Ta salvestas oma mõtted raamatusse, millele pani nimeks "Quaestiones Quaedam Philosophicae" (Teatud Filosoofilised Küsimused). 3 See, kuidas Newton tutvus oma aja kõige arenenumate matemaatiliste tekstidega, pole päris selge. De Moivre järgi algas tema huvi matemaatika vastu 1663 aasta sügisel. Ta oli laadalt astroloogia alase raamatu ostnud, kuid ei suutnud mõista selles sisalduvat matemaatikat. Püües lugeda raamatut trigonomeetriast leidis ta, et tal puuduvad vajalikud teadmised geomeetriast. Nii otsustas ta lugeda Barrow väljaannet Eukleidese "Elementidest". Seejärel pakkus matemaatika talle suurt huvi. Newton uuris ka Wallise algebrad. Tema esimene originaalne matemaatiline töö tuli just selle tektsi uurimise käigus. Oleks lihtne uskuda, et Newtoni talent kerkis esile seoses Barrow saabumisega Cambridge'i 1663 aastal. Loomulikult kattub see Newtoni sügavamate matemaatiliste uuringute algusajaga. Tegelikult
tegemist ju üheainsa objekti pooliga. Vahelduvvoolutehnikas on seepärast kasutusele võetud aktiiv- ja induktiivpinge mõiste. Pinget U võib vaadelda koosnevana aktiivpingest U a = I r, mis on vooluga faasis, ja induktiivpingest U L = I xL , mis on voolust 90° faasilt ees. NB! Siin nii Ua kui UL on efektiivpinge. Pinge hetkväärtus u = ua + u L . Siinussuurustest lihtsama pildi saamiseks kujutatakse neid vektoritena. Meeldetuletus trigonomeetriast: Pythagorase teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga a2 + b2 = c2 Nii liidetakse trigonomeetriliselt ka pinged 88 U a2 + U L2 = U 2 , millest U = U a2 + U L2 . Vooluringi klemmipinge on aktiivpingest ning sellega faasis olevast voolust ees nihkenurga võrra. Tavaliselt öeldakse vastupidi: vool jääb pingest nurga võrra maha. Nihkenurk saab olla vahemikus 0° (kui induktiivsus puudub) kuni 90° (kui aktiivtakistus on
· Vahelduvvoolu võimsuse valem (tuletusega). Et vahelduvvool kõigele vaatamata teeb ka tööd, tuleks leida valem selle töö - täpsemalt küll võimsuse - hindamiseks. Tavaline Joule-Lenz'i valem meid ei rahulda, kuna ei arvesta reaktiivvõimsustel (näiteks mootor või trafo) tehtavat tööd. Et leida võimsust, peame ahelale rakendatud elektromotoorjõu (võrgupinge) korrutama voolutugevusega, arvestades faasinihet: Rakendades trigonomeetriast summa siinuse valemit, saame Vahelduvvooluahela võimsus sõltub lisaks pingele ja voolutugevusele ka faasinihkest. Saime ajas muutuva suuruse, mis väljendab hetkvõimsust ajamomendil t ja millega pole suurt peale hakata. Keskmise võimsuse leidmiseks integreerime saadud avaldist ühe perioodi vältel ning jagame siis perioodi väärtusega: Teine integraal on vastavalt perioodi definitsioonile võrdne nulliga. Esimesest saame:
cos x
sin x
cos x < <1
x
millest
sin x
0 <1- < 1 - cos x
x
Trigonomeetriast tuntud valemi põhjal
x
1 - cos x = 2 sin 2
2
x x x x x
Et sin x < x , siis ka sin < , mistõttu 2 sin 2 < 2 sin < 2 = x ja järelikult
2 2 2 2 2
1-cosx
sin A cos = , sin t cosh millest saame avaldada asimuudi siinuse sin A = cos sin t sec h Viimase valemiga arvutatakse asimuudi väärtus eelnevalt leitud kõrguse väärtuse kaudu, s.t. võimalik kõrguse viga läheb asimuuti sisse. Kõrgusest sõltumatu asimuudi arvutamise valemi saame, kasutades sfäärilisest trigonomeetriast tuntud nelja kõrvutise elemendi vahelist seost ja lugedes elementideks nurka A, külge 90° , nurka t ja külge 90°. cot A sin t = cot(90° )sin(90° ) cos(90° )cos t cotA sin t = tan cos sin cos t ja lõpuks saame asimuudi valemi: cot A = cos tan cosec t sin cot t KÕRGUSE JA ASIMUUDI ARVUTAMISE VALEMITE UURIMINE MÄRKIDE SUHTES sin h = sin sin + cos cos cos tk
tegemist ju üheainsa objekti pooliga. Vahelduvvoolutehnikas on seepärast kasutusele võetud aktiiv- ja induktiivpinge mõiste. Pinget U võib vaadelda koosnevana aktiivpingest U a = I r, mis on vooluga faasis, ja induktiivpingest U L = I xL , mis on voolust 90° faasilt ees. NB! Siin nii Ua kui UL on efektiivpinge. Pinge hetkväärtus u = ua + u L . Siinussuurustest lihtsama pildi saamiseks kujutatakse neid vektoritena. Meeldetuletus trigonomeetriast: Pythagorase teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga a2 + b2 = c2 Nii liidetakse trigonomeetriliselt ka pinged 88 U a2 + U L2 = U 2 , millest U = U a2 + U L2 . Vooluringi klemmipinge on aktiivpingest ning sellega faasis olevast voolust ees nihkenurga võrra. Tavaliselt öeldakse vastupidi: vool jääb pingest nurga võrra maha. Nihkenurk saab olla vahemikus 0° (kui induktiivsus puudub) kuni 90° (kui aktiivtakistus on
Vahelduvvoolu võimsuse valem (tuletusega) Võimsus vahelduvvooluahelas. Et vahelduvvool kõigele vaatamata teeb ka tööd, tuleks leida valem selle töö - täpsemalt küll võimsuse - hindamiseks. Tavaline Joule- Lenz'i valem meid ei rahulda, kuna ei arvesta reaktiivvõimsustel (näiteks mootor või trafo) tehtavat tööd. Et leida võimsust, peame ahelale rakendatud elektromotoorjõu (võrgupinge) korrutama voolutugevusega, arvestades faasinihet: Rakendades trigonomeetriast summa siinuse valemit, saame Saime ajas muutuva suuruse, mis väljendab hetkvõimsust ajamomendil ja millega pole suurt peale hakata. Keskmise võimsuse leidmiseks integreerime saadud avaldist ühe perioodi vältel ning jagame siis perioodi väärtusega: Teine integraal on vastavalt perioodi definitsioonile võrdne nulliga. Esimesest saame: kuna , millest siinus annab jällegi nulli.
Vahelduvvoolu võimsuse valem (tuletusega) Võimsus vahelduvvooluahelas. Et vahelduvvool kõigele vaatamata teeb ka tööd, tuleks leida valem selle töö - täpsemalt küll võimsuse - hindamiseks. Tavaline Joule- Lenz'i valem meid ei rahulda, kuna ei arvesta reaktiivvõimsustel (näiteks mootor või trafo) tehtavat tööd. Et leida võimsust, peame ahelale rakendatud elektromotoorjõu (võrgupinge) korrutama voolutugevusega, arvestades faasinihet: Rakendades trigonomeetriast summa siinuse valemit, saame Saime ajas muutuva suuruse, mis väljendab hetkvõimsust ajamomendil ja millega pole suurt peale hakata. Keskmise võimsuse leidmiseks integreerime saadud avaldist ühe perioodi vältel ning jagame siis perioodi väärtusega: Teine integraal on vastavalt perioodi definitsioonile võrdne nulliga. Esimesest saame: kuna , millest siinus annab jällegi nulli.
arvud. ? 1 echo rand(1,10); //2 Astendamine, ruutjuur ja pii Astendamiseks kasutame funktsiooni pow(), selleks tuleb anda sellele arv ja astendaja. ? 1 echo pow(5,2); //25 2 echo pow(5,3); //125 Ruutjuure leidmiseks kasuta sqrt() funktsiooni. ? 1 echo sqrt(9); //3 Kirjutades funktsiooni pi() genereeritakse meile selle väärtus 3,14 ? 1 echo pi(); //3.1415926535898 Trigonomeetria Matemaatiliste funktsioonide hulka on lisatud ka trigonomeetriast tuntud sin(), cos() ja tan(). ? 1 echo cos(0.8); //0.69670670934717 Ning nurkade teisendamiseks radiaanideks kasuta deg2rad() ja vastupidi teisendamiseks rad2deg()funktsioone. ? 1 echo deg2rad(30); //0.5235987755983 Ülesanne 7 Jagamine - koosta funktsioon, mis teostab kasutaja antud arvudega jagamistehte. Lisa kontroll juhuks, kui kasutaja üritab jagada nulliga Täringumäng - loo funktsioon, mis genereerib pärast nupulevajutust
12) (arccot x) = - . 1 + x2 T~ oestame n¨ aiteks valemi 5. Vastavalt tuletise definitsioonile peame arvutama j¨ argmise piirv¨ a¨artuse: sin(x + x) - sin x (sin x) = lim . x0 x Kasutades trigonomeetriast tuntud valemit - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 suurustega = x + x ja = x saame x 2x+x x 2 sin cos sin 2x + x (sin x) = lim 2 2
12) (arccot x) = - . 1 + x2 T~oestame n¨ aiteks valemi 5. Vastavalt tuletise definitsioonile peame arvutama j¨ argmise piirv¨ a¨artuse: sin(x + x) - sin x (sin x) = lim . x0 x Kasutades trigonomeetriast tuntud valemit - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 suurustega = x + x ja = x saame x 2x+x x 2 sin 2 cos 2
ära lahendada ning lahenduste põhjal järeldusi teha. Võrranditest ainult sammuke edasi on võrratused, mille aluseks on küsimus – mis on suurem? – ning mis, nagu näeme, aitavad hästi toidulauda planeerida. Osa 5 on vahest visuaalselt üks raamatu kõige ilusamaid osasid, kahjuks ka üks kõige pikemaid ja sisutihedamaid. Räägime pikalt ja põhjalikult trigonomeetriast. Alustame kolmnurgast, siis mängime ringliikumisega, edasi kiusame ennast ja lugejat trigonomeetriliste teisendustega ning viimaks lõpetame lisapeatükiga, mis räägib, kuidas kõike maailmas vaadata võnkumise nurga alt. Järgmises osas naaseme pisut lihtsamate, aga sugugi mitte vähem oluliste funkt- sioonide juurde. Osa 6 räägib alustuseks polünoomidest ehk funktsioonidest nagu
annaabi.ee 
