Jõu projektsioon tasandil on vektor, mis jääb selle jõu algus ja lõpppunktide projektsioonide vahele antud tasapinnal. See on vektoriaalne suurus. See on null, kui jõud on tasandiga risti. 38.Millega võrdub summavektori projektsioon mingil teljel? Summavektori projektsioon mingile teljele on võrdne liidetavate jõudude samale teljele võetud projektsioonide algebralise summaga. 39.Sõnastada teoreem kolme jõu kohta. Kui vaba jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, milest kahe mõjusirged lõikuvad, siis need jõud on ühes tasapinnas ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 40.Defineerida jõu moment punkti suhtes. Kirjutada ka valem. Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M o (F ) = r × F
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas
1 2 x asub punktist x1 paremal. f ( x )-f ( x ) 0 lim f ( x )-f ( x 1 ) x> x1 1 x-x > 0 ' f ( x 1 )= xx 1 0 f ' ( x1) 0 f ' ( x 1 )=0 x-x 1 25.Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a)=f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et f '(c)=0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul
Koonduv jõusüsteem, Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Ülesannete lahendamiseks tuleb süsteem taandad lihtsamale kujule ja leida tasakaalutingimused. Taandamise aluseks on teoreem: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti. Superpositsiooniaksioomi järeldusena võib jõusüsteemis olevad jõud üle kanda nenede mõjusirgete lõikepunkti ja seejärel jõurööpküliku abil asendada nendega ekvivalentse resultandiga Fres. Võib ka joonestada jõukolmnurga (joon2), kus liidetavad jõud kujutatakse teineteise järel, resultant on suunatud esimese vektori algusest teise lõppu.
tan=a/c tan=b/a Teravnurga tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe(jagatis) Nurki mõõdame kraadides: 1° 1°= 60'( minutit) 1'(min)= 60"(sekund) Mittetäisnurkse kolmnurga lahendamine: S=a*h/2 või S=a*c*sin/2 S=a*b*sin/2 S=b*c*sin/2 Siinuse teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega. a/sin=b/sin=c/sin nt: c=20cm, =124°,=31° Leida ; b ja a? =180°-(124°+31°)=25° b=20/ sin 31°=b/sin 124° b=20*sin 124°/sin 31° Pindala arvutamine: S=a*b*sin/2 S=b*c*sin/2 S=a*c*sin/2 Koosinuse teoreem: a2=b2+c2-2*b*c*cos cos=b2+c2-a2/2*b*c
Siis x − x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x − x1 saame f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. Võtame piirväärtuse: F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0. x→x1 Võrratused näitavad, et f’(x1) ≥ 0 ja f’(x1) ≤ 0. See on võimalik vaid siis, kui f’(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis
17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27
., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y(n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..
täiendavad lisatingimused kannavad aga nimetust liigierinevus. · Näiteks mõiste korrapärane hulknurk korral on selleks vanaks mõisteks ehk soomõisteks mõiste hulknurk, täiendavateks tingimusteks (liigierinevus) aga külgede võrdsus ja nurkade võrdsus. 38. Teoreem- · Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede (teiste tõeste lausete) abil, siis öeldakse, et see lause on teoreem. · Teoreem nelinurga külgede keskpunktidest: · Suvalise nelinurga külgede keskpunktide järjestikusel ühendamisel saadav nelinurk on rööpkülik. 39. Aksioom- Lauseid, mida loetakse tõeseks põhjendamata, nimetatakse matemaatikas aksioomideks 40. Teoreemi eeldus ja väide- · Igas teoreemis on võimalik eristada kahte osa teoreemi eeldust ja väidet. · Eeldusest näeme, mis on teada, mis antud. Väites selgub aga mida tuleb näidata, tõestada.
Jagame võrratuse selle negatiivse arvuga. Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust, Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise definitsiooni põhjal: Võtame -i -st paremalt Ja piirväärtuse Järeldub, et ja Mis tähendab, et see on võimalik ainult siis, kui 3. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Rolle'i teoreem Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f (a) =f (b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt nii, et f`(c)=0. b. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu:
ekvivalentsed, kuid hulk sisaldab hulgaga ekvivalentset osahulka 1. Teiste sõnadega, hulga võimsus on väiksem hulga võimsusest ja kirjutatakse ||<||, kui leidub selline injektsioon : , mis ei ole pealekujutus. Loenduva hulga võimsust tähistatakse sümboliga 0 (alef-null, hebrea täht alef), kontiinumi võimsust aga tähega c. Seega on hulga võimsus vähim lõpmatu kardinaalarv ehk 0=||. Naturaalarvude hulgast vähem võimas hulk on lõplik. Niisiis 0<1<2<3< ...<<...<0<. Cantori teoreem. Iga hulga kõigi osahulkade hulga () võimsus on suurem kui hulga võimsus: < ().
funktsioonidest (social welfare function), mida tuntakse kui Bergsoni-Samuelsoni sotsiaalse heaolu funktsioonidena (Bergson-Samuelson social welfare functions). Samuelson defineeris sotsiaalsete avalike teenuste omadused: need on kõigile kasutada, kas nad seda soovivad või ei; ühe inimese tarbimine ei vähenda teisele jäävat hüve kogust; selle kasutamise piirkulu on väga väike. Rahvusvahelises kaubanduses on tuntud Stolperi-Samuelsoni teoreem, mille Samuelson 1941. aastal ta koos Wolfgang Stolperiga Heckscher-Ohlini mudelist tuletas. Teoreem väidab, et tõketeta rahvusvaheline kaubandus soosib külluslikku tegurit ja piirab nappi tegurit ehk küllusliku tootmisteguri hind tõuseb ja napi teguri hind langeb. Teoreem selgitab, miks eksisteerivad majanduses alati teatud huvigrupid, kes ei soovi kaubavahetuse kasvu. Samuelsoni ja Robert Solow 1960. aasta edasiarendus Phillipsi kõverast tuvastas kõrge
2) Kas inimene näeb ultraviolettkiirgust? 3) Millisel aatomi koostisosakesel on negatiivne laeng? 4) Kes oli peaosas 1963.aasta filmis ,,Kleopatra"? 5) Kes mängis filmis ,,Nukitsamees" metsamoori? 6) Millises Ameerika osariigis asub Hollywood? 7) Kus filmiti ,,Sõrmuste Vennaskond"? 8) Linastumise ajal oli ,,Titanic" kõigi aegade kalleim film. Õige või vale? 9) Millise kujundiga on seotud Phytagorase teoreem? 10) Kas soe õhk tõuseb või langeb? VASTUSED 1-6.klass 1) Kumb levib kiiremini kas valgus või heli? VALGUS 2) Kuidas nimetatakse taimi uurivat teadust? BOTAANIKA 3) Millisel temperatuuril vesi keeb? 100 KRAADI 4) Mida mõõdavad termomeetrid? TEMPERATUURI 5) Kes on peategelane filmis ,,Ratatouille"? ROTT REMY 6) Milline piraat oli Peeter Paani filmis halb? KAPTEN KONKSKÄSI 7) Kes otsib endale aju filmis ,,Võlur Oz"? HERNEHIRMUTIS
Need on näiteks: punkt, sirge, tasand, arv, ruum, suurus. Teoreem: Teoreemiks nimetatakse lauset, mida saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil. Laused, mid kasutatakse põhjendamisel peavad olema enne põhjendataud, välja arvatud aksioomid. Aksioom- lause, mida loetakse tõeseks ilma põhjendamata. Teoreemi eeldus ja väide: Teoreemis eristatakse kahte osa: 1) eeldus- ütleb, mis on antud või teada 2) väide- ütleb, mida on vaja tõestada või põhjendada. Kui teoreem on kirjutatud kui, siis vormis, siis eeldus algab sõnaga kui ja võide algab sõnaga siis.
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1...
summaga Fres,x= F1x+F2x + ...=SFx ; Fres,y= F1y+F2y + ...=SFy ; Fres,z= F1z+F2z + ...=SFz Fres = Fres 2 , x + Fres, y + Fres , z , 2 2 9. Resultandi moodul 10. resultandi suunakoosinused cos a = cos(x, Fres)= Fres,x / Fres; cos b = cos(y, Fres)= Fres,y / Fres; cos g = cos(z, Fres)= Fres,z / Fres. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 11. Jõu moment telje suhtes Jõu pöördevõime sõltub jõu suurusest F ja õlast h. Jõu pöördevõimet iseloomustavat skalaarset korrutist Fh nimetatakse jõu momendiks telje suhtes. Mt(F)=±Fh 12. Jõu moment punkti suhtes
mõlema laengu suurusega ja pöördvõrdeline laengute vahekauguse ruuduga. Jõu siht ühtib laenguid läbiva sirge sihiga. 2. Elektrivälja tugevus. Elektrivälja tugevus on arvuliselt võrdne jõuga, mis mõjub antud punktis asuvale ühikulisele punktlaengule. Vektori E suund ühtib positiivsele laengule mõjuva jõu suunaga. Elektrivälja tugevus on positiivsele ühikproovilaengule antud väljapunktis mõjuv jõud. 3. Gaussi teoreem integraalsel ja diferentsiaalsel kujul. Gaussi teoreem: elektrivälja tugevuse vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud elektrilise konstandiga 0. Gaussi teoreem diferentsiaalse kujul: Vähendatakse ruumala kuni see muutub punktiks. Elektrostaatilisevälja divergents Divergents skalaarne funktsioon koordinaatidest Divergents näitab kuidas elektriväli muutub selle punkti läheduses. Mittehomogeenne väli ( väljatugevus ei ole kõigis punktides ühesugune) muutub
..) , x = x( t ) , y = y ( t ) , ... 1. järku täisdiferentsiaali invariantsus: du = u x dx + u y dy + u z dz + ... Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y ) = 0 ja Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y , z ) = 0 ja punkt P0 = ( x0 , y0 ) . punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) . Teoreem 1: Teoreem 2: 1) F, Fy on pidevad P0 ümbruses; 1) F, Fz on pidevad P0 ümbruses; 2) F ( P0 ) = 0 ; 2) F ( P0 ) = 0 ; 3) Fy ( P0 ) 0 ; 3) Fz ( P0 ) 0 ; 4) Fx on pidev P0 ümbruses. 4) Fx , Fy on pidevad P0 ümbruses.
a. Arvu L2 nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε>0 korral leidub niisugune arv δ> 0 , et kui a−δ < x Teoreem : Piirväärtus f ¿ on olemas parajasti siis, kui lim ¿ lim ¿ x→a x→ a 8. Piirväärtuste tehetega seotus omadused: a. Eeldame, et kõik paremal pool olevad piirväärtused eksisteerivad. i. Kui c on konstant, siis lim[cf(x)] = c[lim f(x)] s. t
summa enne ja pärast põrget on sama Võimsus on füüsikaline suurus, mis näitab töö tegemise kiirust (tähis N, ühik 1W) 1W on niisuguse seadme võimsus, mis teeb 1s jooksul tööd 1J Kineetiliseks energiaks nimetatakse energiat, mida omab keha oma liikumise tõttu (tähis K, ühik 1J) Potentsiaalne energia on energia, mida keha omab oma asendi tõttu teiste kehade suhtes (tähis pii, ühik 1J) Kineetilise energia teoreem Keha poolt tehtud töö on võrdne keha kineetilise energia muuduga Potentsiaalse energia teoreem Keha poolt tehtud töö on võrdne keha potentsiaalse energia muudu vastandväärtusega Mehaanilise koguenergia jäävuse seadus Suletud süsteemi kuuluvate kehade mehaaniline koguenergia on nende kehade igasugusel vastasmõjul jääv Energia jäävuse seadus Energia ei teki ega kao, vaid ainult muundub ühest liigist teise või kandub ühelt kehalt teisele
1. kõik nurgad 60°; 2. samast tipust tõmmatud kõrgus, mediaan ja nurgapoolitaja ühtivad, st sise- ja ümberringjoone keskpunkt samas punktis (mediaanide lõikepunktis); 3. , , , . Täisnurkne kolmnurk: 1. Pythagorase teoreem ; 2. Eukleidese teoreem , , ; 3. ümberringjoone keskpunkt asub hüpotenuusi keskel ; 4. siseringjoone raadius .
5. Mõlemas riigis on spetsialiseerumine mittetäielik. 6. Mõlemas riigis on ühetaolised tarbimisharjumused (maitse-eelistused). 7. Mõlemas riigis on mõlema kauba tootmisel täiuslik konkurents. 8. Eeldatakse täielikku tootmistegurite mobiilsust siseriigiliselt ning absoluutset immobiilsust rahvusvaheliselt. 9. Eiratakse transpordikulusid, tolle ja muid piiranguid, mis takistaksid kaupade rahvusvahelist liikumist. Heckscher-Ohlini teoreem: riik ekspordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigi külluslikke tootmistegureid ja impordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigis nappe tootmistegureid. Rybczynski teoreem - maailmaturu muutumatute hindade tingimustes toob ühe tootmisteguri pakkumise kasv riigis kaasa selle riigi toodangu kasvu valdkondades, kus kasutatakse intensiivselt antud ressurssi. Näiteks, kui mingis riigis suureneb
5. Mõlemas riigis on spetsialiseerumine mittetäielik. 6. Mõlemas riigis on ühetaolised tarbimisharjumused (maitse-eelistused). 7. Mõlemas riigis on mõlema kauba tootmisel täiuslik konkurents. 8. Eeldatakse täielikku tootmistegurite mobiilsust siseriigiliselt ning absoluutset immobiilsust rahvusvaheliselt. 9. Eiratakse transpordikulusid, tolle ja muid piiranguid, mis takistaksid kaupade rahvusvahelist liikumist. Heckscher-Ohlini teoreem: riik ekspordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigi külluslikke tootmistegureid ja impordib kaupu, mille tootmisel suhteliselt intensiivselt kasutatakse antud riigis nappe tootmistegureid. Rybczynski teoreem - maailmaturu muutumatute hindade tingimustes toob ühe tootmisteguri pakkumise kasv riigis kaasa selle riigi toodangu kasvu valdkondades, kus kasutatakse intensiivselt antud ressurssi. Näiteks, kui mingis riigis suureneb
2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada ja tõestada teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest. Kas suvaline pidev funktsioon on diferentseeruv? Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Tõestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et lim x→ a
Newtoni II seadus üldisel kujul kehale mõjuv resultantjõud võrdub tema impulsi muutumise kiirusega. 23.Defineerige suletud süsteem. Suletud süsteemiks nimetatakse süsteemi, millele ei mõju välised jõud või nende mõjud tasakaalustuvad. 24.Tuletage impulsi jäävuse seadus kahe keha vastasmõju korral. 25.Sõnastage impulsi jäävuse seadus, kirjutage vastav valem. 26.Tuletage valem keha masskeskme kiirenduse arvutamiseks. 27.Sõnastage masskeskme liikumise teoreem. Masskeskme liikumise teoreem. Kui mingile kehade süsteemile ei mõju väliseid jõudusid või need mõjud tasakaalustuvad, siis süsteemi masskese seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. 28.Tuletage valem, mis võimaldab arvutada raketi kütusekulu etteantud lõppkiiruse saavutamiseks. 29.Defineerige töö. Kirjutage töö valem konstantse jõu korral, tehke vastav joonis koos selgitustega. Töö keha liigutamine jõu mõjul. [A] = 1 J. 30
,a+). a, lim=a. f. Koonduvad ja hajuvad jadad f.i. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvateks. f.ii. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem).Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva jada tõkestatud suuruse korrutisest. a. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid a.i. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0 a.ii. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. b. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos Suurus on lõpmatult kahanev ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav.
Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ Vε-ümbruseks. 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a
17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24
6.2 Hausdorffi ruumi omadusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 ¨ 6.3 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 7 KOMPAKTSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi . 68 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides . . . . . . . . . .72 7.3 Kompaktsus meetrilistes ruumides . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.4 Heine-Boreli teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 7.5 Kompaktsus ja pidevad kujutused . . . . . . . . . . . . . . . .83 ¨ 7.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 8 SIDUSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.1 Sidusus ja tema komponendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 8.2 Sidusad hulgad arvteljel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=f()(x+x)= f() kus x on väärtus ja x+x vahelt. Leiame funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatise: Järelikult '(x)= Et x, kui x0, siis ja funktsiooni f(x) pidevuse tõttu Sellega on teoreem tõestatud. 24. NEWTON-LEIBNIZI VALEM Kui F(x) on pideva funktsiooni y=f(x) algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem =F(b)-F(a) TÕESTUS Olgu f(x) lõigus [a,b] integreeruv Funktsioon, millel on olemas algfunktsioon F(x) selles lõigus, s.t. F´(x)=f(x) iga x puhul lõigus [a,b]. x G ( x ) =f (t )dt
Vaadeldes x-i ja p-d y funktsioonina, seejuures: Saame y-ki suhtes lineaarne Saame üldlahendi parameetrilisel kujul: (10.2) (10.1)' teisendub eralduvate muutujatega võrrandiks. Siit Teine variant võrramdist, mida saame lahendada on: (10.3) (10.3)' Sel juhul asendame . Diferentseerime mõlemad pooled x-suhtes, leiame Kus üldlahend parameetrilisel kujul (10.4) (10.3)' saame eralduvate muutujatega võrrandi: Esimest järku võrrandi lahendi olemasolu teoreem ja ühesuse teoreem. Teoreem 10.1 Vaatleme võrrandit, kus (10.5) Olgu f: f(x,y) pidev ristkülikus ja olgu täidetud Lipscitzi tingimus y-muutuja suhtes. Siis eksisteerib üksainus võrrandi (10.5) lahend: , mis rahuldab algtingimust . Lipschitsi tingimusest järeldub: . Järelikult, kui eksisteerib osatuletis , siis saame, et (tõkestatud K-ga absoluutväärtus). 11. Claeraut' ja Lagrange'i võrrandid Need võrrandid on võrrandi (10.3) erijuhud. Claeraut' võrran omab kuju: (11.1) .
14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus, esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki ..11 katkevuspunktid. Tuua näiteid. ......................................................................................................11 15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. ........................................................... 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. ..............................................................................................................................14 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega)
4 0 V r 3 r Graafiliselt iseloomustatakse elektrivälja väljatugevuse joonte e E - joonte abil nende r tihedus on võrdeline vektori E arvväärtusega ja puutujad neile igas punktis ühtivad r vektori E suunaga nendes punktides. r Gaussi teoreem: E - voog läbi kinnise pinna S on võrdne selle pinna sisse jäävate r q laengute q S algebralise summaga, jagatud 0 -ga: E dS = S . Siit on saadavad S 0 valemid ühtlaselt pindtihedusega laetud lõputu tasandi elektrivälja jaoks: E = ja
Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
Märkus 1: n muutuja funktsioonil võib esineda n esimest järku osatuletist. Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale
e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus : Tähistame p1=2, p2=3, p3=5, ... Oletame vastuväiteliselt, et leidub suurim algarv pn. Vaatleme naturaalarvu a=p1 p2 ... pn + 1. Et a on suurem 1-st, siis peab leiduma algarv millega a jagub. Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga.
teljel (tasandis) . Kolmnurga raskuskese asub mediaanide lõikepunktis. Poolringi raskuskeskme leidmiseks on eraldi valem 2d/3. Lihtsustamise mõttes kasutatakse ka tükeldamist , st. tükeldan kujundi sellisteks kujunditeks, mille raskuskeskmeid ma leida oskan ja pärast leian ühe üldise. Kasutatakse ka katselisi võtteid nt, niidi otsa riputamine. Massikese- sinna võib kujutletavalt koondada süsteemi kogu massi. Homogeene keha- ühtlane keha. 1. Pappose-Guldini teoreem Kui tasandiline joon pöörleb ümber joone tasandis paikneva ja joont mitte lõikava telje, siis võrdub tekkiva pöördpinna pindala joone pikkuse ja joone keskme poolt läbitud ringjoone pikkse korrutisega. 2. Pappose-Guldini teoreem- Kui tasandiline kujund pöörleb ümber kujundi tasandis paikneva ja kujundit mitte lõikava telje, siis võrdub tekkiva pöördkeha ruumala kujundi pindala ja tema pinnakeskme poolt läbitud ringjoone pikkuse korrutisega.
p p x2+px+q=0; x1, 2 = - ± - q a b = a + (-b) Võrre S = ah 2 2 -a b = a (-b) = - ab a c b + = 180° Viete`i teoreem -a (-b) = ab = , - lähisnurgad x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc
piirprotsessis x- , kus xa.(JOONIS) -Suuruse miinus lõpmatuks ümbruseks nim suvalist vahemikku (-M;- ), kus M>0. Arv x kuulub minus Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete graafik. 7.Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva piirväärtuste võrduse omahelise seose kohta lõpmatuse ümbrusesse kui x<-M
1 1 0,3208 ül.3 Tehas saadab lattu 500 k õrgek valiteedilist toodet. Tõenäosus, et toode rik neb teel, on 0,02. Kui suur on tõenäosus, et lattu jõuab mitte rohk em k ui 6 rik nenud toodet? n= 500 lambda= 10 Poisson´i teoreem p= 0,02 m= 0 p= 0,0000 1 0,0005 2 0,0023 3 0,0076 4 0,0189 5 0,0378 6 0,0631
Teoreem: Ükski hulk ei saa olla iseenese elemendiks. Ühiselemendid annavad oma hulga. Iseenda elemendiks ei olda. ---------------------------- S-seotus aSb & bSc == aSc {0}=1 {0,1}=2 {0,1,2}=3 Iseenda elemendiks olla EI SAA aga iseenda osaks olemine ON KOHUSTUSLIK!!!!' Võrdsus= koosnetakse samadest elementidest ja kuulutakse samadesse kohtadesse. Akronüüm- näiteks $ märgi kirjutan sõnaga ORDINAALARV-ORDINAAL võrdlus. Jaguneb: nullordinaal, järgordinaal ja ordinaal.
mingitel väärtustel Ütleme, et valemitest F1, F2, ... , Fn järeldub valem G, kui igas interpretatsioonis valemite vabade muutujate kõikidel väärtustel, kus valemid F1, F2, ... , Fn on tõesed, on ka valem G tõene Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igas interpretatsioonis valemite vabade muutujate kõikidel väärtustel Churchi teoreem: ei leidu algoritmi, mis suudaks suvalise predikaatloogika valemi puhul kindlaks teha, kas valem on samaselt tõene Igasuguse lõpliku võimsusega ja loenduva hulga interpretatsioonide vaatlemine on vajalik, sest saab konstrueerida valemi, mis on tõene parajasti siis, kui kandjas on n elementi, ja saab konstrueerida kehtestatava valemi, mis on väär igas lõpliku kandjaga interpretatsioonis
positiivse väliskaubanduse ja-maksebilansi. Kes osalevad protsessis? Mida püütakse maksimeerida? Maksimeerida püütakse heaolu. · Üksiksisikud, maksimeerivad isiklikku heaolu. · Ettevõtte, maksimeeritakse kasumit. · 3 sektor, maksimeerib heaolu, seisavad nt. Raudtee heaolu eest. · Valitsus, maksimeerivad valijate hääli. · Ametnikud, maksimeerivad eelarvet. 2. Heaoluökonoomika esimene ja teine teoreem I teoreem- väidab, et konkurentsimajandusele vastab võimaliku kasulikkuse rajal punkt (E). II teoreem- väidab, et võimaliku kasulikkuse raja iga punkti (näiteks punkti E') võib saavutada lihtsalt ressursside ümberjaotamise teel ühelt inimeselt teisele, lastes seejärel toimida turumehhanismil. 3. Eelarve- on kõikehõmav plaan, mis on väljendatud rahandusterminites, millega antakse programmile tegevusvolitused ja mis viiakse ellu teatud kindla ajaperioodi jooksul. 4
a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 = = = =k a 2 + b2 + c 2 a 2 b2 c 2 S1 Sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud = k2 S2 5/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE TÄISNURKNE KOLMNURK Pythagorase teoreem. Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. a 2 + b 2 = c 2 Eukleidese teoreem: Täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega. a 2 = f c ja b 2 = g c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrgus on võrdne katetite projektsioonide geomeetrilise keskmisega. h = f g vastaskaatet lähiskaatet
p ⎛ p⎞ x2+px+q=0; x1, 2 = − ± ⎜ ⎟ − q a –b = a + (-b) Võrre S = ah 2 ⎝2⎠ -a ⋅ b = a ⋅ (-b) = - a⋅b a c b α + β = 180° Viete`i teoreem -a ⋅ (-b) = a⋅b = α,β - lähisnurgad x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Teoreem 2.1 Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Teoreem 2.2 Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõkestatud suurus Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b) Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne
< f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Fermat' teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f'(a)=0 Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 Punkti a nim f-i kriitiliseks punktiks ,kui a on statsionaare punkt või punktis a ei leidu f-il tuletist Kui punkt a on f-i statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f-il on punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)0--lok max, f''(a)0--lok min
Teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.Kehtivad võrdused: . Eeldus: On antud ABC, küljed a,b,c ja küljed ,,. Väide: =2R Tõestus: 1)Avaldame ABC pindala kolmel erineval viisil: Sabc=absin ; Sabc=bcsin ; Sabc=acsin Pindala väärtus valitud valemist ei olene : Sabc=absin = Sabc=bcsin ?= Sabc=acsin |: Absin=bcsin=acsin | : abc = Kui arvud on võrdes on võrdsed ka nende pöördarvud: 2) Näitan, et = 2R 1. Joonestan tipust C diameetr CD=d=2R 2. Ühendan punktid B ja A 3. D=A= 4. Saan DBC=90kraadi 3)ABC: sin= ja saan 2R= (võrde välisliikmeid võib vahetada)
Popmuusika võidukäik Lillede fotosüntees Valguse neeldumine Heroiline maastikumaal Saastatud õhk Staatiline elekter Vana - Kreeka kirjandus Vulkaani purskamine Samasuunalised vektorid Hellenistlik kunst Mandrite triiv Kolmerealine determinant Eelklassikaline periood Veetaseme muutus Piirväärtuse arvutamine Joonia stiil Raua oksüdeerumine Pythagorase teoreem Pärimusmuusika päevad Must jää Astronoomiline ühik Laulev revolutsioon Liikide levik Bioloogiline kell Ilmalik laul Liikide väljasuremine Orgaaniline keemia Kunstimuuseumi näitus Liikide teke Aatomi ehitus Eesti muusika Mändrijää sulamine Nõrgad elektrolüüdid Kultuuriväärtuste sammas Lehtede kõdunemine Infotehnoloogia areng
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
