hulk. Binaarsuhte alushulk on hulk, mille relatsioon on määratud. Relatsioonikriteerium on binaarsuhet moodustav reegel. Relatsiooni saab esitada järjestatud paaride hulgana, naarbusmaatriksiga, graafina. Relatsiooni omadused, refkelsiivne, antiref, sümmeetriline, antisüm, transitiivne, antitrans. Transitiivne sulund on kaarte hulk + kaared, et teha relatsioon transitiivseks. Tükeldused: Ekvivalentsisuhe on relatsioon kus kehtib ref, süm ja trans. Ekvivalentsiklassid on suhted, mispole omavahel seotud. Tükeldus koosneb klassidest. Tükelduse omadused: ükski plokk pole tühi hulk, plokid ei oma ühisosa, plokkide ühend on hulk ise. Osaline järjestussuhe: Osaline järjestussuhe on antisümmeetriline ja transitiivne relatsioon. Range osaline js on antirefleksiivne.
Binaarset seost hulgal nimetatakse: refleksiivseks, kui iga element on iseendaga seoses, s.o iga korral (,); antirefleksiivseks, kui ükski element ei ole endaga seoses, s.o iga korral (,); sümmeetriliseks, kui elemendid on vastastikku seoses, s.o iga , korral, kui (,), siis (,); asümmeetriliseks, kui elemendid tohivad olla seoses vaid ühes järjestuses, s.o iga , korral, kui (,), siis (,); antisümmeetriliseks, kui iga , korral (,) ja (,) vaid siis, kui =; transitiivseks, kui iga ,, korral, kui (,) ja (,), siis (,); lineaarseks, kui iga , korral (,) või (,). Tehted seostega Kuna formaalselt on seos hulk, siis rakenduvad hulgateoreetilised tehted ka seostele. Näiteks saab rääkida seoste ühendist, ühisosast, vahest või täiendist. Olgu antud seosed × ja ×, kus ja on hulgad. Seoste ja ühendiks nimetatakse seost , mille korral () . Seoste ja ühisosaks ehk lõikeks nimetatakse seost , mille korral () .
c. sümmeetriliseks, kui (x, y) R korral alati (y, x) R. Nt relatsioonid = ja . Maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, suunatud graafis iga kaare jaoks on olemas ka vastupidise suunaga kaar. d. antisümmeetriliseks, kui (x, y) R ja (y, x) R korral alati x = y. Nt võrratused. Maatriksi iga väljaspool peadiagonaali asuva elemendi 1 suhtes on sümmeetriline element 0, suunatud graafis pole kahte vastassuunalist kaart. e. transitiivseks, kui (x, y) R ja (y, z) R korral alati (x, z) R. Nt võrratused ja alamhulgaks olemised. Maatriksis peab olema kahe 1 ristumiskohas ka 1, graafis, kui pääseb kahe servaga ühest tippu teise, siis peab pääsema ka ühe servaga. 23) a. Relatsiooni, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne, nimetatakse ekvivalentsiks. Nt samasusrelatsioon; olgu X kõigi lausearvutusevalemite hulk
transitiivne binaarsuhe —————————————————————————————————————————————— ^ Kui R on transitiivne, siis R • R ⊂ R Relatsiooni R transitiivseks sulundiks R nimetatakse vähima paaridearvuga transitiivset relatsiooni, mis sisaldab endas alamhulgana 6. antitransitiivsus ( α6 ) : relatsiooni R . ∀a,,b,,c∈ ∈M [(a ≠ b) ∧ (b ≠ c) ∧ (a ≠ c) ∧ (a R b) ∧ (b R c) → ¯ ¯ c)]
· Antitransitiivsus (6 ) - (a,b,cA [(
ab,bc,ac.
Suhe, mis ei täida nõudeid 5 ega 6 , on mittetransitiivne.
d(R,i ) - suhte R kaugus omaduseni i , s.o. seoste arv, mis tuleb minimaalselt lisada
suhtesse R (või eemaldada suhtest R), et saavatada omadust i.
Suhte täiend - R = ( A x A ) R
Pöördsuhe - R 1 ai , a j a j , ai R
Suhte R transitiivseks sulundiks nimetatakse minimaalset transitiivset suhet R , mis
sisaldab suhet R.
Osaline mitterange järjestussuhe ( ) on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
Osaline range järjestussuhe ( < ) on antirefleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
Lineaarne järjestussuhe - ( a,bA) [ (a
o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse antisümmeetriliseks, kui (x,y)∈R ja (y,x)∈R korral alati x=y o Antisümmeetrilise relatsiooni Boole’i maatriksis on iga väljaspool peadiagonaali asuva elemendi 1 suhtes sümmeetriline element 0. 20 o Antisümmeetrilise relatsiooni graafis pole kahte vastassuunalist kaart. Transitiivsus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse transitiivseks, kui (x,y)∈R ja (y,z)∈R korral alati (x,z)∈R o Kui on olemas paar (y,z) ja (x,y), siis peab olema ka (x,z). 24. Ekvivalentsirelatsioon. Tähtsamad näited. Ekvivalentsiklassid. Näited. [2] Teoreem hulga jaotumisest ekvivalentsiklassideks. [3] Ekivalentsirelatsioon o Relatsioon, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne o Võrdus on ekvivalentsirelatsioon, võrratused ja mittevõrdus ei ole. Ekivalentsiklassid
Edaspidi mõtlemegi funktsioonidest kui kindlatest seostest. Seose omadused Definitsioon Seost R hulgal A nimetatakse (a) refleksiivseks, kui iga a A korral (a , a) R ; (b) irrefleksiivseks, kui iga a A korral (a , a) R ; (c) sümmeetriliseks, kui iga a , b A korral, kui (a , b) R , siis (b , a) R ; (d) antisümmeetriliseks, kui iga a,b A korral, kui (a , b) R ja (b , a) R , siis a=b ; (e) transitiivseks, kui iga a,b,c A korral, kui (a , b) R ja (b , c ) R , siis (a , c ) R . Märkused · Sümmeetrilisus ja antisümmeetrilisus ei ole teineteise vastandid. · Samuti ei ole refleksiivsus ja irrefleksiivsus teineteise vastanditeks. Ülesanne Olgu A={1,2,3 } ja olgu antud hulgal A seosed R1={(1, 1) ,(2, 1) ,(2, 2),(3, 3)} ja R2={(1,1),( 2,1),(1,2),( 3,3)} . Siis seos R1
annaabi.ee 
