– võimaldab uurida kahe tarbija valikute seoseid ühel graafikul; algjaotus – kirjeldab hüviste jagunemist tarbijate vahel; kokkuleppekõver – efektiivsete lahendite hulk; harilikult kulgeb ühest kasti nurgast teise, hõlmates ka otspunktid; ühene tasakaalupunkt – jaotus, mille korral mõlema majandussubjekti poolt soovitud koguste summa ühtib olemasoleva kogusema mõlema hüvise korral; heaoluteooria esimene teoreem – kõik konkurentsitasakaalud on Pareto-efektiivsed; heaoluteooria teine teoreem – iga Pareto-efektiivne jaotus võib sobiva algjaotuse korral olla konkurentsitasakaal; Walras’ seadus – kui olemasolevast N turust on N-1 tasakaalus, siis on tasakaalus kõik N turgu; ümberjaotus – algjaotuse ümberkoraldamine; kasulikkusvõimaluste piir – joon, kus kõik punktid vastavad mingile tasakaalujaotusele ja näitavad kummagi osaleja kasulikkustaset selle hüvise jaotuse korral;
Kõigi nende nelja jõu mõjul koosmõju iseloomustatakse jõumõistega. Def: jõupaari momendiks nim paari ühe jõu suuruse korrutist õlaga võetava siis pluss või miinus märgiga. Märk on kokkuleppelilne, kuid lähtudes vektorkorrutise suunast on + märk siis, kui meil on jõupaar püüab pöörata keha vastupäeva. märk, kui jõupaar püüab pöörata keha päripäeva. Tähistatakse: M=+-F*h Jõupaari põhiomadused 1. Teoreem: jõupaari võib üle kanda mistahes asukohta tema tasapinnas ilma, et muutuks ta mõju jäigale kehale. Olgu meil jõupaar (F,F') õlaga h=AB. Näitame, et muutmata antud jõupaari mõju võib ta ümber paigutada nii, et õlg langeb ühte Cd. Sirgete I ja III, II ja IV lõikepunktidesse, mida tähistatakse K ja L kanname mööda mõjusirgeid jõud F ja F'. Nüüd rakendame K ja L isekeskis tasakaalustavad jõud F1 ja F2 suunatud pikisirget III ja IV
sin sin sin Koo sin usteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem a 2 b 2 c 2 Eukleidese teoreem a 2 fc, b 2 gc Teoreem kõrgusest h 2 fc ab ch S 2 2 f c 90 0
Kirjutada võrdsete suhete rida kiiruste jaoks mingi kujundi tasapinnalise liikumise korral. vA v v B C ACv BC v CCv Millises sõltuvuses on tasapinnaliselt liikuva kujundi punktide kiiruste moodulid kiiruste hetkelise tsentri asukohast? Punktide kiirused on võrdelised punkti kaugusega kiiruste hetkelisest tsentrist. Võrdeteguriks on pöörlemise nurkkiirus ümber kiiruste hetkelise tsentri. Sõnastada teoreem tasapinnaliselt liikuva kujundi mingi punkti kiirendusest pooluse kiirenduse kaudu. Kirjutada ka valem. Tasapinnaliselt liikuva kujundi mis tahes punkti kiirendus saadakse, kui geomeetriliselt liita mingi pooluseks võetud punkti kiirendus ja antud punkti kiirendus tema liikumisel koos kujundiga ümber selle pooluse kui kinnispunkti. a B a A a BA a BA Mis on jäiga keha tasapinnalisel liikumisel
lätteks. Nii palju kui meis on eurooplast, oleme ka Vana-kreeka kultuuri pärijad. Arhitektuuri kohta võib öelda, et tänu kreeklaste agoraadele ehk keskväljakutele on ka tänapäeva kandunud edasi idee ehitada peaaegu igasse suuremasse Euroopa linna ning pealinna peaväljak, mida kasutada edaspidi kogunemispaigana, ürituste korraldamiseks või isegi turu jaoks. Kreeka keelest on kasutusele võetud ka paljud võõrsõnad : filosoofia, teoloogia, kriitika, apaatia, loogika, teoreem ja suur osa meditsiinitermineid: kirurg, geen ning ka sõnad, mis on meie keeles niivõrd kodused , et me nende päritolule ei mõtle: rütm, muusika, mehhaanika, skeem. Kogu kirjanduslik pool on arenenud ka kindlasti läbi Kreeka eepika mõju, eestlaste puhul on näiteks ,,Kalevipoeg". Üle Euroopa levis ,,Ilias" ja ,,Odüsseia" ning need olid alusepanijateks kogu hilisemale Euroopa literatuurile, sest kui mitte need siis kes veel? Kuid kindlasti üheks tähtsaimaks
eurooplast, oleme ka Vana-Kreeka kultuuri pärijad. Kreeka arhitektuuri kohta võib öelda, et tänu kreeklaste agoraadele ehk keskväljakutele on ka tänapäeva kandunud edasi idee ehitada peaaegu igasse suuremasse Euroopa linna ning pealinna peaväljak, mida kasutada edaspidi kogunemispaigana, näiteks ürituste korraldamiseks või isegi turu jaoks. Kreeka keelest on kasutusele võetud ka paljud võõrsõnad, näiteks filosoofia, teoloogia, kriitika, apaatia, loogika, teoreem ja väga suur osa meditsiinitermineid: kirurg, geen ning ka sõnad, mis on meie keeles niivõrd kodused ja tavaliseks saanud, et me ei oskaks isegi mõelda nende päritolule. Näiteks võin tuua rütm, muusika, mehhaanika ja skeem. Kogu Euroopa kirjanduslik pool on arenenud ka kindlasti läbi Kreeka eepika mõju, eestlaste puhul võib näiteks tuua „Kalevipoeg“. Üle Euroopa levis „Ilias“ ja „ Odüsseia“ ning need olid alusepanijateks kogu hilisemale Euroopa literatuurile
VEKTORRUUMI MÕISTE Hulk V ={⃗a , ⃗b , ⃗c , … , ⃗x , ⃗y , ⃗z , … } on mittetühi hulk. DEF1: hulgal V on defineeritud elementide liitmine, kui igale paarile ( ⃗a , ⃗b ) ∈V ×V on seatud vastavusse element ⃗c ∈ . V × V →V ( ⃗a , ⃗b ) ↦ c⃗ =⃗a + ⃗b DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommuta...
Mükoloogid- seente uurimine Malakoloogid- limuste, nt maismaatigude uurimine Ornitoloog- lindude uurimine Ökoloogid- biotoopide või ökosüsteemide uurimine Antropoloogid- inimeste uurimine Muutuja: Tegur, mille mõju uuritakse. Niiskus, temperatuur, toitainete kontsentratsioon, valgus jms. Taimedel on võimalikult samad tingimused, erineb ainult uuritav tegur. (kontrolltaim, katsetaim). Teaduslik fakt: Kui püstitatud hüpotees peab paika, saadakse teoreem vms. Mõisted Biomolekul- orgaanilise aine molekul, mille moodustumine on seotud organismide elutegevusega, nt sahhariidid. Rakk- kõige lihtsam ehituslik ja talitluslik üksus, millel on veel kõik elu omadused. Eukarüootne rakk- päristuumne rakk, mida iseloomustab rakutuuma ja rakumembraansete ainete esinemine. Prokarüootne rakk- eeltuumne, seda iseloomustab rakutuuma ja rakumembraansete ainete puudumine.
polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem 34. Esimest järku harilikud diferentsiaalvõrrandid. Eraldatud ja eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandite mõisted, lahendamine. 35. Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine. 36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine muutuja vahetusega ja konstantide varieerimise meetodil.
Määramata integraali tähistatakse f(x) dx f(x) dx = F(x) + C Kui funktsioonil f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis eksisteerib sellel funktsioonil ka määramata integraal hulgal X. (hulk X on funktsioonide argumentide hulk). Määramata integraal on seega siis terve suur funktsioonideparv, kogum, ühisnimega F(x)+C 3) MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas
1. Mehaanika- füüsika osa, mis tegeleb kehade liikumise uurimisega. 2. Kinemaatika- mehaanika osa, milles käsitletakse erinevaid võimalusi keha asukoha määramiseks suvalisel ajahetkel suvalises trajektoori punktis. 3. Mehaaniline liikumine- keha asukoha muutumine ruumis teiste kehade suhtes aja jooksul. 4. Mehaanika põhiülesanne- määrata liikuva keha asukoht mistahes ajahetkel mistahes trajektoori punktis. 5. Kulgliikumine- liikumine, mille korral keha kõik punktid liiguvad ühesuguselt. 6. Punktmass- keha, mille mõõtmed võib antud liikumistingimustes arvestamata jätta. 7. Taustkeha- keha, mille suhtes vaadeldakse/kirjeldatakse meid huvitava keha liikumist. Vabalt valitav, soovitatav valida paigalseisvana. 8. Taustsüsteem- taustkehaga seotud koordinaatteljestik ja kell aja määramiseks. 9. Nihe- suunatud sirglõik, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga. 10. Trajektoor- mõtteline joon, mi...
Vana-Kreeka filosoofia ja teadus. Maailma üldiste probleemide üle juurdlemist nimetasid kreeklased filosoofiaks ja sellega tegelevaid inimesi filosoofideks. Filosoofia kasvas välja maailmakorralduse teket ja jumalate põlvnemist puudutavast religioossest arutlusest. Maailma püüdis esimesena seletada Mileetose filosoof Thales, kelle arvates sai kõik alguse veest. Thalese õpilane Anaximandrose meelest ei saanud maailma lähtuda ühest või teisest looduses esinevast ainest, vaid aluseks on apeiron meeltega tajumatu piiritu alge. 5-4. sajandi filosoofidest on tuntuim Demokritos, kelle seletuse järgi koosneb maailm tühjusest ning selles liikuvatest ja omavahel põrkuvatest jagamatutest algosakestest aatomitest. Matemaatikas olid silmapaistev roll Pythagorasel ja tema õpilastel. Pythagorase meelest põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Tuntuim on Pythagorase teoreem. Arstiteaduses oli oluline koht 5.-4. sajandil elanud arstil Hippok...
süsteemis, mis vähendavad süsteemi võimet teha tööd, sest osa energiast on pöördumatult muundunud soojuseks. Iseenese hooleks jäetud süsteem läheb üle vähem tõenäosest olekust enam tõenäosesse olekusse. enam tõenäone on see süsteemi olek, mille realiseerumisviiside arv on suurem. 10. Elektriväli vaakumis a. Elektrilaengu jäävuse seadus b. Elektriväli, selle tugevus c. Elektrivälja energeetiline karakteristika d. Elektriväljatugevuse voog e. Gaussi teoreem elektrostaatilise välja jaoks vaakumis f. Gaussi teoreemi rakendusi A) Elektrilaengu jäävuse seadus isoleeritud süsteemi elektrilaengute algebraline summa on jääv B) Elektriväli, selle tugevus C) Elektrivälja energeetiline karakteristika Väljapunkti potentsiaal on sellesse punkti paigutatud ühikproovilaengu energia. Väljatugevus näitab potentsiaali kõige kiirema kahanemise suunda ja selles suunas potentsiaali muutust pikkusühikul.
Miks võib pidada Kreekat Euroopa tsivilisatsiooni hälliks? Vanakreeka tsivilisatsiooni oli ülistatud ka varem filosoofia, teaduse, kirjanduse ja kunsti emana, kuid selle poliitilist pärandit tavaliselt ignoreeriti. Nüüd aga leiti, et kreeklaste suurimaks saavutuseks oli poliitilise vabaduse rajamine demokraatlikus riigikorras. Euroopa aluseid nähti vabaduses, kristluses ja tsivilisatsioonis. Juured Euroopa samastamiseks demokraatiaga leiti viienda eelkristliku sajandi Kreekast, kristlusega samastati Euroopa 15. sajandil, tsivilisatsiooniga alles valgustusajastul. Kui varem kehtis tsivilisatsiooni mõiste vaid eliidi kohta ja alamklasse peeti barbariteks, siis demokraatia ja sotsiaalsete reformide tulekuga laienes tsivilisatsiooni mõiste ka alamklassidele. Teater sai alguse Kreekast? Ehk Kreeka teater on Euroopa teatri "häll".Kreeka teater kujunes välja veinijumal Dionysosele pühendatud koorilauludest. E...
-reservvaluuta maa(ühenduse) finantsturge saab kasutada riigi raha ohutuks ja otstarbekamaks paigutamiseks. 10. Millised on laenuvõtja probleemid? 4 tk. -Kuskohast ja millistel tingimustel on võimalik raha saada. -Vaja on suhteliselt suurt summat, suhteliselt pikemaks ajaks. -Raha on vaja konkreetsel ajahetkel. -Laenukulud peaksid olema väikesed. -Laenutingimused ei peaks laenuperioodil muutuma. 1l. Suurte arvude seadus on : -statistiline nähtus õige vastus -matemaatiline teoreem -majandusseadus -juriidiline seadus 12. Milles seisneb laenuintressi olemus? -intress on: hind laenuvõtja informatsiooniga varustamise eest -laenuvõtmisega seotud riskide hajutamise hind -laenuandmise-laenuvõtmise hind õige hind -panga varade tähtaegade konverteerimise hind 13. Mille eest laenuandja tahab saada intressj? 3 tk. -Laenuandja soovib hüvitust jooksva tarbimise loovutamise eest. -Laenuandja soovib hüvitust likviidsuse loovutamise eest.
A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+..
x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
Lause Kui f(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f(a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Tõestus. Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f(x) on positiivne punktis a, st siis leidub selline > 0, et Seega, kui a (-; 0) U (0; ); siis suurused x ja y on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. 8. Keskväärtusteoreemid. Rolle'i teoreemi tõestus. Rolle'i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f (c) = 0. Tõestus. Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f (c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f (x) = 0 iga x (a; b). Lagrange'i keskväärtusteoreem
koguimpulss on nende kehade igasugusel vastastikmõju jääv. m1v1+m2v2=m1'v1'+m2'v2' Nr 15. Mehaaniline töö. Töö üldine definitsioon. Mehaaniline töö on võrdne kehale mõjuva jõu, nihke ning nendevahelise nurga korrutisega. A=F*s*cos . Töö on füüsikaline suurus, mis iseloomustab ühelt füüsikaliselt objektilt teisele kanduva energia hulka. Töö tähis on A ning ühik on [J]- dzaul. Nr 16. Kineetiline energia. Kineetilise energia teoreem. Kineetiline energia on kehal tema liikumise tõttu. Kineetilise energia teoreem: Ek=mv2/2 Nr 17. Raskusjõu töö. Keha potensiaalne energia. Raskusjõu töö ei sõltu keha liikumise trajektoorist, ta võrdub alati raskusjõu mooduli ja kõrguse muudu vastandväärtuse korrutisega. Potensiaalne energia on kehal tema vastastikmõju tõttu. Ep=mgh. Nr 18. Mehaanilise koguenergia jäävuse seadus. Mehaaniline võimsus. Kasutegur. Keha energia on jääv. Energia ei saa tekkida ega kaduda
Et keha püüab oma tangensiaalkiirust säilitada, tuleb teda pidurdada (kui liikumine on suunatud telje poole) või kiirendada (kui keha liigub teljest eemale. Tekib liikumisega risti olev inertsijõud. güroskoopilised jõud tekivad, kui püütakse muuta pöörlemistelje ruumilist orientatsiooni. Nagu eelmiste jõudude korral viib ka telje pööramine "tükikeste" trajektoori muutmisele. 15.Pascal'i seadus, Archimedese seadus, pidevuse teoreem Pascal'i seadus: Vedelikud ja gaasid annavad rõhku edasi kõigis suundades ühteviisi. Archimedese seadus. Vedelikku asetatud kehad kaotavad oma kaalust osa, mis on võrdne keha poolt välja tõrjutud vedeliku kaaluga. Pidevuse teoreem: Vedeliku voolamisel muutuva ristlõikega torus on voolamise kiirus pöördvõrdeline toru ristlõike pindalaga. 16.Bernoulli võrrand ning selle olemus Bernoulli võrrand kujutab endast energia jäävuse seaduse formuleeringut
Thales ( u 624 eKr 547 eKr ). , (u 630/635 - 543) Thalest peetakse traditsiooniliselt Euroopa esimeseks filosoofiks ning ühtlasi Ioonia koolkonna varaseimaks esindajaks. Thales oli pärit Väike-Aasia rannikul asunud linnriigist Mileetosest, kust on pärit ka kaks teist varast kreeka mõtlejat-- Anaximandros ja Anaximenes. Linna järgi on tema ja ta õpilased saanud nimeks Mileetose koolkond. Mileetos oli õitsev kaubalinn kus suure osa populatsioonist moodustasid orjad ning pidevalt toimus kibe võitlus rikaste ja vaeste vahel. Sarnane olukord valitses Thalese ajal enamikes Väike-Aasia linnades. Mileetoses toimusid 6. ja 7. sajandil suured majanduslikud ja poliitilised muutused, mille käigus võim kandus üha enam sugukondlikult aristokraatialt kaupmeestest koosnevale aristokraatiale. Thales olevat ennustanud 585.a. aset leidnud päikesevarjutuse. Siiski pole tõendeid tema erilistest geniaalsetest võimetest päikesevarjutuse ennustamisel-- ...
❑ ❑ Φ=∫ E(→) dS(→)=∫ EdScos α See integraal on kahekordne, nn pindintegraal, mis tähendab, S S et integreerimine toimub üle 2 ruumikoordinaadi. Kui pind S on kinnine (nt sfääri pind), siis ❑ lisatakse integraali märgile ringjoon ∮ ❑. ❑ 4. Gaussi teoreem elektrivälja korral. 2 Gaussi teoreem: elektrivälja tugevuse vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud elektrilise konstandiga ε0. Gaussi teoreem Φ= qsees/ qsees - kogulaeng kujuteldava kinnise pinna (Gaussi pinna) sees ja Φ on elektrivälja koguvoog läbi selle pinna.
51. Lähtudes isoleeritud süsteemi masskeskme võrrandist, tõestage see . Eeldan et ainepunkt on samane masskeskmega, siis saab rakendada Newtoni II-st seadust ainepunkti kohta. 52. Lähtudes kulgliikumise kineetilisest energiast, tuletage pöördliikumise kineetilise energia valem. Mis on inertsmoment? 2 2I Wk = 2 53. Milles seisneb Steineri teoreem? Joonis ja valem. Steineri teoreem väidab, et keha inertsmoment suvalise telje suhtes võrdub tema masskeset läbiva telje suhtes oleva inertsmomendi ja tema massi ning kauguse ruudu korrutise summaga. I = Ic+ma2 54. Mis on jõumoment? Valem ja joonis vektorite kohta. Jõumoment on suurus, mida kasutatakse jõu pöörava toime iseloomustamiseks. 55. Lähtudes töö avaldisest kulgliikumisel, tuletage töö avaldis pöördliikumisel.Tehke joonis. 56
Kordamisküsimused 1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui l...
- Kineetilseks energiaks nimetatakse energiat mida keha omab liikumise tõttu. (omavad kõik liikuvad kehad). K=mv2/2 K- kineetiline energia [1J], m- keha mass [1kg], v- keha kiirus [1m/s]. 17.Mida nimetatakse potentsiaalseks energiaks? - Potentsiaalseks energiaks nimetatakse energiat mida omavad vastastikmõjus olevad kehad. π= mgh ; π- potentsialne energia[1J], m- keha mass [1kg], g- raskuskiirendus [9,8 m/s2], h- keha kaugus nullnivoost [1m]. 18.Sõnastada kineetilise energia teoreem. - Keha poolt tehtud töö on võrdne keha kineetilise energia muuduga. A=ΔlK ; A- tehtud töö [1J], ΔlK=K-Ko; K-lõpp kineetiline energia [1J], Ko- alg kineetiline energia [1J]. 19.Sõnastada potentisaalse energia teoreem. - Keha poolt tehtud töö on võrdne keha potentsiaalse energia muudu vastandväärtusega. A=-Δlπ ; A- tehtud töö [1J], Δlπ=π-πo; π-lõpp potentsiaalne energia [1J], πo- alg potentsiaalne energia [1J]. 20.Sõnastada EJS mehaanilise koguenergia jaoks
See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (-1)i+kMik Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga: DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal. -3 7 -1 4 -9 2 7 5 2 7 5 -9 7 5 -9 2 7
· Millega on võrdne jõusüsteemi peamoment mingi punkti suhtes? Kõikide süsteemi jõudude momentide geomeetrilist summat taandamistsentri suhtes nimetatakse süsteemi peamomendiks selle punkti suhtes. · Millisel tingimusel on kaks jõusüsteemi ekvivalentsed (staatika põhiteoreemi põhjal)? Kõik jõusüsteemid, millel on ühesugune peavektor ja ühe ja sama taandamistsentri suhtes ühesugune peamoment, nimetatakse ekvivalentseteks. · Sõnastada Varignoni teoreem. Kui jõusüsteemil on resultant, siis resultandi moment mis tahes punkti suhes võrdub liidetavate jõudude sama punkti suhtes võetud momentide geomeetrilise summaga. · Kirjutada jõusüsteemi tasakaalutingimused vektoriaalkujul. · Kirjutada jõusüsteemi tasakaalutingimused üldkujul. · Sõnastada Coulomb'i seadused hõõrdejõu kohta. Maksimaalne hõõrdejõud ei olene kokkupuutepinna suurusest, vaid ainult nende pindade materjalist
erilahend mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuste andmisel Cauchy ülesanne Cauchy ülesandeks nimetatakse ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi F(x,y,y',...,y(n))=0 lahend y, mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, y'(x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 Lahendi olemasolu ja Olgu f(x,y) ja f'y määratud ja pidevad muutujate x,y piirkonnas D. Siis iga ühesuse teoreem punkti (x0, y0) D korral on Cauchy ülesandel y'=f(x,y), y(x 0)=y0 parajasti üks lahend y=y(x) Lineaarne Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis diferentsiaalvõrrand on lineaarne otsitava funktsiooni y ja selle tuletise y' suhtes Lineaarse y'+P(x)y=Q(x) diferentsiaalvõrrandi üldkuju Homogeenne Homogeenseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse
kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused): 1. maatriksi kahe rea ( või veeru )
välja. Elektrostaatikas vaatleme statsionaarset välja. Elektrivälja olemasolu selgub jõust, mis mõjub välja paigutatud laengule. Samal ajal, selgub ka asjaolu, et välja paigutatud keha omab laengut. Elektriväljatugevus on välja jõukarakteristik. 4. Punktlaengu elektrivälja tugevuse valemi tuletus lähtudes Coulomb' seadusest. 5. Elektriväljatugevuse vektori voog. Joonis, valem. 6. Gauss'i teoreemi tuletus. Kui on suvaline pind, siis integraal. Gauss'i teoreem määrab E vektori voo läbi suvalise kujuga kinnise pinna, mis ümbritseb laenguid. Vaatame ühte laengut, mille ümber kujutame kinnise pinna. Korrastasime suvalise pinnatüki kerapinna osana, mis toetub ruuminurga elemendile d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. 7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria
Funktsiooni tuletis Rühmatöö Sirgjoonelise liikumise teepikkus s (meetites) sõltub liikumise ajast t (sekundites) järgmiselt: s = 0,3t 2 + t Leida funktsiooni muut. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5 2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 1643-1727 1646-1716 3 Liikumise kiirus Punkti liikumise seadus: s = f (t) 0 (t = 0) Ajamo...
38. pygmalion - ..kuulus kujur,kes armus enda loodud elevandiluust tütarlapsekujusse, aphrodite elustas selle kuju ja nii sai võimalikuks abielugi. 39. graffiti- seintele ja kaljudele, anumatele ja savipotikutele kriibitud kirjad või uuristatud tekstid, mis teatavad avalikus ja eraelus toimunud sündmustest 40. hetäär vabade elukommetega vallaline kunstihuviline naine. 41. pythagoras - .. filosoof ja matemaatik, kelle teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. 42. tantalos ja tantalose mõõk zeusi poeg, kel oli luba istuda jumalate pidulauas. Ta tappis oma poja, karistuseks rippus tema pea kohal kaljupank(mõõk) , mis ähvardas iga hetk talle kaela langeda; ähvardav oht 43. distihhon kaksikvärss,mida kasutati eelkõige eleegiates. 44. deus ex machina situatsiooniväline, tegevusest mitte tulenev, ootamatu lahendus .
1. Mediaanvalija - on valija, kelle eelistus asub eelistuste rea keskel 4 5 6 6 7 9 23 30 30 62 70 sellise rea puhul on mediaanvalija eelistus 9. Osad tarbijad tahavad mõnda avalikku kaupa rohkem, osad vähem. 2.Keskmise valija teoreem – eelistuste valimisel võidab alati mediaanvalija. Ntx kui palju peaks tudeng stipendiumit saama? 50 60 200 200 220 300 355, siis mediaanvalija on 200 eurot. Selle summaga oleks nõus 4 valijat, samas 3 valijat soovib kõrgemat. Kui vaadata 50 eurot, siis selle puhul oleks rahul vaid 1 valijatest. 3. Enamushääletus – on see, kui otsuse poolt on vähemalt 51% inimestest. 17 valija puhul on poolt vähemalt 9 inimest 4
ainult raamatutest, nt, oskus mängida mingit pilli. M.Polanyi- on olemas mõistete ja väidete abil väljendatav teadmine ning keele abil väljendamatu teadmine nt oskus rääkida meie emakeeles, oskus kõndida, kirjutada, hoida tasakaalu. Teadmine- on põhjendatud tõene uskumus. Jah, võivad, sest tema arvates on teadmised küll inimeste mõttetöö vili, kuid nad moodaustavad justkui omaette maailma. 1.Teaduslikud teadmised(välja töötatud teoreemid, def. valemid,; phyt. teoreem, kehamahlade teooria) 2. Argiteadmised( elutarkus(äikesega ära uju), vanasõnad(käbi ei kukku kännust kaugele), kõnekäänud)v sisi 1. empiirilised- teadmised, mis tulevad meelelisest kogemusest(ma tean et tuli kõrvetab)ei peaolema isiklik, kuu tagaküljel on mäed)2.aprioorsed-teadmised, mis on kogemusest sõltumata(meelelised): mõistuspärased e loogilised(inim, ei saa olla korraga elus ja surnud) konventsioonid e
- ühisosa märk - sidesõna ,,ja" - ühendi märk - sidesõna ,,või" - 2. Defineerimine Defineerimiseks nimetatakse mõiste seletust või küsimusele vastuse andmist. Algmõisteid ei defineerita, me teame selle nende tähendust. Algmõisted on näiteks punktihulk, punkt, sirge, tasand, hulk jne. Mõisteid defineerime algmõistete abil. Definitsiooniks nimetatakse mõiste täpset ja lühidat selgitust. Eristatakse algmõistet (üldtunnust) ja eritunnust. 3. Teoreem Teoreemiks nimetatakse mingi lause tõestust matemaatikas varem tuntud tõdede abil. Teoreemi tõestamist nimetatakse teoreemi tõestuse põhjendamist Aktsioomideks nimetatakse varem teada olevaid tõdesid. Teoreemi eelduseks nimetatakse lauset, mis on antud või on teada. Teoreemi väiteks nimetatakse lauset, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis teoreemi üldkuju on p q (lausest p järeldub q)
Mõisted ja valemid 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt, nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetetakse kolnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti ja mis peab läbima ringjoone keskpunkti. 5. Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. 6. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. 9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid ...
3) Leiame x (x võrdub plusssmiinus ruutjuurega vabaliikmest) 4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse 17. Millal on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit? Millal on kaks võrdset lahendit? Millal ruutvõrrandil lahendid puuduvad? Kui diskriminant on nullist suurem, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit. Kui diskriminant on nulliga võrdne, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid. 18. Viete'i teoreem. Millal võib kasutada Viete'i teoreemi? Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Viete'i teoreemi võib kasutada ainult taandatud ruutvõrrandis.
Minoiline Minose või Kreeta Trieer aerude ja purjede jõul (kultuur) 3000-1400 eKr liikuv Vana-Kreeka sõjalaev Lineaarkiri savitahvlitele 500eKr kirjutatud silpkiri Sümpoosion - Vana-Kreeka Minolise/Mükeene kultuuri ajast koosviibimine veinijoomisega ja Barbar - võõramaalane, kes intellektuaalse vestlusega (sünd, rääkis kreeklastele arusaamatut pulm, matus vms) keelt Patriarhaalne ühiskond, kus Hellen - Kreeklaste nimetus võim ja otsustamine on iseendile perekonnapea ehk isa käes Hellenism - antiikaja ajaloo- ja Matriarhaalne - kultuuriperiood (A. Suure surm Hetäär - haritud ja sotsiaalselt Egiptuse langemine Rooma võimu tunnustatud prostituut, ülalpeetav alla) 323-30 eKr naine Vana-Kreekas Alfabeet - tähestik Draama - tõsise konflik...
P1(x, f(x)) punktile A1(a, b1) ja suvalises piirprotsessis x → a +, kus x ei= a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P2(x, f(x)) punktile A2(a, b2). Kui b1 ei= b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x → a, x ei= a. Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a − ja x → a + läheneb f(x) erinevatele arvudele. 13. Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta. (lk 11) Piirväärtus limx→a f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad v˜ordsed ¨uhepoolsed piirv¨a¨artused lim x→a− f(x) ja lim x→a+ f(x). Peale selle, piirv¨a¨artuse limx→a f(x) olemasolu korral kehtib valem limx→a f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x). 14. Defineerida funktsiooni graafiku asümptoot. (lk 13)
väikesed suurused fg on kõrgemat järku lõpmata väike suurus nii f kui g suhtes.
8. Piirväärtuse põhiteoreemid: Lim xx0 f(x)=a. Arv a on f-i f(x) piirv. tingimusel, et x+
(x-). Kui >0, A>0, et x>A(x<-A)f(x)-a<. Definitsioon. Piirväärtuseks paremalt, kui
xx0 nim. piirv-st, kus xx0 ja seejuures x>x0. Seda tähistame lim xx0+0 f(x)=b. Piirv-ks
vasakult, kui xx0, nim. piir-st, kus xx0 ja seejuures x
Matemaatiliste tõestuste meetodid 1. Otsesed tõestuse meetodid M ate maat ilin e s üs teem koos neb aks ioomides t, teoreemides t, definits ioonides t ja defineeri ma ta obj ektides t. A ks ioom on laus e, mid a eeldataks e tõene olevat. D ef in its ioon i kas utataks e uute konts epts ioonide ja mõis t ete s elgitamis eks teadaolev ate mõis te te kaudu. Teoreem on väide, mis on tões tatud. L em m a - väiks e ma is es eis va tähts us ega teoreem, mis on ena mas ti abiks teoreemide tões ta mis e l. Järeld u s - toeree mis t ots es elt j ärelduv tule mus N äited: D efineeri ma ta obj ektid: punktid, jooned D efinits ioon: Kolmnurga ümber mõõ t on võrdne s elle kolmnurga külgede s ummaga Teoree m: Täis nuks e kolmnurga kaatet ite ruutude s umma võrdub hüpotenuus i ruuduga. J äreldus : kui kolmnurga külj ed on võrds e pikkus ega, s iis on s elle kolmnug a nurgad s amut i võrds ed.
ei lähene nullile. Rida hajub
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
kauba tootmiseks. · Tarbimispunkt autarkia tingimustes. Et tarbida teatud kogus ühte kaupa, tuleb loobuda teisest kaubast teatud kogustes. · Kaupade relatiivsed hinnad- · Põhjused. Kumbki riik saab tarbida rohkem seda kaupa, mida ta eelistab. Riigid saavad rohkem kasu kaubavahetusest kui nad spetsialiseeruvad nendele toodetele, mida teised riigid soovivad kõige rohkem. 12. Tegurikülluse teooria: kitsendused, H-O teoreem, täiendused teoreemi juurde. Leontieffi paradoks, selle selgitused. · Kitsendused. · Heckscher-Ohlini teoreem: riik ekspordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigi külluslikke tootmistegureid ja impordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigis nappe tootmistegureid. · Täiendused. Rybczynski teoreem - maailmaturu muutumatute hindade tingimustes toob ühe
19. Mis on hermiit1iline operaator? Kui kehtib seos A^ + = A^ , nimatatakse operaatorit enesekaasseks ehk hermiitiliseks (prantsuse matemaatiku Hermite'i järgi), kui A^ + = - A^ - antihermiitiliseks. Seega rahuldab hermiitiline operaator tingimust i ( ) * A^ k dq = A^ * k dq mistahes i ja k korral antud funktsioonide hulgast. 20. Omafunktsioonide omadused Teoreem 1: Erinevatele omaväärtustele vastavad hermiitilise operaatori omafunktsioonid on ortogonaalsed. Olgu 1 omafunktsioon, mis vastab operaatori L^ omaväärtusele 1 , 2 - omaväärtusele 2 , s o L^ 1 = 1 1 , L^ 2 = 2 2 , (20.1) 1 2 . Siis väidab teoreem, et
prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/im ages/Gauss.jpg LISAD Gauss margil. Carl Fr. Gauss 10 Zehn Deutsche Mark-al. Gauss.(1840) C. A. Janseni õlimaali järgi, mis asub Pulkovis Gaussi büst. Göttingeni ülikool, kus Gauss ligi 50 aastat tegutses. Gauss 26-aastane. Chr. Aug. Schwarzi pastelli järgi aastast 1803, asub muuseumis Braunschweigis. Carl Friedrich Gauss & Wilhelm Eduard Weberi mälestussammas Göttingenis . Gaussi teoreem 1. Gaussi teoreem 2. Gaussi matmispaik. Gaussi surnukeha lahati. Vaadati ka veel üle teadusliku täpsusega tema sisikonna tähtsamad organid. Osutus et Gaussi aju kaalus kolm naela ehk 1492 grammi. 1855 aastal algusest alates hakkas teda vaevama peale südamelaienemise ka astma, ilmnesid vesitõve nähud. 23 veebruaeril 1855 a. Levis Göttingenis kurb teade et Gauss oli varahommikul surnud. Tema sõbrad ja tuttavad ruttasid observatooriumi ja leidsid väikeses, väga lihtsas,
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 500000000...
idamaiste mõjutustega kreeka kultuuri levikule kogu tolleaegses maailmas. Peale tema surma kujunesid hellenistlikud riigid Egiptus, Makedoonia, tuumiksüüria. Ta oli tark ja tuntud sõjajuht, valitseja. Tema vallutuste tulemusena loodi maailmariik. Platon- Kreeka filosoof, Sokratese õpilane, kes kirja tema mõtted. Riigivalitsemisele alusepanija, pidas oluliseks ideemaailma. Rajas akadeemia. Pythagoras- õpetlane, kes edendas matemaatikat. Tema järgi on nime saanud täisnurkse kolmnurga teoreem. Tema arvates põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Sokrates- Ateena filosoof. Vaidles ägedalt sofistidele vastu. Ta ei kirjutanud ühtegi teost, vaid jagas oma õpetust läbi vestluse. Otsis voorust ja moraaliküsimust. Myron- skulptor, kelle teoseks kuulus skulptuur nimega Kettaheitja. Tegeles ka pronksi valamisega. Eukleides- matemaatik, kirjutas kogu matemaatikas saavutatud raamatu "Elemendid". Tõestas geomeetria põhialused, mis kehtivad siiani. Arvuteooria rajaja. 2) faktid
väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega). Reeglid: õ 287 Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral): (P v q) = (q v p) Assotsiatiivsus Distributiivsus Liiasus P=pvp p=p&p Kahekordne eitus p = - - p De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q -(p v q) = -p & -q Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q Ümberpööramine p-> q = -q -> -p Materiaalne ekvivalents Täiendavad LA reeglid: Taandamise reeglid: P&1=p P&0=0 P & -p = 0 loogiline vastuolu (samaselt väär) Pv1=1 Pv0=p P v –p = 1 loogiline tautoloogia (samaselt tõene) P -> p = 1 Implikatsiooni eitus: -(p -> q) = p & -q
2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on antud oma kordinaatide või komponentidega ortonormaalsel baasil. Teoreem 3 kui baas on ortonormaalne siis selleks et korrutada skalaarselt kahe vektorit, mis on antud oma koordinaatidega sellel baasil, tuleb korrutada vektorite vastavad koordinaadid ja need korrutised liita a*b=a1b1+a2b2+a3b3 Lõigu pikkus AB= (x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1) Kahe vektori vektorkorrutis Vektorite a ja b vektorrkorrutis nim vektorit y mille pikkus on arvuliselt võrdne niisuguse rööpküliku
16. Tootmise efektiivsuse tingimuseks kahe hüvisega (X ja Y) majanduses on: a. MCX/MCY = PX/PY b. MCX = MCY = MUX = MUY c. MCX = MCY = PX = PY d. MCX/MCY = MRT 17. Väliskulu probleemi ei suuda lahendada: a. Subsiidiumid b. Maksud c. Trahvid d. Regulatsioonid 18. Pareto-efektiivsuse saavutamist ei sega: a. Firmade turujõud b. Täiuslik konkurents c. Loomulik monopol d. Välisefektid 19. Coase teoreem: a. Väidab, et teatud juhtudel riik ei pea sekkuma väliskuludest tulenevate probleemide lahendamiseks b. Kasutatav siis, kui riik on sunnitud kehtestama korrigeeriva maksu erafirmasdele, et kõrvaldada negatiivsed välised efektid c. On kasutatav seal, kus välised effektid on olulised, aga tehingute sõlmimise kulud kõrged d. Väidab, et riiklikud subsiidiumid tuleb ette näha neile firmadele, kelle ühiskondlikud tulud on
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
