Definitsioon 5.3 Topoloogilise ruumi X alamhulka A, vaadelduna topoloogilise ruumina u ¨lalkirjeldatud topoloogia Tf suhtes, nimetatakse ruumi X alamruumiks. Lahtisteks hulkadeks alamruumis A on parajasti ruumi X lahtiste hulkade u ¨hisosad alamhulgaga A. Kui ei ole ¨oeldud teisiti, siis topoloogilise ruumi alamhulki vaadeldakse topoloo- gilise ruumina alamruumi topoloogia suhtes. N¨aide 5.3 Nii k˜oigi t¨aisarvude hulk Z kui ka k˜oigi rat- sionaalarvude hulk Q on ruumi R alamruumid diskreetse topo- loogiaga. N¨ aide 5.4 L˜oik [a; b] on ruumi R alamruum, milles punkti au¨mbruste baasi moodustavad pooll˜oigud [a, a + [, kus ≤ b − a. N¨ ¨ aide 5.5 Uhem˜ o˜otmeline sf¨a¨ar S1 = { (x; y) | x2 + y 2 = 1 } = = { (cos t; sin t) | 0 ≤ t ≤ 2π } on ruumi R2 alamruum, milleks on parajasti ringjoon raa- diusega 1 ja keskpunktiga koordinaatide alguses ning milles 5
> ⇔ − >0⇔ > 0 ⇔ mq > np (1.14) n q n q nq (selgitada!)z, see on harilike murdude loomulik järjestus. Kokkuvõttes oleme selgitanud, et ϕ : Q → Q ⊆ F , kus ϕ([(a, b)]) = ab−1 , on järjestatud korpuste isomorfism. Eelneva arutelu võtame kokku järgmises lauses 1.17. Lause 1.17 Iga järjestatud korpus F sisaldab alamkorpust Q, mis on isomorfne kõigi rat- sionaalarvude järjestatud korpusega Q. Lõpuks märgime veel üht hulga Q tähelepanuväärset omadust. Meenutame, et hulka A ni- metatakse loenduvaks, kui tema ja kõigi naturaalarvude hulga N elementide vahel eksisteerib üksühene vastavus. Omadus 1.18 Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on loenduv. Tõestus. Iseseisvalt!z 20 1 Reaalarvud 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon
363 Selle argumendi võib aga siinjuhul kergesti ka üksipulgi kirja ümbermõõt, pindala, ruumala panna. Idee on selles, et iga irratsionaalarvu jaoks võime leida rat- sionaalarvude jada , mille piirväärtuseks on meie valitud irratsionaalarv. Kuid iga ratsionaalarvulise küljepikkusega ruudu pindala me juba teame – see on . Lõpuks, kui arvud koonduvad arvu , siis nende arvude ruudud koonduvad arvu , mis annabki soovitud tulemuse.
annaabi.ee 
