TRIGONOMEETRIA c a b a b a sin = cos = tan = a2 + b2 = c2 c c b VEKTORID Vektor on matemaatiline suurus, mida iseloomustavad 1) arvväärtus ja 2) suund mingil sihil. Vektorit esitatakse suunaga sirglõiguna. Kahe vektori liitmiseks nihutatakse vektoreid iseendaga paralleelselt nii, et 1) teise vektori algus oleks esimese vektori lõpus. Nende summa vektor algab esimese algusest ja lõpeb teise lõpus. 2) Liidetavate vektorite algused on ühes punktis. Nende alusel moodustatakse rööpkülik, nende summa vektor algab ühisest algusest ja on mööda rööpküliku diagonaali ...
0° põhjast itta arvestatud suunas 72.4 m, siis 36.0° läänest lõunasse arvestatud suunas 57.3 m ja lõpuks otse lõunasse 17.8 m, siis leiate paiga, kuhu on maetud Porsche võtmed. Kaks võistlejat asuvad kohe mõõtma, kolmas aga arvutama. Mida ta arvutab ja mis tulemuse ta saab? 4. Lennuk lendab 10.4 km läände, 8.7 km põhja ja 2.1 km üles. Kui kaugel on ta lähtepunktist? D = 6i + 3 j - k 5. Antud on kaks vektorit: . Leida vektori F = 2 D - E pikkus. E = 4i - 5 j + 8k 6. Antud on kaks vektorit. Esimese vektori pikkus on 4.00 ja ta on suunatud 53.0° x- teljest vastupäeva. Teise vektori pikkus on 5.00 ja ta on suunatud 130.0° x-teljest vastupäeva. Leida nende vektorite skalaarkorrutis. A = 2i + 3 j + k 7. Antud on kaks vektorit: . Leida nurk nende vektorite vahel.
kollineaarseteks. Vektoreid, mis on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, nim. komplanaarseteks. a=F/m Samasuunalisi võrdsete moodulitega kollineaarseid vektoreid nim. võrdseteks. Vektorite liitmine. Olgu antud N3.seadus-kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete ja suunalt vastupidiste jõududega . F=-F (F- kaks vektorit A ja B(joon.2). Resul-tantvektori C saamiseks viime vektori B paralleelselt iseenesega edasi nii, et resulteeriv jõud, mis on samasuunalise kiirendusega). tema alguspunkt ühtiks vektori A lõpuga (joon.3.). Sum-mat võib esitada kujul C = A + B 5. TÖÖ.VÕIMSUS.ENERGIA Vektorite lahutamine. Kahe vektori A ja B vaheks A-B nim
cos + + tan + + 15. 16. Nurgaradiaan on kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele. 17. Seos kraadimõõdu ja radiaanmõõdu vahel on 180º= rad 18. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a · b nim. nenede vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. 19. Vektorite ristiseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nenede skalaarkorrutis on null 20. Siinusteoreem: a/sin = b/sin = c/sin 21. Koosinusteoreem: a2=b2-c2-2bccos, b2=a2+c2-accos, c2=a2+b2-2abcos 22. Kolmnurga pindala: S=ab· sin/2, S=ac·sin/2, S=cb· sin/2 23. Kahe nurga summa ja vahe sin sin(+)= sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin 24. Kahe nurga summa ja vahe cos cos(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin 25. Kahe nurga summa ja vahe tan tan(+)=tan+tan/1-tantan, tan(-)=tan-tan/1+tantan 26
VEKTORRUUMI MÕISTE Hulk V ={⃗a , ⃗b , ⃗c , … , ⃗x , ⃗y , ⃗z , … } on mittetühi hulk. DEF1: hulgal V on defineeritud elementide liitmine, kui igale paarile ( ⃗a , ⃗b ) ∈V ×V on seatud vastavusse element ⃗c ∈ . V × V →V ( ⃗a , ⃗b ) ↦ c⃗ =⃗a + ⃗b DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommuta...
Jõu projektsioon teljele on skalaarne suurus, mis on võrdne jõu vektori algus ja lõpppunktide projektsioonide vahelise lõigu pikkusega võetuna vastava märgiga antud kindlal teljel. Kui jõud on paralleelne teljega, siis ta on võrdne lihtsalt jõu mooduliga. Kui jõud on risti teljega, siis projektsioon on null. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks tasapinnale nim vektorit, mis jääb vektori alg ja lõpppunktide projektsioonide vahele sellel tasapinnal. Erinevalt jõu projektsioonist teljele on jõu projektsioon tasapinnal vektoriaalne suurus. Null on siis, kui jõud on tasapinnaga risti. Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega.
1) Konstantide vaheline seos Kuitahes keerukat vooluringi, millel on kaks sisend- ja kaks väljundklemmi, nimetatakse neliklemmiks. Neliklemmi konstandid on A, B, C, D Põhivalem: Passiivse neliklemmi konstantide vaheline seos: Sümmeetriline neliklemm: 2) Konstantide ühikud A, D – ühikuta suurused B - Ω (oom) C – S (siimens) 3) Neliklemmi ringdiagrammi valem Esimesed kaks vektorit kujutavad endast voole lühisel ja tühijooksul, kolmas vektor aga voolu ühes koormusolukorras (joon.9.16). Ringjoone keskpunkt c asub neid vektoreid ühendavate sirgjoonte (ringi kõõlude) keskristsirgete lõikepunktis. Kolmefaasilised voolud 1) Mitmefaasiliste süsteemide sümmeetria tingimused 2) Sümmeetriliste süsteemide põhiomadus 3) Tähtühendus – liini ja faasi suurustevahelised seosed sümmeetrilistel koormustel L1, L2 ja L3 - kolme juhet, millega koormus e
y y1 x x1 y P(x;y) y2 y1 x2 x1 B(x2;y2) A(x1;y1) s sx ; s y x y y1 x x1 s sy sx Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge sihivektor on koordinaatidega (4;-1) ning sirge läbib punkti P(3;-2). x 3 y 2 4 1 ( x 3) 4( y 2) .... y 0,25 x 1,25 y 0,25 x 1,25 Sirge üldvõrrand ...... on lineaarvõrrand kujul Ax + By + C =0, kus A, B ja C on konstandid ning A ja B ei
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuse...
Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega.
Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus
on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale.
17. Juhusliku vektori mõiste, tema jaotusfunktsioon ja vektori komponentide marginaaljaotused.
Juhuslikuks vektoriks nimetatakse vektorit (X, Y), mille koordinaadid ehk komponendid on juhuslikud
suurused. Juhusliku vektori jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x,y), mis on määratud
eeskirjaga F(x,y) = P(X
tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud aga tingimus f(x)=*x, aga lineaarteisenduse omaväärtuseks. Vektorarvutus: 3 algmõistet: punkt, vektor, reaalarv. 1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud punktile A ja B seatakse vastavusse üks vektor a, AB=a 3') iga punkti A ja vektori a korral leidub parajast 1 punkt B, niiet punktidele A ja B vastab vektor a 4') Kui AB=CD, siis AC=BD. Järeldused: J1: AC=BD, AB+BC=BC+CD, AB=BC=BC+AB, a+b=b+a; J2: AA=BB=0,
1) Kaks vektorit on põrandal nii, et a(nool) on suunatud põhja ja b(nool) itta. Vektorkorrutis a(nool) x b(nool) on suunatud a) Lõunasse b) Läände c) Alla d) Üles 2) Keha kiirendus on tingitud a) Keha inertsist b) Teiste kehade mõjust sellele kehale c) Maa külgetõmbejõust d) Kiiruse muutumisest 3) Maa tehiskaaslane liigub orbiidil konstantse kiirusega 25000 km/h a) Sateliidil on kiirendus, sest ta kiiruse suurus muutub b) Satelliidil ei ole kiirendust, sest ta kiiruse suurus ei muutu c) Sateliidil on kiirendus, sest ta liikumise suund muutub d) Sateliidil ei ole kiirendust, sest ta liikumise suund ei muutu 4) Sinusoidaalse ristlaine puhul a) Punktid liiguvad ruumis piki sinusoidi b) Amplituud muutub ajas ja ruumis sinusoidaalselt c) Punktid võnguvad tasakaaluasendi ümber sinusoidaalselt d) Laine sagedus muutub ajas sinusoidaalselt 5) Suur kast massiga m on liftis vannitoakaalu peal. Kaa...
Vektoriaalseteks suurusteks on näiteks kiirus ja jõud. Joonistel ja valemites tähistatakse vektoriaalseid suurusi nii, et suuruse tähise kohale märgitakse väike nooleke. Näiteks kiirusvektori tähis on ja jõuvektori tähis Vektori pikkust nimetatakse vektori mooduliks. Kiirusvektori pikkus on võrdne kiiruse arvväärtusega ja jõuvektori pikkus on võrdne jõu arvväärtusega. Vektoreid ehk suunaga lõike iseloomustab korraga nii lõigu pikkus kui suund. Kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samal ajal ka ühesuguse suunaga. Pikkuste või suundade võrdsusest vektorite võrdsuseks üksi ei piisa. Pikkused ja suunad peavad korraga ühesugused olema: Tehted vektoritega Vektori korrutamisel või jagamisel arvuga jääb suund samaks tehe mõjutab vektori pikkust. Miinus ühega korrutamisel ehk märgi vastupidiseks muutmisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub vastupidiseks. Näiteks:
Selleks sobib kitsa kursuse õpiku alguses olev lähtetest. Õpetaja otsustab klassi tasemest lähtudes, kas selle võib anda koduseks kordamiseks või on otstarbekam neid ülesandeid tunnis koos arutada. Edasi valib juba õpetaja, kas ta alustab lõigust ja selle keskpunktist või vektori mõistest. Lõigu keskpunkti koordinaatide leidmine tundub õpilastele alguses väga lihtne ja loogiline olevat, kuid pärast vektori koordinaatide tundmaõppimist leitakse keskpunkti asemel poolt vektorit. Sellisele põhimõttelisele veale tuleb tähelepanu juhtida ning minu arvates aitab, kui õpilane ise oma tehet suuliselt kommenteerib: "Leian lõigu AB keskpunkti K koordinaadid, selleks ....", mitte ,,Leian pool vektorist AB ". Vektori mõiste sissetoomisel tuleb rõhutada, et vektorit iseloomustavad kolm omadust: siht, suund ja pikkus. Selgitada tuleb sõnade ,,siht" ja ,,suund" erinevust. Kindlasti ei saa jätta
Märkus 13.3 Mistahes kahe punkti X, Y E poolt määratud lõiku saame tähistada kahel erineval moel XY või Y X. Esimesel kohal olevat tähte loeme lõigu alguspunktiks ja teisel kohal olevat tähte lõigu lõpp-punktiks. Seega XY ei tähista ainult lõiku otspunktidega X ja Y , vaid tähistab lõiku alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y . Definitsioon 13.2 Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, s.t. suund, nimetatakse suu- natud lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi XY abil. 114 13.1. Suunatud lõikude hulk Definitsioon 13.3 Seotud vektorit XX, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nime- tatakse seotud nullvektoriks. Märkus 13.4 Joonisele seotud vektori kandmisel joonistame teda määrava lõigu, tä-
Seega ahelreelgi järgi tuleks vektorite a ja b vaheks vektor a-b, mis saadakse a lõppu b vastasvektori b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile ehitatud rööpküliku lühem diagonaal. Selle suund on selline, et b+(a-b)=a. Kahe vektori summa ja vahe pikkused ja vektorite vahelised nurgad saab arvutada siinus- või koosinusteoreemi abil. Koordinaatidega antud vektorid, tehted nendega Olgu antud vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vektorit b kujul b = a1a1 + a2a2 +. . .+akak, kus a1, a2, . . , ak on reaalarvud, nimetatakse vektorite a1, a2, . . . , ak lineaarseks kombinatsiooniks. Kui vektor on esitatud mingite vektorite lineaarse kombinatsioonina, siis öeldakse, et ta on arendatud nende vektorite järgi. T1 Iga tasandi vektor on esitatav üheselt kahe mittekollineaarse vektori 1 ja 2 lineaarse kombinatsioonina, s.t = a11 + a22. T2 Iga ruumi R3 vektor on esitatav üheselt
vahelise lõigu pikkusega võetuna vastava märgiga. Jõu projektsioon on võrdne nulliga kui see on risti teljega. Jõu projektsioon on võrdne jõu mooduliga kui see on paralleelne teljega (sel juhul määratakse vaid õige märk) · Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks nimetatakse vektorit, mis jääb vektori alg-ja lõpp-punkti vahele sellel tasapinnal. See on vektoriaalne suurus ja võrdub nulliga juhul kui see on tasapinnaga risti. · Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel (vastava teoreemi põhjal)? 2 Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele ehitatud projektsioonide algebralise summaga.
⃗x · ⃗y = x1y1 + . . . + xnyn. Vektorvälja ⃗f divergentsiks kohal ⃗x nimetatakse järgmist skalaari: ∂ ∂ ¿ ⃗f ( ⃗x )= ⃗ ∇ ∙ ⃗f ( ⃗x )= f 1 ( ⃗x ) +…+ f ( ⃗x ) ∂x 1 ∂ xn n 22. Defineerida vektorkorrutis ja vektorvälja rootor. Kolmemõõtmeliste vektorite ⃗x = (x1, x2, x3) ja ⃗y = (y1, y2, y3) vektorkorrutiseks nimetatakse järgmist vektorit: ⃗x · ⃗y=(x 2 y 3−x 3 y 2 , x 3 y 1 −x1 y 3 , x 1 y 2 −x2 y 1) Vektorvälja ⃗f rootoriks kohal ⃗x nimetatakse järgmist vektorit: Kordamisküsimusi 4. teema kohta 1. Lineariseerida funktsioon y = f(x) punkti x = a ümbruses. Milline on lineaarse lähendi graafik? ∆y = f′(a)∆x + β . Asendame siin ∆x = x − a ja ∆y = f(x) − f(a). Saame f(x) − f(a) = f′(a)(x − a) + β . Avaldame f(x): f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + β
.n lähisvektorit Mis on intervall? Intervall on võrdse pikkusega kahendvektorite hulk võimsusega 2n. Iga hulgaelemendi jaoks leidub samas hulgas 2 täpselt n lähisvektorit. Millised järgud on intervalli olulised järgud? Intervalli olulisteks järudes on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtused on kõikidel vektoritel kogu intervalli ulatuses konstantne. Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga? Kui intervallis on 2n m-järgulist vektorit, siis on intervallil m-n olulist järku ja n mitteolulist järku. Millest koosneb intervalli vektoresitus? Kuidas ta moodustatakse? Koosneb sümbolitest 1 ja 0. Intervalli olulised järgud(ehk konstantsed) on tähistatud nendesamade konstantidega 0 ja 1 ning mitteolulised järgud sümboliga - . Mis on n-mõõtmeline boole ruum? See on kõikvõimalike n-järguliste kahendvektorite hulk {0,1}n võimsusega 2n.(pm kõik kombinatsioonid nt n=2, siis 4 kombinatsiooni, 00,01,10,11)
Skalaari mõiste. Korpuste näiteid. Korpuseks nimetatakse hulka K, kus on kaks tehet, + ja *, mis rahuldavad omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||; Lineaarsete tehete omadused geomeetriliste vektorite korral 1. liitmine on kommutatiivne, st + = + iga , V korral 2
GPU funktsioonid on olnud traditsiooniliselt väga piiratud. Palju aastaid oli GPU harjunud kiirendama teatuid osi graafikakonveieril. Mõningad parandused olid vajalikud, et GPGPU oleks teostatav. 2.1 Programmeeritavus Programmeeritavad vertex ja fragment shaderid lisati graafikakonveierile, mis võimaldab mängude programmeerijatel luua veelgi realistlikumaid efekte. Vertex shaderid võimaldavad programmeerijal asendada näiteks asukohta, värvi, tekstuuri koordinaate ja tavalist vektorit. Fragment shaderid võimaldavad programmeerijal asendada näiteks valguse mudelit. Shaderid on võimaldanud programmeerijatel luua objektiivi mõju, vastendamist ja teravussügavust. Konveieri programmeeritavuse arengusuund on käinud koos Microsoft DirectX arenguga(DirectX8: Shader mudel 1.1, DirectX8.1: Pixel Shader mudel 1.2, 1.3 ja 1.4, DirectX9: Shader mudel 2.x ja 3.0 ja DirectX10 Shader mudel 4.0). Iga shaderi mudel on
Sinc signaali kuju ühe perioodi ulatuses. Joonis 2. Sinc signaali spekter vahemikus 0...6 kHz. 2. Valge müra genereerimine ja kasutamine. Mürasignaali tekitamiseks samuti kasutasime Open Office Calc'it. Mürasignaali koostamiseks: Avasime tühi tööleht ja kirjutasime lahtrisse A1valem: ,,=2*RAND()-1".Kopeerisime valem kõigisse m-i lahtrisse. Valisime m = 1350. Nüüd on meil sobiliku pikkusega ühtlasele jaotusele U[-1,1] alluv vektor, kuid tarvis on saada normaaljaotusele alluvat vektorit. Selle saamiseks Kirjutasime lahtrisse B1 valemi: ,,=SIGN(A1)*NORMDIST(A1;0;0.33;FALSE)/1.209".Kopeerisime valem kõigisse m-i lahtrisse. Tulemuseks on pikkusega m massiiv mis allub tsentreeritud normaaljaotusele standardhälbega = 0,33 ja mille väärtused jäävad vahemikku ±1. Kopeerisime kõiki B tulba lahtrite sisu ning avasime Calc'is uus tööleht. Valisime uuel töölehel lahter A1, kasutasime ,,Paste Special...", pärast seda valisime ,,Paste Values"
Näe - välja tuli! Liikumisvõrrandi koostamine Seda võib mõista kaheti: võrrandit saab "kokku panna", kui on teada kiirendus (pole tähtis, kas konstantne või ajas muutuv) ning keha asukoht ja kiirus vähemalt ühel ajamomendil. Teine - ja hulka tõsisem - on ülesanne, kus liikumisvõrrand tuleb endal tekitada, lähtuvalt konkreetsest ülesandest. Aga see on rohkem teoreetilise mehaanika probleem ja siinkohal me sellega ei tegele. Niisiis: meil on antud kolm vektorit: ja me otsime liikumisvõrrandit kujul (1). Mis tähendab, et tuleb leida suurused: 2 kus indeks "0" tähistab vastava suuruse väärtust hetkel t = 0 . Kui mõni neist on ülesande algtingimustega antud, võime selle kohe "võrrandisse panna". Kui mitte, tuleb rehkendada. Teeme näiteks ülesande: Leida liikumisvõrand kui: Lahendit otsime kujul mis on "summa kolmest sirgliikumisest. Alustame x(t) leidmisest: Leiame kõigepealt algkiiruse seejärel juba algasukoha NB
Tõusu ja ühe punktiga määratud sirge võrrand Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt A(x1; y1) sirgelt, on y - y1 = k ( x - x1 ) . y A(x1; y1) 0 x Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirgega kollineaarset (paralleelset) vektorit. Kui on teada sirge sihivektor s = ( s1 , s2 ) ja mingi punkt A(x1; y1) sellelt sirgelt, siis saab sirge võrrandi esitada kujul x - x1 y - y1 = . s1 s2 y s A(x1; y1) 0 x Sirge üldvõrrand
See on tasakaalutingimus vektorkujul. 8. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: selleks, et kolm mitteparalleelset jõudu oleksid tasakaalus peavad nad paiknema ühes tasandis ja nende mõjusirged lõikuma ühes punktis. 9. Jõu moment telje ja punkti suhtes: Jõu pöördevõime sõltub jõu suurusest F ja õlast h. Jõu pöördevõimet iseloomustavat skalaarset korrutist Fh nimetatakse jõu momendiks telje suhtes. Jõu F momendiks punkti O suhtes loetakse vektorit M o(F), mis on risti jõudu ja punkti läbiva tasandiga ja mille moodul võrdub korrutisega Fh (kus h on jõuvektori mõjusirge kaugus punktist). 10. Märgireegel: Moment on positiivne, kui paremakäelist kruvi pöörates liigub kruvi telje positiivses suunas. Kui jõud ja telg asuvad samas tasandis, siis jõu moment telje suhtes võrdub nulliga. Mt(F)=F1h Mt(F2)= Mt(F3)=0 11. Jõupaari omadused: 1. Jäiga keha seisund ei muutu, kui asendada üks jõupaar teise samas tasandis mõjuva
(y+z) = (x+y)+ z (liitmise assotsiatiivsus), 3) leidub 0 V => 0+x=x (nullvektorite olemasolu), 4) iga elemendi x V leidub (-x) V => x+(-x)= 0( vastandvektor olemasolu) 5) 1*x=x ; 6) alf(bet x) = (alf*bet)*x (assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes) 7)alf( x+y) =alfx + alfy; 8) (alf + bet)x= alfx + betx; . Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Geomeetrilised vektorid on suunatud sirglõigud tasandil või ruumis. Iga vektorit iseloomustab tema siht, suund ja pikkus. Kaks vektorit a ja b on võrdsed, kui nad on paralleelsed, samasuunalised ja sama pikad, st. iga vektorit võib kanda ruumi mistahes punkti. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektoreid a1,a2,... , an nim sõltuvatex, kui alf1*a1+ alf2*a2+ ...+ alfn*an= SUM( i=1; n)alfi*ai= 0 kusjuures vähemalt üx kordaja ai ei= 0, ja sõltumatutex, kui a1+ alf2*a2+ ...+ alfn*an= SUM( i=1; n)alfi*ai= 0 kehtib vaid siis, kui kõik kordajad ai on nullid
Olgu antud funktsioonid w = f ( u , v,...) , u = u ( x, y , z ,...) , v = v( x, y , z ,...) , ... Siis wx = wu u x + wv v x + ... w y = wu u y + wv v y +... wz = wu u z + wv v z + ... ... wu, wv, ... leidmisel on u, v, ... seast üks vastavalt muutuja (ülejäänud konstandid). Gradient Olgu antud funktsioon u = u ( x, y, z ) . ( Funktsiooni u gradiendiks grad u nim. vektorit grad u = u x , u y , u z . ) Funktsiooni u gradiendiks punktis P0 nim. vektorit grad u ( P0 ) = ( u x ( P0 ); u y ( P0 ); u z ( P0 ) ) . Tuletis antud suunas Olgu antud funktsioon u = u ( x, y, z ) ja ruumivektor s . s
.), Tehted skalaaridega on nii nagu tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada kahe vektoriga, mille summa annab esialgse vektori. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage taustsüsteem, kohavektorid ja nihkevektor koos tähistustega. Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16. Mis on hetkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt?
Vastus: Auto võtmed on maetud 12,74m kaugusele ja 39⁰ põhjast läände (51⁰ läänest põhja) 4. Lennuk lendab 10.4 km läände, 8.7 km põhja ja 2.1 km üles. Kui kaugel on ta lähtepunktist? Lahendus: Kujutame selle lennuki teekonda ette vektorina ja tema komponentidena = 10,4 km, = 8,7 km, ja = 2,1 km . Vektori A pikkus leiame järgmiselt Vastus: Lennuk on oma lähepunktist 13,7 km kaugusel 5. Antud on kaks vektorit: ja Leida vektori pikkus. Lahendus: = 2(6i+3j-k)-(4i-5j+8k)= 8i+11j-10k √ = 16,88 Vastus: vektori F pikkus on 16,88 6. Antud on kaks vektorit. Esimese vektori pikkus on 4.00 ja ta on suunatud 53.0˚ x- teljest vastupäeva. Teise vektori pikkus on 5.00 ja ta on suunatud 130.0˚ x-teljest vastupäeva. Leida nende vektorite skalaarkorrutis. Lahendus: Joonis.
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTOR. VEKTORI KOORDINAADID. VEKTORI PIKKUS Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. Vektorit iseloomustavateks suurusteks on siht, suund ja pikkus. Kui suunatud sirglõigu ehk vektori alguspunkt on A ja lõpppunkt B, siis sellist vektorit tähistatakse AB . Vektoreid tähistatakse sageli ka ühe väiketähega, näiteks a ning harvadel juhtudel mõnes õpikus või teatmeteoses ei märgita tähele noolt peale, siis tähistatakse vektor nii: a. Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Kui vektori alguspunkt on y2 – y1 ja
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed vektoriaalsed (neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks kindel arv) arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) pikkus kiirus vanus kiirendus mass jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgit...
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed vektoriaalsed (neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks kindel arv) arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) pikkus kiirus vanus kiirendus mass jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgit...
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed vektoriaalsed (neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks kindel arv) arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) pikkus kiirus vanus kiirendus mass jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgit...
ajavahemikus läbis · Ühtlaseks liikumiseks nimetatakse sellist liikumist mille korral keha läbib mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused. · Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille korral keha läbib mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused kusjuures trajektooriks on sirge. · Vektoriks nim sellist füüsikalist suurust, mida lisaks arvväärtusele iseloomustab ka suund · Nihkevektoriks nim vektorit ehk suunatud sirglõiku mis ühendab keha algasukoha keha lõppasukohaga ning ta on suunatud lõppasukoha poole. · V= s/t ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruseks nim füüsikalist suurust, mis on võrdne keha poolt sooritatud nihke ja selle nihke sooritamiseks kulunud ajavahemiku suhtega. · SI-s on kiiruse ühikuks võetud sellise ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus, mille korral
6.Vektorkorrutise definitsioon. Teoreem vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta). Segakorrutise definitsioon. Vaatleme kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis vektoreid = ( a1 ; a2 ; a3 ) , = ( b1 ; b2 ; b3 ) , mis on antud koordinaatidega xyz-teljestikus. Def. 1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega a a a a a a × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . (1) b2 b3 b1 b3 b1 b2 r r r
Jõu projektsioon teljele on skalaarne suurus, mis on võrdne jõu vektori algus ja lõpppunktide projektsioonide vahelise lõigu pikkusega võetuna vastava märgiga. Kui jõud on paralleelne teljega, siis ta nõuab ainult õiget märki. Kui jõud on risti teljega, siis projektsioon on null. 37. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks tasapinnale nim vektorit, mis jääb vektori alg ja lõpppunktide projektsioonide vahele sellel tasapinnal. Erinevalt jõu projektsioonist teljele on jõu projektsioon tasapinnal vektoriaalne suurus. Null on siis, kui jõud on tasapinnaga risti. 38. Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele võetud projektsioonide algebralise summaga. 39. Sõnastada teoreem kolme jõu kohta.
Jõu projektsioon teljele on skalaarne suurus, mis on võrdne jõu vektori algus ja lõpppunktide projektsioonide vahelise lõigu pikkusega võetuna vastava märgiga. Kui jõud on paralleelne teljega, siis ta nõuab ainult õiget märki. Kui jõud on risti teljega, siis projektsioon on null. 37. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Jõu projektsiooniks tasapinnale nim vektorit, mis jääb vektori alg ja lõpppunktide projektsioonide vahele sellel tasapinnal. Erinevalt jõu projektsioonist teljele on jõu projektsioon tasapinnal vektoriaalne suurus. Null on siis, kui jõud on tasapinnaga risti. 38. Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele võetud projektsioonide algebralise summaga. 39. Sõnastada teoreem kolme jõu kohta.
14 V. Vektorruumid = : Kui v~ordusest 1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0 siis ei leidu nullvektoriga v~ orduvat mittetriviaalset lineaarkombi- natsiooni. Seega VS {v1 , . . . , vn } on lineaarselt s~ oltumatu. 4.13 Lineaarse s~ oltuvuse tunnus Teoreem 21. VS, mis sisaldab v¨ ahemalt kahte vektorit, on li- neaarselt s~ oltuv parajasti siis, kui s¨ usteemis leidub vektor, mis avaldub u ¨lej¨ a¨anute LK-na. oestus. = : Olgu VS {v1 , . . . , vn2 } lineaarselt s~ T~ oltuv. Siis lei- dub nullvektoriga v~ orduv mittetriviaalne LK 1 v1 + 2 v2 · · · + n vn = o mittetriviaalne LK Olgu n¨aiteks 1 = 0
regioonis. On igati loomulik, et laineenergia voog on suurim Läänemere avaosas ja märksa väiksem poolsuletud Soome ja Riia lahtedes. Eelpool toodud analüüsis ja joonisel 5 on võrgupunktide ning neile vastavate rannalõikude keskmise energiavoo arvutustes aluseks võetud lained, mis saabuvad vaadeldavasse rannalõiku mere poolt ning ei ole arvestatud laineid, mille langemisnurk γ on olnud suurem kui 90 kraadi (valem (15)): P=Pscosβ=ρgHs2cgcosβ, kus Ps tähistab energia voo vektorit. Joonis 5. Laineenergia pikaajaline keskmine ranna poole suunatud voog Läänemere idaosas, Soome lahes ja Riia lahes ajavahemikus 1970−2007. 3.VÕRDLEMINE Võrdlemaks, kui suur on mistahes suunast saabuva laineenergia ressurss üksikutes võrgupunktides, on tabelis 2 toodud võrdlus nelja võrgupunkti kohta, mis esindavad ülal kirjeldatud nelja rannaosa. Punkt 24 asub Leedu ja Läti piiri lähistel, punktis 73 ilmneb kõige
6-ringjoone pikkuse im telje suhtes, mis läbib keskpunkti risti ringi tasapinnaga (I=mR 2) Trajektoor- joon, mille kujundab liikuv punkt (kõverjooneline ja sirgjooneline liikumine) Normaalkiirendus-an kiirenuduse normaalsihiline komponent, mis on suunatud mööda trajektoori normaali tema kõverustsentri poole. Puutekiirendus-at kiirenduse puutujasihiline komponent , mis kujutab endast vektorit, mille suurus võrdub absoluutväärtuselt kiiruse suuruse tuletisega aja järgi. Nurkkiirus-rad/s ühtlane liikumise kiirus w=fii/t Ühtlaselt muutuv: hetkkiirus: w=w0+t teepikkus: fii=wt+t/2 Translatoorne liikumiseks nim jäiga keha niisugust liikumist, mille juures iga sirge, mis ühendab keha kaht punkti jääb liikumise ajal paralleelseks oma algasendiga
. . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +...+ umvm) · Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis. (anfiinne ruum on ruum, mille punktidel defineeritud vektorite hulk moodustab vektorruumi) · Cauchy-Schwartzi võrratus |u * v| | u || v | · Teljeks mitmemõõtmelises ruumis Rm nim
resultant olema 0 ehk F=0 (NB! kui kiirendust pole järelikult ka liikumist pole; m0) b) geomeetriline: Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et nendest jõududest ehitatud jõuhulknurk oleks kinnine, ühtse ümberkäigu suunaga. c) [F]=(Fx)2+( Fy)2+( Fz)2 - kõik need summad peavad =0 siis on ka jõu moodul 0 12. Jõu moment punkti suhtes. Jõu moment telje suhtes. A)Punkti suhtes (märgiga suurus) DEF: Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M0(F)=r x F. Vektor M0(F) on risti tasapinnaga, mis moodustub tegurvektoritest r ja F. Vektor M0 on suunatud sinnapoole, kustpoolt vaadatuna vektori r pööre mööda lühimat teed F poole, on näha toimuvana vastupäeva. NB! kummat pidi kruvi keerame, selles suunas määratud suund alla või üles=> kummat pidi lühem tee seda pidi kruvi keerame
. . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +...+ umvm) · Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis. (anfiinne ruum on ruum, mille punktidel defineeritud vektorite hulk moodustab vektorruumi) · Cauchy-Schwartzi võrratus |u * v| | u || v | · Teljeks mitmemõõtmelises ruumis Rm nim
{ e1 ; e2 ; e3 }.....9 aksioomi ... ( x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 ) x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 [ f (e1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e1 ] A = [ f (e2 ) ] = ( a21 a22 a23) [e2 ] [ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. Aksioom3 Nullvektorist erinevat vektorit x nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x ) = x . Vektorarvutus Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused, mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks. Aksioom1 Eksisteerib vähemalt üks punkt. Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor.
Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,..., En ja olgu n reaalaru 1, 2, 3, ..., n. vektorite lineaarkombinatsioon 1 E1 + 2 E2 + 3 E3 + ... + n En = 0 (*) Def1 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..., En on lineaarselt sõltuvad, kui võrdsus (*) kehtib vähemalt ühe nullist erineva kordaja k korral. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kui vähemalt ühte neist on võimalik avaldada ülejäänute kaudu ( ülejäänute lineaarkombinatsiooni kaudu). Def2 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..
füüsikaliste objektide kvantitatiivseid omadusi. Füüsikalised objektid ja suurused • Füüsikalised suurused: • - skalaarsed (esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga, arvuline väärtus, suund puudub) Füüsikalised objektid ja suurused • - vektoriaalsed (ruumilist suunda ja sihti omavad füüsikalised suurused, iseloomustab nii pikkus kui ka suund ja siht) Vektorid Vektorid Vektorid • Mis iseloomustab vektorit • Samasihilised, vastand-, võrdsed vektorid. • Vektori moodul • Vektorite esitamine, koordinaadid, graafikusse joonestamine • Vektori pikkus • Vektorite liitmine ja lahutamine (kolmnurga ning rööpkülikureegli järgi) • Nullvektor • Vektori korrutamine arvuga, skalaarkorrutis, projektsioon (ei küsi KT-s) ning vektorkorrutis Vektorid • Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, mida iseloomustavad:
pikkusega lõigu ka teisi bände. Kui aga geelil õige pikkusega bänd puudub, võib arvata, et puhastamise käigus on PCR-i produkt kadunud. Minu proov asub kolmandas positsioonis. Kontrollgeelilt on näha üks õige pikkusega (um 300 bp) lõik, mis näitab, et puhastamine on õnnestunud. Geeli analüüsil selgus, et inserdi kontsentratsioon oli umbes 13,7 ng/l. Kuna vektori ja inserdi pikkuste suhe 3851/330=11,7. Kuna vektorit oli 9 ng, saame leida vektori ja inserdi koguste suhte: (13,7*11,7)/9=17,70. See suhe on küllaltki sobiv. 3. Rekombinantse plasmiidi ligeerimine a) Kasutasime pSTBlue-1 vektorit, mis sisaldab kahte replikatsiooniks vajalikku origini (üks kummaski suunas), ampitsilliini ja kanamütsiini resistentsusgeeni ja lacZ operoni, mille lugemisraami sisestame oma inserdi. See võimaldab sini-valge meetodil välja
Tooge näiteid erinevate andmetüüpide kohta. Et näha ruumiandmete erinevaid vorme ja nende ruumilisi vahekordi, siis on tegemist ruumiandmete geomeetriga. Rasterkujul on ruum jaotatud kindla suurusega ruutudeks. Ühte ruutu nimetatakse piksliks. Igal pikslil on rasterkujuliste andmete korral kindlad geograafilised koordinaadid ning atribuutide informatsioon. Vektorkujul edastatakse kaardiobjekte koordinaatide kaupa. Vektorit iseloomustab geograafiliste andmete algus- ja lõpp-punkt ning suund. 11. Mis vahe on raster- ja vektorandmetel? Milliste andmete puhul on hea kasutada vektor- ja milliste puhul rasterandmeid? Mis on atribuutandmed ja milleks neid kasutatakse? Mis on metaandmed ja milleks neid kasutatakse? Tooge näiteid. Rasterandmed: erinevate pikslite kogumik, kasutatakse kattuvusülesannete
ehk skalaari. Igale määramispiirkonna punktile vastab skalaar. Seega saab kahe muutuja funktsioonist kõneleda kui skalaarväljast. Kolme muutuja funktsiooni u=(x,y,z) seab igale ruumi punktile M(x,y,z) funktsiooni määramispiirkonnast V vastavusse skalaari, st. piirkonnas V tekitab kolme muutuja funktsioon skalaarvälja. Skalaarvälja z=f(x,y) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Skalaarvälja u=f(x,y,z) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Esimesel juhul tekib tasandi mingis punktihulgas ja teisel juhul ruumi punktihulgas vektorväli, mida nim. gradientide väljaks. Teoreem 13.1. Funktsiooni z=f(x,y) tuletis vektori s suunas võrdub gradientvektori projektsiooniga vekroti s suunale. Järeldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. Järeldus 1 on ilmne, sest antud juhul =/2. Järeldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega. Põhjenduseks piisab märkida, et
Liikuvate laetud osakeste ümber on magnetväli. Magnetväli ümbritseb vooluga juhti. Selliseid magneteid nimetatakse elektromagnetiteks. Elektrivälja võivad tekitada elementaarlaengud. Magnetväli on iga osakese põhiomadus nagu mass ja elektrilaeng. Kui teatud materjalides elektronide magnetväljad liituvat, ümbritseb materjali magnetväli. Selliseid materjale nimetatakse püsimagnetiteks. Magnetvälja iseloomustab magnetvälja vektor B . Vektorit B nimetatakse magnetilise induktsiooni vektoriks, ühik Tesla. Magnetvälja saab kujutada jõujoonte abil. Magnetvälja jõujooned väljuvad magneti põhjapooluselt ja sisenevad lõunapoolusel. Magneti erinimelised poolused tõmbuvad ja samanimelised tõukuvad. Maa kujutab endast püsimagnetit. Magnetvälja tekkeprotsess pole veel lõpuni uuritud. Maa magnetvälja jõujooned väljuvad geograafilise lõunapooluse lähedal, kus on magnetiline lõunapoolus.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
