iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad. · Hüpotenuus- Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas; ka selle külje pikkus · Sulund- Eukleidilise ruumi alamhulga sulundiks nimetatakse selle hulga kõigi puutepunktide hulka. Hulga sulund on kinnine hulk ning langeb kokku hulga kõikide selles ruumis sisalduvate kinniste ülemhulkade ühisosaga. · Catalani pind- Catalani pind on joonpind, mille moodustajad on paralleelsed fikseeritud tasandiga · Besseli võrrand- Besseli võrrandiks nimetatakse matemaatikas harilikku teist järku homogeenset diferentsiaalvõrrandit kus on kompleksarvuline parameeter
astmesse Rn parajasti siis, kui hulgas X leiduvad elemendid z0, z1, ..., zn nii, et z0 = x, zn = y ja iga i = 0, 1, ..., n 1 korral (zi, zi+1) R. Graafide terminites tähendab teoreem: (x, y) Rn relatsiooni R graafis leidub selline suunatud ahel pikkusega n, mille esimene element on x ja viimane element y. e. **Tõestus. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=107318 lk 101 102. 29) a. Def. Relatsiooni R sulundiks vaadeldava omaduse suhtes nimetatakse (sisalduvuse mõttes) vähimat relatsiooni, mis sisaldab R ja millel on vaadeldav omadus. b. Refleksiivsel relatsioonil puudub antirefleksiivne sulund. Antisümmeetrilisele relatsioonile leidub sümmeetriline sulund. c. Transitiivne sulund on vähim transitiivne relatsioon, mis sisaldab antud relatsiooni, tähistus R+. d
W = U ∩ V on j¨alle punkti x u ¨mbrus, kusjuures W ⊂ A ∩ B. Seega x ∈ int(A∩B). J¨arelikult int(A)∩int(B) ⊂ int(A∩B) ning eelpool saadud vastupidise sisalduvuse t˜ottu int(A∩B) = int(A) ∩ int(B). 3.2 Hulga sulund Definitsioon 3.3 Punkti x ∈ X nimetatakse hulga A ⊂ X puutepunktiks, kui punkti x igas u¨mbruses U leidub hulga A punkte, st U ∩ A = ∅. Definitsioon 3.4 Hulga A ⊂ X k˜oigi puutepunktide hulka nimetatakse selle hulga sulundiks. Hulga A sulundit t¨ahistatakse A = cl(A). Et iga punkt x ∈ A sisaldub igas oma u ¨mbruses U , siis U ∩ A = ∅ ja A ⊂ cl(A). N¨aide 3.3 Ruumis R on nii l˜oigu [a; b] kui ka vahemiku ]a; b[ sulundiks l˜oik [a; b]. Teoreem 3.11 Olgu A, B ∈ P(X). Siis kehtivad omadused: 10 cl(A) on v¨ahim kinnine hulk ruumis X, mis sisaldab hulka A; 28 3 SISEMUS JA SULUND 20 cl(A) on k˜oigi hulka A sisaldavate kinniste hulkade u
ab,bc,ac.
Suhe, mis ei täida nõudeid 5 ega 6 , on mittetransitiivne.
· d(R,i ) - suhte R kaugus omaduseni i , s.o. seoste arv, mis tuleb minimaalselt lisada
suhtesse R (või eemaldada suhtest R), et saavatada omadust i.
· Suhte täiend - R = ( A x A ) R
· Pöördsuhe - R -1 = { < ai , a j > < a j , ai >R}
· Suhte R transitiivseks sulundiks nimetatakse minimaalset transitiivset suhet R , mis
sisaldab suhet R.
· Osaline mitterange järjestussuhe ( ) on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
· Osaline range järjestussuhe ( < ) on antirefleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
· Lineaarne järjestussuhe - ( a,bA) [ (a
ab,bc,ac.
Suhe, mis ei täida nõudeid 5 ega 6 , on mittetransitiivne.
d(R,i ) - suhte R kaugus omaduseni i , s.o. seoste arv, mis tuleb minimaalselt lisada
suhtesse R (või eemaldada suhtest R), et saavatada omadust i.
Suhte täiend - R = ( A x A ) R
Pöördsuhe - R 1 ai , a j a j , ai R
Suhte R transitiivseks sulundiks nimetatakse minimaalset transitiivset suhet R , mis
sisaldab suhet R.
Osaline mitterange järjestussuhe ( ) on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
Osaline range järjestussuhe ( < ) on antirefleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
Lineaarne järjestussuhe - ( a,bA) [ (a
mõisted. Definitsioon 4 Funktsioonide hulgast K n ruumi hulka A nimetatakse funktsioonide algebraks siis ja ainult siis, kui f , g A ja A jaoks kehtivad järgmised kolm seost: 1) f + g A ; 2) f g A ; 3) f A . Definitsioon 5 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Kui ühendada hulka A kõikide hulga A koonduvate jadade piirpunktidega, siis saadud hulka B nimetatakse hulga A sulundiks. Definitsioon 6 Öeldakse, et funktsioonide hulgast K n ruumi hulk A eraldab punkte hulgal K siis ja ainult siis, kui iga kahe erinevate punktide x1 , x 2 K ( x1 x 2 ) jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x1 ) f ( x 2 ) . Definitsioon 7 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Öeldakse, et A ei saa nulliks mitte ükski hulga K punktidest siis ja ainult siis, kui iga punkti x K jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x) 0 .
elemendid z0, . . . , zn nii, et z0 = x, zn = y ja iga i = 0, . . . , n − 1 korral (zi, zi+1) ∈ R. 31. Relatsiooni sulund omaduse suhtes. Näited sulundi olemasolu ja puudumise kohta. Transitiivne sulund. Teoreem transitiivse sulundi avaldumisest relatsiooni astmete kaudu. Refleksiivne transitiivne sulund. Transitiivse ja refleksiivse-transitiivse sulundi avaldiste seos ahelatega relatsiooni graafis. [2] Relatsiooni sulund omaduse suhtes o DEF. Relatsiooni � sulundiks vaadeldava omaduse suhtes nimetatakse (sisalduvuse mõttes) vähimat relatsiooni, mis sisaldab � ja millel on vaadeldav omadus o Kui leidub vähemalt üks vaadeldava omadusega relatsioon, mis sisaldab R , ja ühisosa võtmine säilitab omaduse, siis sulund eksisteerib. Transitiivne sulund o Relatsiooni R⊆X×X transitiivne sulund avaldub valemiga R+= ⋃lõpmatus i=1 Ri 27
mõisted. Definitsioon 4 Funktsioonide hulgast K n ruumi hulka A nimetatakse funktsioonide algebraks siis ja ainult siis, kui f , g A ja A jaoks kehtivad järgmised kolm seost: 1) f + g A ; 2) f g A ; 3) f A . Definitsioon 5 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Kui ühendada hulka A kõikide hulga A koonduvate jadade piirpunktidega, siis saadud hulka B nimetatakse hulga A sulundiks. Definitsioon 6 Öeldakse, et funktsioonide hulgast K n ruumi hulk A eraldab punkte hulgal K siis ja ainult siis, kui iga kahe erinevate punktide x1 , x 2 K ( x1 x 2 ) jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x1 ) f ( x 2 ) . Definitsioon 7 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Öeldakse, et A ei saa nulliks mitte ükski hulga K punktidest siis ja ainult siis, kui iga punkti x K jaoks leidub selline funktsioon f A , et f ( x) 0 .
transitiivne binaarsuhe —————————————————————————————————————————————— ^ Kui R on transitiivne, siis R • R ⊂ R Relatsiooni R transitiivseks sulundiks R nimetatakse vähima paaridearvuga transitiivset relatsiooni, mis sisaldab endas alamhulgana 6. antitransitiivsus ( α6 ) : relatsiooni R . ∀a,,b,,c∈ ∈M [(a ≠ b) ∧ (b ≠ c) ∧ (a ≠ c) ∧ (a R b) ∧ (b R c) → ¯ ¯ c)]
annaabi.ee 
