o Leian ühepoolsed piirväärtused. o lim x->arv- f(x), kui arv ei alusta x-telge (kui pole määramispiirk esimene väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu vasakpoolses ümbruses. o lim x->arv+ f(x), kui arv ei lõpeta x-telge (kui pole määramispiirk viimane väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu parempoolses ümbruses. Kaldasümptoodid o y = mx + b o Parempoolne kaldasümptoot, kui paremal pool eksisteerib lõpmatus. m = lim x->+ f(x)/x. b = lim x->+ [f(x)-mx]. Kui m=± või b=±, siis kaldasümptooti pole Asendan m ja b ning kirjutan: Sirge y=mx+b on funktsiooni f graafiku parempoolne kaldasümptoot. o Vasakpoolne kaldasümptoot, kui vasakul pool eksisteerib lõpmatus. Kui asendada piirprotsess x->+ piirprotsessiga x->- ja sellest
Funktsiooni graafiku asümptoodid Asetsegu punkt ( x; y ) funktsiooni f graafikul, millel on lõpmatusse ulatuv haru. Kui punkti ( x; y ) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Vasakpoolne y y = f (x) rõhtasümptoot y=b b Parempoolne kaldasümptoot y = mx + b a 0 x Püstasümptoot x= a 18 Funktsiooni graafiku asümptoodid Asümptooti võrrandiga x=a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y = mx + b nimetatakse kaldasümptoodiks. Kui m = 0, siis kaldasümptooti
25. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f (x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Sirge x=a on joone y= f(x) vertikaalasümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi).
Teoreemile 4.2 vastupidine väide ei kehti, igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise
Käänupunkt - Punkt, millest läbiminekul joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks Kumeruspiirkond- vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole kõrgemal ühestki tema puutujast selles vahemikus Nõgususpiirkond vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole allpool ühestki tema puutujast selles vahemikus Joone asümptoot - sirge, millele joone graafik piiramatult läheneb. Püstasumptoot - y-teljega paralleelne asümptoot Kaldasümptoot - Asümptoot, mis ei ole paralleelne koordinaattelgedega
x lim f ( x) = ± 2 xa või 4 lim f ( x) = ± 6 xa + või lim f ( x) = ± 8 x=3 xa - kaldasümptoot y ei ole paralleelne 15 1 y-teljega f ( x) = x + x2 12 y = kx + b, 9 kui leiduvad k ja b nii, et 6
12 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25) Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Sirget # nimetatakse joone = asümptoodiks, kui joone = jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest # läheneb nullile. Vertikaalasümptoot on y-teljega paralleelne sirge. Asümptoodi võrrand on = . Sirje = on joone = asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks
Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. *Eksisteerib ka kaldasümptoot kujul y=kx + b protsessis 𝑥 → − või 𝑥 → + , kusjuures neid kahte kaugenemist tuleb uurida eraldi. *Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused k ja b määrata juhul 𝑥 → ning seejärel asetada nad antud võrdusesse.(y=kx+b)
Kui tuletisel f'(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. Käänupunkt: f''(x)=0 või kui f'' puudub 4. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Püstasümptoot: püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x-teljega. Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine.
Kui tuletisel f´(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 4. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgita, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümptoot ja kaldasümptoot? Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Püstasümptoot: püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x-teljega. Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine.
y=kx+ b pidevad punktis x0 ja 2) kaldasümptoot . g( x 0)≠ 0 f ( x) protsessis x →+∞ või x →−∞ .
x2 (x - 9) 1 k = lim = x 2(x - 8)2 x 2 x2 (x - 9) 1 7 b = lim [ - x] = x 2(x - 8)2 2 2 x 7 Järelikult kaldasümptoot, millele läheneb funktsiooni graafik x korral on y = 2 + 2 . Lisauurimine näitab, et samale sirgele läheneb funktsioon ka x - korral. Graafik 4
suureneb Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Joone asümptood Vaatleme tasandil xy- teljestikus joont . Sirget nimetame joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusesse selle kaugus sirgest läheneb nullile. Vertikaalasümptood y-teljega paralleelne sirge. Võrrand Tingimused, mille korral on joone vertikaalasümtood: 1. 2. 3. 4.
18. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Tuleb leida funktsiooni teise tuletise nullkohad ja võrrelda teoreemiga, kus f''(x)>0 siis on nõgusus piirkond ja f''(x)<0, siis kumerus piirkond. Ühe vahetumine teisega on funktsiooni käänupunkt (teise tuletis nullkoht asendada esialgsesse funktsiooni) 19. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot? Asümptoot on sirge, millele funktsiooni graafik lõpmatult läheneb, kuid ei lõiku. Püstasümptoot x=a ehk vertikaalasümptoot, on risti x-teljega Joone y = f(x ) kaldasümptootideks on sirged y = kx+b. Asjaolu, et sirge y = kx+b on joone y = f(x) kaldasümptoodiks, tähendab seda, et protsessis x (x) funktsiooni f väärtused lähenevad lineaarse funktsiooni y = kx+b väärtustele. 20. Mis on antud funktsiooni y = f(x) algfunktsioon
punktides. Seega säilitab märki vahemikes . Fikseerime kontrollpunktid neil intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks märgid: Kasutades diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna ja nõgususpiirkonna . Argumendi väärtusel asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt käänupunkt. Väärtusel käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge joone vertikaalasümptoot? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Joone asümptoodi definitsioon Vaatleme tasandil -teljestikus joont . Sirget nimetatakse joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest läheneb nullile. b. Vertikaalasümptoot Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x=a. c
väheneb. 1. Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). Kui f’’(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,vnimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x → ∞ (tuletada pole vaja). Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged.
joone y=f(x) käänupunkt. i. Põhjendus: Oletades, et on suurem nullist punktist paremal ja väiksem vasakul. Järelikult on joon nõgus punktist vasakul ja kumer paremal. Seega korral asendub nõgusus kumerusega, mis tähendab, et on käänupunkt. 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x=a joone y=f(x) vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Vaatleme tasandil xy-teljestikus joont y=f(x). Sirget l nimetatakse joone y=f(x) asümptoodiks, kui joone y=f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. a.i. Vertikaalasümptoodid need on y--teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x=a
vaid tuletise f ´(x) kriitilises punktis. Kui tuletisel f ´(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f (a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. Selgitada, mis on joone Kui punkti funktsiooni y = f (x) argumendi asümptoot. Mis on püstasümtoot kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel ja kaldasümptoot? mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga x = a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks.
y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f (x) = - lim f (x)= xa- xa- lim f(x) = - lim f(x) = xa+ x a+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi).
15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet! Osamurd on murd kujul , kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12 16. Mis on funktsiooni graafiku asümptoot? Tooge 2 näidet! F-ni graafiku asümptoodiks nimetatakse sirget, mis tähistab graafiku lõpmatusepunkti, millele graafik läheneb piiramatult. Näited: v.t. järgmist punkti 17. Mis on funktsiooni graafiku püstasümptoot, kaldasümptoot? Tooge 2 näidet! Sirget x=a, kus a on funktsiooni f(x) graafiku lõpmatuspunkt, nimetatakse püstasümptoodiks. Sirget y=ax+b nimetatakse funktsiooni graafiku kaldasümptoodiks, kui funktsiooni f(x) graafik läheneb sellele piiiramatult. Näited: Antud juhul on sirge püstasümptoot ja sirge kaldasümptoot 18. Milliseid funktsioone nimetatakse irratsionaalseteks? Tooge 2 näidet! F-ni, mida defineerivas valemis on aritmeetiliste tehete hulgas ka juurimine nimetatakse
0 x x0 + 0 4 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID II liik lõpmatuskoht kas x lim f ( x) = või lim f ( x) = või mõlemad = x 0 0 x x0 + 0 y Kaldasümptoot y = kx + b , kus k = lim ja b = xlim ± ( y kx) x ± x Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus: on , kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y )
0 x x0 + 0 4 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID II liik lõpmatuskoht kas x lim f ( x) = või lim f ( x) = või mõlemad = x 0 0 x x0 + 0 y Kaldasümptoot y = kx + b , kus k = lim ja b = xlim ± ( y kx) x ± x Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus: on , kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y )
s diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna . Argumendi väärtusel x=1 asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt P=(1,-2) käänupunkt. Väärtusel x=0 käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge a x = joone ) (xfy = vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Joone asümptoodi definitsioon Vaatleme tasandil xy -teljestikus joont y=f (x) . Sirget l nimetatakse joone y=f ( x) asümptoodiks, kui joone y=f ( x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x=a.
8. Joone asümptoodid. 4 Def Kui joone y = f ( x ) punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone y = f ( x ) asümptoodiks Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui f ( x) m = lim , b = lim[ f ( x ) - mx] . x x x Võrrandi numbriline lahendamine- Võrrandi numbriliseks lahendamiseks on mitmeid võimalusi : 1. Graafiline lahendamine (joonestame graafiku ja analüüsime võrrandit selle põhjal) 2. Analüütline lahendamine (toetume teadaolevatele pidepunktidele ja lahendame võrrandi analüüsides)
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Funktsiooni f graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f'(x) kriitilises punktis. Kui tuletisel f '(x) on kriitilises punktis a range lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f(a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. 29. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Funktsiooni teise tuletise abil. 30. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot? Kui punkti funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga x = a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y = mx + b nimetatakse kaldasümptoodiks. Kui punkt (x; y) läheneb kaldasümptoodile protsessis
y = 6x + 2 y = 6 > 0 nõgus kõikjal 8. Joone asümptoodid. Def Kui joone y = f ( x ) punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone y = f ( x ) asümptoodiks Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui f ( x) m = lim , b = lim[ f ( x ) - mx] x x x Ligikaudne arvutamine Defineerisime diferentsiaali kui funktsiooni muudu peaosa. See võimaldab kasutada diferentsiaali kui funktsiooni muudu ligikaudset väärtust dy y Valem on seda täpsem, mida väiksem on muut x . Valemit kasutatakse siis, kui funktsiooni diferentsiaali on kergem arvutada kui tema muutu. Anname valemile teise kuju f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) x
järku tuletis f ` ` (x1) puudub. Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas teist järku tuletis võrdub nulliga või lõplik teist järku tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks. 34. Joone graafiku asümtoodid: Asümptoodid. Definitsioon1. kui võrrandiga y=f(x) antud joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nim. antud joone asümptoodiks. Kaldasümptoot. Valem: y=kx+b; Joone y=f(x) kaldasümptootide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata: juhul x- seosest lim x- (f(x)-kx-b)=0 millest saame, 1 et k= lim x- f(x)/x ^ b= lim x-(f(x)-kx); *juhul x+ seosest lim x+ (f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas
eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asu¨mptoodi v~orrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - xa- lim f(x)= - xa+ lim f(x)= xa- lim f(x)= xa+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asumptoodi v~orrand on y = kx + b, kus k on asumptoodi t~ous. Kaldasumptoodi erijuht on horisontaalasumptoot, mis on paralleelne x-teljega. T~ous k on sellisel juhul v~ordne nulliga, st asumptoodi v~orrand on y = b. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Kui x , siis eemaldub punkt M = (x,f(x)) l~opmatusse m¨o¨oda joont y = f(x). Kuna y =
22 . x + (x - ) siis kaldasümptooti nimetatakse parempoolseks (vasakpoolseks) kaldasümptoodiks. Asümptootide leidmine: Sirge x = a on funktsiooni f graafiku püstasümptoot punkti a parempoolses (vasakpoolses) ümbruses siis ja ainult siis, kui lim f (x )= ± ( lim f( x) = ± x a + x a- Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku parempoolne kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui m= lim f(x)/ x, b= lim(f( x) -mx) x+ x+ Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku vasakpoolne kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui m =lim f(x)/ x, b= lim(f(x) -mx) x- x - 1 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). Määramata integraal
Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - δ ; a + δ] ja diferentseeruv ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. vahemikes (a - δ; a) ja (a; a + δ), kusjuures f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a - δ; a) ja f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a; a + δ) *Eksisteerib ka kaldasümptoot kujul y=ax + b protsessis 𝑥 → −∞ või 𝑥 → +∞, kusjuures neid siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui aga f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a - δ; a) ja f ’(x) kahte kaugenemist tuleb uurida eraldi. ≥ 0; x ϵ (a; a + δ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum. *Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata juhul 𝑥 → ∞ ning seejärel
piiramatult kasvama. Nagu nägime, x koordinaat läheneb lõplikule arvule a. Seega kasvab punkti y-koordinaat piiramatult, st kas y - või y . Me saame formuleerida järgmise väite. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f (x) = - lim f (x)= xa- xa- lim f(x) = - lim f(x) = xa+ x a+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x- teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Tultada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Kui x , siis eemaldub punkt M = (x, f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x)
Korrutades b - a-ga saame valemi . xa+ x a+ Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kujundite D ja pindalad on võrdsed. Järelikult tuleb S leidmiseks arvutada pindala. Kuna jooned y = g1(x) ja y = Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on g2(x) asetsevad ülalpool x-telge, siis võib kujundi pindala arvutada selliselt, et y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega.
x y(0) = . Kuna f ( x) x2 + 2 k = lim =1 ja b = lim [ f ( x ) - kx ] = lim - x = 0, x x x x x siis vaadeldava joone parempoolseks kaldasümptoodiks on sirge y=x. Analoogiliselt saame, et sirge y= x on ka antud joone vasakpoolne kaldasümptoot. §5 JADAD JA READ 1. Arvjadad Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x(n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Definitsioon 13. Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n
eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - ∞ xa- lim f(x)= - ∞ xa+ lim f(x)= ∞ xa- lim f(x)= ∞ xa+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x- teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x∞ . Kui x → ∞, siis eemaldub punkt M = (x,f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x). Kuna y = kx+b
läheneb punkti liikumisel lõpmatusse mööda joont *Märkus: asümptoot saab olla ainult sellel joonel, mille graafikul on olemas lõpmatu haru, aga samas ei tarvitse ka sellel olla asümptooti: hüperbool-2 asümp; parabool- 0 asümp; ellips- 0 asümp. *I püstasümptoot: joonis! X=a PQ=0; limp-> PQ=0 ; limx->a f(x)= =>a MP; I liiki katkevusp. *kui f-nil leiduvas I liiki katkevusp-d siis sellel f-nil on ka püstasümptoot *II kaldasümptoot y=kx+b (k=?, b=?); joonis!; limp-> PQ=0, PQR=> limp-> PR=0, PR=f(x)-(kx+b); limx-> [f(x)-kx-b]=0 => limx-> (f(x)-kx)- limx-> b=0 =>b= limx-> (f(x)-kx); limx-> f(x)-kx-b/x=0 ->limx-> f(x)/x-k- limx-> b/x=0 =>k= limx-> f(x)/x. *Märkused:1)kui üks nendest piirväärtustest on lõpmatus või ei eksisteeri siis kaldasümptooti ei ole 2)kui asümptoodi tõus on võrdne 0-ga siis räägime rõhtasümptoodist, mis on
annaabi.ee 
