"sulundisse" - 1 õppematerjal

Topoloogilised ruumid

60 X int(A) = cl(X A), X cl(A) = int(X A); 70 cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B). T˜oestus. 10 N¨aitame, et cl(A) on kinnine. Olgu x ∈ X cl(A). Siis x ∈ cl(A) ja peab leiduma punkti x selline u ¨mbrus ¨ U , et U ∩ A = ∅. Umbrus U sisaldab punkti x mingit lahtist ¨mbrust V . Siis ka V ∩ A = ∅. Kuna V on lahtine, siis ta on u oma iga punkti u ¨mbruseks ja v˜orduse V ∩ A = ∅ t˜ottu u ¨kski punkt hulgast V ei saa kuuluda hulga A sulundisse cl(A). Seet˜ottu V ∩ cl(A) = ∅, V ⊂ X cl(A) ja on n¨aidatud, et hulk X cl(A) sisaldab iga oma punkti x korral ka selle mingi ¨mbruse V . J¨arelikult on hulk X cl(A) lahtine, st cl(A) on u kinnine. Olgu A ⊂ C ⊂ cl(A) ja C on kinnine. Kui y ∈ X C, siis hulga X C lahtisuse t˜ottu leidub punkti y selline u ¨mbrus W , et W ⊂ X C. Siis W ∩ A = ∅ ja seet˜ottu y ∈ cl(A).