tundmatu väärtuse ühte võrrandisse 5. Teen kontrolli esialgse võrrandi süsteemi põhjal 6. Kirjutan vastuse · Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse kolmnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. 5. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis poolitab ringjoone. 6. Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmanurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalar...
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõ...
Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega: ,-kui on acsin(),-bcsin() Kolmnurga pindalad: S=1/2 ¤ A ¤ H
Teoreem 1: Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. • A D ABC DEF Sümbolites: C F • Joonisel: Teoreem 2: Kui ühe kolmnurga üks nurk on võrdne teise kolmnurga ühe nurgaga ja nende nurkade lähisküljed on võrdelised, siis on kolmnurgad sarnased. • A D Sümbolites: AC AB ABC DEF DF DE • Joonisel: Teoreem 3: Kui ühe kolmnurga küljed on võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis need kolmnurgad on sarnased. • AB BC AC k ABC DEF Sümbolites: DE FE DF F C • Joonisel: A B D E A...
KOLMNURK 6.klass Hulka, mille elementideks on seespool kolmest lülist koosnevat kinnist murdjoont olevad punktid, koos murdjoone punktidega, nimetatakse KOLMNURGAKS. tipp külg külg tipp külg tipp Ristlõiku, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljele või selle pikendusele, nimetatakse KOLMNURGA KÕRGUSEKS (h). h h Külge, mille vastastipust on joonetatud kolm- nurgale kõrgus,nimetatakse KOLMNURGA ALUSEKS(a). h a h a KOLMNURKADE LIIGITAMINE KÜLGEDE JÄRGI NURKADE JÄRGI erikülgne kolmnurk teravnurkne võrdhaarne kolmnurk kolmnurk täisnurkne võrdkülgne kolmnurk kolmnurk nürinurkne ...
KOLMNURK 6.klass Koostaja: Robi P2rnik Hulka, mille elementideks on seespool kolmest lülist koosnevat kinnist murdjoont olevad punktid, koos murdjoone punktidega, nimetatakse KOLMNURGAKS. tipp külg külg tipp külg tipp Ristlõiku, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljele või selle pikendusele, nimetatakse KOLMNURGA KÕRGUSEKS (h). h h Külge, mille vastastipust on joonetatud kolm- nurgale kõrgus,nimetatakse KOLMNURGA ALUSEKS(a). h a h a KOLMNURKADE LIIGITAMINE O KÜLGEDE JÄRGI O NURKADE JÄRGI O erikülgne O teravnurkne kolmnurk kolmnurk O võrdhaarne O täisnurkne kolmnurk kolmnurk O nürinurkne O võrdkülgne kolmn...
PLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud ...
1. Optiline illusioon Milline lõik on pikem, kollane või sinine? · Mõlemad lõigud on tegelikult ühepikkused. Kumb punane joon on pikem? · Mõlemad punased jooned on ühepikkused Kumb koletis on suurem? · Mõlemad koletised tegelikult ühepikkused 2. Painutused ja kõverdused. Kas jooned on paralleelsed? Kas need jooned on paralleelsed? · Raske uskuda, et kõik diagonaaljooned on tegelikult paralleelsed. Kas kolmnurga küljed on sirged? · Kolmnurga küljed tunduvad sissepainutatutena, tegelikult on sirged. Kas ring on lopergune? · väärarvamuse põhjustab tagaplaanikujund (joonte murdumine) 3. Muutlikud kujundid. Kas sa näed kuubi sisemist või alumist põhja? Mitut erinevat pilti sa näed? · Võimalik on näha vähemalt nelja erinevat varianti Kas trepp läheb üles või alla? 4. Kaksipidi pildid. Mida näed pildil? · Kas vaas või kaks nägu? Mida näed ...
3.ptk Defineerimine ja tõestamine 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkade ühisosa - ühised elemendid; Ül.564 tähis ; NB tehe hulkadega 2.Hulkade ühend - hulk, millesse kuuluvad Ül.567 ühe hulga kõik elemendid ja teise hulga need elemendid, mis esimesse hulka ei kuulunud; tähis ; NB tehe hulkadega 3.Matemaatilised sümbolid - hulkade ühisosa matemaatikale iseloomulik hulkade ühend nn.kokkuleppeline keel, et teksti lühidalt element kuulub hulka kirja panna (võit ajas ja ruumis) element ei kuulu hulka sidesõna "ja" sidesõna "või" hulga osahulk, "ei ole osahulk" kriipsutatakse sama tähis läbi ...
Kolmnurga lahendamine Antud Üks külg ja 2 nurka Kaks külge ja neist ühe 2 külge ja külgedevaheline Kolm külge vastasnurk nurk Siinusteoreem Siinusteoreem Koosinusteoreem Koosinusteoreem 180 180 Siinusteoreem Siinusteoreem Lahendamine 180 180 2 lahendit, kui antud väiksema külje vastasnurk! Kolmnurga küljed...
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. A...
Teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.Kehtivad võrdused: . Eeldus: On antud ABC, küljed a,b,c ja küljed ,,. Väide: =2R Tõestus: 1)Avaldame ABC pindala kolmel erineval viisil: Sabc=absin ; Sabc=bcsin ; Sabc=acsin Pindala väärtus valitud valemist ei olene : Sabc=absin = Sabc=bcsin ?= Sabc=acsin |: Absin=bcsin=acsin | : abc = Kui arvud on võrdes on võrdsed ka nende pöördarvud: 2) Näitan, et = 2R 1. Joonestan tipust C diameetr CD=d=2R 2. Ühendan punktid B ja A 3. D=A= 4. Saan DBC=90kraadi 3)ABC: sin= ja saan 2R= (võrde välisliikmeid võib vahetada)
Teoreem: Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. Eeldus: Kolmnurk on võrdhaarne, AC = BC (vt. joonist) Väide: Alusnurgad on võrdsed, = Joonis: Tõestus: 1. Ühendame tipu C küje AB keskpunktiga D. Saame kaks kolmnurka ADC BDC 2. Vastavalt eeldusele on küljed AC ja BC võrdsed: AC = BC 3. Küljed AD ja BD on samuti võrdsed: AD = BD, sest D on lõigu AB keskpunkt (vt. tõestuse punkt 1) 4. Külg CD on kolmnurkade ADC ja BDC ühine külg. 5. Oleme kindlaks teinud, et kolmnurkade ADC ja BDC küljed on võrdsed. Seega on ka kolmnurgad ADC ja BDC võrdsed tunnuse KKK (kolmnurkade võrdsuse tunnus kolme külje järgi). 6. Võrdsete kolmnurkade vastavad nurgad on aga samuti võrdsed. Seega =
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. ...
1. Arvud, mis väljendavad risttahuka mõõtmeid moodustavad geomeetrilise jada. Risttahuka põhja pindala on 108 m² ja täispindala 888 m². Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veinik...
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 500000000...
Raudvara: defineerimine ja tõestamine 1.hulkade ühisosa ja ühend. Hulka B kuuluvad elemendid: h,i,j,k,l,X,Y. elemendid X ja Y on hulkade A ja B ühisosa: ja märk tähendab sõna ,,ja". Hulka Akuuluvad elemendid: c,d,e,f,g,X,Y. Kulkade A ja B ühendi moodustuvad kõik elemendid, mis kuuluvad nendesse hulkadesse: c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,X JA Y. Kuna hulgad A ja B on geomeetrilised kujundid, mis asetsevad tasapinnal, võib nende kohta öelda ka punktikulk 2. Defineerimine. Mõistete seletamist lihtsamate ja tuntumate mõistete abil nimetatakse mõiste defineerimiseks ja mõiste seletust nimetatakse definitsiooniks. Mõisteid mida ei ole vaja defineerida ning nende tõesuse üle ei saa vaielda nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted on näiteks: punkt, sirge, tasand, ruum jne. Mõitet defineeritakse mõiste eritunnuse kaudu. Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus ...
Matemaatika Trigonomeetria: täisnurkse kolmnurga lahendamine. a,b= kaatetid c= hüpotenuus +=90° =90°- või =90°- c2=a2+b2 c=a2+b2 a=c2-b2 b=c2-a2 Kolmnurga pindala: S=a*b/2 Teravnurga siinus on vastaskaateti ja Trigonomeetrilised funktsioonid: hüpotenuusi suhe(jagatis) sin=a/c sin=b/c Teravnurga kosinus on lähiskaateti ja cos=b/c cos=a/c hüpotenuusi suhe(jagatis) tan=a/c tan=b/a Teravnurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(jagatis) Nurki mõõdame kraadides: 1° 1°= 60'( minutit) 1'(min)= 60"(sekund) Mittetäisnurkse kolmnurg...
Kordamisülesandeid 12.klassile eksamiks valmistumisel 1. Leida funktsiooni y = -0,5x2 4x ekstreemum, kahanemispiirkond ja graafiku puutuja kohal x = -2 7 + 2x 2. Leida funktsiooni y log negatiivsuspiirkond x 3. Leida joone x- 1 puutuja, mis onparelleelne sirgega 8x 2y + 1 = 0 y x 4. Leida funktsiooni y = x3 2x + 4graafiku puutuja tõus kohal, kus graafik lõikub funktsiooni y = x3 graafikuga. 5. Ringi on joonestatud suurima pindalaga ristkülik ümbermõõduga 80 cm. Milline on selle ristküliku pindala ja ringi raadius? 3 6 a 3 a+9 - 6. Lihtsusta avaldis a+3 a-9 6 a 7. Leida täisnurkse kolnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius on r = 6 cm ja ...
Kolmnurkade sarnasuse tunnused Maarika Virkunen Kohtla-Järve Järve Gümnaasium 2012 Rühmatöö · Moodustage klassis neljaliikmelised rühmad. · Moodustage rühmas kaks paari. · Üks paar tutvub tunnusega NN (õpik lk 124, teoreem 1) ja teine paar tunnusega KNK (õpik lk 125, teoreem 2). · Kumbki paar täidab oma tabeli vastavad lahtrid. · Vahetage rühmas paarilised ja selgitage uuele paarilisele õpitud sarnasuse tunnust. · Täida uue paarilise abiga tabelis vastavad lahtrid. · Arutlege rühmas ühiselt, mida kirjutada viimasesse ritta (tunnus KKK) · Täitke koos tabeli viimane rida ja lahendage ülesandeid nende tunnuste põhjal. Kolmnurkade sarnasus kahe nurga järgi (NN). · Teoreem 1: Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. · A D ABC DEF Sümbolites: C F · Joonisel: ...
1Mis on üksliige? Üksliikmeks nimetatakse avaldist, kus on kasutatud ainult korrutustehet. 1Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat. 1Mis on tegurdamine? Tegurdamiseks nimetatakse avaldise teisendamist korrutiseks. 1Nimeta tegurdamise võtted 1)Teguri sulgudest välja toomine 2)Korrutise abivalemite kasutamine 3)Rühmitamisvõtte kasutamine 4)Ruutkaksliikme tegurdamine 1Mis on teoreem? Teoreem on lause, mida on vaja tõestada teada olevate tõdede põhjal. 1Mis on teoreemi eeldus? Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem kolmnurga kesklõigust. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ja on paralleelne kolmanda küljega. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võ...
Õpetajale 9. Antud on ristkülik külgedega a ja b. Ristküliku sees on viirutatud kolmnurk 4 punkti (vaata joonist). Arvuta viirutatud kolmnurga pindala ruutdetsimeetrites, kui a = 20,5 cm ja b = 60 cm. Kolmnurga alus on ________ ja kõrgus on ________ . 33 b 34 ÜLERIIGILINE TASEMETÖÖ 35 MATEMAATIKA a Vastus: _____________________________...
annaabi.ee 
