assotsiatiivsus) 3) ∃ 0⃗ ∈V nii, et ∀ ⃗a ∈V korral ⃗a + 0⃗ =⃗a (nullelemendi olemasolu) 4) ∀ ⃗a ∈V korral ∃−⃗a ∈V nii, et ⃗a + (−⃗a ) =⃗0 (vastandelemendi olemasolu) 5) ∀ ⃗a ∈V , 1∈ V korral 1 ⃗a=⃗a (ühikelemendiga korrutamine) 6) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral λ(μ a⃗ )=(λμ) ⃗a (korpuse elemendiga korrutamise assotsiatiivsus) 7)
nende vahe nimetatakse lahutamiseks. Def5 Poolrühma ( aditiivset poolrühma), milles leidub nullelement ja igale elemendile vastandelement nimetatakse aditiivseks rühmaks. Seal kehtivad seadused: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c liitmise assotsiatiivsus a + = a ^ + a = a nullelemendi leidmise seadus a + ( -a ) = ^ ( - a ) + a = vastandelemendi leidmise seadus Def6 Multiplikatiivset poolrühma, milles leidub ühikelement ja igale elemendile vastav pöördelement nimetatakse multiplikatiivseks rühmaks. Selle rühmas kehtivad seadused: a ( b c ) = ( a b ) c korrutamise assotsiatiivsus e a = a ^ a e = a ühikelemendi leidmise seadus
,lin.tehted. Vektorruumi näited,vektorite lin.sõltuvus. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le (on ) elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6. ( x) = ()x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes); 7. (x + y) = x + y (distributiivsus vektorite liitmise suhtes); 8. ( +)x = x + x (distributiivsus arvude liitmise suhtes). Vektorruumi näited-aritmeetilised-,geomeetrilised-,maatriksite-,polünoomide hulk. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui
vastandelemendiks ja tähistame -x abil, et kehtivad seosed x + (-x) = 0, (-x) + x = 0. 4.Elementide liitmine on kommutatiivne, s.t. iga x, y V korral x + y = y + x. 5. Iga x V korral 1x = x. 6. Iga , R ja iga x V korral ()x = (x). 7. Iga R ja iga x, y V korral (x + y) = x + y. 8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q 2) iga IR ja iga x korral x Lineaarkate Olgu m ja a1, a2, ...,am vektorruumi V elemendid
2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b) c= ac +ab kõikide a,b,c € R korral (distributiivsus) Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega <, mis rahuldab
Korpuse m~ Hulka K = {, , , . . . } nimetatakse korpuseks, kui hulgal K on defineeritud elementide liitmine ja korrutamine nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused: 1) + = + , K (liitmise kommutatiivsus) 2) ( + ) + = + ( + ) , , K (liitmise assotsiatiivsus) 3) 0 K nii, et + 0 = = 0 + K (nulli 0 K olemasolu) 4) K - K nii, et + (-) = 0 = - + (vastandelemendi - olemasolu) 5) () = () , , K (korrutamise assotsiatiivsus) 6) ( + ) = + , , K (distributiivsus) 7) 1 K nii, et 1 = K (unitaalsus) 8) = , K (korrutamise kommutatiivsus) 9) 0 = K -1 K nii, et -1 = 1 = -1 (p¨o¨ordelemendi -1 olemasolu) Korpuse elemente nimetatakse skalaarideks ehk arvudeks. Lisaks eeldatakse, et K on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, s.t ska-
Aksioomidest (A1) – (A4) ja (M1) – (M4) tuleneb, et nullelement 0 ja ühikelement 1 on korpuses üheselt määratud (kontrollida!)z. Analoogiliselt on suvaliste elementide a ∈ F ja b ∈ F {0} korral üheselt määratud ka vastandelement −a ja pöördelement b−1 (veen- duda!)z, seejuures −1 − (−a) = a ning b−1 =b (1.1) (kontrollida!)z. Vastandelemendi abil defineeritakse liitmise pöördtehe lahutamine: a − b := a + (−b) . Vahetu kontroll näitab, et − (a + b) = −a − b kõikide a, b ∈ F korral (veenduda!)z. Jagamine, korrutamise pöördtehe, defineeritakse analoogiliselt: a a : b := := ab−1 eeldusel, et b 6= 0. b Seejuures (kontrollida!)z
annaabi.ee 
