11 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 0 0 0 = 0 + + + + 1! 2! ! 22) Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Olgu funktsioon diferentseeruv vahemikus , . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui > 0 iga , korral, siis on kasvav vahemikus , . 2. Kui < 0 iga , korral, siis on kahanev vahemikus , . 23) Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi).
Ring S=r2 ; P=2r Rööpkülik S=ah ; P=2(a+b) Ruut S=a ; P=4a 2 Romb S=d1*d2/2 = a*h Ristkülik S=a*b ; P=2(a+b) Trapets S=a+b/2*h = k*h ; P=a+b+c+d Kolmnurk S=a*h:2 ; P=a+b+c Täisnurkne kolmnurk S=1/2*ah ; Risttahukas S=2(ab+ac+bc) ; V=abc Viete teoreem: X1+X2 = -p Püstprisma Sk=P*h ; St=Sk+2Sp; V=Sp*h X1*X2 = q Kuup Sp=a ; Sk=4*a 2 2 Silinder Sp=r2 ; St=2r ; Sk=2rh ; V=r2h Kera S=4r2 ; V= 4/3 r3 Koonus Sp=r2 ; Sk=rm ; St=r ; V= 1/3 r2h Korrapärane püramiid Sk=P*h ; St=Sk+2Sp ; V=Sp*h Püramiid Sk=Pm/2 ; St =Sk+Sp ; V=1/3Sp*h · (a+b)(a-b)= a²- b² · (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ · (a+b)²= a²+2ab+b² · (a+b)(a²-ab+b²)= a³+b³
mõjuva jõu ja selle laengu suhtega. E vektorite kogum moodustab elektrivälja tugevuse vektorvälja. E suund = positiivse poovilaengu summaga Elektrivälja potentsiaal töö, mida tuleb teha (positiivse) ühiklaengu viimiseks antud väljapunktist sinna, kus väli ei mõju. NB! Valemite parem pool käib ainult punktlaengute kohta! Tegelik väli võib olla väga keerulise geomeetriaga. Kuna elektrijõud on konservatiivsed, kehtivad järgmised matemaatilised seosed: 1. Gaussi teoreem ja lõpmata tasandi väli. Selle teoreemiga määratakse elektriväljautgevuse voog läbi kinnise pinna. Gaussi teoreem elektrinihke vektori jaoks elektrinihke vektori voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisemuses asetsevate vabade laengute algebralise summaga. Elektrinihke vektori voo ühik on kulon (c). =DndS=q Gaussi teoreem väljatugevuse vektori E jaoks elektriväljautgevuse voog läbi mistahes kinnise pinna
nõuniku ametit. Ema Antoinette Bégon suri, kui Blaise oli kolmeaastane . Varakult tutvus Pascal oma isa haritud sõpradega. Eelkõige oma maksuametnikust isa abistamiseks konstrueeris Pascal liitmismasina. Ühe sellise saatis ta näidisena Rootsi kuningannale Kristiinale. Pascal pidas kirjavahetust selliste suurkujudega nagu Descartes ja Fermat. Pascali panus matemaatikasse ja füüsikasse on märkimisväärne (Pascali teoreem projektiivses geomeetrias, Pascali seadus hüdrostaatikas jne.). Matemaatika kõrval pühendus ta teoloogia uurimisele ja meditatsioonile. Juba 10-aastasena pani Pascal kirja "Traktaadi helidest", sest täiskasvanute vastused teda ei rahuldanud, ja ta pidas vajalikuks nähtust iseseisvalt uurida. Kui Pascal 12-aastaselt raamatute abita geomeetriaalaseid saavutusi üles näitas (jõudes väidetavalt iseseisvalt Eukleidese 32. teoreemini, mille kohaselt kolmnurga
järgmistest piirväärtustest: Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad
Täisnurkse kolmnurga lahendamine Pythagorase teoreem 1. Leia täisnurkse kolmnurga 1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm; Lahendus: Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; c a 2 b2 . c 5 2 12 2 169 13. Vastus: hüpotenuus c = 13 cm. 2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm; Lahendus: Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; a c2 b2 .
a0 = 1 a n =an (an)m = anm an . am = an+m a-n = an an an-m am 1) ax2+bx=0 = x(ax+b) = x1=0 ja x2= -b Taandamata Ruutvõrrand 2) ax +bx+c=0 = x1,2= -b + b2-4ac = a(x-x1)(x-x2) 2 Taandatud Ruutvõrrand 3) x +px+q = x1,2= -p + p2-q = (x-x1)(x-x2) 2 Viete i teoreem x1+x2=-p X1 . x2= q Tegurdamine 2 2 (a+b)(a-b) = a -b 2 Ax +bx = x(ax+b) (a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2 A3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 Kui D<0 siis lahendid puuduvad
Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
Näiteks on n-järku osatuletis; funktsioon z on siin diferentseeritud algul p korda x järgi ja seejärel n-p korda y järgi. Teoreem 11.1.Kui funktsioon z=f(x,y) ja tema osatuletised fx' , fy' , fxy' ja fyx' on punktis M(x;y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis Teoreemist järeldub, et kui osatuletised on pidevad, siis Analoogiline teoreem kehtib ka suvalise arvu muutujate funktsioonide puhul. 13. Tuletis antud suunas (definitsioon + korralik selgitus joonisega). Vaatleme piirkonnas D funktsiooni z=f(x,y) ja punkti M(x;y). Rakendame punktist M vektori s=(x,y), mille suunakoosinused on cos , cos . Vektori s pikkus olgu s. Seega
16. 21. 09. 06 Taandatud ruutvõrrand ruutvõrrand. 2 p p x=- ± -q 2 2 17. 25. 09. 06 Ruutfunktsioon ja Viete´i teoreem Viete´i teoreem. 1) lk 62, ül 227-235 ruutvõrrand. x2 + px + q = 0 Matemaatika/9kl/2006/07 õa/I/2 x1 x2 = q
Edasi uurime, kas (*)-arvutatavatest funktsioonidest operaatori abil saadud funktsioonid on ka (*)-arvutatavad. Need funktsioonid, millega me tegeleme, on kõik osaliselt rekursiivsed funktsioonid ja neil on argumenti. Seetõttu järgmise teoreemiga: Teoreem. ([1], 24) Iga osaliselt rekursiivne funktsioon on arvutatav Turingi mõttes. See, et funktsioon on arvutatav Turingi mõttes, tähendabki antud juhul, et see funktsioon on (*)-arvutatav. Tõestuse idee. See teoreem tõestatakse induktsiooniga osaliselt rekursiivse funktsiooni definitsiooni järgi, s.t. näidatakse, et 1) iga algfunktsioon on arvutatav, 2) kui defineerime skeemide abil uusi funktsioone, siis arvutatavus kandub edasi. Antud teoreemi sees on vaja tõestada järgmised lemmad: Lemma 1. ([1], 25) Algfunktsioonid , ja on (*)-arvutatavad. Lemma 2. ([1], 26) Olgu funktsioonid ja (*)-arvutatavad ning , siis on ka funktsioon (*)-arvutatav.
punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani kastiks nimetatakse ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, vahetult peadiagonaali kohal asuvad elemendid on ühed, ent ülejäänud elemendid on nullid. · Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad. · Hüpotenuus- Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas; ka selle külje pikkus · Sulund- Eukleidilise ruumi alamhulga sulundiks nimetatakse selle
punktis pidev. Et funktsioon φ on pidev kohal b = f (a) (vt. (5.8)), siis liitfunktsioon φ ◦ f on lause 4.3 põhjal pidev punktis a, seega (5.10) Seostest (5.9) ja (5.10) saame, et Lause on tõestatud Teada pöördfunktsiooni diferentseerimise reeglit: Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D → R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon f−1 : D′ → R on kohal b := f (a) diferentseeruv parajasti siis, kui f′ (a) ̸= 0. Sel juhul 25. Fermat’ teoreem funktsiooni tuletise seosest lokaalse ekstreemumiga (*) Defineerida intervallis määratud funktsiooni lokaalse maksimumi ja lokaalse miinimumi mõiste: Olgu funktsioon f määratud intervallis D ja olgu a intervalli D sisepunkt, s.t. a ∈ Do. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et f (x) ≤ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et
funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , Osajadad. Bolzano-Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu kusjuures y = f (x). ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva mittekasvav või mittekahanev. osajada. *Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu on kasvav või kahanev
a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x2 + px + q = 0 Lahendivalem: 2 p p x=- ± -q 2 2 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 2 x + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x = - ± - 7 = -4 ± 9 = -4 ± 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete'i teoreemiga Viete'i teoreem: x1 + x2 = -p x1 · x2 = q b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: - b ± b 2 - 4ac x= 2a Lahendamine: Teisendada normaalkujule 3x2 8x 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit - 8 ± 8 2 - 4 3 ( - 3) - 8 ± 100 - 8 ± 10 x= = = 23 6 6 1 x1 = x2 = -3 3
Antiikajaks loetakse Vana- Kreeka ja Vana- Rooma ajastut. Kuidas antiikaeg on mõjutanud tänapäeva maailma? Kui varasemalt seletati maailma müütide ja jumalate abil, siis Kreeka kultuur oli väidetavalt esimene, kus hakati tähelepanu pöörama mõistupärastele seletustele. Algselt oli filosoofia arutlus looduse ja maailma üle, aga nende kohta tekkinud küsimused, panid aluse eraldi teadusharude tekkimisele. Selle aja matemaatikud, Pythagoras ja tema teoreem täisnurksest kolmnurgast ning Eukeleidesi geomeetria põhialused kehtivad tänapäevalgi. Kreeka tuntuima arsti, Hippokratesi vanne, mis lubab kaitsta patsiendi elu, annavad tänapäevalgi arstid. Archimedesi leiutatud kruvi on asendamtu ka tänasel päeval. 12 tahvli seadsusest saanud alguse Rooma seadusandlus, pani aluse õigusteaduse tekkele. Kreekas oli kõikidel kodanikel õigus osaleda rahvakoosolekul, kus otsustati tähtsaid küsimusi
cos Kui cosx=m, siis x=±arccosm + 2n, tan · cot = 1 kus n Z 1 1 + tan 2 = Kui tanx=m, siis x=arctanm + n, kus n cos 2 Liitmisvalemid : Z sin( ± ) = sin cos ± cos sin Viete'I teoreem ax2+bx+c=0 cos( ± ) = cos cos sin sin x1+x2=-b, x1*x2=c tan ± tan sin( ± ) tan( ± ) = = 1 tan · tan cos( ± ) Sin x Cos x Tan x Kahekordse _ nurga _ ja _ poo ln urga _ valemid : 0o 0 1 0 sin 2 = 2 sin cos
Peale dionüüsiate toimusid Ateenas ka pantenaiad, millega tähistati uue aasta algust. Ka tänapäeval on levinud uue aasta saabumise tähistamine suursuguste pidustustega. Vana-Kreekast said alguse ka tänapäeval tuntud teatrižanrid tragöödia ja komöödia. 2. Kui varasemalt seletati maailma müütide ja jumalate abil, siis Kreeka kultuur oli väidetavalt esimene, kus hakati tähelepanu pöörama mõistupärastele seletustele. Selle aja matemaatikud, Pythagoras ja tema teoreem täisnurksest kolmnurgast ning Eukeleidesi geomeetria põhialused kehtivad tänapäevalgi. Kreeka tuntuima arsti, Hippokratesi vanne, mis lubab kaitsta patsiendi elu, annavad tänapäevalgi arstid. 3. Kreekas oli kõikidel kodanikel õigus osaleda rahvakoosolekul, kus otsustati tähtsaid küsimusi. See andis võimaluse osa võtta kodanikel riigielust. Soloni reformid Ateenas, suurendas vaestel osaleda riigiasjades. See kõik on olnud aluseks demokraatia tekkele, mis
riigipiire. Seega võib tootmistegurite liikumist ja rahvusvahelist kaubandust pidada teineteise asendajaks. 12. Heckscher-Ohlini teooria 1) rahvusvahelise kaubanduse tekkepõhjusena nähti erinevusi riikide tootmistegurite proportsioonides; 2) rahvusvaheline kaubavahetus viib tootmistegurite hindade ühtlustumisele riikide vahel ja teatvas mõttes on tootmistegurite liikuvuse asendaja. 13. Heckscher-Ohlini teoreem - Riik ekspordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigis külluslikke tootmistegureid ja impordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigis nappe tootmistegureid. 14. tootmistegurite hindade võrdsustumise teoreem (ehk Heckscher-Ohlin-Samuelsoni teoreem) - kui kehtivad kõik H-O mudeli eeldused, siis viib rahvusvaheline kaubavahetus tootmistegurite hindade ühtlustumiseni erinevates riikides.
n = (-1)n n (so -1, 2, -3, 4...). J¨allegi n = 1n . Peale selle n 0. T~oepoolest, kui me suvalise positiivse arvu korral valime jada liikme, mille indeks n 1 , siis k~oigi sellele liikmele j¨argnevate jada liikmete n korral kehtivad seosed 1 1 n> n > 1 < |an | < . n 31 See n¨aitab, et n 0. Teoreem 2.1 p~ohjal on n l~opmatult kasvav, st |n | . T~okestatud suurused. Muutuvat suurust nimetatakse t~ okestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on t~okestatud. Tuletame meelde, et hulk A on t~okestatud, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). (vt §1.1). J¨arelikult: suurus on t~okestatud, kui k~oik suuruse v¨ a¨artused kuuluvad mingisse l~oplikku vahemikku (a, b).
..). J¨allegi n = 1n . Peale selle n 0. T~oepoolest, kui me suvalise positiivse arvu korral valime jada liikme, mille indeks n 1 , siis k~oigi sellele liikmele j¨ argnevate jada liikmete n korral kehtivad seosed 1 1 n> n > 1 < |an | < . n 31 See n¨aitab, et n 0. Teoreem 2.1 p~ohjal on n l~opmatult kasvav, st |n | . T~okestatud suurused. Muutuvat suurust nimetatakse t~ okestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on t~okestatud. Tuletame meelde, et hulk A on t~okestatud, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). (vt §1.1). J¨arelikult: suurus on t~okestatud, kui k~oik suuruse v¨a¨artused kuuluvad mingisse l~oplikku vahemikku (a, b).
f ( a) f ' '(a) 2 f ' ' ' ( a) Pn(x) = f(a) + 1 ! (x-a) + 2! (x-a ¿ + 3! (x-a)3 f (n ) (a) + n! (x-a)n Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f’(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b) 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi).
Tähistatakse x->- või lim x=-. Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub. 8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b
Tähistatakse x->- või lim x=-. Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub. 8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b
· Servad- hulknurkade küljed · Tipud- hulknurkade tipud · Diagonaal- lõik, mis ühendab kaht mitte ühel tahul asetsevat hulktahuka tippu · Diagonaaltasand- tasand, mis läbib hulktahuka kahte mitte ühele tahule kuuluvat serva · Diagonaallõige- hulktahuka ja tema diagonaaltasandi ühisosa Kumerad hulktahukad · Kogu hulktahukas jääb oma iga tahu tasapinnast ühele poole · Iga kahte punkti ühendav lõik jääb hulktahuka sisse · EULERI teoreem: Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+R-S=2 Korrapärased hulktahukad · Platoonilised kehad · Kumer hulktahukas, mille kõik tahud on omavahel võrdsed korrapärased hulknurgad ja kõik mitmetahulised nurgad on samuti võrdsed · Korrapärane tetraeeder, oktaeeder, ikosaeeder, dodekaeeder ja kuup PRISMA Kaks tahku on vastavalt võrdsete ning paralleelsete V=Sph külgedega hulknurgad ja kõik teised tahud on rööpkülikud
võrdub suuruselt ja suunalt antud jõududele ehitatud rööptahuka diagonaaliga. Telje suhtes võetud jõumoment: jõu momendiks P telje z suhtes nim telje risttasapinnale võetud jõu projektsiooni ja õla korrutist, võetuna + vüi märgiga. Jõu moment võrdub nulliga kui 1) jõud P on teljega paralleelne, sest sii on jõu projektsioon telje risttasapinnale võrdne nulliga 2)kui jõu mõjusirge lõikub teljega, sest ülg on võrdne 0. Paralleeljõudude tasakaaluv: Z=0 X=0 Y=0 Varignoni teoreem: kui js taandub resultandiks, siis selle resultandi moment mingi telje suhtes võrdub süsteemi kõigi jõudude momentide algebralise summaga sama telje suhtes. Paralleeljõudede kese: punkti C nim parall keskmeks. Parall keskmel on omadus, et kui pöörata ühes suunas kõigi jõudude mõjusirgeid õudude rakenduspunktide ümber ühe ja sama nurga võrra siis resultandi mõjusirge pöördub paralleeljõudude keskme ümber sama nurga võrra.10. jäiga keha raskuskeskme koordinaatide
4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted. Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral AB = BA = E , (1) kus E on sobivat järku ühikmaatriks. Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil. Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud. Tõestus. Olgu B1 ja B2 maatriksi A pöördmaatriksid. Siis AB1 = B1 A = E , AB2 = B2 A = E ja B1 = B1E = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = EB2 = B2 , s.t. B1 = B2 ning teoreemi väide kehtib. Maatriksi A pöördmaatriksit tähistatakse A-1 . Seega
jääksid seisma? (Kiiruste suunad ja suurused) Vastassuunas ja ühesuguste kiirustega. 24. Lühidalt seletada reaktiivmootori tööpõhimõtet. Millisel jäävusseadusel põhineb reaktiivmootori tööpõhimõte? Inertsijäävusseadusel. 25. Millist keha punkti nimetatakse masskeskmeks? Sõnastada masskeskme liikumise teoreem. Süsteemi masskese liigub nagu punktmass, millesse on koondunud kogu süsteemi mass ja millele on rakendatud kõik süsteemile mõjuvad välisjõud. Masskeskme teoreem: kui mingile kehade süsteemile ei mõju väliseid jõudusid või nad on tasakaalus, siis selle süsteemi masskese liigub konstantse kiirusega või seisab paigal. 26. Milliseid jõudusid nimetatakse konservatiivseteks, milliseid dissipatiivseteks jõududeks? Tuua näiteid. Konservatiivsed jõud on jõud, mille töö ei sõltu jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust ega pikkusest. Seega tuleb välja, et konservatiivse jõu korral joonintegraal ei tohigi sõltuda joone kujust.
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuur...
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39
Tõestus: Kui on lõigu tükeldus, kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame Millest järeldub f(x)=O(1) . Et Seega on lause tõene. 15. Lebesgue'i teoreem. Konstanse funktsiooni inegreerivus. Pideva funktsiooni integreeruvus. Monotoonse funktsiooni integreeruvus. Üks lausetest tõestada. Lause (Lebesgue'i teoreem) Funktsioon f on lõigul [a; b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a; b] ja pidev peaaegu kõikjal lõigul [a; b], st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Lause Lõigul [a; b] konstantne funktsioon on integreeruv sellel lõigul,kusjuures Lause
Pythagoras 570500eKr 11.03.09 8:08 P2rit Samose saarelt Rajas omaette koolkonna, eksisteeris 6 kuni 4 saj eKr Loetakse suureks mystikuks Algul elas Egiptuses hiljem r2ndas Itaaliasse. Matemaatika oli tema p6hiliseks uurimisallikaks ja filosofeerimise aluseks Itaalias rajas poliitilisreligioosse yhingu, ordu. Yhendas sendas aristokraate ja eesm2rgiks oli vaimne yleolek, omamoodi vaimne aristokraatia. Eesm2rgiks elusagimisest vabanemine. Seda t6estati pikaajamise vaikimisega, r22kimise keeld, kehtis liha kala ja ubade s66miskeeld. P jagas inimesed kolme sorti: a) jumalad b) inimesed c) tema sarnased filosoofid `Hullem on orjata kirgi, kui tyranne' `K6igile ei saa k6ike selgeks teha' `2ra ytle v2he paljude s6nadega vaid palju v2hestega' `See kes ei suuda valitseda iseennast, ei ole vaba' Pythagorase 6petus: teoreem andis suure panuse teaduse ja aritmeetika arendusse. Pyydsid...
Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , ...
+ = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 2(a + b) Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Kolmnurk + + = 180º Pindala: Ümbermõõt: P = a + b + c Võrdkülgne kolmnurk Kõrgus: Pindala: Ümbermõõt: P = 3 · a Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem: a2 + b2 = c2 Pindala: sin = cos = cos = sin = tan = tan = Trapets Pindala: Trapetsiks nimetataksenelinurka,mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed Ringjoon, ring
Kreeka ja Mükeene ajajärk 1.Kreeta ja Mükeene (2000-1400 eKr ; 1600-1100 eKr) 3.Kreeta-Mükeene ajajärk (2000-1100 eKr) Tume ajajärk (1100-800 eKr) Arhailine ajajärk (800-500 eKr) Klassikaline ajajärk (500-338 eKr) Hellenismi ajajärk (338-30 eKr) 6.Klassikaline Kreeka oli orjanduslik ühiskond, orje käsitleti kui omaniku vara, mitte kui ühiskondlikku. 7.Kodanikud-kõik vabad põliselanikest mehed. Kõik kodanikud käisid rahvakoosolekutel, valiti riigiametnikud ja moodustati nõukogu. Aristokraatidest koosnev nõukogu. Ülesanne oli juhtida polise sõjaväge ja korraldada igapäevaelu. 8.Kodanik pidi muretsema endale jalaväelasele täisvarustuse 9.Naistele, orjadele, vabadele talupoegadele. 10.Aristokraatia-võim oli nendel, nõukogu ja ametnikud valiti nende hulgast Demokraatia-nõukogu ja ametnikud valiti kogu kodanikkonna hulgast Türannia-ebaseaduslikult võimule tulnud ainuvalitseja võim 12.Linn paiknes kaljunukile raj...
Kui ruutvõrrandil x2 + px + q = 0 on kaks lahendit x1 ja x2, siis: Ruutjuur x1 + x2 = p x1 · x2 = q Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- Seda seost kasutatakse ruutvõrrandite koostamisel. negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juurimise reeglid · ab = a b a...
4 1 Kui ruutvõrrandil x2 + px + q = 0 on kaks lahendit x1 ja x2, siis: Ruutjuur x1 + x2 = p x1 · x2 = q Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- Seda seost kasutatakse ruutvõrrandite koostamisel. negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juurimise reeglid ...
funktsioonid �(�)�� � (�) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja �(�) on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning �̇(�)≠0 (�∈(�,�)), siis �’ = dy y ̇ dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. d Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)- f(a)=f´(c)(b-a) Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus
Thales - Kreeka filosoof, kes arvas, et ürgaineks oli vesi Pythagoras - Tema arvates põhines maailmakoraldus arvulistel suhetel. Pythagorase Teoreem Sokrates - Üritas seletada inimestele voorusi ja neid määrata, mis pidid tagama õnneliku elu. Ateena filosoof Platon - Sokratese õpilane. rajas Ateenas kooli (akadeemia); õndsuse eelduseks voorus Aristoteles - Platoni õpilane. Tegeles loogikaga. Riik on tähtsam kui inimene.Aleks Suure õpetaja, asutas Lükeionis kooli Solon -Ateena riigimees ja luuletaja, 4 varanduslikku klassi, määras õigused & kohustused Archimedes - Sitsiiliast pärit matemaatik, füüsik, leiutaja
Cauchy ülesanne: {y'=f(x,y) {y(Xo)=Yo * esimest järku HDV jaoks f(x,y) on pidev piirkonnas D=> eksisteerib (Xo; Yo). Kui y=y(x) on teada, siis y'(x) = f(x, y(x)) iga xD korral ; y'(Xo)=f(Xo,y(Xo)) ; y'(Xo)=f(Xo,Yo) ; tan=y'(Xo)=f(Xo;Yo) 2.I järku DV lahend: DV lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse same samasuse sõltumatute muutujate suhtes. *Esimest järku DV üldlahendiks nim f-i: y(Xo)=Yo. Lahendi olemasolu ja ühesus: Cauchy teoreem: Olgu f(x;y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis f(x,y)/y. Siis läbi iga punkti (Xo;Yo)D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver (Cauchy ülesandel on parajasti üks lahend. Cauchy ülesande puhul võib esineda kolm võimalust: 1)ül polegi lahendit 2)ül on mitu lahendit 3)ül on parajasti üks lahend. Näiteks Cauchy ülesandel y'=-x/y, y(0)=0 lahend puudub. Cauchy ülesandel y'=3y 2/3 , y(Xo)=0 on mistahes algväärtuse Xo korral
1074 kahe kõõlu vaheline nurk; toetub kaarele, mis Arvuta piirdenurk, mis toetub kaarele 100°. jääb kõõlude teiste otspunktide vahele; 100°:2=50° suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o
2f 2f 2f 2f x2 2y x y 2x y x 2x y2 6y Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks. 2 2 Näide 7
Pöördmaat leidm- Ruutmaatriksil A= ||aij|| Rn×nleidub pöördm siis, kui tema detem ei =0 Ruutm nim regulaarseks, kui tema deter ei ole null. Vastasel juhul nim ruutm singulaarseks. Funkt nim eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe väärtuse. Argument-sõltumatu muutuja. Funkt väärtus-argumendi väärt järgi leitud sõltuva muutuja vastavad väärt. Paarisfunk-rahuldab tingimust f(x)=f(-x), sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu-f(-x)=-f(x), 0 punkti suhtes sümmeetr. Ühene f-1le värtusele vastavusse seatud 1 väärtus nt y=2x-3. Mitmene-vastavusse seatud mitu väärtust, nt 1, vahemik 1;-1, x-le vastab y! Tuletis-funkt kasvu ja argumendi kasvu suhte piirväärtus arg muudu lähenemisel 0le. Geogr tõlgendus-f graafikule punktis P tõmmatud puutuja tõus. Füüsikaline-diferentsiaal näitab kui pika vahemaa läbib liikuv objekt selle kiirusega aja jooksul;kiirus on muutuv suurus. Diferentsiaal-korrutist f'(x)x ...
Thales Thales ( u 624 eKr 547 eKr ). Thalest tuntakse kui esimest kreeka varahellenite filosoofi ning Lääne filosoofia ja teaduse üks alusepanijatest. Pärit Mileetose linnast. Ta tuletas sellise maailmast arusaamise viisi, mõtlemisega, mis oli vabanenud müütilistest kujutlustest. Ehk ta ei toetunud müütilisele või religioossele tõlgendamisele. Thales pidas oleva algeks vett kui elu elementi. Ühe mõtte kohaselt olevat Thales laenanud selle mõtte, et maakera on vee peal Egiptuse või Vana-Babüloonia loomiseepostest ( Enuma-Elish ). Ta ise ei kirjutanud ühtegi teost. Kõik meile teadaolev on pärit hilisematest teostest, mis kirjutatud teiste autorite poolt. Aristotelese teosed olgu nimetatud siin. Viimase õpilane Eudemus tegi Thalesest esimese kreeka astronoomi ja matemaatiku, kui kirjutas teost geomeetria ja astronoomia ajaloost. Arvas, et kõik olev on täis jumalaid ja kõigel on hing. Olevat ennustanud päikesevarjutust, mis toimus aastal ...
Def: Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne maksimum, ki leidub selline positiivne arv δ, et 0<|∆xl<δ⇒∆y≥0. Def: Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatult eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. 16. Fermat´ teoreem. Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni Tõestus. tuletis selles punktis on null. Olgu selles punktis x väitsevastaselt f´(x)≠0. Seega f´(x) >0 või f´(x)<0 ja funktsioon f(x) on selles punktis
Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx . Nende integraalide summa: f(x) dx + g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte, kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama
1290 sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9.542012366 9,54 antakse standardkujul, näiteks 6.1646 -01, s.t. et koma tuleb nihutada ühe koha võrra =99.994999875 99,99 vasakule 0,61646, ümardades vastuse näiteks sajandikeni 0,62 NB ruutjuure saab leida ka vastava matemaatilise tabeli abil 7.Korrutise ruutjuur - TEOREEM. Näited. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. NB ühest ruutjuurest võib saada kahe (mitme) ruutjuure korrutise või vastupidi 8.Jagatise ruutjuur - TEOREEM. Ül.1304, 1306 Mittenega-tiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava = = ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. = = =
(sophoi) kutsuda. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane, aga kombe kohaselt omistati see tõestus, nagu teisedki avastused, Pythagorasele. Ta ema oli Pythais Samoselt ja isa Mnesarchus, foiniikia kaupmees Tüürosest. Pythagoras oli antiikolümpiamängude kahekordne rusikavõitluse võitja. Kõige tuntum on ehk Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga kohta: kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Pärimus ütleb, et kui Pythagoras selle seaduspärasuse avastas (või tõestas?), siis tõi ta hekatombi (kr hekatombe), s.o sajast härjast koosneva ohvri. Tegelikult ei tarvitsenud see üldsegi olla täpselt selline ohver: hekatombiks nimetati lihtsalt suurt ohvrit mitte alati polnud need härjad (kr bous) ning mitte alati polnud ohvriloomi sada (kr hekaton).
-makserisk -tururisk -likviidsusrisk-õige vastus -maarisk 13. Millised on finantsvahenduse ülesanded? 5 tk. -laenuandmisega ja laenuvõtmisega seotud riskide hajutamine -majandus subjektide informatsiooniga varustamine -suhteliselt väikeste hoiuste koondamine ja väljalaenamine suurte summadena -lühiajaliste hoiuste konverteerimine pikaajalisteks laenudeks -kõikide osaliste tehingukulude vähendamine. 14. Suurte arvude seadus on: -statistiline nähtus õige vastus -matemaatiline teoreem -majandusseadus -juriidiline seadus 15. Milles seisneb laenuintressi olemus: -hind laenuvõtja informatsiooniga varustamise eest -laenuvõtmisega seotud riskide hajutamise hind -laenuandmise-laenuvõtmise hind õige vastus -panga varade tähtaegade konverteerimise hind 16. Mille eest laenuandja tahab saada intressi? 3 tk. -laenuandja soovib hüvitust jooksva tarbimise loovutamise eest -laenuandja soovib hüvitust likviidsuse loovutamise eest
VEKTORRUUMI BAAS JA MÕÕDE DEF1: Vektorruumi V lin. sõltumatute vektorite süsteem B={⃗ e1 , ⃗ e2 , … , ⃗ en } moodustab baasi, kui ruumi V mistahes vektor on avaldatav süsteemi kuuluvate vektorite lin.kombona, s.t ∀ ⃗x ∈V korral ⃗x =x 1 ⃗ e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ ...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
