"tsentreeritusega" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

Olgu ruum X kompaktne. Valime mingi tsentreeritud hulkade s¨ usteemi F ruumi X kinnistest hulkadest. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et ∩F ∈F F = ∅. Siis X = X ∅ = X (∩F ∈F F ) = ∪F ∈F (X F ), st {X F }F ∈F on ruumi X lahtine kate. Kompaktsuse t˜ottu leidub l˜oplik osakate {F1 , . . . , Fn } ⊂ F: X = ∪ni=1 (X Fi ) = X (∩ni=1 Fi ). Siit ∩ni=1 Fi = ∅, mis on vastuolus s¨ usteemi F tsentreeritusega. 2 =⇒ 3 . Eeldame, et ruum X rahuldab tingimust 20 . 0 0 Koosnegu F ruumi X kinnistest hulkadest ja olgu ∩F ∈F F = ∅. (7.4) Kui hulga F iga l˜opliku alamhulga {F1 , . . . , Fn } korral ∩ni=1 = ∅, siis oleks F tsentreeritud ja tingimuse 20 t¨aidetuse t˜ottu ei saaks kehtida (7.4). Seega leidub hulgal F l˜oplik alamhulk {F1 , . . . , Fn } nii, et ∩ni=1 Fi = ∅. J¨arelikult kehtib tingimus 30 .