2) y = = = 2x3 + 2 (2x3 + 2)2 (2e2x (2x) + 1)(2x3 + 2) - (2e2x + x)6x2 (4e2x + 1)(2x3 + 2) - (2e2x + x)6x2 = = . (2x3 + 2)2 (2x3 + 2)2 3. Leida tuletis y (x) funktsioonist y = sin2 (3x) ning tuletise v¨a¨artus kohal x = /4. Kas funktsioon sellel kohal kasvab v~oi kahaneb? (2p) Lahendus. y= ((sin(3x))2 ) = 2 sin(3x) · (sin(3x)) = 2 sin(3x) · cos(3x) · (3x) = 6 sin(3x) cos(3x), 3 3 2 2 y (/4) = 6 sin cos =6 - = -3. 4 4 2 2
a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 Milline väide iseloomustab isokineetilist dünamomeetrit? a) lihastes tekkiv pinge võrdub välise pingega b) luukangide liikumine toimub konstantse nurkkiirusega c) mida väiksem on liikumise nurkkiirus seda väiksem on väline vastupanu d) luukangide liikumist ei toimu Lihase omavõnkesagedus v iseloomustab lihase a) elastsust b) kontraktsiooni võimet c) toonust d) demfeeruvust *Kas jõu muudu esimene tuletis ajas iseloomustab a) jõu langust pingutuse vältel b) kontraktsioonifaasi kestus c) jõu muutuse kiirust d) lõõgastusefaasi kestust Mida kujtab endast tajumisseadus ,,Läheduse seadus" a) väike grupp liikuvaid esemeid loetakse samaks b) üksteise lähedal asuvate punktide rida, tajutakse pideva joonena c) jooni, mis ümbritsevad mingit pinda, tajutakse sulgununa d) ühes reas asuvaid mõõteriistu tajutakse ühtekuuluvana
Lagrange´i tähistus: y´=f´(x) f (x) ¿ 2. Leizbnizi tähistus: d ¿ dy =¿ dx b. Füüsikaline tõlgendus: c. Geomeetriline tõlgendus: Funktsiooni muutumis kiirust d. Funktsiooni tuletis puudub kui graafik katkeb või kui tekivad teravad tipud. 15. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel : 16. Liitfunktsiooni tuletise leidmine: y´=yu´ ∙ u´ 17. Kõrgemat järku tuletise leidmine: 18. Funktsiooni puutuja: a. Lineaarne lähenemine: b. Kasutusalad: 19. Funktsiooni diferentsiaal: a. Digerentsiaal näitab funktsiooni puutuja muutumise kiirust. 20
14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Joonisel on kujutatud üks keha kahel erineval ajahetkel. Joonistage taustsüsteem, kohavektorid ja nihkevektor koos tähistustega. Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16. Mis on hetkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohevektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihkejärgi , trajektoori järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraali. 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endas kolme ajas sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse printsiip.
Ettevalmistus matemaatika riigieksamiks Taimi TammVask Teemad I Reaalarvud ja avaldised; II Lineaar, ruut, murdvõrrandid ja võrratused; III Vektor tasandil. Joone võrrand Teemad IV Funktsioonid ja nende graafikud; V Arvjada ja selle piirväärtus; VI Logaritm ja eksponentfunktsioonid. Logaritm ja eksponentvõrrandid ning võrratused; Teemad VII Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid; VIII Funktsiooni piirväärtus ja tuletis; IX Geomeetria tasandil ja ruumis; X Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused oskab arvutada peast, kirjalikult või arvutusvahendite abil ja oskab kriitiliselt hinnata arvutustulemusi; oskab teisendada algebralisi avaldisi; oskab lahendada ainekavaga fikseeritud võrrandeid ja võrrandisüsteeme ning võrratusi ja võrratussüsteeme; oskab kasutada põhilisi mõõtühi...
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33
Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi välja argumendi väärtusel x. Kui tähistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut järgmiselt: y = f(x+x)-f(x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame f(x) = = - f(x) 19. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x f(a) = . 20. Korrutise tuletis (fg)(x) = = = [ f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] }= = = f(x)g(x) + f(x)g(x) = (fg + fg)(x) Liitfunktsiooni diferenseerumise tuletamine. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f
2) tabeli abil 3) graafiliselt a) ajakarakteristik 4) grafoanalüütiline a) sageduskarakteristikud Diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaal võrrand kirjeldab dünaamilise protsessi, mis kulgeb elementides ja diferentsiaal võrrandi lahend näitab kuidas muutub väljundsignaal aja vältel. An*dXVn/dtn + An-1*dXVn-1/dtn-1 +...+ A1*dXV/dt + A0*XV = Bm*dXSm/dtm + Bm-1*dXSm-1/dtm-1 +....+ + B1*dXS/dt + B0*XS n väljundsignaali kõrgem tuletis, millega määratakse diferentsiaalvõrrandi kõrgem järk An jne koefitsiendid XV väljundsignaal T aeg M sisendsignaali kõrgem tuletis. Vasakul on väljundsignaal ja tema tuletis, paremal sisendsignaal ja tema tuletis. Kui diferentsiaal võrrandid muutujad on 1 astmes, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarseks. See võrrand kirjeldab dünaamilist protsessi lineaarses süsteemis. Kui võrrandi parem osa ei ole võrdne
2) tabeli abil 3) graafiliselt a) ajakarakteristik 4) grafoanalüütiline a) sageduskarakteristikud Diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaal võrrand kirjeldab dünaamilise protsessi, mis kulgeb elementides ja diferentsiaal võrrandi lahend näitab kuidas muutub väljundsignaal aja vältel. An*dXVn/dtn + An-1*dXVn-1/dtn-1 +...+ A1*dXV/dt + A0*XV = Bm*dXSm/dtm + Bm-1*dXSm-1/dtm-1 +....+ + B1*dXS/dt + B0*XS n väljundsignaali kõrgem tuletis, millega määratakse diferentsiaalvõrrandi kõrgem järk An jne koefitsiendid XV väljundsignaal T aeg M sisendsignaali kõrgem tuletis. Vasakul on väljundsignaal ja tema tuletis, paremal sisendsignaal ja tema tuletis. Kui diferentsiaal võrrandid muutujad on 1 astmes, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarseks. See võrrand kirjeldab dünaamilist protsessi lineaarses süsteemis. Kui võrrandi parem osa ei ole võrdne
Ühtlaseks nimetatakse keha niisugust liikumist, mille korral keha läbib mööda sirgjoont mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesugused teepikkused. Ü-s kiirus on konstantne ning avaldub nihke ja nihke läbimiseks kulunud ajavahemiku suhtega. Mitteühtlaseks nimetatakse keha niisugust liikumist, mille korral keha läbib mistahes võrdsete ajavahemike jooksul erinevad teepikkused Peab eristama hetkkiirust ja keskmist kiirust. Hetkkiirus on keha kohavektori tuletis aja järgi. Keskmine kiiruse saame kogu nihke jagamisel kogu ajaga. 4. Ühtlaselt muutuv sirgliikumine, kiirendus nimetatud liikumisel. Ühtlaselt muutuv sirgliikumine- konstantse kiirendusega s-liikumine (ühtlaselt aeglustuv või ühtlaselt kiirenv). Kiirendus võrdub kiiruse muudu ja selleks kulunud ajavahemiku suhtega. 5. Pöördenurk ühtlasel ringliikumisel. Pöördnurk on vektorsuurus, mille moodul on võrdne raadiusvektori poolt ∆t jooksul läbitud
Sõna põhiseadus on väikese tähega. Sõna maakond kui liigisõna on väikese algustähega: Pärnu maakond. Õige on kirjutada Siiditee (tee, mida mööda veeti kaupu Hiinast Euroopasse). Kas kasutada ,,pronksiöö" või ,,pronksöö"? Soovitame omastavalise täiendosaga liitsõna pronksiöö. Algustäht on väike, sest tegu pole ajaloosündmuse püsikindla nimetusega. Õige on kirjutada talispordi Meka. Õige on tartumurdeline (väikese algustähega). Nimest Riia tehtud tuletis riiastuma on väiketähega. Õige on kirjutada iseseisvusmanifest (väikese algustähega). Siberi eestlased on lahku, esimene sõna on suure tähega. Sõna südamenädal on väikese tähega. Õige on Nõukogude okupatsioon. Õige on kirjutada Maarjamaa Risti orden. Sõna äriseadustik on väikese tähega. Õige on Suur Prantsuse revolutsioon. Õige on kirjutada Toompea lossi valge saal. Õige on kirjutada Läänemere riigid (lahku ja teine sõna on väiketähega).
Püsikoma- ja ujukoma-arv, nende võrdlemine. Püsikomaarv arvud nt. 0.000004, 0.0000213 Ujukoma arv- kui püsikomaarv on liiga pikk st. liiga palju nulle pärast koma, siis tuuakse sobiv 10 aste sulgudest välja. Nt 4*10-4 4,56*10-23 Loeng 2. Suurused: · Pikkus parameeter ruumi ulatuse mõõtmiseks, 1 m · Aeg parameeter ajavahemike mõõtmiseks, 1 s · Kiirus näitab, mitu ruumiühikut liigub keha ühes ajaühikus 1 m/s · Kiirendus esimene tuletis kiirusevõrrandist, kiirendus on kiiruse muudu ja aja muudu suhe Pöördliikumine: · Pöördenurk - nurk, mille võrra pöördub ringliikumises oleva keha trajektoori raadius mingi aja jooksul · Nurkkiirus - näitab, kui suur pöördenurk ajaühikus läbitakse · Nurkkiirendus näitab kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul, 1 rad/s Normaal- ja tangentsiaalkiirendus
kahe muutuja funktsioon: u = u ( x, y ) , siis Need punktid moodustavad on nivoopindadeks u ( x, y ) = c , mis on mingisuguse pinna. Kui konstant c saab tegelikult xy-tasandi jooned, mida teise väärtuse, siis saame teise pinna. nimetatakse nivoojoonteks. Neid pindu nimetatakse 7. Tuletis antud suunas (arvutamise u u u u = cos + cos + cos s x y z valem). 8. Gradient. Teoreem gradiendist ja väärtused selles punktis: u , u , u , suunatuletisest (tõestusega)
hooratta inertsmoment . Sagedus f= 5 ajamomendil t=2s . r = 4m (rad/m), t v- kiirus (m/s) Hz Impulssmoment M= 1000 Nm = 2s 2. = (-2+3) = 6t =6*2=12 Aeg t= 20s Lahendus: =0 + t ; tuletis v`st (kiirendusest) =0 (sest peatub)! ; 0=2f ; = - 3. Leian normaal kiirenduse = = = (-)M=I(-) (-) märgid, kuna 25(m/) negatiivne kiirendus. Pöördliikumise norm.kiirendus
pH mõõtmine · Elektroodi kalibreerimine- puhverlahused · Klaaselektrood- püsiv, t. happed, alused ,valgus, viskoossed vedelikud; · pH >9- leelise viga · pH<2- happe viga Potentsiomeetriline tiitrimine · Mõõdetakse indikaatorelektroodi potentsiaali muutust titrandi ruumala muutudes. · Täpsem kui indikaatoriga tiitrimine Tiitrimise lõpp-punkti määramine · Graafik E- V(titrant); · Diferentsiaalkõver: Graafik E/V V (titrant), ekvivalent punktis on maksimum · Teine tuletis 2E/V2 V (titrant),ekv. Punktis muutub märk Vedel membraan elektroodid Kasutamine Kristalsed membraan elektroodid Membraan tehakse Ag halogeniididest saab määrata Cl, Br, I- ioone Polükristalliline Ag2S sulfiidiooni määramiseks Mõlemas on Ag- ioonid piisavalt liikuvad et juhtida elektrit läbi tahke keskkonna PbS, CdS ja CuS koos Ag2S membraanid mis on selektiivsed Pb2+, Cd2+ ja Cu2+ F- elektrood: membraan koosneb lantaanfluoriidi kristallist, millele on lisatud EuF2
6. Täisdiferentsiaali rakendusi ligikaudsetes arvutustes (NB! Olen kasutanud sümblit ¤ delta asemel ja b osatuletise tagurpidi d asemel) Olgu funktsioon z=f(x,y) punktis (x,y) diferentseeruv. Leiame selle täismuudu: ¤z=f(x+¤x,y+¤y)- -f(x,y), millest f(x+¤x,y+¤y)=f(x,y)+¤z Teame, et ¤z~dz, kus dz=(bf/bx)*¤x+(bf/by)*¤y Saame ligikaudse valemi: f(x+¤x,y+¤y)~f(x,y)+(bf(x,y)/bx)*¤x+(bf(x,y)/by)*¤y Antud valemit saabki kasutada ligikaudses arvutamises. 7. Liitfunktsiooni tuletis (Monsa vastab) 8. Ilmutamata funktsiooni tuletis Kui funktsioon y=f(x) on antud ilmutamata kujul, F(x,y)=0 ja P(x,y) on selle võrrandiga esitatud joone punkt ja funktsioon F on diferentseeruv punktis P ja selles punktis Fy0, siis dy/dx= -(Fx(x,y)/Fy(x,y)) Teoreem ilmutamata funktsioonist tõestusega Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Eeldame, et tuletis f'(x) eksisteerib punktis x=a ja osatuletised Fx'(P) ja Fy'(P) eksisteerivad punktis P(a,f(a))
...................................... 8 Karnaugh’ kaart ................................................................................................................................................. 9 McCluskey’ minimeerimismeetod ................................................................................................................... 10 Loogikaskeemid. Funktsioonide täielikud süsteemid. Teisendused baasidesse ............................................. 11 Jääkfunktsioon. Tuletis. Shannoni arendus. Funktsioonide klassid................................................................. 13 Hulgad.............................................................................................................................................................. 14 Vastavused ja relatsioonid............................................................................................................................... 16 Tükeldused ......................................................
z = f ( x, y ) Pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = b lõikejoon on x := . y = b Joon x ja tema puutuja asuvad tasandil y = b ja punktis A võetud puutuja tõus on funktsiooni f ( x, b ) - f (a, b ) z = f ( x, b ) tuletis punktis a , kuid seejuures f ( x, b ) = f x (a, b ) = lim . x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b . 3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6
Füüsika eksami kordamine 1)Liikumise kirjeldamine: Taustsüsteem: koordinaadistik + käik (on võimalik aja mõõtmine) Kohavektor Trajektoor: joon, mida mööda keha liigub Kiirus: asukoha muutus jagatud aja muutusega, kohavektori tuletis aja järgi Kiirendus: kiiruse muutus jagatud vastava ajaga, kiiruse tuletis aja järgi 2)Sirgjooneline ühtlaselt muutuv liikumine: Keha liigub sirgjoonelisel trajektooril, kusjuures tema kiirendus on nii suunalt kui suuruselt muutumatu ning samasihilise kiirusega. Realiseerub olukorras, kus keha liigub muutumatu jõu toimel (näiteks vabalangemine raskusjõu väljas. , kus akiirendus, vkiirus, taeg. Peale integreerimist saame , kus v0keha algkiirus ajahetkel t=0
by Piigli, Mets, Parker, Kauler "Top delusion" question / answers are red. Test I The induction machines are associated with the names of Dolivo - Dobrovolsky, Tesla. The synchronous machines are associated with the name of Ferraris. The DC machines are associated with the names of Jacobi and Henry. The electromagnetic torque is born in air gap. The torque is proportional to the current in dc motor. Which equations are correct? P = sW; oomega = tuletis fii'st The angular frequency is 2*pi()*n / 60 ja 2*pi()f The motor torque is equal to TL + J * oomega tuletis aja järgi The inductor supplies the motor with flux. The leading companies in the world market of electrical drive engineering are: Mitsubishi. The energy balance is described by energy conservation law. The armature supplies the motor with current. The cheapest and the most reliable is induction motor. The torque production is the result of interaction of current - flux.
selle tüve. Joonis 1. Sõnamoodustuse viisid eesti keeles Tuletus Liitmine Sageduselt teisel kohal uute sõnade moodustamisel on sõnade Liitsõna koosneb kahest või rohkemast tüvisõnast, kuid seda tuletamine. Iga tuletatud sõna ehk tuletis koosneb tuletustüvest mõistetakse ühe sõnana ehk sellel sõnal on terviktähendus. ja ühest või enamast tuletusliitest. Tuletusliiteid on eesti keeles Liitsõnadest saab edasi moodustada uusi liitsõnu ja nendest umbes sada, soome keeles aga näiteks ligi kakssada. Tuletis omakorda uusi liitsõnu. Sõnade arv ei ole piiratud, kuigi reaalses Asukoha põhjal jagunevad tuletusliited eesliideteks
9. Teha punktis 3 saadud MDNK-le Shannoni konjunktiivne arendus vabaltvalitud 2hemuutuja järgi. Teen arenduse x 1 x 4 muutujate järgi: x1 v x4 v f f =¿ ( 0 x 2 x 3 0 ¿ ] [ x 1 v ´x 4 v f ( 0 x 2 x 3 1 ) ] [ ´x 1 v x 4 v f ( 1 x 2 x 3 0 ) ] ´x 1 v ´x 4 v f ( 1 x 2 x 3 1 ) ¿ ]= = [ x 1 v x 4 v 0 ] [ x 1 v ´x 4 v (1 v ´x 3) ] [ ´x 1 v x 4 v 1¿ [ x´ 1 v ´x 4 v x´ 3 ] 10. Leida ja esitada punktis 3 saadud MDNK jaoks tema tuletis muutuja x1 järgi. MDNK f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) = ´x 1 x 4 v ´x 3 x 4 v x 1 ´x 4 δ f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) = f ( 0 x 2 x 3 x 4 ) f ( 1 x2 x 3 x 4 ) = ( ´x 3 x 4 v ´x 4 ) ⨁ ( x 4 v δ x1 ´x 3 x 4 ) = ´ ´ = (´x 3 x 4 v ´x 4 )( x 4 v ´x3 x 4 ) v ( ´x 3 x 4 v ´x 4 ) ( x 4 v ´x3 x 4 ) = ´x 3´x 4 x 4 ´
Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina. Kasvamine ja kahanemine tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on x=x(t), tema tuletis dx/dt, t sõltumatu muutuja(tavaliselt aeg) ja k võrdetegur. Eraldatud muutujatega DV M(x)dx+N(y)dy=0, kus M(x) ja N(y) on antusd funktsioonid (N: x+lny=0) Teoreem Olgu M(x) pidev vahemikus (a,b), N(y) pidev vahemikus ( , ) ning ( x, y) D korral M 2 ( x ) + N 2 ( y ) 0 ( D = { ( x, y ) x (a , b ), y ( , )} st vähemalt 1 kordaja on nullist erinev), siis sellisel juhul on võrrandi üldlahendiks
veiniäädikat, kõik on kastmed majoneesile õli, majoneesil toimub emulgeerumine, majonees on paks ning säilitab lusikaga võttes kuju, majonees on külm, bernaise kuum või leige, hollandi kaste kuumana, bernaise on hollandi kastme tuletis Tooge välja salsa ja chutney sarnasused ja erinevused! Sarnasused Erinevused Vürtsikad, valmistatakse puu-või Erinevad köögid (India&Mehhiko), Salsa köögiviljadest, võivad olla ka segud on tükiline, Chutney konsistents on pudrutaoline või on koostisosad äratuntavad tükkidena, chutney'isid
tsentri poole. Fk= anm · Hooke' seadus. (Tähtede seletus ja vektorite suunad) F= -kx, k- konstantne tegur, keha jäikus/materjali elastsusmoodul, x-deformatsiooni nihe. Elastse deformatsiooni puhul on varda pikenemine võrdeline sellele mõjuva jõuga. Kehtib kuni pole saavutatud elastsuspiir. Tõmbe korral positiivne ja survel negatiivne (x). Kehtib elastse def. korral. · Kuidas on seotud kehale mõjuv jõud ja keha impulss? (Põhjendada) p=mv, f=dp/dt Ainepunkti impulsi tuletis aja järgi on võrdne punktile mõjuvate jõudude resultandiga. · Kuidas peavad kaks keha liikuma, et nad peale absoluutset plastilist põrget jääksid seisma? (Kiiruse suund ja suurus) vastassuunaliselt ja ühesuguste kiirustega · Kui suur on raskusjõu töö horisontaalsel pinnal sõitva auto korral, mille mass on m? (Põhjendada). 0, sest raskusjõud mõjub vertikaalselt ning vertikaalselt liikumist ei toimu · Keha massiga m langeb vabalt kõrguselt h
Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas.
negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, et lõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon: Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted: Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu
23. Mida nimetatakse jõu impulsiks? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Jõu elementaarimpulsiks nimetatakse vektoriaalset suurust, mis võrdub jõu ja elementaarajavahemiku korrutisega. dJ=Fdt Jõu impulsiks lõplikus ajavahemikus nimetatakse elementaarimpulsside integraalsummat Jõusüsteemi peavektori impulss võrdub üksikute jõudude impulsside geomeetrilise summaga. 24. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem diferentsiaalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetrilise summaga ehk välisjõudude peavektoriga. dK/dt=sum(Fe) lüh K'=Fe 25. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem integraalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga muutus mingis ajavahemikus võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga samas ajavahemikus. Valem: (eelmise integraal) K1-K0=sum(Jke) 26. Panna lühidalt kirja kõik järeldused süsteemi liikumishulga teoreemist. 1
Projektsioonideks Descartes'i ristkoordinaadistiku projektsioonideks on vastavate telgede projektsioonide teised tuletised aja järgi. · Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, keha sirgjoonelisel liikumisel. · Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel, kui punkti liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Igale teljele vastavalt esimene ja teine tuletis telje projektsioonist. · Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulikuks teljestikuks nimetatakse koordinaattelge, mis ühtib trajektooriga. · Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel? 5 Loomulik teljestik sõltub trajektoorist, Descartes'i oma mitte.
13) dx x u1 dx u2 dx un dx v~ oi dz z z z z = + u1 + u2 + . . . + u . (6.14) dx x u1 u2 un n 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise. T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨
ruumist ja liigub laine levimiskiirusega. Samafaasipind moodustub kõikidest punktidest, mis võnguvad samas faasis. Faasi arvestus algab laineallikast vaatluse alghetkel. Lainefront on laine levimisel ainult üks, samafaasipindu aga mitu. 73. Lähtudes joonisest, tuletage laine levikut kirjeldav võrrand. Järelikult see võrrand on: 74. Lähtudes konstantse faasi tingimusest laines, tuletage faasikiiruse valem. Aja järgi tuletis sellest on: 75. Mis on lainevõrrand? Lähtudes laine levikut kirjeldavast võrrandist, tuletage see. (Näpunäide: alustuseks leidke teist järku tuletised aja ja koordinaadi järgi ning seejärel ellimineerige võrranditest faas). Lainevõrrand on võrrand, mille lahendiks on lainet kirjeldav võrrand. Lahendus: x = x0 sin(t - k r ) 76. Mis on lainete interferents? Millised lained on koherentsed? Koherentsed on lained, millede faasivahe igas ruumipunktis on jääv.Koherentsete
Küsimused gaaside ja molekulaarkineetilise teooria kohta 1) Võrdle ideaalse ja reaalse gaasi omadusi. Ideaalgaasis molekulide vastastikune toime puudub (elastseid põrkeid ei loeta vastastikuseks toimeks). Reaalgaasis on küll molekulide vastastikune toime nõrk, kui siiski nii suur, et ideaalgaasi iseloomustavad omadused enam ei kehti. Reaalsetes gaasides asuvad osakesed üksteisele nii lähedal, nende vahel tekivad Van der Waalsi jõud. Reaalsetes gaasides domineerivad osakeste vahelised tõmbejõud, tõukejõud on olulised, kui osakesed on üksteisele väga lähedal. Reaalsetel gaasidel on omaruumala, mis määrab gaasi kokkusurutavuse. Ideaalgaasis on osakeste omaruumala tühine võrreldes ruumalaga, milles nad liiguvad. Ideaalgaasi puhul sõltub osakeste ruutkeskmine kiirus ainult temperatuurist. Erinevalt ideaalgaasist muutub reaalgaas teataval rõhul ja temperatuuril vedelaks. Mida lähemal on gaas kondensatsiooni...
kuuluvate kehade liikumishulkade geomeetriline summa on nende kehade igasuguse vastastikmõju korral jääv. Suletud süsteem on süsteem, mis ei ole vastastikkuses mõjus süsteemiväliste kehadega. 2) Staatiline hõõre - (keha seisab paigal) Dünaamiline hõõre - (keha liigub ühtlase kiirusega) 3) Kineetiline energia on liikuva keha energia, mis on võrdne poole ()antud keha massi ja tema kiiruse ruudu korrutisega. . Kineetilise energia tuletis aja järgi on keha võimsus 4) Konservatiivsed jõud on sellised, mille töö liikumisel 1 2 ei sõltu trajektoorist, vaid punktide 1 ja 2 asukohast ruumis. Konservatiivsete jõudude alla kuuluvad nt potentsiaalne energia (gravitatsiooni jõud ja vedru jõud ) 5) Energia jäävuse seadus on üks olulisimaid jäävusseaduseid füüsikas, mis väidab, et isoleeritud süsteemi kogu energia on ajas muutumatu suurusega (energia on jääv). St, et
s = f (t ) 11 98.Kirjutada punkti liikumise seadus polaarkoordinaatides tasapinnalisel juhtumil. = f (t ) A = f (t ) 99.Kirjutada punkti liikumise seadus Descartes'i ristkoordinaatides. x = f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t ) 100. Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. ds v= = s dt 101. Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Punkti kiirusvektori moodul on võrdne kaarepikkuse tuletisega aja järgi. Kiirusvektor on trajektoori sihis ja on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas. dr v= = r dt 102. Defineerida punkti liikumise kiirus ja kiirendus. Kirjutada ka valemid.
x1 = = 3; x2 = =- . 6 6 3 1 X =- ;- ( 3; ) 3 Kahanemisvahemik: X : y < 0 3x 2 - 8x - 3 < 0 1 X = - ; 3 3 2) Leiame ekstreemumkohad: y´ = 0 1 3 x 2 - 8 x - 3 = 0 x1 = 3; x2 = - . 3 Määrame ekstreemumkoha liigi teise tuletise järgi. Teine tuletis oli f ( x ) = 6 x - 8 . 1 1 1 f - = 6 - - 8 = -2 - 8 = -10 < 0, siis x = - on maksimumkoht 3 3 3 f ( 3) = 6 3 - 8 = 18 - 8 = 10 > 0, siis x = 3 on miinimumkoht 1 1 ;- ( 3; Vastus: X =- ); X =- ; 3 ; miinimumkoht on 3 ja maksimumkoht on -1/3.
keha poolt läbitud teepikkuse ja kulunud aja suhe: , kus on keskmine kiirus, on keha poolt läbitud teepikkuse muut ja on aja muut. 4.Kiirendus (seletus ,valem ,mõõtühik) Kiirendus (tähis ) on vektoriaalne füüsikaline suurus, mis väljendab kiiruse muutumist ajaühiku kohta. Kiirenduse dimensioon on teepikkus/aeg2. Kiirenduse mõõtühik SIsüsteemis on meeter sekundi ruudu kohta ( ). Kiirendus (hetkkiirendus) on kiiruse tuletis aja järgi ehk nihke teine tuletis aja järgi. Kiirendus võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Negatiivset kiirendust nimetatakse kõnekeeles aeglustumiseks. , kus on kiiruse muudu funktsioon, liikumisfunktsioon, aeg ja Leibnizi diferentseerimise tähistus. Kui kiiruse muut on võrdsete ajavahemike puhul võrdne, on tegemist ühtlase kiirendusega. Üldjuhul on tegu mitteühtlase
Meie grupp teeb kolmanda. Andmeid saab finantsinspektsiooni kodulehelt: www.fi.ee TÄHTAEG: 19-st aprillist Raha Sisse juhatus ainesse. Finantsinstrument- kohustus, lepinguline õigus, II osapoolele vara üleandmise või vastuvõtmisega seoses, leping mille tulemusel ühele osapoolele tekib finantsvara ja II osapoolele finantskohustus või ka omakapitali instrument. Finants instrumentideks loetakse lisaks rahale; väärtpabereid, laene, hoiuseid, tuletis instrumente ehk derivatiive, võlgu ja nõudeid. Elektrooniline raha-raamatupidamislik raha-plastikraha- kontoraha ja sula raha- käega katsutav raha. Esemed -> Kaupraha -> väärismetallid -> mündid (13saj. alguses hakati vermima) Barter tehing kullakaupmehed 1220 tast pärinevad ühepoolsed õõnesrahad. ->kviitungid ja vekslid -> Raha 1) pangatähed 2) mündid 3) elek. Raha Raha seob kõigi majandusliku suhtlemise protsessis osalejate ühised aga ka
1 1 = ( x - y )sin 2 + xy cos 2 1 2 · normaalpinge suurim väärtus max = 1 on sellise nurga korral ristlõike suhtes (peapinna kaldenurk ristlõike suhtes), kus tuletis d/d = 0: d 2 xy d ( ) = - x - y sin 2 - 2 xy cos 2 = 0 tan2 = - x - y ,
Sõna yuppie asemel oleks mõistlike kasutada pintsaklipslane, buffet asemel aga Rootsi laud. Võrdväärse vaste leidmine pole alati lihtne, sest näiteks show vasted vaadend ja etendus ei sobi alati. Tsitaatsõnade kasutamisel peab meeldes pidama, et neis ei tohi kasutada eesti astmevaheldust ( long drink, ains om long drink'i, mitm nim long drink'id). . Võõrnimetuletistega on märgatavalt lihtsam, sest tuleb järgida vaid põhireeglit, mille kohaselt tuletis kirjutatakse nime ortograafiat säilitades (waleslane, newyorklane, hollywoodlik). Häälikute õigekiri b, d, g - p, t, k Laenude kirjutamine nõrkade või tugevate sulghäälikutega on korrigeeritud õigekeelsussõnaraamatu abil. Tugevaid sulghäälikuid peetakse tavaliseks vanemate laenude korral ning nõrki uuemate laenude moodustamisel. Nii on aegade vältel õigekeelsussõnaraamatu abil tehtud muudatusi sõnade kirjutamisel. Näiteks 1976.a ÕS tegi parandused plokk, trell. 1999
paroole, klahvivajutusi ja ekraanipilte. Näotustamine (defacement) toimub siis, kui pahatahtlik sissemurdja tungib veebiserverisse ning asendab seal hoitava kodulehe omaenda leheküljega. See sisaldab näiteks sissemurdja pseudonüümi, vahel ka poliitilist sõnumit. Pahavaraks, ka kurivaraks nimetatakse sellist tarkvara, mida kasutatakse ilma omaniku teadmata tema arvutisse tungimiseks ja/või selle kahjustamiseks. Warez on mitmuse tuletis sõnast software, arvutikasutajate slängis tähendab see piraattarkvara kogumikku. Vanasti jagatiseda üle telefoniühenduse, üks piraatprogramm teise vastu, hiljem riputati üles veebilehtedele, praegusel ajal vahetatakse piraattarkvara peamiselt P2P-võrkude (BitTorrent, Kazaa ja muud seesugused) vahendusel, väiksemal määral FTP- või veebiserverite kaudu Privaatsuse all mõeldakse isiku või grupi võimet kontrollida enda kohta saadaolevat informatsiooni. Selleks
väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele,siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, etlõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt: . Diferentseeruv funktsioon - Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Diferentseerimine tuletise arvutamine. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: x = x - a - argumendi muut kohal a ,
III etapp: Embrüote kasvatamine ja siirdamine. Viljastunud munarakke kasvatatakse inkubaatoris maksimaalselt 5 päeva. Seejärel valitakse emakasse siirdamiseks 1-2 embrüot Kehavälise viljastamise tulemuslikkust mõjutab mitu tegurit: · siiratud embrüote kvaliteet · viljatust põhjustavad faktorid · naise vanus ja kaasnevad haigused. Lisaks kliiniku tehniline varustus, ravimid ja spetsialistide kogemused. Bioonika Mis on bioonika? Bioonika on tuletis mõistetest BIOloogia ja tehNIKA ning tähendab "õppimist looduselt tehnoloogia jaoks" Mida uurib bioonika? Bioonikateadus uurib, kuidas saaks seadmeid ja masinaid konstrueerides ja materjale arendades rakendada loodusest pärit põhimõtteid Kuidas loodus tehnikaga sobib? Loodusel on olnud sadu miljoneid aastaid aega, et arendada välja otstarbekaid lahendusi. Loodusel on õnnestunud suurepäraselt toime tulla kõige erinevamate nõuetega
vaenulikult. Prantslased leidsid, et ameeriklaste teoste formaat ja intensiivsus lämmatavd näitustel nende tööd. Teised jälle arvasid, et ameeriklased ei ole originaalsed. Vaatamata kõikidele raskustele suutis abstrakne ekspressionism Euroopas läbi lüüa, kuid selleks, et prantsalsed saaksid oma iseseisvust ja tähtsust ikkagi tõestada, pandi talle nimeks ''informalism''. Tegelikult on see termin ainult ligikaudne tuletis 1950.aa. kasutusele võetud prantsuskeelsest mõistest ''art informel'' , sest viimane ei ole täpne ja otsekohene vastnad ''formaalsele'' , vaid pärineb prantsukeelsest sõnast informe (kindla vormita, raske kohmaka vormiga) ja tähendab kunsti, milles puuduvad selgepiirilised, geomeetrilised vormid, seega abstraktsionismi, mis on täielik vastand konstruktivismile. Informalismi esimesed eneseteadlikud rühmitused tekkisid väljaspool Pariisi ja Prantsusmaad
8. Kuidas arvutada väänavate üksikpöördemomentidega koormatud pikkuse muutus? astmelise võlli väändenurka? astmelise varda väändenurga epüür koostatakse ühtlselt väänatud ühtlaste lõikude kaupa: 9.10. Mida näitab pikke põhivõrrand? (punkti siirde tuletis võrdub tema suhtelise joondeformatsiooniga) 9.11. Milleks vajatakse pikke põhivõrrandit? Suhtelise pikenemise leidmiseks mingis punktis 9.12. Kuidas sõltub ühtlase varda pikideformatsioon omakaalu toimel selle varda ristlõike pindalast? Varda omakaal avaldub teljesihilise joonkoormusena: Omakaaluga tõmmatud varda pikkus muutub mitteühtlaselt 9.13. Millal on jäikustingimus primaarne tugevustingimuse suhtes? Kui on tegemist staatikaga määramata ülesandega 9.14
* Punktis a nimetatakse diferentseeruva f'ni f(x) statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 * Punktis a nimetatakse f'ni f(x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a puudub sel funktsioonil tuletis * Kui punkt a on f'ni f(x) statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f'il f(x) on punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f''(a)>0 korral on punktis a range lok miinimum ja f''(a)<0 korral on punktis a range lok maksimum * Kui f'ni f(x) korral f'(a)=...=f(m)(a)=0 ja f(m+1)(a)0 ning f(m+1)(x) on pidev punkis a siis 1. Juhul kui m on paaritu, siis on f'il f punktis a range lok ekstreemum, kusjuures f(m+1)(a)>0 korral on
võimalikust väärtuste hulgast. Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus) Jaotusfunkts- def tõenäosusena, et juh. Su. Väärtus ei ületa funkts argumenti x. Tingimused: monotoonsus, normeeritud. Jaotustih- jaotusfunkts tuletis Arvkarakteristikud- jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaalid, millega opereerimine lihtsam (infokadu) Keskväärtus enimkasut, iseloom.juh.su. jaotuse keskkoha/tsentri asukohta Dispersioon ja standardhälve enimkasut hajuvuse iseloomust, seotud, standardhdispersiooni ruutjuur Kvantiilid- juh.su. p-kvantiil väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. ka protsentiilid (detsiil, kvartiil). Mediaan- jaotuse keskpunkt, sümmeetmediaan=keskv
tõenäosus. Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus on võrde nende sündmuste tõenäosuste summaga. Kahe sõltuva sündmuse A ja B korrutise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega. 10) Juhuslik suurus – muutuv suurus, mille konkreetne väärtus sõltub juhusest. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – jaotusfunktsiooni esimene tuletis. Näitab, millised x väärtused on tõenäosemad, millised mitte. Juhusliku suuruse dispersioon – keskväärtuste suhtes leitud hälvete ruutude keskväärtus. 11) Keskväärtuse omadused: – Konstandi keskväärtus võrdub konstandi väärtusega. – Kahe mistahes juhusliku suuruse summa keskväärtus võrdub liidetavate keskväärtuste summaga. – Kahe sõltumatu juhusliku suuruse korrutise keskväärtus võrdub tegurite keskväärtuste korrutisega. Dispersiooni omadused:
Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p. Nt 0,3 kvantiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtuseid on variatsioonreas 30%. Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust xq, millest võrdsete või suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on q. 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon on jaotusfunktsiooni tuletis: F'(x) = f(x). 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine (aritmeetiline keskmine, standardhälve, mood, mediaan). 11. Mis omadused on normaaljaotusel? 1) normaaljaotus on sümmeetriline keskväärtuse µ suhtes: tema keskväärtus, mood ja mediaan võrduvad parameetriga µ 2) normaaljaotuse tihedusfunktsioonil on kaks käänupunkti, mis asuvad mõlemal pool keskväärtust kaugusel
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne matemaatika KODUTÖÖ Mina Ise 132456 IADB?? Tallinn 2019 ÜLESANNE 1 LOOGIKAFUNKTSIOON Leian oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon Matriklinumbri 5 viimast numbrit: 93656 Matriklinumber kuueteistkümnendsüsteemis: 2F478 Seitsmekohaline arv: 3F58CC8 Üheksakohaline arv: 54DFF9FF8 Ühtede piirkond: 3, 5, 8, 12 ( C16 ), 15 ( F16 )/ 0011, 0101, 1000, 1100, 1111 Määramatuspiirkond : 4, 9, 13 ( D16 ) / 0100, 1001, 1101 0-de piirkond : 0, 1, 2, 6, 7, 10 ( A16 ), 11 ( B16 ), 14 ( E16 ) / 0000, 0001, 0010, 0110, 0111, 1010, 1011, 1110 𝒇(x(x1,x2,x3,x4) = ∑ ( 3, 5, 8, 12, 15 )1 ( 4, 9, 13 )_ 𝒇(x(x1,x2,x3,x4) = ∏ ( 0, 1, 2, 6, 7, 10, 11, 14 )0 2 ÜLESANNE 2 TÕEVÄÄRTUSTABEL Esitada oma loogikafunktsiooni tõeväärtustabel. ...
tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x 8. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis · Funktsiooni muut ja tuletis y = f(x + x) f(x) [f(x) ± g(x)]´ = f '(x) ± g'(x) [f(x) . g(x)]´ = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x) f ( x) f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x )
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
