· Järelikult on loenduvad parajasti need hulgad, mis on esitatavad jadana {a0, a1, a2, . . .}. · Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka. · Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on samuti loenduv. Cantor-Bernsteini teoreem Definitsioon Ütleme, et hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust, kui leidub injektsioon f : A B. Teoreem (Cantor-Bernsteini teoreem.) Kui hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust ja hulga B võimsus ei ületa, hulga A võimsust, siis hulgad A ja B on sama võimsusega. Teoreemi teine sõnastusvariant. Kui A B C ja A C, siis A B C. Teoreem Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, st P(N) R. Tõestuse idee. Piisab tõestada, et P(N) [0, 1)...
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem ): Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Vaata lk 31 tõestust. Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Vaata tõestust lk 32. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) l¨aheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on.............. või f(x) b kui x a...
Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale...
· Matemaatika-niisiis pyydsid filosoofid seletada maailma möistatusepäraslet ja filosoofia oli algul justkui kreeklaste maailmakorrraldusalaste õpetusete kogum.matemaatikaga tegels juba Thales,kuuid veelgi rohkem edendasid seda 6.saj teisel poolel Pyhtagorase meelest pöhines maailmakorraldus arvulistel suhetel.arvud olid tema silmis pühad.Nii on tema järgi nime saanud tuntud teoreem täisnurkse kolmnurga kaatetite ja hypotenuusi vahekorrast. · Tekkis vajadus luua kindel väärtusmõõt.Nõnda hakkasidki kreeklased Väikse-Aasias elanud lüüdlaste 7 saj. Lõpus eKr müntima hõberaha · Olumpia.alates 8.saj-pärimuse järgi aastatel 776 eKr-hakati olümpias iga nelja aastatagant korraldama suuri usu-ja spordipidustusi olümpiiamänge,mis omandasid aja jooksul ülekreekalise tähtsuse.....
Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem : igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa...
Def: jõupaari momendiks nim paari ühe jõu suuruse korrutist õlaga võetava siis pluss või miinus märgiga. Märk on kokkuleppelilne, kuid lähtudes vektorkorrutise suunast on + märk siis, kui meil on jõupaar püüab pöörata keha vastupäeva. märk, kui jõupaar püüab pöörata keha päripäeva. Tähistatakse: M=+-F*h Jõupaari põhiomadused 1. Teoreem : jõupaari võib üle kanda mistahes asukohta tema tasapinnas ilma, et muutuks ta mõju jäigale kehale. Olgu meil jõupaar (F,F') õlaga h=AB. Näitame, et muutmata antud jõupaari mõju võib ta ümber paigutada nii, et õlg langeb ühte Cd. Sirgete I ja III, II ja IV lõikepunktidesse, mida tähistatakse K ja L kanname mööda mõjusirgeid jõud F ja F'. Nüüd rakendame K ja L isekeskis tasakaalustavad jõud F1 ja F2 suunatud pikisirget III ja IV...
a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 = = = =k a 2 + b2 + c 2 a 2 b2 c 2 S1 Sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud = k2 S2 5/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE TÄISNURKNE KOLMNURK Pythagorase teoreem . Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. a 2 + b 2 = c 2 Eukleidese teoreem: Täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega. a 2 = f c ja b 2 = g c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrgus on võrdne katetite projektsioonide geomeetrilise keskmisega. h = f g vastaskaatet lähiskaatet...
Peale tema surma kujunesid hellenistlikud riigid Egiptus, Makedoonia, tuumiksüüria. Ta oli tark ja tuntud sõjajuht, valitseja. Tema vallutuste tulemusena loodi maailmariik. Platon- Kreeka filosoof, Sokratese õpilane, kes kirja tema mõtted. Riigivalitsemisele alusepanija, pidas oluliseks ideemaailma. Rajas akadeemia. Pythagoras- õpetlane, kes edendas matemaatikat. Tema järgi on nime saanud täisnurkse kolmnurga teoreem . Tema arvates põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Sokrates- Ateena filosoof. Vaidles ägedalt sofistidele vastu. Ta ei kirjutanud ühtegi teost, vaid jagas oma õpetust läbi vestluse. Otsis voorust ja moraaliküsimust. Myron- skulptor, kelle teoseks kuulus skulptuur nimega Kettaheitja. Tegeles ka pronksi valamisega. Eukleides- matemaatik, kirjutas kogu matemaatikas saavutatud raamatu "Elemendid". Tõestas geomeetria põhialused, mis kehtivad siiani. Arvuteooria rajaja. 2) faktid...
Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaa...
Funktsioonide väärtused kraadides. Nurkade lahendvalemid. Erinevate funktsioonide graafikute joonised...
Mikro- ja makroökonoomika Sissejuhatus SISSEJUHATUS MAJANDUSSE Käsitletakse: · Majandusteadust ja majandusteooriat ja selle alustalasid · Majanduse põhiprobleemi · Majandusmõtte arengut · Majandusteaduse meetodit ja analüüsi vahendeid · Majandusliku ringvoo mudelit 1.1. Majandusteooria olemus Tänapäeva inimest on nimetatud mitmeti, muuhulgas ka homo economicus'eks, s.t. majanduslikult mõtlevaks ja käituvaks inimeseks. Seda enam, et turumajanduslikes riikides pole inimene enam mitte passiivne turujõudude objekt, vaid aktiivne ja majandussuhteid kujundav subjekt. Sajandivahetusele iseloomulikus tehno- ja infoühiskonnas (vahel nimetatud ka uueks majanduseks) oleneb iga üksikinimese edukus väga suurel määral tema majanduslikust edukusest. Viimane sõltub omakorda oskusest end ümbritsevat majanduskeskkonda tunnetada, teiste ja iseenda majanduslikku käitumist analüüsid...
Kreeta-Mükeene Koostasid: Sirli Mändmets ja Kristina Bauer Vana-Kreeka jaguneb perioodiliselt viieks: Kreeta- Mükeene periood, tume ajajärk, tsivilisatsiooni uus tõus, klassikaline ajajärk, hellenismiperiood. Kreeta-Mükeene Kujunes umbes 2000 1000 e.Kr. Algselt arenes välja lossikultuur, algas Minoiline kultuur, mis oli ühtlasi vanem Euroopa kõrgkultuur. Tähtsaim kultuurisaavutus oli lineaarkirja A ja B kasutamine. Sellest ajast pärineb ,,Trooja sõja" temaatika. Tume ajajärk kujunes umbes 1100 800 e.Kr. Iseloomulik oli eraldatus, madal tsivilisatsioonitase, kiri unustati sootuks ning algasid suured väljaränded Kreeka aladelt. Tumeda ajajärgu alguse põhjuseks võib pidada hiidlainet, mis hävitas tollase ühiskonna. Ainus teadaolev kultuurisaavutus oli raua kasutuselevõtmine. Tsivilisatsiooni uus tõus toimus aastatel 800 500 e.Kr. Sel ajal tekkis varanduslik kihistumine ning riiklus. Taas hakkas aset leidma vaimne tege...
Indiviidi põhiproblee- miks on tunnetada oma suhet maailmaga omada adekvaatset infot maailma kohta ehk maailma- pilti. Selle info mastaabihorisondi rõhutamisel kasutatakse maailmaga samatähenduslikku mõistet Universum. Maailma käsitleva info mitmekesisuse rõhutamisel kasutatakse maailma kohta mõistet loodus. Religioosses käsitluses kasutatakse samatähenduslikku mõistet (Jumala poolt) loodu. Inimene koosneb ümbritseva reaalsuse (mateeria) objektidest (aine ja välja osakestest) ning infost nende objektide paigutuse ning vastastikmõju viiside kohta. Selle info põhiliike nimetatakse religioossetes tekstides hingeks ja vaimuks. Vaatleja on inimene, kes kogub ja töötleb infot maailma kohta. Vaatleja tunnusteks on tahe (valikuvaba- duse olemasol...
Leiame funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatise: Järelikult '(x)= Et x, kui x0, siis ja funktsiooni f(x) pidevuse tõttu Sellega on teoreem tõestatud. 24. NEWTON-LEIBNIZI VALEM Kui F(x) on pideva funktsiooni y=f(x) algfunktsioon lõigul [a,b] siis kehtib valem =F(b)-F(a) TÕESTUS Olgu f(x) lõigus [a,b] integreeruv Funktsioon, millel on olemas algfunktsioon F(x) selles lõigus, s.t. F´(x)=f(x) iga x puhul lõigus [a,b]. x G ( x ) =f (t )dt...
Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem ). Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused...
o Omadused: [ f (x) + g (x)]' = f' (x) + g' (x) [ f (x) g (x)]' = f' (x) g' (x) [c f (x)]' = c f (x) [f (x) g (x)]' = f' (x) g (x) + g' (x) f (x) [f (x) / g (x)]' = [f' (x) g (x) g' (x) f (x)] / [g (x)]2 9. Keskväärtusteoreemid, L'Hospitali reegel. o Keskväärtusteoreemid: Rolle'i teoreem kui funktsiooni f (x) on pidev lõigul [a;b] ja diferentseeruv vahemikus (a;b) ning f (a) = f (b), siis vahemikus (a; b) leidub selline c, et f' (c) = 0, st f(x) C[a;b] D (a; b) ^ f (a) = f (b) c (a; b) : f' (c) = 0. Cauchy keskväärtusteoreem kui funktsioonid (x) ja (x) on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b),...
Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem . L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,..., En ja olgu n reaalaru 1, 2, 3, ..., n...
Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o....
Maailma üldiste probleemide üle juurdlemist nimetasid kreeklased filosoofiaks ja sellega tegelevaid inimesi filosoofideks. Filosoofia kasvas välja maailmakorralduse teket ja jumalate põlvnemist puudutavast religioossest arutlusest. Maailma püüdis esimesena seletada Mileetose filosoof Thales, kelle arvates sai kõik alguse veest. Thalese õpilane Anaximandrose meelest ei saanud maailma lähtuda ühest või teisest looduses esinevast ainest, vaid aluseks on apeiron meeltega tajumatu piiritu alge. 5-4. sajandi filosoofidest on tuntuim Demokritos, kelle seletuse järgi koosneb maailm tühjusest ning selles liikuvatest ja omavahel põrkuvatest jagamatutest algosakestest aatomitest. Matemaatikas olid silmapaistev roll Pythagorasel ja tema õpilastel. Pythagorase meelest põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Tuntuim on Pythagorase teoreem. Arstiteaduses oli oluline koht 5.-4. sajandil elanud arstil Hippok...
13. Jõupaari moment. nim. Ühe jõu moodulit ja jõuõlga Koosnegu jäigale kehale rakendatud jõupaar jõududest (F, -F). Leiame jõupaari momendi keha suvalise punkti O suhtes jõudude momentide summana: M 0 ( F ,-F ) = M 0 ( F ) + M 0 (-F ) = rA × F + rB × ( -F ) = rA × F - rB × F = = ( rA - rB ) × F M0(F,-F) = BA×F . 14. Teoreem jõu paraleellükkest. Jõu mõju jäigale kehale ei muutu, kui see jõud üle kanda paralleelselt iseendaga suvalisse punkti ning seejuures kehale rakendada jõupaar, mille moment on võrdne nihutatava jõu momendiga uuerakendatava punkti suhtes 15. Jõusüsteemi tasakaal Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on samal mõjusirgel võrdvastupidised: F2 = -F1,....