7. teine ja eelviimane kordaja on alati n. 8. Astmete liikmete suuma on alati n. 9.Kordajate summa on 2 n 10. a- kasvavad astmed. b- vähenevad astmed 6. Sündmusemõiste. Sündmuseks nim elementaarsündmuste ruumi U iga osahulka. Juhuslikud sündmused- sündmused võivad esile tulla, kuid need võivad ka mitte tulla. Võimatu sündmus- Sõndmus mis ei ole võimalik . NÄIDE : Loeme täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu (3 või 6 silma) tuleku. Sündmuse A vastandsündmuseks A on kolmega mitte jaguva silmade arvu tulek, st. 1, 2, 4 või 5 silma tulek. Kindla sündmuse vastandsündmuseks loetakse võimatut sündmust, st. U =V ja võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V =U . 7. Klassikaline tõenäosus. sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet k/n Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A).
Kausis on kokku 5 + 4 + 7 = 16 ploomi. Ühe ploomi valikuks on 16 erinevat võimalust. Siniseid ploome on kausis 4, see tähendab et soodsaid võimalusi on 4. 4 1 Seega, sinise ploomi valimise tõenäosus (sündmus A) on p(A) = = . 16 4 Tõenäosuse klassikalisest definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 p(A) 1. 2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1 p(U) = 1. 3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0 p(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. p(A) + p( A ) = 1. 3 Näide 2
võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval. Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S. Näide 1. Katse võimalikuks tulemuseks täringu viskel loetakse teatava tahu peale langemist. Sellel katsel on 6 võimalikku tulemust ja vastav elementaarsündmuste hulk on: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Katsetulemuste hulk moodustab elementaarsündmuste ruumi, tähistatakse . Eelnevas näites S =. Näide 2. Kui meid huvitab paarituarvulise tahu peale tulek, siis sellele katsele vastav elementaarsündmuste hulk on: S = {1, 3 5}. , Siin sündmuseks A on paarituarvulise tahu peale tulek. Näiteks, A = 1. Juhul kui tuleb
tähistatakse sümboliga S.Näide 1. Katse sündmusest.Näide10. Oletame näiteks, tulemuste hulka ega tulemuste võimalikuks tulemuseks täringu viskel et meil on urnis viis kuuli-kolm vaglet ja võimalikkust. Sõltumatuse sündmuste loetakse teatava tahu pealelangemist. kaks musta. Mis ontõenäsust,et pimesi korral kehtib võrdus P(AB)=P(A)P(B). Sellel katsel on 6 võimalikku tulemust ja valides saame esimesel korral valge Liitmistulause P(ABC)=P(A)+ P(B)+ vastav elementaarsündmuste hulk on:S = kuuli?P(A)=P(valge)=3/5=0.6eht60%. P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC) {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.Katsetulemuste hulk Mis on tõenäosus, et ka teisel korral ühe ja sama katse seotud moodustab elementaarsündmuste saame valge kuuli? Kui esimest kuuli sündmus.Korrutamine P(ABCD)=
üksteist välistavad. P(A+B)=P(A)+P(B), enam kui kahe
n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A
üksteist välistava sündmuse A1, A2, A3...An korral
toimumise tõenäosust täpselt k korda kui sündmuse
P(A1+A2+...+An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An).
tõenäosus igal katsel on p=P(A).
12. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon, selle
5. Tingliku tõenäosuse mõiste. Sündmuste korrutise omadused (tõestustega). Kogu reaalarvude hulgal R
tõenäosuse leidmine (tõenäosuste korrutamise lause). määratud funktsiooni F(x) = P(X
Kindel sündmus (K) - sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. P(K) = 1. Võimatu sündmus (V) - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. P(V) = 0 Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. 2. Teineteist välistavate sündmuste summa, korrutis ja vahe. Sündmuste A ja B summaks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B. N 1. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A U B = A + B = {1, 2, 3, 5}. Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Sündmuste A ja B korrutist tähistatakse sümboliga A B. N 2
süsteemiks ja sündmusi elementaarsündmusteks.
· Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame sündmuse soodsate
elementaarsündmuste arvu k ja kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvu suhet.
P(A)=k/n. 0P(A)1
· Kindel sündmus P(A) = 1
· Võimatu sündmus P(A)=0 Ø
· Juhuslik sündmus 0
tingimuste kompleksi olemasolu korral. Näiteks lumi sulab 0 kraadi juures normaalrõhul. Sündmused võib jaotada kolme liiki: 1. Kindel sündmus , mis toimub alati antud tingimuste juures ( päike tõuseb idast ja loojub läände). 2. Võimatu sündmus , mis ei saa kunagi antud tingimuste kompleksi korral toimuda (rong sõidab maanteel, päike loojub itta). 3. Juhuslik sündmus, mis võib toimuda või mitte toimuda (paarisnumbrisaamine täringuviskel, mündi viskamisel saada kull või kiri). 1.2 Sündmuste vahelised seosed. Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), siis AB. 2. A = B, kui AB ja BA. 3. AB = C, sündmuste A ja B summaks ehk ühendiks nimetatakse sündmust C, mis toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B.
Pascal, Huygens, Bernoulli, Gauss, Laplace, Kolmogorov jt Tänapäeval on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika paljude ülikoolide mitmete erialade õppekavas. Põhimõisted katse põhimõtteliselt lõpmatult palju kordi teostatav toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte sündmus katse tulemus või erinevate tulemuste ühendamisel saadav tulemus Näit. Katseks on täringu viskamine, sündmusteks võivad olla järgmised: - saadakse 4 silma - saadakse 5 silma - saadakse 3 või 6 silma - saadakse paarisarv silmi jne Kui katseks on kahe täringu korraga viskamine, siis võiks vaadelda selliseid sündmusi: - summaks saadakse 12 - summana saadakse vähemalt 3 silma - ühel täringul on suurem silmade arv kui teisel jne kindel sündmus sündmus, mis antud katse korral kindlasti toimub; tähistatakse sümboliga
ainuvõimalikud sündmused. 9. Tehted sündmustega (summa, korrutis). Nendes sisuline ja formaalne definitsioon. A= A 1 ∪ A2 ∪… ∪ A n Sündmuste summaks nimetatakse sündmust (sündmuste ühend), ehk sündmus A sisaldab kõiki neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad vähemalt ühte Ai sündmustest . Seega toimub sündmus A parajasti siis kui toimub vähemalt üks Ai sündmustest (i=1, 2, ..., n). A= A 1 ∩ A 2 ∩… ∩ A n Sündmuste korrutiseks nimetatakse sündmust (sündmuste ühisosa), ehk sündmus A sisaldab neid ja ainult neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad Ai kõigisse sündmustesse . Sündmus A toimub sel juhul parajasti siis, kui toimuvad
Tõenäosusteooria (II) Tihti võib sündmusi vaadelda koosnevaina lihtsamatest sündmustest. Näiteks, olgu ühes urnis 4 valget ja 3 punast kuuli ning teises urnis 6 valget ja 3 punast palli. Kummastki urnist võetakse üks pall. Vaatleme järgmisi sündmusi: C võetud pallide hulgas on vähemalt üks punane pall, D mõlemad võetud pallid on punased. Me võime need sündmused esitada järgmiste osasündmuste (nn elementaarsündmuste) kaudu: A esimesena urnist võetud pall on punane B teisest võetud pall on punane Sündmuse C võime esitada niimoodi: toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Sündmuse D võime esitada aga nõnda: toimub sündmus A ja toimub sündmus B. Tõenäosusteoorias antakse selliselt moodustatud sündmustele omaette nimetused. Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust C, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B (s
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu. AB 3. Sõltumatud sündmused
kui XY sõltumatud. 4) Kui X 1, X2, ....,Xn on sõltumatud, siis D(X1,+X2+...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn) 5)D(X+c)=D(X) Tõestus!!! D(X+c)=DX+Dc=DX 10. Binoomjaotusega juhuslik suurus. Binoomjaotusega juhusliku suuruse jaotustabeli koostamine. Binoomjaotusega juhuslik suurus X~B(n,p) 1) Tehakse n sõltumatut katset 2) Igal üksikul katsel võib sündmus toimuda või mitte toimuda. Seega igal üksikul katsel on 2 võimalikku tulemust: sündmus toimub, sündmus ei toimu. 3) Sündmuse toimumise tõenäosus igal katsel on p. 4)Tõenäosus p ei tohi katseseeria käigus muutuda. Sündmuse toimumise arv X katseseeria jooksul on juhuslik suurus, millel on n+1 väärtust 0,1,....,n. Seda juhuslikku suurust nimetatakse
Viimane inimene k võtab lõpuks laualt ära viimased kingid nk. 2). On selge, et kinke on lauale võimalik järjestada Pn = n! erineval viisil. Seejuures on samuti triviaalne, et kutsudes inimesi laua äärde tagasi, on esimesel neist võimalik oma kinke järjestada n1! viisil, teisel inimesel n2! viisil jne. Kokkuvõttes saamegi, et n kingi selliselt jagamiseks on võimalust. Saadud valemit kutsutakse ka Raamatupidaja valemiks. b). n mündi jagamine k inimese vahel nii, et igaüks saab vähemalt ühe mündi: 1). Müntide jagamine erineb kinkide jagamisest sellepoolest, et mündid on kõik identsed seega olulised on vaid kogused, mitte see kes millise mündi saab. Kuigi tegu on suhteliselt erinevate probleemidega, saame kasutada sarnast lahendust: laotame mündid põrandale ritta ning laseme esimesel inimesel neid korjama hakata. 2). Teatud hetkel peame korjama laskma teise inimese- selgub, et erinevaid
summaga.. Harmooniline keskmine – tuleb kasutada siis kui tunnuse väärtuse mõõtühik väljendub eri mõõtühikute suhtena( nt km/h) ning kaaluks keskväärtuses osalemiseks on murru lugeja(kiiruse puhul kaugus). Kasutamise vajadust tuleb kaaluda ka kõigi suhtarvudest keskmiste leidmise korral (nt keskmine saagikus, jms). Kronoloogiline keskmine – kasutatakse momentridade korral kui momentidevahelised ajalõigud on võrdsed(nt kuupäevad). Geomeetriline keskmine – kordsete suuruste keskmine. Ruutjuure all korrutatakse x’d ja ruutjuurel on n peal arv(nt aastate arv). Kasutatakse siis, kui tunnuse väärtuseks on kordarvud, millest iga järgnev näitab seda, mitu korda on ta eelmisest suurem. Ruutkeskmine – rakenduslik tähtsus on suur dispersioonanalüüsis, korrelatsioonikordajate leidmisel ja muudes statistliste protseduurides. 6. Mediaan – korrastatud statistilise rea keskliige, millest mõlemale poole
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid
Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud, kvantiilkarakteristikud. Keskväärtus(asendikarakteristik) iseloomustab juhusliku suuruse jaotuse keskkoha asukohta. Keskväärtuse geomeetriline tõlgendus: jaotus raskuskeskme projektsioon x-teljele Dispersioon ja standardhälve on arvkarakteristikud juhusliku suuruse hajuvuse iseloomustamiseks keskväärtuse suhtes. dispersioon on standardhälve ruudus ja standardhälve on vastavalt dispersiooni ruutjuur. Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. Kvantiile nim ka protsentiilideks, siis tõenäosus p väljendatakse protsentides
8. Diskreetne juhuslik suurus: jaotustabel, jaotusfunktsiooni analüütiline esitus
(valem), jaotusfunktsiooni graafik.
Juhusliku suuruse X väärtused x1 x2 ... xn
Väärtuste ilmumise tõenäosused f(x1) f(x2) ... f(xn) f (x ) = 1
i
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x)=P(X
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos a/sin=b/sin=c/sin=2R S=1/2a*b*
Standardhälve punkthinnang on praktilise kasutamise vajadusi rahuldav väga väikese nihkega hinnang 5. Bernoulli valem. Binoomjaotus (definitsioon, jaotusrida, keskväärtus EX ja dispersioon DX ). Poissoni jaotus. Bernouli valem Bernoulli valem on tõenäosus teoorias valem, mis näitab n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A). Tuletus: Sündmus A toimub n katse korral m korda, siis sündmuse A vastandsündmus toimub n m korral. Binoomjaotus Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks. Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve DX.
m m n = n am = a n a2 = a x1 + x 2 + x 3 + + x n · Aritmeetiline keskmine x= , kus x 1 ; x 2 ; x 3 ; ; x n on andmed n · Positiivsete arvude geomeetriline keskmine (keskmine võrdeline) x g = n x 1 x 2 x 3 x n , kui x i > 0 ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 · Korrutamise abivalemid a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ab + b 2 ) Protsent 1
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon
Sirge võrrandid tuleb panna võrrandisüsteemi ja leida punkti x ja y-koordinaadid. Kui võrrandi lahendamisel tuleb samasus (0=0), siis sirged ühtivad. Kui võrrandi lahendmisel tekib vastuolu (0=3), siis sirged on paralleelsed. Sirgete vaheline nurk Kahe sirge lõikumisel tekib kaks paari võrdseid nurki. Teravnurga suurust saab leida nii. 7. Aritmeetiline ja geomeetriline jada Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, milles kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne. Selle jada üldliige avaldub kujul an=a1+(n-1)d, kus d on jada vahe ja n on naturaalarv. Aritmeetilise jada liikmete vahel kehtib omadus: a2-a1=a3-a2=a4-a3... Aritmeetilise jada esimese n liikme summa avaldub kujul:
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma
teineteist välistavateks. Kombinatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Permutatsioon-Kõikvõimalike erinevate järjestuste arv etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks Variatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi kindlas järjekorras välja valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutadageomeetrilise tõenäosuse valemit Binoomjaotus-Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus
korral üks tingimata toimub. Juhuslikud sündmused: *vastastikku välistuvad sündmused- ei sisalda samu elementaarsündmusi *vastastikku mittevälistuvad sündmused- sisaldavad samu elementaarsündmusi *sündmuste sisalduvus- kui toimub A, toimub ka B *vastansündmus- kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes. Tõenäousese määramisviisid: klassikalised(kombinatoorne, geomeetriline, statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti
1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2. Liitmisaksioom: vastastikku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = O (-aditiivsus) 3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) > 0) Tõenäosuse määramise viisid: 1) Klassikalised (kombinatooren, geomeetriline, statistiline) 2) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunktsiooni väärtus...) Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Juhusliku suuruse põhiliigid: 1) diskreetne juhuslik suurus, mille võimalike väärtuste arv on lõplik või loenduv 2) pidev juhuslik suurus, võimalik väärtuste hulk on kontiinum
Seega P(∅) = P(∅+∅) = P(∅) + P(∅) => P(∅) = 0. Liitmislause: on selge, et A+B = AB + BA + AB ja (AB)AB = ∅; (BA)AB = ∅; (AB)(BA) = ∅. A = AB + AB ja B = (BA) + AB. Seega P(AB) = P(A) – P(AB); P(BA) = P(B) – P(AB). 20 põhjal same, et P(A+B) = P(AB) + P(AB) + P(BA) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 3. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. k P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes n soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3)
1. Tõenäosus ja tema leidmise näiteid arvutusvalemite abil Sõltumatute katsete kordamisel saadavat suhtelise sageduse piirväärtust kutsutakse sündmuse A toimumise tõenäosuseks P (A) := lim mn n Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 0 võib aset leida lim n1 =0 n n-1 Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 1 ei pruugi alati toimuda lim =1 n n Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B) Kui A ja B on teineteisest sõltumatud: P(A|B)=P(A) ja P(A B) = P(A) P(B) Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemiga P(A U B) = P(A)
2) korrutis (ühisosa): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad korraga kõigis korrutatavatessündmustes Tõenäosus: iseloomustab esinemissagedust katsetes, on sündmuse mõõduks, arv nullist üheni Omadused: 1) Normeeriusaksioom (0-1) 2)Liitmisaksioom (summa P=sündmuste P summa) 3)tinglik tõenäosus Valemid: P(tühihulk)=o, P(el.s.ruum)=1, summa ja korrutise tõenäosus, erijuhud, vastandsündmuse P. Määramisviisid: A)klassikalised (kombinatoorne, geomeetriline, statistiline) B) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunkts väärtus..) Juh. Su suurus, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus)
13. Väljavõttelise vaatluse korral vaadeldakse valimit. 14. Kas on õige väide "Korraga saab võrrelda ainult kaht objekti omavahel" tõsi 15. Ankeetküsitluse korral põhjustab halvasti sõnastatud küsimus süstemaatilise vea. Statistilise kogumi keskmised - Test 2 1. Määra ära, millised keskmised on asendikeskmised ja millised mahukeskmised a. 1. Kvartiil - asendikeskmine b. Mood - asendikeskmine c. geomeetriline keskmine - mahukeskmine d. mediaan - asendikeskmine e. aritmeetiline keskmine mahukeskmine 2. Kõige tüüpilisem väärtus arvukogumis on selle arvukogumi mood 3. Kui arvukogumi aritmeetiline keskmine on väiksem kui mediaan, siis (Vali üks) a. d. esinevad üksikud ekstremaalselt väikesed väärtused 4. Arvukogumis on 10 arvu ja nende aritmeetiline keskmine on 17. Igat arvu suurendatakse 1 võrra. Uue arvukogumi aritmeetiline keskmine on .
Süsteem – omavahel seotud elementide hulk, mida vaadeldakse ühtse tervikuna. Alamsüsteem – süsteemi S kuuluv süsteem(nt süsteem S1). Ülemsüsteem – süsteem Z kuhu kuulub süsteem S. Väliskeskkond – süsteemi S väliskeskkonnaks on kõik see, mis ei kuulu süsteemi S. Avatud süsteem – süsteem, mis on seotud väliskeskkonnaga. Väliskeskkond mõjutab süsteemi ja vastupidi. Suletud süsteem – süsteem millel ei ole seoseid väliskeskkonnaga. Süsteemi sisenditeks (sisendelementideks) on need süsteemi elemendid, milliseid vaadeldakse kui algressursse, algmaterjale, lähtesuurusi, algandmeid või -põhjuseid. Sisendid on süsteemi sõltumatud muutujad. Sisendid võivad olla mittejuhitavad või juhitavad. Süsteemi väljunditeks (väljundelementideks) on need elemendid, milliseid vaadeldakse kui tegevuse tulemusi või tagajärgi. Väljundid on süsteemi sõltuvad muutujad. Süsteemi operaatoriks (protsessiks, funktsiooniks) nimetatakse eeskirja, algoritmi, tehnoloogi
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
