(a+b)+c=a+(b+c) liitmise assotsiatiivsus a+b=b+a liitmise kommutatiivsus 2. multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm (a*b)*c= a*(b*c) korrutamise assotsiatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Sellist elemendi e M, mistahes a M rahuldab tingimust: a*e=a ja e*a=a nim hulga M ühikelemendiks. (e=1 ; e=E) · Ühikselement käitub korrutamisel neutraalse elemendina. · Osutub, et multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt üks ühikelement. · Kui eeldada, et leidub mõni teine ühikelement veel , siis ta peaks rahuldama tingimusi: a*=a ja *a=a · Kui süsteemis M leidub ühikelement e, siis sellist elementi a-1 M, mis mingi teatava a M rahuldab tingimusi a*a-1=e ja a-1*a=e nim elemendi a pöördelemendiks. · Osutab, et multiplikatiivses süsteemis saab igal elemendil olla ülimalt üks pöördelement. Kui eeldab, et leidub veel mõni teine pöördelement -1 kuulub M,
kommutatiivseks poolrühmaks. Aditiivne kommutatiivne poolrühm (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a Multiplikatiivne kommutatiivne poolrühm ( a b ) c = a ( b c) a b = b a Sellist elementi c, mis kuulub hulka M, mis iga a korral hulgast M rahuldab tingimust a e = a ja e a = a nimetatakse hulga M ühikelemendiks. Osutub, et multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt 1 ühikelement. Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi märgime a-1 hulgast M, mis mingi a korral hulgast M rahuldab tingimusi : a a-1 = e ja a-1 a = e nimetatakse elemendi a pöördelemendiks. Öeldakse, et multiplikatiivses süsteemis M kehtib pöördoperatsiooni olemasolu seadus aka poos, mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid b x = a ja y b = a lahenduvas süsteemis M. Arvutusoperatsioon f, mis seab hulgast M elementide järjestatud paarile a, b
siis vastus on samuti selle hulga element. Ühe binaarse tehteda algebralist süsteemi nimetatakse grupoidiks. Ühikelement on selline element, millele rakendades tehet suvalise elemendiga, saab vastuses selle sama elemendi. Pöördelement on selline element, mis tehte rakendamisel elemendiga annab vastuseks ühikelemendi. Poolrühm on assotsiatiivse tehtega süsteem. Poolrühm, kus eksisteerib ka ühikelement on monoid. Rühm on süsteem milles kehtib: assotsiatiivsus, ühikelement ja iga element omab pöördelementi. Abeli rühm on rühm, kus kehtib ka kommutatiivsus. Vastavus: Vastavus on ühe hulga elementide seotus teise hulga elementidega. Lähtehulk on hulk, mis on seotud teise hulgaga. Sihthulk on hulk, millega on teine hulk seotud. Määramispiirkond on lähtehulga elemendid ja muutumispiirkond sihthulga elemendid.
element kujutab endast kahe liidetava kommutatiivseks poolrühmaks. parajasti üks vektor AB. summat, võrdub determinant 2 sama Multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt üks ühikelement, järku deteerminantide summana. nullelement, vastandelement ja üks pöördelement. Arvutusoperatsioon, mis seab hulga M elementide järjestatud paarile 3. Iga punkti A ja iga vektori a korral leidub 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema
DEF 3: alg süst M milles def a.o. rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks · + adiktiivne poolrühm · * multiplikatiivne poolrühm DEF 4: alg süst M milles def a.o. rahuldab nii assotsiatiivsuse kui ka kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks DEF 5: elementi e hulgast M mis iga a hulgast M korral rahuldab tingimust e * a = a ja a * e = a nim hulga M ühikelemendiks Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi a -1 hulgast M, mis teatava a hulgast M korral rahuldab tingimusi a * a-1 = e ja a-1 * a = e nim elemendi a pöödelemendiks a-1 käitub korrutamisel neutraliseeriva elemendina
signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , , , ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted · Grupoid - lihtsaim algebra < M, · >, kus · on 2-kohaline operatsioon. · Parempoolne ühikelement e : mM (m · e = m). · Vasakpoolne ühikelement e : mM (e · m = m). · Ühikelement e : mM (m · e=e · m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement. · Grupoid on idempotentne, kui mM (m · m = m). · Grupoid on kommutatiivne, kui m1 , m2 M (m1 · m2 = m2 · m1 ). · Grupoid on assotsiatiivne (nimetatakse poolrühmaks), kui kehtib assotsiatiivsusseadus. · Monoid on poolrühm, kus on olemas ühikelement. · Rühm on monoid, kus igal elemendil on olemas pöördelement [mM m-1M ( m · m-1 = m-1 · m = e ) ].
signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , ,, ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted Grupoid - lihtsaim algebra < M, >, kus on 2-kohaline operatsioon. Parempoolne ühikelement e : mM (m e = m). Vasakpoolne ühikelement e : mM (e m = m). Ühikelement e : mM (m e=e m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement. Grupoid on idempotentne, kui mM (m m = m). Grupoid on kommutatiivne, kui m1 , m2 M (m1 m2 = m2 m1 ). Grupoid on assotsiatiivne (nimetatakse poolrühmaks), kui kehtib assotsiatiivsusseadus. Monoid on poolrühm, kus on olemas ühikelement. Rühm on monoid, kus igal elemendil on olemas pöördelement
o DEF. Olgu R ⊆ X × Y ja S ⊆ Y × Z kaks relatsiooni. Relatsioonide R ja S kompositsiooniks nimetatakse relatsiooni R ◦ S ⊆ X × Z, mis on määratud avaldisega R ◦ S = {(x, z) : leidub y ∈ Y nii, et (x, y) ∈ R ja (y, z) ∈ S}. Ühikelement o Kui IX on samasusrelatsioon hulgal X ja IY samasusrelatsioon hulgal Y , siis suvalise relatsiooni R ⊆ X × Y korral R ◦ IY = IX ◦ R = R. Teiste sõnadega, samasusrelatsioon on kompositsiooni suhtes ühikelement Näited kompositsiooni mittekommutatiivsuse ja pöördrelatsiooni sobimatuse kohta pöördelemendiks kompositsiooni korral o Kompositsioon ei ole kommutatiivne, st üldiselt R ∘S ≠ S ∘R Näide: ühest kaarest koosnevad relatsioonid 3-elemendilisel hulgal. 24 o Pöördrelatsioon ei ole pöördelement algebralises mõttes, st üldiselt R ∘R−1 ≠ I Näide: tühirelatsioon
Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . ...
korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral 7. korrutamise suhtes leidub ühikelement, selleks on reaalarv 1: 1z = z1 = z z C korral 8. igal nullist erineval kompleksarvul z = (x;y) = x + yi leidub pöördarv w C, nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0
(M2) (ab) c = a (bc) kõikide a, b, c ∈ F korral (korrutamise assotsiatiivsus), (M3) eksisteerib element 1 ∈ F {0} , et b· 1 = b iga b ∈ F puhul (ühikelemendi olemasolu), (M4) iga elemendi b ∈ F {0} puhul leidub element b−1 ∈ F omadusega b · b−1 = 1 (pöörd- elemendi olemasolu), (D) (a + b) c = ac + bc kõikide a, b, c ∈ F korral (distributiivsus). Aksioomidest (A1) – (A4) ja (M1) – (M4) tuleneb, et nullelement 0 ja ühikelement 1 on korpuses üheselt määratud (kontrollida!)z. Analoogiliselt on suvaliste elementide a ∈ F ja b ∈ F {0} korral üheselt määratud ka vastandelement −a ja pöördelement b−1 (veen- duda!)z, seejuures −1 − (−a) = a ning b−1 =b (1.1) (kontrollida!)z. Vastandelemendi abil defineeritakse liitmise pöördtehe lahutamine:
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
