iga a,b X korral |f(a) f(b)| |a-b|. 25*(Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised) Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui viimane suvaliselt läheneb nullile. Seega definitsiooni põhjal saame: f'(x)= . Tuletist tähistatakse f'(x). Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk f'(a+)= ning f'(a-)= . 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse
lõigus [a,b] tõkestatud ningpuudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal. 22).(Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks). Kui funktsioonide () ja () tuletised on integreeruvad lõigul [, ], siis = 1. Algfunktsiooni definitsioon. M¨a¨aramata integraali definitsioon. M¨a¨aramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali p¨o¨ordoperaator. 2
MATEMAATILINE ANALÜÜS I Kui leidub punkt * lõigult , nii, et iga teise punkti korral samalt lõigult kehtib võrratus ! * ! , siis nimetatakse arvu ! * funktsiooni ! vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul , . 14) Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni ! tuletis punktis on defineeritud: ! ! !a lim ,+ Kui funktsioon ! omab punktis lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 15) Funktsiooni diferentsiaali definitsioon
Faasi arvestus algab laineallikast vaatluse alghetkel. Lainefront on laine levimisel ainult üks, samafaasipindu aga mitu. 73. Lähtudes joonisest, tuletage laine levikut kirjeldav võrrand. Järelikult see võrrand on: 74. Lähtudes konstantse faasi tingimusest laines, tuletage faasikiiruse valem. Aja järgi tuletis sellest on: 75. Mis on lainevõrrand? Lähtudes laine levikut kirjeldavast võrrandist, tuletage see. (Näpunäide: alustuseks leidke teist järku tuletised aja ja koordinaadi järgi ning seejärel ellimineerige võrranditest faas). Lainevõrrand on võrrand, mille lahendiks on lainet kirjeldav võrrand. Lahendus: x = x0 sin(t - k r ) 76. Mis on lainete interferents? Millised lained on koherentsed? Koherentsed on lained, millede faasivahe igas ruumipunktis on jääv.Koherentsete lainete liitumisel tekib ajas ja ruumis püsiv häiritus, mida nim interferentsiks ehk võnkumiste tugevnemine või nõrgenemine. 77
Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP
., y ),kus x-sõltumatu muutuja,y=y(x) otsitav funkt ja y’.. ' n x , y , y , .. y on otsitava fun tuletised.Lahendiks y=y(x)>y=y(x,C1,C2,..,Cn). Normkuju: y =f ¿ , (n ) y (n−1) ¿(1) . Algtingimused y( x 0 ¿= y 0 ; y( x 0 ¿= y 0 ' ; y n−1 ( x 0 ) = y 0n−1 (2) Nii mitu konstanti kui suur on DV järk. x 0 , y 0 , y '0 , .
Nt balzaclik, goethelik, kreutzwaldlik, mozartlik, hollywoodlik, thatcherism, aristotellus, philadelphlane, gogollik. Ülakomaga saab toonitada nime ja liite piire. Eriti kasutatakse seda siis, kui 1) Kirjapilt ja hääldus on üsna erinevad, nt bordeaux'lane, cannes'lane, poe'lik, watteau'lik 2) Ei taheta rakendada eesti konsonantühendi kirjutamise reeglit, nt faehlmann'lik, bonn'lane, mutt'lik, artur-kapp'lik Mitmesõnalistest nimedest saadud tuletised võib kirjutada kokku või panna loetavussidekriipsu: newyorklane, riodejaneirolane, rocca-al-marelane. Eesti sidekriipsuga kohanimedest tehtud tuletised kirjutatakse kokku: lõunaeestlane Ainult kõige üldtarvitatavamates võõrnimetuletistes on aluseks olev võõrnimi muganenud: darvinism, kalvinism, marksism, sovinism, hernhuutlus, luterlus, budism. ALGUSTÄHEORTOGRAAFIA Läbiva suurtähega kirjutatakse: 1) Isiku- ja olendinimed,
s s_e := <-ühikektori s_e arvutamine, et s_e pikkus oleks 1 2 0.707 s_e = 0 <-ühikvektor s_e 0.707 2 tuletis := gradA s_e <-tuletis 2 · Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid * Leida stats. Punktid. (tuletis x-i ja y-i järgi = 0) * Arvutame teised tuletised x, y ja z järgi. * Olgu A statsionaarne punkt. * = z''x2*z''y2-(z''xy)2 1) Kui (A)>0 ja z''x2<0, siis on MAX 2) Kui (A)>0 ja z''x2>0, siis on MIN 3) Kui (A)<0, siis EI OLE 4) Kui (A)=0, siis LAHTINE Näiteülesanne Leida lokaalsed ekstreemumid. 2 2 f ( x, y ) := 25 - x - y <-funktsioon i := 0 .. 10 j := 0 .
dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = = = [määratud integraali väärtus ei sõltu argumendi tähistusest] = . Lause3 Kui paaritu funktsioon f(x) on integreeruv lõigul [-a, a], siis . Tõestus. Kui funktsioon y = f(x) on paaritu funktsioon, siis saame [teostame esimeses liidetavas muutujate vahetuse x = -t, dx = -dt, x = -a t = a, x = 0 t = 0] = . Lause4 Kui funktsioonide u(x) ja v(x) tuletised u'(x) ja v'(x) on integreeruvad lõigul [a; b], siis . Integraali rakendused Lause1 Kui f(x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f(x) g(x), siis joonega y = f(x), y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul . Lause2 Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f(x) 0 antud parameetriliste võrranditega , kusjuures (t) on rangelt monotoonne pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul [; ]
1A) =1 =1 =1 Võrrandid (3.1) annavadki eeskirja jõu F leidmiseks: kui on antud liikumise seadus x = x(t ) y = y (t ) z = z (t ) siis leiame neist teised tuletised aja t järgi ja korrutame seejärel massiga m. Sellega on jõu projektsioonid Fx , Fy ja Fz leitud. Kogujõud moodulilt on siis 2 2 2 F = Fx + Fy + Fz (3.2) jõu F suunakoosinused on Fx Fy Fz cos = ; cos = ; cos = (3.3)
eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust: ( f ( x )dx +g ( x )dx ) =( f ( x )dx ) +( g ( x )dx) = f ( x ) +g ( x ) . Omadus 2
alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel. Määramata int-avaldist F(x)+c kus c on suvaline konstant, nim fun-i f(x) määram.int ja tähistatakse | f(x)dx=F(x)+C Päratud int-otse arvutada neid ei saa sest ja+ lõp.ei ole arvud. Dif-kse piirväärtustena. Integ. Saab olla päratu ka lõplike rajade korral: siis kui integreeritav saab lõpuks[a,b]-1. 8)1. 2. Järku tuletised (osatuletise ja dif kaudu, hessiaani kaudu)- esimest järku tingimus: tarvilik dz=0; f´(x)=0 piisav: dx<0 =>f´(x) max, dx>0 => f´(x)<0 min II j tingimus: tarvilik d(dz)=d2z, z=f(x,y) piisav: d2z>0 min, d2z<0 max. Osatuletise kaudu: fxx< 0 f yy<0 ja fxx f yy> fx2y=> d2z<0 max punkt, fxx>0 f yy>0 ja fxx f yy> fx2y => d2z>0 min.punkt II j tingimus det.abil: H= [fxx fxy / fxy fyg ] | H1|= | fxx|= fxx , |H2| =| fxx fxy / fxy fyy | =
Milliseid sõnu ei soovitata seadusmõiste tähistajaks valida? Kahemõttelisi. 11. Mida tähendab terminite poolest, et õigustekst on trafaretne ? üldtuntud, paljukasutatud, kulunud 12. Mida tähendab, et termin on kirjakeele korrapärale alluv sõnapesa? Kui sõnapesast on defineeritud üks liige, siis tuleneb teiste tähendus sellest ja kirjakeele tunnusest (abielu-lahuta-ja = abielu LAHUTAV ISIK, vt seadusest abielu + lahutuse tüvesid) GOOGOL: kõik sama juure tuletised Kolme tüüpi tuletusliited: • Liited, millel on üks kindel kategoriaalne tähendus: -kene, -tu (käsitu, silmitu), -la(haigla, sigala, tagala) • Liited, millest enamik kuulub ühte ja samasse Õigekeelsus ja õiguskeel (kordamine) semantilisse rühma, kuid on ka erandeid: -us, -line • Liite tähendus väga üldine, selgub alles konkreetses sõnas: -ik 13. Millise printsiibi huvides valitakse alati kõige kesksem
udv = uv - vdu b Ositi integreerimine määratud integraalis: Kui funktsioonide u(x) ja v(x) tuletised on integreeruvad lõigul [a; b], siis a a a b
Külastaja kohtub näitusel ka selliste Eesti metsa hääbuvate liikidega nagu näiteks lendorav ja Euroopa Naarits. Õige: euroopa naarits Allikas: Tartu Postimees 2. Amburi tervisele on head taimed, kes parandavad maksa ja sapi tööd. Vali eelkõige okaspuud: mänd või Jaapani seeder. Õige: jaapani seeder Allikas: Maakodu 07/17 Reegel: Keelte, keelkondade, rahvaste, hõimude nimetused ning nende tuletised kirjutatakse väikse tähega. 1. Ajaleht La Gazzetta dello Sport nimetas Itaalia eilset 0:0 viiki Rootsiga, mis jättis Itaallased MMilt eemale, otsesõnu "apokalüpsiseks". Õige: itaallased Allikas: Delfi 11/17 2. Näiteks, kui on vaja meelde jätta Soome-ugri keeled, siis puutüvi on soome-ugri keelkond, peamised harud läänemeresoome keeled jne.
EESTI ETÜMOLOOGIASÕNARAAMATUST IRIS METSMÄGI, MEELI SEDRIK HAJAMÄRKUSI KAUAOODATUD ETÜMOLOOGIATE PUHUL MATI HINT, RAIMO ANTTILA EESTI ETÜMOLOOGIASÕNARAAMATUST Olemasolevatest eesti etümoloogiasõnaraamatutest Eesti tüvede päritolu kohta on seni ilmunud kaks etümoloogiasõnaraamatut: Julius Mägiste ,,Estnisches etymologisches Wörterbuch" (19821983) ning Alo Rauna ,,Eesti keele etümoloogiline teatmik" (1982). Julius Mägiste ,,Estnisches etymologisches Wörterbuch" Suurejoonelisena kavandatud teos jäigi autoril kahjuks lõpetamata: suurem osa käsikirjast kontrollimata ja lõpp puhtaks kirjutamata Viimistlematuse tõttu on J. Mägiste väga põhjalik ja teaduslikult kõrgetasemeline teos paraku raskesti loetav. Sõnaartiklid ei ole liigendatud, mõni neist on poolik või lünklik, mõne märksõna käsitlus puudub hoopis. Paratamatult on J. Mägiste sõnaraamat kohati vananenud, sõnade päritolu kohta on keeleteadlased uurimistöös saanud uut infot. Sõnar...
Tartu Ülikool Filosoofiateaduskond Eesti keele osakond Eestlaste emotsioonisõnavara Referaat Juhendaja Maigi Vija Tartu 2014 Käesoleva referaadi aluseks on ajakirjast Keel ja Kirjandus 8/2002 Ene Vainiku artikkel ,,Millest on tehtud eestlaste emotsioonisõnavara?", Ene Vainiku artikkel ,,Kuumaverelised eestlased. Eestlaste rahvalikust emotsioonikategooriast" raamatust ,,Äidinkielen merkitykset" ning Ene Vainiku ja Heili Orava artikkel ajakirjast Keel ja Kirjandus 4/2005 ,,A. H. Tammsaare eksitus: tee tööd ja näe vaeva,... aga ikka oled vihane". Kahe esimese artikli aluseks on Eesti Keele Instituudis läbiviidud empiiriline uuring, mille tulemuste põhjal kirjutas Ene Vainik ka oma magistritöö. Selle tulemusena saadi teada, millest koosneb eestlaste emotsioonisõnavara. Kolmanda artikli aluseks on kaks uurimust. Esimene uurimus on Heili Orava poolt l...
· Karistuseks trahvid, sunniviisilised abordid ja sterilisatsioon · 76% inimestest pooldab seda poliitikat Powerpoint Templates Page 8 Ühelapsepoliitika · Rahvaarv endiselt kasvab · 2030. aastaks on rohkem kui 20% elanikest üle 60- aastased · Iga 100 tüdruku kohta sünnib 114 poissi · Mehi 64 miljonit rohkem kui naisi Powerpoint Templates Page 9 Hiina keel · Puuduvad pöörded ja käänded · Liitsõnad, tuletised · Lause mõte sõltub sõnade järjekorrast · Üle 40 000 tähemärgi · Koolis õpitakse 5000, lihtsa teksti mõistmiseks piisab 3000 t.m-ist · Tähemärgid sobivad ka jaapani, korea ja mõne tiibeti keele edasiandmiseks · Enim kasutatud - olema ja ei · Kirjaoskuslikkus 99% Powerpoint Templates Page 10 Hiina keel Powerpoint Templates Page 11 Numbrisüsteem · Tänapäeval käibel 3 numbrisüsteemi Powerpoint Templates Page 12
Üldsõnastumist näitab väike algustäht. 6 liited: -lik, -lane, -lus, ism, ist. Nt balzaclik, chaplinlik, chopinlik, madridlane, hollywoodlik. Liidetakse ilma ülakomata. 7 Ülakomaga saab toonitada nime ja liite piiri. Kasutatakse, kui a) kirjapilt ja hääldus on erinevad (nt bordeaux´lane, poe´lik) b) ei taheta rikkuda konsonantühendi õigekirja. (nt faehlmann´lik, mutt´lik, artur-kapp ´lik) 3) Mitmesõnalistest nimedest saadud tuletised võib kirjutada kokku või panna sidekriipsu (nt riodejaneriolik, rocca-al-marelane) 4) Ainult kõige üldtarvitatavamates nimedes on võõrnimi mugandunud (nt budism, darvinism) KÄÄNDSÕNADE KOKKU- JA LAHKUKIRJUTAMINE KOKKU KIRJUTATAKSE SÕNA MÄRKUS NÄIDE Liitsõnad uus tähendus Südametunnistus, vanaisa Nimisõnad, kui... ..
01 1 1 11 1/1 1/1 10 1 1 𝒇(xMDNK(x1,x2,0,x4) = x 1 x2 x 4 v x 1 x2 x4 v x1 x2 x 4 v x1 x2 x4 v x1 x 2 x 4 v x1 x 2 x4 16 ÜLESANNE 10 TULETISED Leida ja esitada ülesandes 3 saadud MDNK jaoks tema tuletised iga muutuja järgi. Tuletisteks olevad avaldised lihtsustada DNK-ks loogikaalgebra põhiseoste abil. Kõikide jääkfunktsioonide leidmine peab olema ära näidatud. 𝒇(xMDNK(x1x2x3x4) = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 Tuletis x2 järgi: ∂ 𝒇 MDNK = 𝒇(xMDNK(x1,0,x3,x4) ⊕ 𝒇(xMDNK(x1,1,x3,x4) = ∂(x 2) = ( 0 Ʌ x3 V x1 Ʌ x 3 V x1 Ʌ 0 Ʌ x4 V x 1 Ʌ 1 Ʌ x3 Ʌ x4) ⊕
tähistatakse inf X Pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Weierstrassi teoreemid - Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. Bolzano-Cauchy teoreem – Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. 10.Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Tuletis – funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. Diferentseeruvus – Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis deferentseeruv. Tähistame f ∈ C¹ (a) või f ∈ D(a). (Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks) Ühepoolsed tuletised - def
5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6. Panna kirja põhiliste elementaarfunktsioonide ja hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide tuletised. 7. Defineerida funktsiooni n-järku tuletis. Milline funktsioon on n korda diferentseeruv? Milline funktsioon on lõpmata arv kordi diferentseeruv? Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n) . Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil
elementidest moodustatud r-järku determinantiide hulgas on vähemalt üks nullist erinev, kõik sel viisil moodustatud (r+)-järku determinandid aga on nullid (või neid ei saagi moodustada). Kui vähemalt üks maatriksi r-järku determinantidest erineb nullist, kõik kõrgemat järku det-d aga võrduvad 0ga, siis öeldakse, et selle maatriksi astak on r. Tähis r(A). 14. Diferentsiaalid, täisdiferentsiaalid, täistuletised, ilmutamata funktsioonide tuletised. Diferentsiaalid: Varem (dy/dx) (sisult 1 sümbol - tuletis), nüüd (dy)/(dx), dy=(dy/dx)dx e. dy='(x)dx:dx (dy)/(dx)=(dy/dx), Suurusi dy ja dx võib vaadata vastvalt y-i ja muutuja x-i differentsiaalidena. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) U U U täisdifferentsiaaliks nimetame avaldist dU = dx1 + dx 2 + ... + dx n
joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi (3.26). Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. Kõrgemat järku tuletised. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Taylori polünomi valem. f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a ümbruses, mis avaldub valemiga
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
h x f (t )dt f ( x) 4 f ( ) f ( x) (x) h 3 0 xh ( ), (h) ri kus . Kuna fIV(x) on olemas, siis on olemas tuletised 1 x ' ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 4 f ( ) f ( x) f ' ( x) f ' ( x) 3 3 2 4 x f ( x) f ( x) f ( ) f ' ( x) f ' ( x),
Saame moodustada ka vastava funktsiooni väärtuste jada f(x 1), f(x2), ..., f(xn). Kui vaadeldaval funktsioonil on selline omadus, et arvuks a koonduva mis tahes argumentide jada x1, x2, ..., xn korral vastav funktsiooni väärtuste jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) koondub alati arvuks A, siis öeldakse, et see arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks ja kirjutatakse kujul: 30. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub lõplik piirväärtus: siis seda nim funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx.
tähendab, et peab leidma kaasusest mõne õigusvastase asjaolu, mida tuvastada. Õigusvastasusega tuleb tegeleda ainult siis, kui mõni asjaolu tuleneb kaasuse tekstist. Kui on näha, et pole ühtegi õigusvastasuse probleemi, piisab mainimisest, et puuduvad õigusvastasust välistavad asjaolud. Kui kaasuses pole mainitud vanust, siis võib eeldada, et on täisealine kodanik, st süüvõimeline. Süüdivus tuvastatakse ainult konkreetse episoodi puhuks, mitte kogu eluks. 3. Põhidelikt ja tuletised Tegu, mida kontrollime algab põhideliktist. Teatud juhtudel me nendime, et pole tegemist põhideliktiga. Isikud ei vastuta paarikaupa, isegi kui nad tegutsevad koos. Alati tuleb käituda igaühe käitumist eraldi. Põhidelikti tuletised on teod, mille karistatavus vajab lisaks põhideliktile täiendavat põhistuste erilist tuvastamist. Kaasaaitamine ehk osavõtt on üks tuletisi. Ei saa käituda päris põhidelikti piires ja tuleb kasutada teistsugust skeemi.
olev - - - - - - ilmaütlev - - - - - - kaasaütlev - - - - 2 0,8% 2.2.1.1890. aastate ajakirjanduskeele vasted 1890. aastate ajakirjanduse alamkorpuses on sõnale ema 35 vastet. Nende seas on tuletised, liitsõnad, ainsuslikud ja mitmuslikud käändevormid. Liitsõnad (emakeel, ema- eesel) ja tuletised jäävad analüüsist kõrvale. Kõige levinum käändevorm on ainsuse nimetav – kasutati 13 korral, näiteks tema ema ja wanem õde on nõdrameelseks jäänud). Ka selles näitelauses on näha, kuidas ema ees on tihtipeale täiend, mis näitab suhet temaga. Mitmust esines korpuses vaid korra ning see oli mitmuse nimetava vorm (kust eesti emad ja lapsed), mis näitab ema esimeses tähenduses, pannes selle kokku kuuluma teiste pereliikmetega. Omastavas käändes kasutati sõna 7 korral
Kui funktsioon on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. a. Funktsiooni tuletise definitsioon Funktsiooni tuletis punktis a on defeineeritud järgmiselt f'(a)= b. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted Kui funktsioon omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. c. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu x=x-a argumendi muut kohal a
Ühekordse täishäälikuga sõnad terminal, mahagon, formular jt. Muret tekitab ka lõppsulghääliku kirjapilt.Kahekordse sulghäälikuga on näiteks kastanjett, saslõkk ja tualett. Ühekordse sulghäälikuga kotlet, sigaret ja pankrot. Ka nende sõnade kirjapilt tuleb lihtsalt pähe õppida. Kahesilbiliste sõnade lõppsilbi kaashääliku kirjapilt oleneb rõhust. Enamasti on lubatud nii ühekordne, kui ka kahekordne täishäälik. Lubatud on nii keefir, kui ka kefiir. 1.5 Tuletised · Ne-liiteliste võõrsõnade käänamine ne - liiteliste võõrsõnade käänamisel omastavas käändes lisandub sõnatüvele liide se. Ühtegi häälikut sõnatüvets ei kaotata(kompleksse, modernse, viskoosse). · Juurde lisandunud liited võivad lühendada nii sõnas olevat kaashäälikut, kui ka täishäälikut.Näiteks grimm grimeerija, aadress adressaat. 2 Omasõnade õigekiri 2.1 Kaashääliku ühend
Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0
x 1 V x 2V [ f ( 0, 0, x 3 ) ] =[ x´1 V x´2V ( 01x´3 V 0x 3V 10 ) ][ x´1 V x 2V ( 00x´3 V 1x 3 V 11 ) ][x 1 V (¿V x´2V [ f ( 1, 1, x 3 ) ])( x´1V x 2 V [ f ( 1,0, x 3 ) ] )(x 1 V ¿´ 10) Tuletised MDNK : x´1 x 2 x´3 V x´2 x 3 Vx 1 x´2 Tuletis X1 järgi: f (x 1, x 2, x 3) =f ( 0, x 2, x 3 ) f (1, x 2, x 3 )=( x 2 x´3 V x´2 x 3 ) ( x´2 x 3V x´2 )=( x 2 x´3 V x´2 x 3 ) x´2=( x 2 x´3 x1 Tuletis X2 järgi: f (x 1, x 2, x 3) =f ( x 1, 0, x 3 ) f ( x 1,1, x 3 )=( x 3 V x 1 ) ( x´1 x´3 ) =( x 3 V´ x 1 ) ( x´1 x´3 ) V ( x 3 V x 1 ) ( x´1´x´3 )= x´1 x 2 Tuletis X3 järgi: f (x 1, x 2, x 3)
Rätsep nendib, et esimene eesti keele sõnaraamat annab teada, et saksa sõnale Meil vastab eesti keeles pennekohrem. Seda sõna on seletatud, et see on kaugus, kuhu suudab koer ilma puhkuseta koormat vedada. Parema lahenduse pakub meile soome keel, kus mitme variandi hulgas on esikohal peninkuulema. Praeguseks eesti keeles sõna kuulema puudub, ent niisuguseid ma- liitelisi tuletisi tunneb meie vana kirjakeel. Kui sõnalõpuline täishäälik teatud tingimusel kadus, olid sellised tuletised nimetavas m- liitelised. Nii võis ka kuulema olla sõnas peninkuulema, mis tähendas siis kaugust, kuhu veel koera haukumine kuulda on. Nähtavasti lakkas kuulema üksinda eesti keeles olemast ja jäi üksnes sõnasse peninkuulema. See tekitas vajaduse asendada tundmatu tuntuga ja selleks sai koorma, hiljem koorem. (Rätsep 2012: 13 – 14) Eesti keele kont tähendab luud. Seetõttu on katsutud liitsõna kontvõõras seletada kui võõrast
tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral y Kui piirväärtus lim on lõplik, siis kõneldakse lõplikust tuletisest, kui aga lõpmatu, siis öeldakse, et x 0 x funktsioonil f on punktis x lõpmatu tuletis. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Ühepoolsed tuletised Ühepoolseid piirväärtusi (lõplikke ja lõpmatuid) y y f ( x - ) = lim , f ( x + ) = lim x 0 - x x 0 + x nimetatakse vastavalt funktsiooni f vasakpoolseks ja parempoolseks tuletiseks punktis x. Neid piirväärtusi nimetatakse ühiselt ka ühepoolseteks tuletisteks.
muutuja järgi: x2 x3 järgi. MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 f(x1x2 x3x4) = [x2 V x3 V f(x100x4)] [xx2 V x3 V f(x110x4)] [x2 V xx3 V f(x101x4)] [xx2 V xx3 V f(x111x4)] = = (x2 V x3 V xx1∙1∙0 V x1∙1∙1 V 0∙x4) (xx2 V x3 V xx1∙0∙0 V x1∙0∙1 V 1∙x4) (x2 V xx3 V xx1∙1∙1 V x1∙1∙0 V 0∙x4) (xx2 V xx3 V xx1∙0∙1 V x1∙0∙0 V 1∙x4) = (x2 V x3 V (x1)) (xx2 V x3 V(x4)) (x2 V xx3 V( xx1 )) (xx2 V xx3 V (x4)) 10. Leida MDNK-le tuletised muutujate x1, x2, x3 ja x4 järgi. Lihtsustada avaldis DNK-ks loogikaalgebra põhiseoste abil. MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 Muutuja x1 järgi: δ f ( x1x 2x 3 x4) δx1 = (xx2 x3 V x2x4) ⊕ (xx2 xx3 V x2x4) = (xx2 xx3 V x2x4) V (xx2 x3 V x2x4)= = [(x2 V xx3 )(xx2 V xx4)] (xx2 xx3 V x2x4) V (xx2 x3 V x2x4) [(x2 V x3)(xx2 V xx4)] = = (x2xx4 V xx2xx3 V xx3xx4) (xx2 xx3 V x2x4) V (xx2 x3 V x2x4)(x2xx4 V xx2x3 V x3xx4) =
VÄLISKAUBANDUSTEOORIA I kontrolltöö konspekt Positivistlik majandusteooria käsitleb kuidas majandussüsteem tegelikult funktsioneerib ning kuidas selle fundamentaalsete koostisosade muutused seda mõjutavad. Deskriptiivne lähenemine; sõltumatu eetilistest hinnangutest. Normatiivne majandusteooria õpetus sellest, kuidas majandussüsteem peaks funktsioneerima. Käsitleb väiteid, mis on loogilised tuletised teatud eeldustest; üleüldise heaolu kontroll. ÜLDISE TASAKAALU MUDEL Üldise tasakaalu all mõistetakse olukorda, kus tootmine, tarbimine, hinnad ja järelikult ka rahvusvaheline kaubandus on üheaegselt tasakaalus. Lihtsustavad eeldused: 1) Kõik majanduses osalejad lähtuvad ratsionaalsest käitumisest; 2) maailmas eksisteerivad vaid kaks riiki, mis kauplevad vaid kahe kaubaga; 3) suhteliste hindade kasutamine;
kui leidub selline arv > 0, et 0 < | x| < y 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f' (a) = 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 12. Kõrgemat järku tuletised ja nende rakendused, joone kumerus ja nõgusus, käänupunktid. o Funktsiooni y = f (x) n- järku tuletiseks y(n) nimetatakse y(n 1) tuletist: y(n) = dny / dxn = d / dx (y(n-1)) = (y(n-1))'. o Kumer: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemalt (a, f (a))), kui leidub selline - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a ; a + )
moodulid loeme võrdseteks ning vastasmärgilisteks. Selleset tulenevalt k on nende summa võrdne nulliga mx + kx = 0 ehk x + x =0 Otsime m selle võrrandi lahendit kujul x = a cos(wot +) Leiame kordinaadi tuletised aja järgi liikumise kiiruse x = - wo a sin (wo+) kiirenduse x = - wo2 a cos(wot+ ) Z = wot+ (cos ( cot ))' = cos z' * z' Pannes need tuletised algsesse diferentsiaalvõrrandisse saame harmoonilise k võnkumise ringsageduse jaoks avaldise wo2= Harmoonilist m
iga x (a-(), a) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ü lemine ja alumine raja. limxa- f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa- ) Pidevuse aksioom.Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Def. Def. Arvu b nim. fun-ni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >0 leidub () 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja pidevuse >0, et iga x (a, a+()) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . seos. limxa+ f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa+ ) Lause. Fun-nil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis kui iga jada { xn}, mis koondub 1. Normiks vektorruumis V nim
SEOTUD MORFEEM- need morfeemid, mis kunagi ei saa esineda iseseisvate sõnavormidena. POTENTSIAALSELT VABA MORFEEM- võivad esineda kas omaette või teiste morfeemidega liitunult. VABA MORFEEM- ei saa kunagi liituda ühegi teise morfeemiga. AFIKS- seotudmorfeemid, neid võib jagada allrühmadeks selle järgi, kuidas nad oma tüvisõnaga liituvad. Afiksite funktsioonid on väga erisugused. Kõigepealt moodustavad omaette rühma tuletusliited, mille abil saadakse uusi sõnu. Tuletatud sõnad ehk tuletised võivad põhimõtteliselt olla kuitahes pikad. Muutumismorfoloogia alla kuuluvaist afiksitest asuvad kas lihttüvele ehk juurele või tuletatud tüvele kõige lähemal morfoloogiliste kategooriate tunnused, mille abil põhitüvedest moodustatakse alltüvesid. PREFIKS- ehk eeliide. Käib tüvisõna ette. (eba-tavaline). INFIKS- ehk siseliide. Käib sõnatüve sisse, nende parimad näited leiame keeltest, mida räägitakse väljaspool Euroopat. SUFIKS- ehk järel-ehklõppliide
keelt sõna-sõnalt; foneetilise järjestuse otsene ülekanne ühest keelest teise kus gramaatika tuleb tugevamast keelest; laenunihe – kahe sõna tähendused keelte kaupa ei ühti ja inimesed kasutavad sõna ebatäpselt, ehk vales tähenduses. Suhtlemises see ei sega aga hakkab segama mõtlemise tasandil. Tüüpilised raskused on samad mis ükskeelsetel kõnepuudega lastel. Eesti keeles on rasked etnograafilised sõnad või tuletised ja liitsõnad. Nende moodustamisraskustele tuleb tähelepanu suunata. Samuti rasked erinevad fraseologismid ehk piltlikud väljendid. Rasked on muidugi ka kõlalt ja tähenduselt sarnased sõnad. Gramaatiline interferentson samuti see, mis vajab just mõtlemiskeele tasandil tööd. Kasutame gramaatilisi morfeeme, tüvevaheldust ja erinevaid lauseehitusi ( mis on kohustuslikud lauseliikmed ja mis järjekorras need on). Tüvevead on sõnajärje vead. Kõige keerulisemad on
Oskussõnavara arendavad terminikomisjonid ja nende ühtlane võrk, terminisõnastikud, terminoloogide koolitus ja väljaõpe, terminiloomet toetav IT-keskkond, Eesti Terminoloogia Ühing, ERÜ, EKI terminoloogiatöö. Mis on terminoloogia? - Ontoloogiline kitsas tähendus oskussõnavara - Ontoloogiline lai tähendus oskuskeel - Gnoseoloogiline kitsas tähendus oskussõnaõpetus - Gnoseoloogiline lai tähendus oskuskeeleõpetus Mis ja milline on termin? · Mõiste tähistus, mida võib väljendada sõna, sõnaühendi, fraasiga · Element eriala märgisituatsioonis, kus suhtluses osalevad kas inimesed (spetsialistid), esemed (temaatiline alus) või terminid ja mõisted (mõtlemise põhiüksused). · Oskuskeelend, mis on väljendatud sõna, sõnaühendi või liitsõnakomponendina. Oskuskeelend on mingi eriala nõudel tekkinud oskuskeele loomulikkeelne nomineeriv üksus (sh sõnamoodustusmorfeemid, morfeemijärjendid, püsiväljendid) · Termin on üh...
Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult: Kui n=p-1 siis p=n+1 Ja siit saame, et Saame Taylori valemi Lagrange'i kujuga: Kui f-n f(x) on punkti x ümbruses n+1 korda diferentseeruv, siis kehtib väide, mis ütleb, et Kui a=0, siis saame sellest Maclaurani valemi. F(x) on punkti x ümbruses n+1 korda diferentseeruv, siis Taylori valemi jääkliiget saab esitada ka veel mitmetel erinevatel kujudel ülesannete lahendamiseks:
1. Milleks on vaja patoloogiat? Diagnoosimine, diagnoosimine ja nende ulatuse määratlemine, prognoosimine, ravi hindamine, teadustöö. 2. Millised tunnused tulevad välja peale surma? Koolnukülmus, koolnukangestus,koolnulaigud,vere hüübimine, sarvkesta hägustumine,koolnulaostus. 3. Millised on etioloogilised tegurid? Eksogeensed(välimised)-füüsikalised,keemilised, bioloogilised, psühhogeensed,sotsiaalsed Endogeensed(sisemised)-pärilikkus,haigussoodumus,konstitutsioon,sugu,vanus, organismi vasturekatsioon. 4. Kuidas klassifitseeritakse haigusi? Organsüsteemide alusel, elundite alusel,etioloogia alusel, patogeneesi järgi, pärilikkuse järgi, geograafilise esinemise järgi, nakkusohu järgi. 5. Millised on haiguse kulgemise faasid? Varjatud e latendi e peiteperiood, prodomaal e eelnähtude periood, põdemise e õitse e manifestne periood, paranemisperiood või tüsistuste tekkimine või surm, taastumise e rekovalentsi periood. ...
lõigul [a; b]. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3
Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. a. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid a.1. Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse . a.2. Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. a.3. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised , kus n=1,2,3... ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. b. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid b.1. Tuletame valemi teist järku diferentsiaali jaoks kasutades võrdust b.2. Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali b.3
∆ x→ 0 ∆x 1)k-1 (k-1)! ( 1+ x ) k JNE. Tuletist tähistatakse f’(x). Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime Lisa: vastavalt f’(a+) ja f’(a-), ehk f’(a+)= Ühepoolne pidevus - f-n on pidev paremalt, kui argumendi muut läheneb 0+ile ja
joon punktile M0 saab lõikaja uued asendid 0 1 , 0 1 jne. Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M0T, siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 36. Funktsiooni diferentseerimise etapid. Funktsiooni y = x tuletis, kui n on n 37. positiivne täisarv (tõestuseta). Funktsioonide y = sin x ja y = cos x tuletised tõestuseta. Funktsiooni y = x tuletis on nx , kus n on positiivne täisarv, s.o. kui y = x , n n -1 n 38. siis y = nx . n -1 39. Funktsiooni sin x tuletis on cos x , s.o.kui y=sinx, siis y = cos x . 40. Funktsiooni cos x tuletis on -sinx, s.o.kui y = cosx , siis y = -sinx. 41. 42. Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletiste valemid. 43
sõnaliigi määrab põhisõna 2. Tuletusalus. Liide. Tuletis. Tuletuspesa. Tuletusalus e alussõna – sõna, millest on tuletis moodustatud. Alussõna tüvi varieerub. Tuletusliited – väljendavad mingit väga üldist, kategoriaalset tähendust, mis ilmneb konkreetsemalt alles võrdluses tuletusaluse sõnaga: -ke(ne), -tar, -nna, -ja. Tuletise ehk derivaadi osad on tuletustüvi ja tuletusliide. Sõnapesa ehk tuletuspesa – kõik sama juure tuletised 3. Liidete produktiivsus ja aktiivsus. Produktiivsus – teatud liite abil võib teatudmalli järgi teksti loomise käigus vabalt tuletisi moodustada, tuletusprotsess on regulaarne, vastuvõtjale ühemõtteliselt selge.-mine, -ja, -lane, -lik. Osa selliseid tuletisi on leksikaliseerunud, muutunud kindlateks ssõnavaraüksusteks, kuid siiski läbipaistvad:niitjas, vaesuma, parteilane. Osa aga tähenduslikult
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
