8. Võrdhaarse kolmnurga alusnurkade omadus - Alusnurgad on võrdsed 9. Võrdhaarse kolmnurga kõrguse omadus - Kõrgus poolitab aluse 10. Kolmnurga sisenurkade summa - Kolmnurga sisenurkade summa on 180o 11.Rööpküliku lähisnurkade omadus - Rööpküliku lähisnurgad on erinevad 12.Rööpküliku vastaskülgede omadus - Rööpküliku vastasküljed on võrdsed 13.Rööpküliku vastasnurkade omadus - Rööpküliku vastasküljed on võrdsed 14.Rööpküliku diagonaalide omadus - Rööpküliku diagonaalid on võrdsed 15.Rombi lähisnurkade omadus - Rombi lähisnurgad on erinevad 16.Rombi vastasnurkade omadus - Rombi vastasnurgad on erineva pikkusega 17.Rombi diagonaalide omadus - Rombi üks diagonaal on pikem kui teine diagonaal 18
Teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.Kehtivad võrdused: . Eeldus: On antud ABC, küljed a,b,c ja küljed ,,. Väide: =2R Tõestus: 1)Avaldame ABC pindala kolmel erineval viisil: Sabc=absin ; Sabc=bcsin ; Sabc=acsin Pindala väärtus valitud valemist ei olene : Sabc=absin = Sabc=bcsin ?= Sabc=acsin |: Absin=bcsin=acsin | : abc = Kui arvud on võrdes on võrdsed ka nende pöördarvud: 2) Näitan, et = 2R 1. Joonestan tipust C diameetr CD=d=2R 2. Ühendan punktid B ja A 3. D=A= 4. Saan DBC=90kraadi 3)ABC: sin= ja saan 2R= (võrde välisliikmeid võib vahetada)
Siinuse Teoreem ja Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi . R- kolmnurga ümberringjoone raadius Piirdenurk- on kõõlude vaheline nurk, mille tipp on ringjoon. Piirdenurk võrdub poolega samale haarale toetuvast kesknurgast. Kesknurk- on raadiuste vaheline nurk, sest toetub : Sin(a)=a/2R : kaks külge ja ühe külje vastasnurk! a/sin(a)=2R : kaks nurka ja ühe nurga vastas külg! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. Siinusteoreemi abil saame lahendada kolmnurki kui on antud: 1. Kaks nurka ja üks külg. 2. Kaks külge ja on antud ühe külje vastasnurk. Kolmnurk Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega: ,-kui on acsin(),-bcsin() Kolmnurga pindalad: S=1/2 ¤ A ¤ H
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poolkorrutisega või hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse poolkorrutisega MIS TAHES KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Kolmnurga sisenurkade summa on . Kolmnurga külgede pikkused on võrdelised vastavate vastasnurkade siinustega. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. Mis tahes kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poolkorrutisega
Lahendamine 180 180 2 lahendit, kui antud väiksema külje vastasnurk! Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ja võrdeteguriks a b c Siinusteoreem 2R on ümberringjoone diameeter. sin sin sin Koosinusteoreem a² b² c² 2bc cos Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude
võrdsed. Rööpküliku pindala · Rööpküliku pndala võrdub aluse ja kõrguse korrutisega. S=a*h 1. Rööpküliku üks külg on 48,7cm ja teine moodustab sellest 60%. Arvuta rööpküliku ümbermõõt. 2. Arvuta rööpküliku nurgad, kui 1) Kahe nrga summa on 150kraadi. 2) Kahe nurga vahe on 20kraadi 3) Üks nurk on teisest 25% 4) Vastasnurkade osad ühel pool diagonaali on 32kraadi ja 48kraadi. 3. Arvuta rööpküliku pindala, kui rööpküliku alus on a ja kõrgus on h. 1) a= 9,5m ja h=102dm 2) a=540m ja h=1,8km 4. Joonesta rööpkülik, mille küljed on 4cm ja 5cm ning diagonal 7cm. Joonesta pikemale küljele kõrgus(h), mõõda see ning arvuta rööpküliku ümbermõõt ja pindala. HEAD LAHENDAMIST!!!!! =D
tan=a/c tan=b/a Teravnurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(jagatis) Nurki mõõdame kraadides: 1° 1°= 60'( minutit) 1'(min)= 60"(sekund) Mittetäisnurkse kolmnurga lahendamine: S=a*h/2 või S=a*c*sin/2 S=a*b*sin/2 S=b*c*sin/2 Siinuse teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. a/sin=b/sin=c/sin nt: c=20cm, =124°,=31° Leida ; b ja a? =180°-(124°+31°)=25° b=20/ sin 31°=b/sin 124° b=20*sin 124°/sin 31° Pindala arvutamine: S=a*b*sin/2 S=b*c*sin/2 S=a*c*sin/2 Koosinuse teoreem: a2=b2+c2-2*b*c*cos cos=b2+c2-a2/2*b*c b2=a2+c2-2*a*c*cos cos=a2+c2-b2/2*a*c
Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis samade külgede vahelise nurga koosinusega ehk a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos ,
2 , , , 2 . Romb küljed võrdsed, diagonaalid risti ja poolitavad teineteist, diagonaalid poolitavad nurgad. · 4, , , . Trapets kumer nelinurk, millel on 2 paralleelset erineva pikkusega ja 2 mitteparalleelset külge. · 2 Võrdhaarne trapets aluse lähisnurgad võrdsed; vastasnurkade summa 180°; sümmeetriline aluste keskristsirge suhtes; diagonaalid võrdsed, lõikepunkt asub trapetsi sümmeetriateljel. Ringjoon (ring) kesknurk (tipp ringjoone keskpunktis, haarad lõikavad ringjoont), piirdenurk (tipp ringjoonel, haarad lõikavad ringjoont). Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.
nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20. Skalaarkorrutis koordinaatides: skalaarkorrutis koordinaatides võrdub vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a * b = x1 * x2 + y1 * y2 21. = a * b = 0 22. a || b = x1/x2 = y1/y2 23. Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega. 24. Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega: a/sin = b/sin = c/sin 25. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. a2= b2+c2 2bc*cos b2= a2+c2 2ac*cos c2= a2+b2 2ab*cos 26. ja 27. sin ( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan ( ± ) = 1 tan tan sin 2 = 2 sin cos
Tippnurkade omadus Tippnurgad on võrdsed. Rööpküliku külgede omadus Paralleelsed ja võrdsed vastasküljed. 8-ga jaguvuse tunnus Kui kahest viimasest arvust koosnev arv jagub 8-ga. 2-ga jaguvuse tunnus Arv jagub kahega kui see on paarisarv. Teoreem lõigu keskristsirgest Keskristsirgel asub iga punkt võrdsel kaugusel lõigu otspunktidest. Rööpküliku nurkade omadused Nelinurk on rööpkülik, kui selle vastasnurgad on võrdsed ja vastasnurkade summa on 180 kraadi. Rööpküliku diagonaalide omadused Nelinurk on rööpkülik, kui diagonaalid poolitavad teineteist ja diagonaalid jaotavad nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks. Põiknurgad Nurgad, mis asetsevad teine teiselpool lõikajat ja haarad lõikajal on vastassuunalised. Lähisnurgad Nurgad, mis asetsevad ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal on vastassuunalised. Kolmnurga välisnurk Nurk, mis on sisenurga kõrvunurk.
35. Mõiste siu ja maht- · Iga mõiste puhul saame eristada kahte liiki nähtusi o objektid, nende klassid, mida mõiste peegeldab o nende objektide üldised ja olulised omadused. · Esimest nimetatutest nimetatakse mõiste mahuks, teist mõiste sisuks · Mõiste rööpkülik o maht: ruudud, ristkülikud, rombid, kõik võimalikud nimetatutest erinevad rööpkülikud o sisu: nelinurksus, vastaskülgede paralleelsus, vastasnurkade võrdsus, diagonaalide poolitumine, lähisnurkade summa sirgnurk jt 36. Soo- ja liigimõiste, näide · Mõistete mahtude vahel on võimalikud mitmed seosed. Üheks olulisemaks neist on juhtum, kus ühe mõiste maht on teise mõiste pärisosahulgaks. · Sellisel juhul öeldakse, et mõiste B on liigimõiste ja mõiste A soomõiste. · Iga mõiste B on ühtlasi ka mõiste A, st kõigil mõistetel B on ka mõiste A omadused · Osa mõistetest A pole mõiste B
ühes punktis.Kaks lõikuvat sirget määravad ühe tasapinna.Jõuhulk koosneb liidetava jõusüsteemi jõududest,mis kantakse vastavalt suunale ja pikkusele nii,et iga järgneva jõu alguspunkt langeb kokku eelmise jõu lõpuga.Lihtsaim tasapinnaline koonduv jõusüsteem koosneb kolmest jõust. 2.1.Ül lahendus graafanalüütiliselt on trigonomeetria ül.kus kolmnurga kahte külge otsitakse ühe külje ja nurkade järgi.Lahendus põhineb siinus teoreemil, mis ütleb, et kolmnurga külgede ,ja vastasnurkade siinuste suhe on konstant.Ül lahendus lihtsustub, kui õnnestub leida jõukolmnurgaga sarnane kolmnurk konstruktsiooni jooniselt.Graafanalüütilisel lahendusel määratakse sisejõu märgi kindlaks jõuhulknurga ja konstruktsioonijoonise üheaegsel vaatlemisel.Toereaktsiooni märk näitab reaktsiooni jõutegeliku suunda ja joonisel oleva suuna vahekorda.Negatiivne märk tähendab seda, et reaktsiooni suund on vastupidine joonisel esitatule. 2.2
5. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist 6. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga. 7. Rööpküliku sümmeetriapunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) 2. Trapets: Mõiste: Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed. Pindala: S=a+b/2·h Ümbermõõt: Ü=a+b+c+d Omadused: 1. Võrdhaarse trapetsi aluse lähisnurgad on võrdsed 2. Võrdhaarse trapetsi vastasnurkade summa on 180° 3. Võrdhaarse trapetsi diagonaalid on võrdsed 4. Võrdhaarsel trapetsil on üks sümmeetriatelg-aluste keskristsirge 5. Võrdhaarsel trapetsil on ümberringjoon, mille keskpunktiks on haarade keskristsirge lõikepunkt. Kesklõik: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. 3. Kolmnurk: Liigid: · erikülgsed · võrdhaarsed · võrdkülgsed
Seega, kui sektori nurk on ao, leitakse esmalt ühekraadise nurgaga sektori pindala ja siis a korda suurema kesknurgaga sektori pindala. 5.14 Kolmnurga pindala · Kolmnurga pindala võrdub aluse ja sellele joonestatud kõrguse poole korrutisega. · Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega · Rööpküliku pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. 5.15 Siinusteoreem Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega 5.16 Koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne teiste külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. 5.17 Kolmnurga lahendamine 5.18 Kahe nurga summa ja vahe sin ja cos 5.19 Kahe nurga summa ja vahe tan 5.20 Kahekordse nurga sin, cos, tan Vektor tasandil Kui A(x1) ja B(x2), siis lõigu AB pikkus on AB=|x1-x2|
R ümberringjoone raadius** * Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurga poolitajate lõikepunkt, siseringjoone raadius on küljega risti (puutuja on risti). ** Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on külgede keskristsirgete lõikepunkt. Siinusteoreem a b c Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega, st = = sin sin sin Teoreem: EELDUS: a, b, c küljed;, , - nurgad a b c VÄIDE: = = sin sin sin 29 1
Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis samade külgede vahelise nurga koosinusega ehk a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos ,
Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis samade külgede vahelise nurga koosinusega ehk a 2 b 2 c 2 2bc cos ,
annaabi.ee 
