TRIGONOMEETRILINE VÕRRAND Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb vaid trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. Trigonimeetrilised põhivõrrandid: sin x = m cos x = m tan x = m TRIGONOMEETRILISE VÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Teisendan trigonomeetrilise võrrandi põhivõrrandiks: a) kui võimalik, lahendan ruutvõrrandi sin x; cos x või tan x järgi b) Kasutades trigonomeetrilisi valemeid teisendan vasakupoole korrutiseks, kui parem pool on 0 (null). c) Kui on käes trigonomeetriline põhivõrrand, kasutan üldlahendi valemeid. Üldlahendi valemid: a) sin x = m x= (-1) n arcsin m + n n Z arcsin m = x= (-1) n + n n Z b) cos x = m x = +- arccos m + 2n n Z arccos m = x = +- + 2n n Z c) tan x = m x = arctan m + n n Z arctan m = x = + n n Z
tangens. trigonomeetriliste funktsioonide Täiendusnurga väärtused ning nende väärtuste trigonomeetrilised järgi nurga suuruse; funktsioonid. 6) lahendab täisnurkse Trigonomeetrilised kolmnurga; põhiseosed 7) kasutab täiendusnurga täisnurkses trigonomeetrilisi funktsioone; 8) kasutab kolmnurgas. lihtsustamisülesannetes trigonomeetria põhiseoseid. Nurga mõiste Õpilane: Lõiming Trigonomeetria II üldistamine. 1) teisendab kraadimõõdu geograafiaga
seoseid nende vahel; Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused oskab praktikas kasutada planimeetria ja stereomeetria põhiseoseid; oskab teha probleemi sisule vastavaid jooniseid; tunneb ainekavaga fikseeritud ruumilisi kehi, oskab neid ja nende tasandilisi lõikeid joonisel kujutada; oskab arvutada ainekavaga fikseeritud kehade pindala ja ruumala ning nende tasandiliste lõigete pindala Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused tunneb ainekavaga fikseeritud trigonomeetrilisi seoseid ja oskab neid rakendada; saab aru ainekavaga fikseeritud funktsionaalsetest seostest ja oskab neid kasutada; tunneb ainekavaga fikseeritud funktsioonide graafikuid; oskab kirjeldada graafikuga esitatud funktsiooni omadusi; Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused saab aru tõenäosusteooria põhimõistetest; oskab tõenäosusteoorias õpitut rakendada; oskab koostada tabeleid, diagramme ja neid analüüsida; oskab kasutada arvutusvahendeid,
Maa liikumine. Varjutused Millised muutused leiavad aset taevas? Taevas leiavad aset meteoroloogilised(pilved, lumi, vihm, vikerkaar), ööpäevased(öö ja päeva vaheldumine), sesoonsed(aastaajad) ja astronoomilised(siia kuuluvad näiteks taevakehade evolutsioon ja omaliikumine) muutused. Kuidas on tähistaeva muutumine seotud aastaaegadega? Aastaaega saab määrata Päikese kõrguse järgi horisondil teatud kellaajal või koha järgi silmapiiril, kust ta tõuseb või kuhu loojub. Samuti määrab aastaaegu tähtkuju, kus kuusirp nähtavale ilmub. Et aastasse mahub kuuloomisi umbes 12, jagati Kuu tee tähtede suhtes 12 võrdseks osaks – 12 soodiagi tähtkujuks. Mis on tähtkujud? Milleks neid vaja on? Tähtkuju on kindlate koordinaatidega määratud hulknurk (kujuteldaval) taevaskeral, mille sisse jäävad vastava tähtkuju tähed, täheparved, galaktikad jm objektid väljaspool Päikesesüsteemi. Tähtkujud on vaja, et oleks lihtsam jälgida Ku...
Tänapäeval kasutatakse paljuid Euleri tulemusi täielikult või praktiliselt täielikult 4 samal kujul kui need tema sule alt tulid. Näiteks koonuselõigete ja ruumikõverate ühtne käsitlus ühe üldise teist järku võrrandi abil. Ka kaasaegne finantsmatemaatika on oma põhialustes samal kujul, mille andis sellele valdkonnale Euler. Ta võttis kasutusele ka mitmeid tähistusi: f(x), e, I. Ta esitas esimesena trigonomeetrilisi väärtusi kui suhteid.Ta tõestas, et e on irratsionaalarv.Tema üks tähelepanuväärsemaid töid on kolme keha orbiitide ligikaudse arvutamise valemi leidmine, mida sai rakendada Kuu orbiidi arvutamisel. Selle töö tegi ta pimedana ning kõik vajalikud arvutused tegi Euler peast. Tal tuli selle lahenduse saamiseks lahendada ligikaudsete meetoditega 32-st teistjärku diferentsiaalvõrrandist koosnev süsteem. Saadud
aritmeetikatehteid ning astendamist ja/või juurimist, kus astendajad ja juurijad on täisarvud, nimetatakse algebraliseks avaldiseks. Näiteks : algebralised avaldised on: 1) 4ax 2 5bx 6 ; 2) 3 2a 2 3 y ; 7x2 2 3) 4x 5 Algebralised avaldised ei ole: 1) 2 sin x cos2 x (avaldis sisaldab trigonomeetrilisi funktsioone); 2) 2 2 (avaldises esineb astendamine irratsionaalarvuga). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ratsionaalne ja irratsionaalne avaldis Niisugust algebralist avaldist, kus ei esine juurimist, nimetatakse ratsionaalseks avaldiseks, vastasel juhul irratsionaalseks avaldiseks. Näited 2a (5 2c) 2 ratsionaalne avaldis:
orbiidi sõlmede joonel. Et Kuu orbiit on Maa oma suhtes kaldu, on enamuse aastast varjutused võimatud. 23. Millise kuu faasi ajal toimub kuuvarjutus? Täiskuu ajal. 24. Millise kuu faasi ajal toimub päikesevarjutus? Noorkuu ajal. 30. Miks on astronoomidel tarvis mõõta nurki? Tähtedevaheliste kauguste arvutamiseks, mida ei saa otse mõõta siis on võimalik kaugused välja arvutada näiteks sarnaseid kolmnurki või trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. 32. Milles seisnevad teleskoobi eelised astronoomilisel vaatlusel? Teleskoop võimaldab suurendada vaatenurka, koguda valgust suuremalt pindalalt(mis võimaldab märgata palju nõrgemaid, tuhmimaid tähti) ning täpselt määrata vaatesuunda Maa suhtes. Teleskoobi abil saame koostada palju täpsemad tähekaardid. Teleskoop võimaldab määrata ka tähelt tuleva valguse omadusi, mis omakorda lubab kindlaks teha tähtede temperatuuri, koostist jmt omadusi
orbiidi sõlmede joonel. Et Kuu orbiit on Maa oma suhtes kaldu, on enamuse aastast varjutused võimatud. 23. Millise kuu faasi ajal toimub kuuvarjutus? Täiskuu ajal. 24. Millise kuu faasi ajal toimub päikesevarjutus? Noorkuu ajal. 30. Miks on astronoomidel tarvis mõõta nurki? Tähtedevaheliste kauguste arvutamiseks, mida ei saa otse mõõta siis on võimalik kaugused välja arvutada näiteks sarnaseid kolmnurki või trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. 32. Milles seisnevad teleskoobi eelised astronoomilisel vaatlusel? Teleskoop võimaldab suurendada vaatenurka, koguda valgust suuremalt pindalalt(mis võimaldab märgata palju nõrgemaid, tuhmimaid tähti) ning täpselt määrata vaatesuunda Maa suhtes. Teleskoobi abil saame koostada palju täpsemad tähekaardid. Teleskoop võimaldab määrata ka tähelt tuleva valguse omadusi, mis omakorda lubab kindlaks teha tähtede temperatuuri, koostist jmt omadusi
horisontaalsust ei nõutagi). Otsastnivelleerimine Liitnivelleerimine juhul kui kahe punkti vahelist kõrguskasvu ei ole võimalik määrata nivelliiri ühest jaamapunktist, tuleb rakendada liitnivelleerimist. Trigonomeetriline nivelleerimine - Punktidevahelise kõrguskasvu määramiseks mõõdetakse nende vaheline kaugus horisontaaltasapinnal ja vertikaalnurk ning kõrguskasv määratakse trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. Baromeetriline nivelleerimine - Punktide omavaheline kõrguslik erinevus arvutatakse baromeetri, mis näitab õhu rõhu neis punktides, näitude alusel. 2 Hüdrostaatiline nivelleerimine - Punktide omavaheline kõrguslik erinevus määratakse ühendatud anumates vedeliku nivootasapinnast lähtudes. 8. Nimeta milliseid nivelleerimiskäike kasutatakse ja kirjelda käigu arvutuse põhimõtet
Reiman I. Ajaloos ja maateaduses oli samuti suuline vastamine, igal 4 ulatuslikumat küsimust. Reiman vastab hästi ja saavutas kokkuvõttes I, kuna kaaseksamnandi II. Vene keeles saavutasid kõik kolm I b hinnangu. Saksa keeles saavutas Reiman I, Uva II ja kreeka keeles Reiman I ja Uva isegi III. Ainult matemaatikas jääb Reiman alla, kuna ei jõu ühtegi ülesannet valmis. Siiski sai ta hinnangu III. Suulisel vastamisel küsiti talt logaritme, korrapäraseid hulknurki, trigonomeetrilisi arve ja erikaalu. Ta vastas hästi ja saavutas I ning kokkuvõttena II. Nii lõpetas Reiman Pärnu gümnaasiumi sel korral kõige paremini. Siiski jääb tal kuldauraha saamata, kuid ainult vormilistel põhjustel. Villem Reiman oli gümnaasiumi lõpetades küll 21- aastane (temast vanemaid oli koolis veel 2 õpilast), see- eest aga ka silmapaistvalt küps, mida näitas seegi, et ta lõpetas priima ühe aastaga.
VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta. 9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1. Kas on tegemist TABELIINTEGRAALIGA? 2. Kas on võimalik jõuda tabeliintegraalideni, kasutades ALGEBRALISI või TRIGONOMEETRILISI teisendusi? 3. Kas on võimalik lihtsustada integraali, kasutades LINEAARSUSE OMADUST? 4. ASENDUSVÕTE: a) üldiselt: f(x)dx = f((x)) ´(x)dx z =a(x)+b; b) alati: f(ax+b)dx z=ax+b. 5. OSITI INTEGREERIMINE: u dv = uv - v du. a) Pn(x) sin x, Pn(x) cos x, Pn(x) ex u(x) = Pn(x); b) arkusfunktsioonid või logaritmfunktsioonid sisalduvad integreeritavas funktsioonis nad valitakse funktsiooniks u(x). 10
Kui niveleerimistööde juures ei ole kõrgusmärke, lepitakse kokku suhtelised kõrgused Viisid: 1.Geomeetriline ehk horisontaalkiirega niveleerimine. Punktidevaheline kõrguskasv määratakse nivelliiri horisontaalse viseerimiskiire ja vertikaalsete lattide abil. 2.Geodeetiline ehk trigonomeetriline nivelleerimine. Punktidevahelise kõrguskasvu määramiseks mõõdetakse nende vaheline kaugus horisontaaltasapinnal ja vertikaalnurk, ning kasv määratakse trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. 3.baromeetriline nivelleerimine. Erinevusi arvutatakse baromeetri näitude alusel, mis mõõdab õhu rõhku neis punktides. 4.hüdrostaatiline nivelleerimine. Erinevus määratakse ühendatud anumates vedeliku nivootasapinnast lähtudes. 5.mehaaniline nivelleerimine. Punktide kõrguste määramine toimub spetsiaalse seadme, mis on paigaldatud mingile liiklusvahendile. Ja kui see läbib teatud vahemaad registreerib se selle pikkust ja profiili. 6
Kui Kuu varjukoonise ots täielikult maapinnani ei ulatu, on päikese serv näha. 18. Kas on võimalik poolvarjuline päikesevarjutus? Kuuvarjutuse puhul võib juhtuda, et Kuu läbib vaid poolvarju - siis varjutust nagu polekski, varjutusest annab märku vaid ketta heleduse vähenemine. 19. Miks on astronoomidel tarvis mõõta nurki? Tähtedevaheliste kauguste arvutamiseks, mida ei saa otse mõõta siis on võimalik kaugused välja arvutada näiteks sarnaseid kolmnurki või trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. 20. Milles seisnevad teleskoobi eelised astronoomilisel vaatlusel? Teleskoop võimaldab suurendada vaatenurka, koguda valgust suuremalt pindalalt ning täpselt määrata vaatesuunda Maa suhtes. Teleskoobi abil saame koostada palju täpsemad tähekaardid. Teleskoop võimaldab määrata ka tähelt tuleva valguse omadusi, mis omakorda lubab kindlaks teha tähtede temperatuuri, koostist jmt omadusi. Kõik see aitab paremini mõista Universumi ehitust. 21
Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti trigonomeetrilise avaldise lihtsustamise, trigonomeetrilise võrrandi lahendamise ja trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise ning nende graafikute lugemise oskust. Nagu paljudel varasematel aastatel oli ka nüüd tegemist ühe halvemini lahendatud ülesandega. Väga paljud eksaminandid jätsid selle ülesande lahendamise pooleli või ei lahendanud seda ülesannet üldse s.t võib väita, et trigonomeetrilisi teisendusi ja võrrandeid lahendada oskavad vaid üksikud eksaminandid. Juba mitmeid aastaid on riigieksamil kasutatud praktiliselt ühesuguseid funktsioone, kuid endiselt joonistatakse graafikuteks (sinusoidide asemel) sirgeid või suvalisi kõverjooni. Samuti on endiselt probleemiks võrrandi/võrratuse lahendamine etteantud lõigul. 7. (15 punkti) Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega
26.Keskelt nivelleerimise olemus ja selle tähtsus.- Keskelt nivelleerimine: Vaatekiir on kaldu, nivelliir asub täpselt keskel, mõlemal lati lugemil on ühesugune viga. Nivelleerimisõlad peavad olema võrdsed, aga nivelliir ei pea asuma sirgel AB 27.Trigonomeetrilise nivelleerimise olemus.- Punktide vahelise kõrguskasvu määramiseks mõõde- takse nende vaheline kaugus horisontaal- tasapinnal ja vertikaalnurk ning kõrguskasv määratakse trigonomeetrilisi funktsioone kasutades. 28.Millised on nivelliiri teljed; telgedele esitatavad nõuded?- 1. VV - vertikaal - ehk pööramistelg - Ümmarguse vesiloodi telg peab olema paralleelne vertikaalteljega. 2. KK - pikksilm viseerimistelg ehk viseerimiskiir e vaatekiir - Horisontaalniit peab olema risti instrumendi vertikaalteljega. 3. LL- ümarvesiloodi telg- Silindrilise vesiloodi telg peab olema paralleelne viseerimisteljega (peanõue). 29.Kuidas viiakse läbi nivelliiri kontroll ja justeerimine? -
muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil, näiteks konstantne funktsioon y = C, lineaarne funktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, kuupfunktsioon y = ax3 + bx2 + cx + d on polünoomid Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 27. Defineerida hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. (lk 20) Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolsed funktsioonid on eksponentfunktsiooni abil määratletud funktsioonid, mis on analoogsed trigonomeetriliste funktsioonidega. Trigonomeetrilised funktsioonid on elementaarfunktsioonid siinus, koosinus, tangens, kootangens, seekans ja kooseekans, mille argument on geomeetriliselt tõlgendatav ühikringjoone kaarepikkusena või vastava kesknurgana. 28. Kirjeldada funktsiooni esitust ilmutatud kujul ja ilmutamata kujul. (lk 21)
3 15 2 5 Näpunäited I, II 1) Teeme joonise, selleks kanname koordinaatteljestikku punkti A ja vektori AD . Leiame punkti D koordinaadid ning peegeldame punkti A ja D x-teljest (y-teljest). 2) Leiame trapetsi aluste ning kõrguse pikkused ja arvutame trapetsi pindala. 3) Leiame trapetsi alusnurga. Selleks saab kasutada täisnurkse kolmnurga trigonomeetrilisi funktsioone, siinusteoreemi, koosinusteoreemi, nurka saab leida ka vektorite abil ning sirge AD tõusu kaudu, sirgete AB ja AD vahelise nurgana. 28 29 4) Koostame sirge võrrandi, selleks saab kasutada sirge võrrandi erinevaid kujusid (sirge võrrand kahe
Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T1, T2], näeb see süsteem välja järgmine: (1.8) Võrrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega (1.8) antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graafikuks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi): Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolse siinuse ja koosinuse kaudu on defineeritud veel Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste: Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon: Üldine
teise veerandi nurk. © Allar Veelmaa 2014 17 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHE NURGA SUMMA JA VAHE SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS Kui on teada kahe nurga x ja y siinus, koosinus ja tangens, siis saab leida ka sin( x y ) cos(x y ) tan(x y ) Järgmiste valemite abil on võimalik lihtsustada trigonomeetrilisi avaldisi ja leida ka mõningate nurkade siinuse, koosinuse või tangensi täpset väärtust. sin(x y ) sin x·cos y cos x·sin x cos(x y ) cos x·cos y sin x·sin y tan x tan y tan(x y ) 1 tan x·tan y Näide: Leiame sin 105° täpse väärtuse. 3 2 1 2
Eelkõige on see seotud reaalarvu- liste funktsioonidega, mille määramis- ning muutumispiirkond on reaalarvud. Sageli võib reaalarvuliste funktsioonide uurimise taandadagi graafiku uurimisele. Ja kuigi malli ja joonlauaga täpseid vastuseid ei saa, siis geomeetrilistest argumen- tidest ja intuitsioonist on võimalik päris palju kasu lõigata. Selles raamatus näeme, kuidas geomeetriliselt on võimalik leida ruutvõrrandi lahendivalem [lk 275] või meelde jätta trigonomeetrilisi teisendusi [lk 242] või hoo- pis lahendada lineaarvõrrandisüsteeme [lk 187]. Ka sellistel keerulistel operatsioo- nidel nagu tuletise ja integraali võtmine on olemas ilusad geomeetrilised tõlgendu- sed [lk 326]. Siinkohal toome näiteks funktsioonide ning graafi- kud ja näeme, et nad lõikuvad täpselt kahes reaalarvulises punktis. Proovige seda algebraliselt näidata!
x= või x= . cos(t) sin(t) 12.7 Trigonomeetriliste funktsioonide integ- reerimine Trigonomeetriliste avaldiste korral saab kasutada tuntud teisendusi ja va- lemeid, kuid teisenduste läbiviimine võib ise osutuda üpris keeruliseks et- tevõtmiseks. Lisaks on vaja teada või üles otsida kõiki neid ,,tuhandeid" teisendusvalemeid. Sageli on võimalik ka teisiti. Trigonomeetrilisi murde ja lihtavaldisi saab viia ratsionaalseteks funktsioonideks universaalse muu- tujavahetusega. Teeme integraalis f (x) dx muutuja vahetuse x t = tan , kui x (-, ). (12.12) 2 Sel juhul 2dt x = 2 arctan(t), dx = , (12.13)
= lim = lim = x+ x3 + 1 + x3 - 1 x+ x3 + 1 + x3 - 1 Jagame lugejat janimetajat 2 2 = = lim = 1. suurusega x3 x+ 1+ 1/x3 + 1- 1/x3 2 N¨ aide 12. Leiame piirv¨ a¨artuse tan 2x 0 trigonomeetrilisi funktsioone sisaldava m¨a¨aramatuse 00 lim = sin x = x0 sin 5x 0 avamiseks on meil esialgu vaid u¨ks seos, lim =1 x0 x sin 2x sin 2x 1 2 = lim 2x · 0
9.3 Integraal R(x, ax2 + bx + c)dx. Trigonomeetrilised asendused Euleri asendused on integraali (9.15) leidmisel alati rakendatavad, kuid sarnaselt universaalse x asendusega t = tan trigonomeetriliste avaldiste integreerimiseks tekivad ka siin paljudel juh- 2 tudel keerukad teisendused, mida on v~oimalik v¨altida spetsiaalseid muutuja vahetusi kasutades. Viimastest vaatleme trigonomeetrilisi asendusi integraali (9.15) leidmiseks. Alati on v~oimalik juurealusest avaldisest eraldada kaksliikme ruut teisendustega 2 b b b2 ax2 + bx + c = a x2 + x + +c- a 2a 4a
annaabi.ee 
