Ülesanded vihikust. 13. Tõkestatud jadad (ülalt/alt tõkestatud jada, tõkestatud jada). Monotoonsed jadad. Osajada mõiste. Öeldakse, et jada (x ) on n tõkestatud , kui leidub selline arv M > 0, et |xn| ≤ M (n ∈ N). Tõkestatud jada tähistatakse O(1). Öeldakse, et jada (x ) on n ülalt tõkestatud, kui leidub selline arv M > 0, et xn ≤ M (n ∈ N). Ülalt tõkestatud jada tähistatakse O (1). R Öeldakse, et jada (x ) on n a lt tõkestatud, kui leidub selline arv m > 0, et xn ≥ m (n ∈ N). Alt tõkestatud jada tähistatakse O (1).
*Tõestus: Fikseerime . Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud n1, n2 N nii, et: n > N1 Xn U(a) - < Xn < a+ n > N2 Yn U(a) - < Yn < a+ Kui N= max(n1; n2),siis vastavalt eeldusele n>N korral - < Xn < Zn < Yn < a + Zn U(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab 7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0). *Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud. *Tõestus: a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada. b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud. 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano- Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a
2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste.
kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega <, mis rahuldab järgmisi tingimusi: (Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 4) Geomeetriline mudel – arvsirge (üksühene vastavus reaalarvude ja arvsirge punktide vahel) – Arvsirge on reaalarvude hea geomeetriline mudel. Positiivsele arvule a seame arvsirge positiivsel poolel vastavusse punkti, mille kaugus nullpunktist on a, negatiivse a puhul fikseerime arvtelje negatiivsel poolel punkti kaugusel −a
||λf|| = sup||λ[f(x)]|| = sup||λ[f(x)]|| = |λ|sup||f(x)||=|λ| ||f|| - 2o x∈X x∈X x∈X ja selle PV on arv, siis üldliige xn esitatav kujul xn=a+yn, kus yn PV=0; 10)iga ülalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada on koonduv; 11)igast tõkestatud jadast saab ||f +b|| ≤ sup||(f + b)x|| ≤ sup||fx+bx|| ≤ sup(||fx||+||bx||) ≤ sup||fx||+sup||bx|| ≤ ||f|| +||b|| eraldada koonduva osajada; 12)jadal {xn} lõplik PV, kui iga pos. arvu ε korral leidub -3o naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p korral n→n0 |xn+p -xn|<ε(cauchy); x∈X x∈X x∈X x∈X x∈X
Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused
x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid.
3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN}
* parameetriline: y=g(t) , punktitabel X1 ⊂ X x ∈ X1 Ülalt tõkestatud: hulgal , kui leidub arv M, et iga korral kehtib t t0 … tn f ( x )≤ M x f (t 0 ) … f (t n ) .
[a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ . 2. Darboux ülem-ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos. Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [ ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja ja ning me saame defineerida Darboux’ ülemsumma: ̅ (f)=∑ ja Darboux’ alamsumma: (f)=∑ . Riemanni integraal ∫ eksisteerib parajasti siis, kui ̅ (f)) = 0. Sel juhul
igale väärtusele tema muutumispiirkonnas vastavusse suuruse y=tanx pööramisel ahendatakse X[- 2 ; 2 ] YR definitsioonid omavahelisest seosest. Tõkestatud funktsiooni definitsioon. Sõnastada y ühe kindla väärtuse. Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest.
rakuseina pidurdub, penitsilliiniresistentne S. pneumoniae, Eestis 1. -laktaamid (struktuuris - peptidoglükaan ei seondu vähe). 3. Ravimi influks läbi poriinide laktaamring) rakuseinaga, vaid väljub tõkestatud / aktiveeritakse autolüütilised bakterirakust. Võib aktiveerida ensüümid. autolüütilisi ensüüme > bakteri lüüs. 2. Tsefalosporiinid: sarnased penitsilliinidele,
osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse . 9.Darboux ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos. Definitsioon Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse n igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida x[xi-1;xi ] x[xi-1;xi ] Darboux' ülemsumma Darboux' alamsumma 10. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine (variant1 Tambergi oma) Lause Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) . Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud.
(PD) T.1. (Heine teor.)Arv on funi w=f(P) piirv kohal A parajasti siis, kui on tõene järgmine implikatsioon lim nPn=A (PA,PnD) => lim f(Pn)= Def.8 Öeldakse, et fun w=f(P) on pidev kohal A kui on täidetud tingimus lim P-A f(P)=f(A). T.2. Fun w=f(P) on pidev kohal A kui kehtib lim P-A f(P)=f(A) ehk kui lõpmatult väikesele argumendi muudule vastab lõpmatu väike funktsiooni muut kohal A. T.3. (Weierstrasi teor.) Kinnises tõkestatud piirkonnas D pidev fun w=f(P) on tõkestatud (st. Leidub m ja M nii, et mf(P)M iga PD korral) T.4. (Weierstrasi teor) Kinnises tõkestatud piirkonnas D pideval funil w=f(P) on olemas ekstremaalsed väärtused. T.5. Kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas pidev fun. w=f(P) omab iga väärtust oma ekstremaalsete väärtuste vahel. Def.9 Suurust F'(a) nim funi z=f(x,y) osatuletiseks muutuja x järgi kohal A=(a,b) ja tähist. f'x(a,b)=f'x(A)=limh-0{[f(a+h,b)- f(a,b)]/h} Def
funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev(monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav(monotoonselt kahanev funktsioon) DEF 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nim. funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. DEF 12. Funktsiooni f nim. ülalt tõkestatuks (alt tõkestatuks) funktsiooniks hulgal X1c X, kui leidub selline reaalarv M (m), et iga x X1 kehtib võrratus f(x)M (mf(x)). Funktsiooni f, min on nii ülalt kui alt tõkestatud hulgal X1, nim. tõkestatud funktsiooniks hulgal X1. DEF 13. Funktsiooni y=f(x) (x c X) pöördfunktsiooniks nim. funktsiooni x=f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y=f(x) DEF 14. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) (xX) on esitatud võtrrandi F(x;y)=0 abil ilmutamata kujul , kui iga x korral X kehtib F(x; f(x))=0 DEF 15. Funktsionaalse sõltuvuse y=f(x) (xX) esitust kujul x=(t) ja y=(t) (tT), kus (T)=X ja iga t korral T kehtib (t)=f((t)) nim
hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| |
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c
1.Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused.
integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse ∫ f ( x ) dx . ∫ f ( x ) dx (c ∈R ). a Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse пn igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud 5.Muutujavahetus.Muutujate vahetus määramata integraalis, valemi tuletamine. ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida
ehk Riemanni integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse . Märkused: a b, siis a = b, siis Lause1 Igal lõigul konstantne funktsioon on sel lõigul integreeruv, kusjuures ja . Tõestus. Olgu c konstant ja f(x) = c ( x [a; b]). Et igal lõigul [ a; b] tükelduse ja punktide i valiku korral saame , siis . Lause2 (integreeruva funktsiooni tõkestatus). Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sel lõigul, st f(x) I [a; b] f(x) = O(1) ( x [a; b]). Tõestus. Olgu f(x) I [a; b]. Eeldame vastuväiteliselt, et funktsioon f(x) ei ole tõkestatud sel lõigul. Siis lõigu [a; b] iga tükelduse korral pea leiduma osalõik [xk-1, xk], milles funktsioon f(x) ei ole tõkestatud. Kui punktid i (i k) on fikseeritud ja k esialgu fikseerimata ning , siis , kus . Kui K on mingi suvaline positiivne arv, siis
.., xk-1 , c ja 2 on lõigu [, ] tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. = () () () = = () = () + = () + [a,b] ja seda tähistatakse (). Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame () [, ] = () Eelnev tehnika on lühidalt esitatav kujul, mida nimetatakse diferentsiaali märgi alla () = (1) ( [, ]), () [, ] () = (1) ( [, ]), Millest 9). (Darboux ülem- ja alamsummad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Integreeruvad funktsioonid 106 5.1 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Riemanni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Integreeruvus osalõigus. Integraali aditiivsus . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.2 Integraali tehetega seotud omadused . . . . . .
Suuruse miinus lopmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M), kus M > 0. tahistatakse infX. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, Pidevuse aksioom: Igal ulalt tökestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. funktsioonid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad Weierstrassi teoreem: Loigul [a, b] pidev funktsioon f(x) on tokestatud sellel lõigul st. selle funktsioonid. funktsiooni väärtuste hulk sellel lõigul Y = {f(x)| x ∈ [a, b]} on tokestatud.
1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline
rahuldavad võrratust x < - M . Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa
2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned.
arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a|<, ja ei asetse a-st vasakul, st xa. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M,) siis ja ainult siis, kui x>M. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M>0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M) siis ja ainult siis, kui x<-M. Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. 2. Jäävad ja muutuvad suurused Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Muutumispiirkonna mõiste Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste
y = -2x + 1 6 Tõkestatud funktsioonid Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A ülalt tõkestatuks, kui leidub reaalarv k', nii et f (x) k' iga x A korral, ja alt tõkestatuks, kui leidub k" nii et f (x) k" iga x A korral. Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. y = x2 y = sin x tõkestatud funktsioon y = sin x y = x2 tõkestamata funktsioon (küll aga alt tõkestatud) 7 Pöördfunktsioon Olgu funktsiooni y = f (x) määramispiirkond X ja muutumis- piirkond Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X, nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon
I kontrolltöö 1. + Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratus. Tähistamine suure tähtega, aga elemendid väike tähtega. + Järjestetud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. + arvuhulgad ? + Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a; b), lõigud [a; b] ja poollõigud [a; b), (a; b]. + Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui .
... Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k 1, nii et a = b, 1 = 1, ..., k -1 = k -1 , k > k. Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid. 2. Reaalarvude hulga ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R). Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et x m iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Hulka X, mis on tõkestatud nii alt kui ülalt, nimetatakse tõkestatud hulgaks. Ülalt tõkestatud hulga vähimat ülemist tõket nimetatakse selle hulga ülemiseks rajaks ning tähistatakse sup X.
Ande Andekas Matemaatika Geomeetriline jada Jada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis on konstantne nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Kui leiduvad arvud a ja b nii, et jada liikmed an asuvad iga n korral lõigus [a;b] siis nimetatakse jada (a n) tõkestatud jadaks. Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadast järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad nullist kuitahes vähe. Selliselt juhul on |q| < 1 või |q| > -1. an = aa * qn-1 Sn = a1 (qn 1)/q 1 S = a1/1 q a jada liige n liime arv q jada tegur Sn jada esimese n liikme summa S hääbuva jada esimese n liikme summa
n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud hulk R, koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest 2. Tähtsamad reaalarvude hulgad (lõik, vahemik, poollõik). Hulga X R ülemine ja alumine raja. Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R). Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et x m iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Hulka X, mis on tõkestatud nii alt kui ülalt, nimetatakse tõkestatud hulgaks. Ülalt tõkestatud hulga vähimat ülemist tõket nimetatakse selle hulga ülemiseks rajaks ning tähistatakse sup X.
Koormused Tarindile mõjuvad väliskoormused · Alalised koormused · Ajutised koormused · Staatilised koormused · Dünaamilised koormused · Kohtkindel ehk liikumatu koormus · Liikuv koormus (autosild, kraanatee) Tarindite toed Toed jagunevad · Jäigad tõkestab liikumist täielikult (liigendite vahekaugus muutumatu) · Elastsed kujutatakse vedruna Ühesidemeline tugi · Ehk liikuv tugi tõkestatud on vertikaalne liikumine ehk siire (pööre ja ristsuunas liikumine vaba)
Täpsemalt Saara soo loodeservas, Roela aleviku lõunapoolsest servast 2 km lõunakagu pool. Suudme eel voolab jõgi läbi Kunda linna idaosa ja suubub linnast 2 km põhja pool Kunda lahte. Kunda on ka kalanduslik väga hea jõgi kuna seal koevad lõhed. Looduslike eelduste poolest on Kunda jõgi lõhelistele üheks parimaks elupaigaks Eestis, kuid jõe suurepäraseid eeldusi on kahjustanud jõele rajatud paisud. Seetõttu on hävinud suurem osa jõe alamjooksu väga headest kärestikest ning tõkestatud siirdekalade rändetee jõe kesk- ja ülemjooksul olevatele kudealadele. Jões püsivalt elunevate jõeforelli ja harjuse eluala on aga paisudega tükeldatud reaks piiratud ulatusega jõelõikudeks ning seeläbi on ühe arvuka ja elujõulise asurkonna asemel jões mitu vähearvukat ning ohustatut.
on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. o Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. o Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. · Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). 2. · Jäävad ja muutuvad suurused. o Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. o Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. · Muutumispiirkonna mõiste. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse
on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. o Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. o Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. · Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). 2. · Jäävad ja muutuvad suurused. o Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. o Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. · Muutumispiirkonna mõiste. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse
Välised kontaktid: Enesekontroll: Tarbijakaitseamet Kaitseb tarbijat Tuleohutus Kontroll, et evakuatsiooni pettuse, ebausa ja agressiivse kauplemise teed ei oleks tõkestatud ning tagatud oleks Mitmekesisus: Individuaalsed: d Ametijuhend, kus on määratud töö Töö ülesanded, mis on usaldatud ettevõtte ülesanded. kaupluse töötajale ning teatud määral ka
eksisteerib suvalise kuitahes vÄikese positiivse arvu korral selline suuruse väärtus nii, et kõik -le jÄrgnevad väärtused rahuldavad võrratust|| < . Kuna viimases lauses võib " olla suvaline positiivne arv, saame me valida = . Siis kehtivad kõigi -le jÄrgnevate väärtuste korral jÄrgmised seosed: || < ||M < 1 1| |> M | | > M ||> M M = nÄeme, et kõik -le jÄrgnevad _ väärtused rahuldavad võrratust || > M. Seda oligi vaja tõestada. Suurus on tõkestatud, kui kõik suuruse väärtused kuuluvad mingisse lõplikku vahemikku (a, b). Teoreem 2.2. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõestus. Olgu lõpmatult kahanev ja tõkestatud. Me peame nÄitama, et sellisel juhul on = * samuti lõpmatult kahanev, st 0. Vastavalt definitsioonile tuleb nÄidata, et suvalise kuitahes vÄikese positiivse arvu korral leidub selline suuruse väärtus nii, et kõik -le jÄrgnevad
11. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon, I ja II liiki katkevuspunktid). Definitsioon: kui funktsioon ei oled pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks Esimest liiki katkevus punktid: funktsioonil on olemas ühepoolsed piirväärtused Teist liiki katkevuspunktid: kõik ülejäänud katkevuspunktid 12. Pideva funktsiooni omadused (teoreemid lk 12-13). Weierstrass teoreem: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus Weierstrass teoreem: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus Bolzano-Cauchy teoreem: lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuse vahel Teoreem: Lõigus {a,b} pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) pöördufunktsioon on pidev lõigus otspunktidega f(a) ja f(b). 13. Funktsiooni tuletis (definitsioon). Selle füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus
perioodiks. Monotoonsed funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas · Kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b) · Monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b) · Kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b) · Monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b) Tõkestatud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatud funktsiooniks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 2. Liitfunktsioon, pöörfunktsioon, elementaarfunktsioon. o Pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) (x X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f-1 (y), mis igale arvule y Y = y (X) seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid
· Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0 · Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetame hulka (-,-M), kus M>0 · Hulka A nimetame tõkestatud hulgaks, kui A on määratud lõplikus vahemikus (a,b) 2. · Jääv suurus on suurus mille väärtus ei muutu · Muutuv suurus on suurus, millele võib omastada erinevaid väärtuseid · Muutumispiirkonnaks nimetatakse muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka · Funktsiooniks nimetatakse kujutist mis seab x väärtusele tema muutumispiirkonnas vastavusse kindla y väärtuse
lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x ei
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse
Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim ||= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x-> a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x- > a, kus x ei üvõrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt P = (x; f(x)) uhele ja samale punktile A = (a; b). Seda on kujutatud joonisel 2.2.
Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30. ruudu pindala 900, n-nda ruudu pindala on n² JADADE LIIGITUS Jadad Tõkestatud Tõkestamata Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud Tõkestamatult kasvavad Muud Tõkestamatult kahanevad JADAD Näited Tõkestatud jada hääbuv jada 1,½,,¼,..., konstantne jada 3,3,3,...,3,... Tõkestamata jada 6-ga jaguvad naturaalarvud
st vasakul, st x a. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M,) siis ja ainult siis, kui x > M. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kusM > 0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M) siis ja ainult siis, kui x < -M. Tõkestatud hulga definitsioon- Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Tõkestatud hulgad on kõik lõplikud vahemikud (a, b), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud (-, a), (a,) ja lõpmatud poollõigud (-, a], [a,). 2. Jääv ja muutuv suurus- Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka
8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis
8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis
Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mitte-negatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi: |x|=-x, kui x<0 |x|=x, kui x>=0 Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus. Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x). Funktsiooni muutumispiirkonnaks nimetatakse vastavalt määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
