"tippkohtadest" - 1 õppematerjal

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

Põhimõtteliselt on jada (xn ) puhul kolm võimalust: 1) tal on lõpmata palju (täpsemalt loenduv arv) tippkohti, 2) tal on lõplik arv tippkohti ja 3) tal ei ole üldse tippkohti. Juhul 1) paneme tähele, et tippkohtade n1 < n2 < . . . järgi moodustub kahanev osajada (xnk ): kui nk on tippkohale nk−1 järgnev tippkoht, siis xnk 6 xnk−1 (põhjendada!)z. Juhul 2) konstrueerime kasvava osajada (xni ) järgmiselt. Olgu n1 mingi indeks, mis on suurem kõikidest tippkohtadest, siis on võimalik leida indeks n2 > n1 nii, et xn2 > xn1 (põhjenda- da!)z. Edasi leiame sellise n3 > n2 , et xn3 > xn2 jne. Tulemuseks saame kasvava osajada (xn1 , xn2 , . . .) . Samamoodi toimime ka juhul 3), võttes n1 := 1. Lause on tõestatud. Lausest 2.13 ja monotoonsuseprintsiibist tuleneb vahetult järgmine teoreem. Teoreem 2.14 (Bolzano–Weierstrassi teoreem). Iga tõkestatud jada sisaldab koonduva osajada. Tõestus. Olgu (xn ) tõkestatud jada, vastavalt lausele 2