elementaarkonjunktsioonide hulk, see peab vastama esialgse valemi tõeväärtuse veerule. Seega on TDNK määratud ühesel kuni elementaarkonjunktsioonide järjestuse täpsuseni. f. TDNK-le teisendamise algoritm https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php? id=78717 lk 29 30. 7) a. Boole'i funktsioonide esitamine lausearvutuse valemitega. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=125416 lk 14 16. 8) a. Lausearvutuse tehted on kasutusel tingimuste kirjapanemisel: a.i. Programmeerimiskeelte tingimuslausetes ja tsüklitingimuste a.ii. Päringukeeltes a.iii. Semantilises veebis (ontoloogiad) jne. 9) a. Tõestamise strateegiad. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=96258 b. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=89132 10) a. **Kvantorite distributeerumine konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. b. **Kvantorite ettetoomine. https://moodle.ut
III (funktsiooni mõiste, piirväärtus, diferentseerimine, tuletise rakendused, määramata ja määratud integraal, selle rakendused pindala, ruumala ja kaare pikkuse leidmisel). Nende kolme üksteisele järgneva kursuse kõrvale võib valida ka üksteisest sõltumatuid kursusi Matemaatika A (arvud ja avaldised, arvjadad, matemaatiline induktsioon, Newtoni binoom, arvuti ja programm- meerimine, kujundite lüke, sarnasus), Matemaatika B (vektorid tasandil ja ruumis, kompleksarvud ja tehted nendega, tõenäosuse arvutamine, binoom- jaotus, lihtsamate arvutusalgoritmide programmeerimine) või Matemaatika C (maatriksid ja tehted nendega, lineaarvõrrandisüsteemid, teist järku jooned, polaarkoordinaadid, joone võrrand polaarkoordinaatides). Oluliseks peetakse õpilaste loogilise mõtlemise ja intuitsiooni arendamist, matemaatika põhimõistete lahtimõtestamist nende rakendatavuse aspektist, üldse matemaatika rakendusliku aspekti rõhutamist, eksperimentide korraldamist,
universumist, lihtsalt suurte teleskoopidega vaatlemisel aga see pole mitte sugugi nii. Tegelikkuses on see vägagi raske ning aeganõudev ja teleskoopidega ei ole siin just eriti midagi teha. Et leida planeete ja muid taevakehi tiirlemas ümber oma tähe, läheb vaja tõsist matemaatikat, päevi ja kuid kestvaid rehkendusi. Nüüdseks luuakse aina targemaid arvuteid, super-arvuteid, mis teevad meie eest need ülirasked tehted ära. Iidsed kontaktid On inimesi, kes usuvad, et meiega on juba kontakteerunud võõramaised tsivilisatsioonid. Arvatakse nägevat teistel planeetidel ja kuudel erinevaid ülisuuri struktuure, nagu Marsi nägu, mis on tänaseks välja uuritud, et see ei ole mingi ehitis, vaid lihtsalt halva kvaliteediga satelliitpilt, püramiidid, hammasratast kuul, saturni kuul Iapetusel suurt müüri jne. On olemas ka n.ö antiik-astronautide teooriad, mis otsivad kosmosekülaliste kirjeldusi
.................................. 6 Kümnendarvu teisendamine kahend-, kaheksand-, kuueteistkümnendarvudeks............6 2.6 Kümnendarvu täisosa teisendamine teistesse arvsüsteemidesse................................. 6 2.7 Kümnendarvu murdosa teisendamine teistesse arvsüsteemidesse............................... 7 2.8 Ülesanne 1c................................................................................................................... 8 2.9 Aritmeetilised tehted kahend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemis...................8 2.10 Korrutamine erinevates arvsüsteemides...................................................................... 9 2.11 Ülesanne 1d................................................................................................................ 9 2.12 Ülesanne 1e ................................................................................................................ 9 2.13 Ülesanne 1f...............
ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis 1) (AT )T = A 2) (A)T = AT 3) (A ± B)T = AT ± B T 4) (AB)T = B T AT 5) det AT = det A Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 4). Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT s¨ ummeetriline ja maatriks A - AT antis¨ ummeetriline. II
Kui x ja y vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.a>0, a ei tohi olla 1. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] +graafikud! 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama määramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikk...
ω-nurkkiirus ω=φ’ ω=φ/t f-sagedus T-periood f=l/T=ω/2Π V=Rω an=v2/R an- normaalkiirendus. §5.Vektorid ja skalaarid ning tehted nendega. Vektoriks nim. sellest liiki suurust nagu nihe, s. o. suurus, mida iseloomustab arvväärtus ja suund ning mille liitmist teostatakse (joon.1)näidatud reegli järgi. 4. Newtoni seadused. Kulgliikumise dünaamika - Dünaamika puhul lisandub liikumisele kaks põhisuurust: jõud Vektorite hulka kuuluvad kiirus, jõud ning mitmed teised suurused. Vektori määrab ära suurus ⊕ a, suund a ja ja mass
R'= rj(Rx'2+ Ry'2+Rz'2); M0=rj(M0x2+M0y2+M0z2) !vt süsteemid! 16. Vektorid. Vektorite liigitus Vektoriks nim suunatud sirglõiku. Sirget, millel vektor asub, nim tema mõjusirgeks. Vektor pn määratud mõjusirge, suuna ja pikkusega. Vektori pikkust nim tema mooduliks. Vektorid jagunevad: Vabad vektorid- rak-punkt suvaline; Libisevad vektorid- rak-punkt võib mööda mõjusirget ümberpaikneda; Rakendatud- rak-punkt kinnistatud. 17. Tehted vektoritega Vektorite liitmiseks rakendame nad nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise vektori alguspunktiga ja summavektor ühendab esimese vektori alguspunkti teise vektori lõpp- punktiga. Vektorite lahutamiseks tuleb vähendatava ja lahutatava vektori alguspunkt asetada samasse punkti. Vahe alguspunkt on lahutava vektori lõpp-punkt ja lõpp-punktiks vähendatava vektori lõpp-punkt. Vektori a ja skalaari n korrutiseks on vektor, mille mooduliks on a*n ja suund ühtib algvektoriga
e.i.1. y=arcsinx X[-1;1] Y= e.i.2. y=arcosx X[-1;1] Y=[0;] e.i.3. y=arctanx X=R Y e.i.4. y=arccotx X=R Y(0;) e.i.5. Arkusfunktsiooni graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x (JOONISED) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. a. Algebralised tehted funktsioonidega Funktsioonide f ja g summa on kujutis, mis seab igale xX vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). Kehtib seos y=(f+g)(x)=f(x)+g(x). f ja g vahe y=(f-g)(x)=f(x)-g(x). f ja g korrutis y=f(x)*g(x).
vasakpoolsest ja parempoolsest pidevusest punktis a Funktsioon f on pidev oma määramispiirkonna D kuhjumispunktis a ∈ D parajasti siis, kui Funktsioon on pidev igas punktis a ∈ R. Olgu funktsioon f : [0, 4] → R määratud seosega Siis seega on f punktis a = 2 küll vasakult pidev, kuid ei ole selles punktis paremalt pidev. 17. Tehted pidevate funktsioonidega. Liitfunktsiooni pidevus (*) Defineerida funktsiooni pidevus antud punktis. Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks punktis a (ehk kohal a), kui Tõestada vabal valikul 2 väidet lausest 4.2: Olgu funktsioonid f : D → R ja g : D → R pidevad punktis a, siis ka funktsioonid f + g, f − g, λf, fg ja f/g on punktis a pidevad (funktsiooni f/g puhul eeldame, et g (x) ̸= 0 iga x ∈ D korral). Tõestus:
Kahendsüsteemi aritmeetikatehted ujukomaarvude jaoks Kümnendsüsteemi aritmeetikatehted Indek-aritmeetikatehted Spetsiifilised eriaritmeetikatehted Loogikatehted Operatsioonid tähtnumbriliste väljadega Paljud väiksemad mikroarvutid, mikroprotsessorid ja eriotstarbeliste arvutite riistvara ei sisalda ujukomaplokki ega võimalda kümnendsüsteemi aritmeetikatehteid ning tähtnumbrilisi operatsioone. Siis viiakse tehted läbi alamprogrammidega. Lühikeste aritmeetikatehete alla kuuluvad liitmine, lahutamine, moodulite jagamine, pikkadeks aritmeetikateheteks on korrutamine ja jagamine. Spetsiaalsete aritmeetikatehete hulka kuulluvad normaliseerimine, aritmeetiline nihutamine, loogiline nihutamine. ALU operantidega tiometamine jaguneb jada- ja paralleelmeetodiks. Jada-ALU operandid esitatakse jadakoodides ja operatsioonid sooritatakse järjestikku nende jadamisi edaldi järkude ajal
piirkonna ilma, et kontuurid kattuksid. x´ 1 x´2 x´3 x´4 V x 2 x´3 V x´1 x´2 x 3 V x´1 x 2 x3 x´4 V x 1 x´2 x3 x´4 Kontuurid ei kattu, võin ,,või" tehted asendada ,,summa moodul 2"-ga. x´ 1 x´2 x´3 x´4 x 2 x´3 x´1 x´2 x 3 x´1 x 2 x 3 x´4 x 1 x´2 x3 x´4=¿ ¿ ( x 1 1 ) ( x 2 1 ) ( x 3 1 ) ( x 4 1 ) x 2 (x 3 1) ( x 1 1 )( x 2 1 ) x 3 ( x 1 1 ) x 2 x 3 ( x 4 1 ) x1 ( x 2 1 ) x 3 ( x 4 1 ) =¿ ¿ x1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x1 x 2 x 4 x1 x 2 x 1 x 3 x 4 x 1 x 3 x 1 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x3 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 3
Kui ühes ülesanded esinevad nii kümnendmurrud kui ka harilikud murrud, siis üldiselt teisendatakse harilikud murrud kümnendmurdudeks, kuna kümnendmurde kasutatakse igapäeva elus sagedamini ja nendega on arvutamine lihtsam. Kui aga ülesandes on vaja leida täpne vastus ja harilik murd ei teisendu täpselt lõplikuks kümnendmurruks, tuleb kümnendmurrud teisendada harilikeks murdudeks, arvutada harilike murdudega ja anda ka vastus hariliku murru kujul 14. Tehted harilike murdudega (d (b a c a+c a c a d + cb + = + = b b b b d bd (d (b a c a-c a c ad - cb - = - = b b b b d bd a c ac a ac = c = b d bd b b b ab a c a d ad a = : = =
Süsteemijärk peab olema teada. Mittelineaarsete süsteemide identifitseerimine on dünaamiliste mittelineaarsete funktsioonide aproksimeerimine. Dünaamiliste protsesside modelleerimiseks, tuuakse närvivõrkude arhitektuuri tagasiside (sest närvivõrk on dünaamiline) ehk närvivõrkude kasutamine võimaldab juhtida mittelineaarseid süsteeme. Klassikaline hulgateooria ja hägus hulgateooria. Hägusate hulkade omadused. Tehted hägusate hulkadega. Hägus tükeldus. Hägusad süsteemid. Liikmesfunktsioonid. Järeldusalgoritm. Häguärastamine. Hägusate süsteemide konstrueerimine ja kasutamine süsteemide modelleerimisel. Klassikaline hulgateooria ja hägus hulgateooria. Süsteemid: Lineaarsed, mittelineaarsed, lihtsad, keerukad. Mudelid: analüütilised (võivad osutuda väga keerulisteks ja nendega on raske opereerida, sageli me
*Mitme lõime puhul võib lasta neil paralleelselt töötada- näiteks teksti trükkimine üheaegselt taustal toimuva õigekirja kontrolliga. Planeerijad *Jämedalt võib protsessid jagada planeerimise seisukohast: -Sisendi/väljundi poolt juhitud protsessid. --S/V-ga tegelemine võtab selliste protsesside puhul rohkem aega kui arvutuste tegemine. -CPU poolt juhitud protsesside. --Suurema osa moodustavad arvutuslikud tehted ja vaid harva pöördutakse S/V poole. Loterii-planeerimine *Igale protsessile antakse mingi arv loteriipileteid. Iga ajakvandi eel loositakse juhuslikult ,,võitja" pilet, mis saab ligipääsu protsessorile. Pidev mälujaotus Tavaliselt on mälu jagatud kahte ossa -OS piirkond -kasutaja-programmide piirkond OS-i võib Mälu fragmenteerumine Mälu kasutamise efektiivsuse seisukohalt peaksid protsessid hõivama naaberalad Peale protsessi töö lõppu jääb mällu auk.
C# - PROGRAMMERIMISE KEEL Programm on eeskirjade (käskude) kogum, mis määrab, milliseid operatsioone ja tegevusi peab arvuti täitma andmetega antud klassi kuuluvate ülesannete lahendamiseks. Andmed on informatsiooni formaliseeritud esitus kujul, mis võimaldab informatsiooni salvestamist ja töötlemist arvutis. Eristatakse mitut liiki andmeid: arve, tekste, graafikakujundeid, heli jm. Programmide koostamiseks on loodud spetsiaalsed programmeerimiskeeled. Taolisi keeli on palju, kuid enamiku ülesehitus ja käsutamise põhimõtted on analoogilised. Kasutamisvaldkonna järgi jagatakse keeled kahte rühma: universaalsed ehk üldkeeled ja spetsialiseeritud keeled. Üldisi programmeerimiskeeli käsutatakse suvaliste rakendus- ja süsteemi-programmide loomiseks, mis töötavad autonoomselt või koos teiste programmidega. Praegusel ajal on levinud järgmised üldised programmeerimiskeeled C, ++, Visual ++, Visual Basic, Java, Pascal, Fortran, Co...
Boole’i algebra lihtsat erijuhtu, mida esindab kahe kahe tõeväärtusega Boole’i algebra, nimetatakse ka loogikaalgebraks. Lausearvutuse Boole’i algebra kandvat hulka võiks nimetada FORMAALSETE LAUSETE hulgaks, need esinevad sümbolkujul, neil pole iseenesest ei tõeväärtust ega tavakeelset kuju. LAUSEARVUSTUSE TEHE on formaalsete lausete hulgal defineeritud tehe, mille tulemi kuju on üheselt määratud operandide ja tehtesümboliga. LAUSEARVUSTUSE TEHTED 1. EITUS 2. KONJUNKTSIOON p&q, on tõene parajasti siis, kui p ja q mõlemad on tõesed. 3. DISJUNKTSIOON p v q, on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. 4. IMPLIKATSIOON p--) q, on väär parajasti siis, kui p on tõene ja q on väär. Lausearvustuses on kasutusel MATERIAALNE IMPLIKATSIOON ( lk 265), mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 5
Naturaalarv - Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ...; kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude kaks põhilist otstarvet on loendamine ja järjestamine. Täisarv - Täisarv on arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena. kasutatakse indeksitena mitmekomponendiliste objektide (maatriksid, vektorid, tensorid etc.) juures ning arvuridade kirjapanekul (summeerimisindeksid). Kõikide täisarvude hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga Z. Täisarvude hulgal on defineeritud liitmine, lahutamine ja korrutamine ning lineaarne järjestus. Täisarve ei saa jagada, sest siis pole tulemuseks enam täisarv. Ratsionalarv arv, mida saab esitada kujul a/b , kus a ja b on täisarvud ning b0 . Ratsionaalarvude tähis on Q. Kompleksarvude hulk- Kompleksarvud on algebraline süsteem, mis lubab kirja panna suvalise astme võrrandi lahendeid. Koosneb reaal- osast (tavaline reaalarv) j...
Teoreem 4: Kui funktsioonil f(x) on punktis a nullist erinev piirväärtus L, siis leidub selline punkti a ümbrus kus Teoreem 5: (Squeeze Theorem, Sandwich Theorem) Kui f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) punkti a lähedal ja kui lim f(x) = lim h(x) = L, siis ka lim g(x) = L. Kahe äärmise funktsiooni kaudu saame leida keskmise funktsiooni väärtuse 16. Funktsiooni pidevus (definitsioon, tingimused pidevuseks ja näited, geomeetriline tõlgendus, tehted pidevate funktsioonidega). DEF. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks kohal a, kui f(x) piirväärtus kohal a võrdub funktsiooni f(x) väärtusega sellel kohal, s.o. kui Funktsiooni nimetatakse pidevaks piirkonnas X, kui f(x) on pidev piirkonna igas punktis. Geomeetriline tõlgendus: Tunnus – saab joonestada graafikult nö pliiatsit tõstmata. Tingimused pidevuseks: 1) Funktsioon f(x) peab olema määratud kohal a (so f(a) peab eksisteerima).
Vektorruum Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks üle reaalarvude hulga R, kui sellel hulgal on defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja korrutamine skalaaridega nii, et on täidetud järgmised tingimused: hulk V on kinnine elementide liitmise suhtes ja hulk V on kinnine skalaariga korrutamise suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a
Füüsikalise looduskäsitluse alused Füüsika üldmudelid Füüsikalised objektid ja suurused • Füüsika üldmudelid: • - keha (kindlad piirjooned, mõõtmed, mass) • -- punktmass (keha mass koondununa ühte punkti) • - füüsikalised suurused (kirjeldab mingi loodusobjekti ühte kindlat omadust) • Füüsikalised objektid on olemas objektiivselt, st sõltumatult mistahes vaatlejast või koguni inimkonnast tervikuna. • Füüsikalised suurused on vaatlejate ühised kujutlused, üldmudelid, mille abil on mugav füüsikalisi objekte kirjeldada. Füüsikalised objektid ja suurused • Väljad – mitteainelised objektid, mõjutavad kehi ja omavad energiat, ei saa kasutada ruumi ja aja mõistet. • Kehad – ainelised objektid, saab uurida nende kuju, värvust, mõõtmeid, koostist, omavahelist liikumist, vastastikmõju, saab kasutada ruumi ja aja mõisteid. • Nähtused – aineliste ja väljeliste objektidega toimuvad muutused. Füüsi...
8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q 2) iga IR ja iga x korral x Lineaarkate Olgu m ja a1, a2, ...,am vektorruumi V elemendid. Hulka L(a1, a2, ...,am)= ={x=1a1+ 2a2 + ... + mam| 1, 2... m } nimetatakse vektorruumi V lineaarkatteks moodustajatega a1, a2, . . . , am. Lineaarkate L(a1, a2, . . . , am), kus a1, a2, . . . , am V, on vektorruumi V alamruum. Mingid näited: 1) Vektorruum V on iseenda alamruum.
ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij.
Paljude argumentidega: SUM, PRODUCT (korrutamine) Ümardusfunktsioonid: ROUND, INT, TRUNC, ... Trigonomeetrilised: SIN, COS, TAN ASIN, ACOS, ATAN - arkusfunktsioonid Teisendused: DEGREES, RADIANS Muud: ROMAN, ... 2 Kuupäeva ja kellaaja funktsioonid Operatsioonides kuupäevade ja kellaaegadega kasutatakse nn. Baasaega: 01.01.1900 00:00:00 Tüüpilised tehted: kuupäev2 - kuupäev1 - vahe päevedes kuupäev + päevade_arv - uus kuupäev aasta, kuu või päeva eraldamine kuupäevast DATE(YEAR;MONTH;DAY) - kuupäeva sisestamine lahtrisse. TODAY() - jooksev kuupäev. NOW() - jooksev kuupäev ja kellaaeg YEAR(kuupäev) - aasta eraldamine kuupäevast MONTH(kuupäev) - kuu eraldamine kuupäevast DAY(kuupäev) - päeva eraldamine kuupäevast WEEKDAY(kuupäev) - nädalapäeva numbri leidmine (Pühapäev on esimene)
Semiootika alused 1. Semiootika teadusena: semiootika aine ja põhiobjektid. Semiootika põhiobjektid: märgid märkide vahelised suhted semioos Teadusi ühendav teadus. Üldkeel kõikidele märgisüsteemidele. Semiootika tekkis 1960ndate alguseks enam-vähem korraga Pariisis, Bolognas, Moskvas, Ameerikas ja Eestis (Tartus), esimesena semiootikuna ameeriklane Thomas Sebeok. Semiootika on teadus märkidest. Veel täpsemalt on see teadus semioosist või kommunikatsioonist. Semiootika aluseks on märgisuhted. Iga märk on semioosise produkt. Semioosis ei katke, sellele eelneb ja järgneb semioosis. Semiootika keskmes on arusaam, et eranditult kogu inimkogemus on tõlgendav struktuur, mida hoiavad püsti märgid. Iga asi, mida me teeme, saadab meie kohta sõnumeid erinevates koodides. Semioloogia - üldine teooria märkidest ja märgiprotsessidest. Inimesed on peamised märki kasutavad elusolendid. Ka loomad on võimelised märke kasutama, kuid need ...
1). Joonis 6.1 O s z z = f (x, y) ·M O· / y D x 6) Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Olgu antud kaks m-muutuja funktsiooni z = f (P ) ja z = g(P ) u ¨hise m¨a¨aramispiirkonnaga D. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale P D vastavusse muutuja z v¨a¨artuse valemiga z = f (P ) + g(P ). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos z = (f +g)(P ) = f (P )+g(P )
selline tegevus põhineb liidetavaste materialiseerimise esimesel astmel. Kui laps esialgu rääkis kaasa kõva häälega, siis protsessi arenedes lapsed ainult osutavad hulkadele. Iga liitmistehte sooritamise järel pööratakse laste tähelepanu sellele, kui palju oli enne ja kui palju on nüüd. Praktilise tegevuse juures on hea näidata, et liidetavate järjekorra muutmine ei mõjuta saadavat vastust. Lahendanud liitmistehte ühte ja teistpidi, võrreldakse neid omavahel. Tehted sooritatakse hulkadega. Lahutamistehte puhul on toiming vastupidine. Laps lahutab koguhulgas ära ja tähelepanu juhitakse sellele, kui palju oli ja palju on nüüd, kui palju ära võtsime ja kui palju jäi järele. See, kuidas õnnestuvad liitmis- ja lahutamistehted, sõltub sellest, kuivõrd õpilane on saanud aru naturaalarvude rea seaduspärasusest. See on siis see, et iga järgnev arv on eelmisest ühe võrra suurem ja iga eelnev arv on järgmisest ühe võrra väiksem
Kasuta sama tehnikat, kui on vaja kuvada langjoont ennast. Ülesanne 1 Iga ülesanne hakkab kommentaariga, kus on kirjas ülesande number, sinu nimi ja kuupäev Programm väljastab kolme muutuja (nimi, vanus, sugu) väärtused ühe koodireaga. Kusjuures kõik on väljastades eraldi real. Vastus täislausega. Väljasta järgnev lause: "It's Alright, Ma (I'm Only Bleeding)" - Bob Dylan "Joonista" järgmised pildid 05 - PHP - Matemaatilised tehted (Ülesanne 2) Teemad Aritmeetilised operaatorid Omistamise operaatorid Arvude (ja tekstide) vormindamine Aritmeetilised tehted PHP saab hakkama ka kenasti lihtsate matemaatiliste tehetega nagu on seda liitmine, lahutamine, jagamine, korrutamine ja jäägiga. Liita võib omavahel nii arve kui ka muutujate arvulisi väärtusi. ? 1 //aritmeetilised operaatorid 2 $x = 8; 3 $y = 2; 4 $liitm = $x + $y; 5 $lahut = $x - $y; 6 $korru = $x * $y;
jääb eelduse predikaadiga haaratud hulk tuletise subjektiga haaratud hulgast osaliselt välja, st üldeitav väide transponeerub osaeitavaks. Kolmas kujund kinnitab, et teadaoleva info põhjal pole võimalik olla kindel, kas tuletise predikaadiga haaratud hulk (mitte-P ja mitte-S) sisaldab vähemalt ühte elementi. Seega pole osajaatava väite transponeerimisel tagatud tõesest eeldusest tõese tuletise saamine. #L Tabel 5.1. Otseste tuletiste koondtabel. Keelatud tehted on märgitud kriipsuga. Tehted, mida ei saa kadudeta tagasi pöörata, on kirjas paksendatult ning tähistatud lühendiga lim.14 Eeldus Ümberpööratud väide Muudetud väide Vastandatud väide Transponeeritud väide A: Kõik S on P I: Mõni P on S (lim.) E: Ükski S pole mitte-P E: Ükski mitte-P pole S A: Kõik mitte-P on mitte-S E: Ükski S pole P E: Ükski P pole S A: Kõik S on mitte-P I: Mõni mitte-P on S (lim) O: Mõni mitte-P pole mitte-S (lim)
Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule Funktsioonide y=tanx, x ja y=cotx, x Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ja kolmas iga x korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y=(f-g)x=f(x)-f(g), korrutis y=(fg)x=f(x)g(x) ja jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x)
Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule Funktsioonide y=tanx, x ja y=cotx, x Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ja kolmas iga x korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y=(f-g)x=f(x)-f(g), korrutis y=(fg)x=f(x)g(x) ja jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x)
Samuti vahetuvad muutumis- ja maaramispiirkond. Kui x ja y6 vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.ä>0 a ei tohi olla X = (0,) ja Y = R. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] 5.Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama maaramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) maaramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) maaramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =g[f(x)]
jääb eelduse predikaadiga haaratud hulk tuletise subjektiga haaratud hulgast osaliselt välja, st üldeitav väide transponeerub osaeitavaks. Kolmas kujund kinnitab, et teadaoleva info põhjal pole võimalik olla kindel, kas tuletise predikaadiga haaratud hulk (mitte-P ja mitte-S) sisaldab vähemalt ühte elementi. Seega pole osajaatava väite transponeerimisel tagatud tõesest eeldusest tõese tuletise saamine. #L Tabel 5.1. Otseste tuletiste koondtabel. Keelatud tehted on märgitud kriipsuga. Tehted, mida ei saa kadudeta tagasi pöörata, on kirjas paksendatult ning tähistatud lühendiga lim.14 Eeldus Ümberpööratud Muudetud väide Vastandatud väide Transponeeritud väide väide A: Kõik S on P I: Mõni P on S E: Ükski S pole E: Ükski mitte-P A: Kõik mitte-P on (lim
Kohonen'i võrgu iseõppemise protsessi jooksul leitakse niisugused kaalukoefitsientide väärtused, et sarnaste sisendvektori puhul maksimaalseks oleks ühe ja sama neuroni väljund ning teise sarnaste sisendite gruppi puhul maksimaalseks oleks teise neuroni väljund jne. On ilmne, et seda tüübi närvivõrke on väga mugav kasutada klassifitseerimise ülesannete lahendamisel. 12. Klassikaline hulgateooria ja hägus hulgateooria. Hägusate hulkade omadused. Tehted hägusate hulkadega. Hägus tükeldus. Hägusad süsteemid. Liikmesfunktsioonid. Järeldusalgoritm. Häguärastamine. Hägusate süsteemide konstrueerimine ja kasutamine süsteemide modelleerimisel. Süsteemid: Lineaarsed, mittelineaarsed, lihtsad, keerukad. Mudelid: analüütilised, mitteanalüütilised. Analüütilised mudelid: ·Võivad osutuda väga keerulisteks ja nendega on raske opereerida · sageli me ei oska analüütilist mudelit koostada või on see väga töömahukas
MATEMAATIKA RIIGIEKSAM 2010 Eksami eesmärk Matemaatika riigieksami peamisteks eesmärkideks on: · teada saada, kui struktureeritud ja korrastatud on gümnaasiumilõpetaja matemaatikaalased teadmised; · selgitada välja, kui hästi suudab õpilane õpitut rakendada (näiteks lahendada mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaek...
Java algajatele (v1.0 2011a) See on juhend kiireks Java õppimiseks, esialgsete teadmiste omandamiseks. Näited teen eclipse'iga. Koostanud Alex. Email: [email protected]. Tänud Roelile, kes leidis kirja- ja muid näpuvigasid ning tegi huvitavaid soovitusi manuaali redigeerimiseks/täiendamiseks! I. Valmistumine programmi kirjutamiseks. Alustame kõige lihtsamast asjast ehk põhimõttest. Programm koosneb pakettidest. Pakett koosneb klassidest, millest üks on alati main class, mis jooksutab teisi klasse. Main klassi all mõtlen ma seda, et meil on üks suvalise nimega klass, mis hoiab endas staatilist main nimega funktsiooni (sellest veidi hiljem). Klassid on selleks, et hoida erinevaid programmi osi eraldi. Näitena võib tuua maja. Maja puhul on klassideks näiteks sein, aken, uks, katus, vundament jne. Maja elamiskõlblikuks muutumiseks on vaja Main klassi. Klassid koosnevad funkts...
TÕENÄOSUS SÜNDMUSED Tõenäosusteooria uurib esinevate juhuslike nähtuste seaduspärasusi Meie käsitluse aluseks on katse. Katse seisneb teatud tingimuste realiseeerumises ning selle käigus jälgitakse sündmuste toimumisi. Sündmus võib olla kindel, võimatu või juhuslik. Kindel sündmus (tähistatakse K) sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. Kindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. . Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslik...
Skalaarid ja vektorid: Suurused, mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest nimetatakse skalaarideks. (aeg, mass, inertsmoment). Suurused, mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund nimetatakse vektoriteks. (Kiirus, jõud, moment). Tähistatakse sümboli kohal oleva noolega F(noolega) . Tehted nendega: Korrutamine skalaariga - a*Fnoolega =aF(mõlemad noolega) Liitmine - Fnoolega = F1noolega + F2noolega. Skalaarne korrutamine: Kahevektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga cos korrutisega. (V1V2) = v1*v2*cosa, kusjuures v1*v2=v2*v1. Vektoriaalse korrutamise tulemuseks on aga vektor, mis on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sinusega, siht on risti
oleks olnud võimeline arvutama Bernoulli numbrite järjestust/jada. Tänu sellele tööle on Lovelace'le kingitud esimese arvutiprogrammeerija tiitel. 1979ndal aastal anti kaasaegsele programmkeelele tema auks nimi Ada. Morse 1837: elektritelegraaf, Wheatstone 1857: perfolint George Boole, de Morgan Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra:1*A = A, 0*A = 0, A+0 = A, A+1 = 1,A+B = B+A, A*B = B*A, A*A = A Enimkasutatud tehted on: & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) A& B AV B -A A => B -------- -------- ---- -------- TTT TTT VT TTT TVV TTV TV TVV VVT VTT VTT VVV VVV VTV
3) Vahemikskaala – mõõteskaala, millel on võrdsed vahemikud, kuid puudub tegelik nullpunkt (nt temperatuuriskaala). Saab teha enamik matemaatilisi tehteid ja kasutada tavapärast järeldavat statistikat. Nt IQ ja SAT-i skoor – neil ei ole tegelikku nullpunkti. Ka Fahrenheiti ja Celsiuse skaalad. 4) Suhteskaala – kõige kõrgemat tüüpi mõõteskaala, millel on tegelik nullpunkt ning millel mõõdetud skooridega on lubatud kõik matemaatilised tehted. Tal on kõik 4 omadust (erinevus, suurus, võrdsed vahemikud ja tegelik nullpunkt). Saab teha enamik matemaatilisi tehteid ja kasutada tavapärast järeldavat statistikat. Nt Kelvini skaala (olemas nullpunkt). Likerti skaala ● suhtumisi ja arvamusi uuriva küsimustiku skaala, mis määrab ära teatud väitega nõustumise astme (nt täiesti nõus, pigem nõus, ei ole nõus). Summeeritud hinnangute skaala ehk Likerti skaala – hoiakute mõõtmisel
5 29 a b 42 32 (2)2 52 Arvuti abil leiame, et kui cos = 0,26 Siis nurk = 74,9° © Allar Veelmaa 2014 25 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a (x1; y1) ja b (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a b (x1 x2; y1 y2 ) Vektorite vahe a b (x1 x2; y1 y2 ) Vektori korrutis arvuga k a (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus 1
2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid. Sündmuse A vastandsündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P( A )=1. Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga. P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)
· Antud kõigi sõnade hulk S tähestikus A. Sõna v on sõna w prefiks, kui eksisteerib sõna uS nii, et w = vu. Näidata, et suhe ,,sõna v on sõna w prefiks" on osalise järjestuse suhe hulgal S. ALGEBRAD JA ALGEBRALISED SÜSTEEMID. Algebra on süsteem A = < M,S >, kus M on algebra alushulk (objektide hulk) ja S on algebra signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , , , ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted · Grupoid - lihtsaim algebra < M, · >, kus · on 2-kohaline operatsioon. · Parempoolne ühikelement e : mM (m · e = m). · Vasakpoolne ühikelement e : mM (e · m = m). · Ühikelement e : mM (m · e=e · m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement. · Grupoid on idempotentne, kui mM (m · m = m).
naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) jagatisena e. murruna m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; · Kompleksarvude hulk ja tehted kompleksarvudega. kompleksarvuks nimetatakse arvu kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (i2=-1 ehk ). Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse C. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a+ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z=a+ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on
vajutusega. Valemis antakse lähteandmed ette lahtri aadresside kaudu. Kui algandmeid muuta, muutub automaatselt ka valemi tulemus. Loodud valemit saab kopeerida teistesse sama reegli järgi arvutatavatesse lahtritesse. Kopeerimisel muutuvad valemis kasutatud lahtri aadressid vastavalt kopeerimise suunale. Valemites saab kasutada aritmeetilisi tehteid ja Excel'isse sisseehitatud funktsioone. Tehete järjekord tuleb paika panna sulguse abil. Aritmeetilised tehted Tehe Tehtemärk Selgitus Liitmine + a+b Lahutamine - a-b Korrutamine * a*b Jagamine / a/b Astendamine ^ a^b=ab Märgi ^ saab klahvi- kombinatsiooniga AltGr+ä,
Antud kõigi sõnade hulk S tähestikus A. Sõna v on sõna w prefiks, kui eksisteerib sõna uS nii, et w = vu. Näidata, et suhe „sõna v on sõna w prefiks“ on osalise järjestuse suhe hulgal S. ALGEBRAD JA ALGEBRALISED SÜSTEEMID. Algebra on süsteem A = < M,S >, kus M on algebra alushulk (objektide hulk) ja S on algebra signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , ,, ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted Grupoid - lihtsaim algebra < M, >, kus on 2-kohaline operatsioon. Parempoolne ühikelement e : mM (m e = m). Vasakpoolne ühikelement e : mM (e m = m). Ühikelement e : mM (m e=e m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement.
uurimisobjektiks ei ole. Eeldame vaid, et lihtlausete tõeväärtused on põhimõtteliselt leitavad ja liitlausete tõeväärtused nende kaudu arvutatavad. Põhiprobleemina uurib lausearvutus küsimust, kuidas sõltub antud lausetest ühel või teisel viisil moodustatud liitlause tõeväärtus komponentlausete (või nendest moodustatud teiste liitlausete) tõeväärtustest. Liitlausete matemaatiliseks uurimiseks defineeritakse lausearvutuse tehted. Tähistusi: · Lauseid tähistame suurte ladina tähtedega: A, B, C, .... · Grammatilistele seostele vastavad lausearvutuse tehted. · Kokkulepetest 1 ja 2 järeldub, et igale lausele vastab tema tõeväärtus tõene või väär. · Neid tähistame tähtedega t ja v. · Muudes allikates kasutatakse ka 1 ja 0, samuti t ja f , kasutatakse ka suurtähti T ja V või F. Näide: Vaatleme lauset: Kui planeedil on atmosfäär ja seal ei leidu vett, siis planeedil ei ole elu.
Mõnikord kui määramispiirkonda X ei anta, mõeldakse selle all argumendi x väärtuste hulka, kus eeskiri f kehtib. Definitsioon: Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide ( x, y ) hulka {(x, y ) | y = f (x ), x X } xy-tasandil. Võrdus y = f ( x ) , x X on funktsiooni f graafiku võrrand. Funktsioonide esitusviisid 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga y = f ( x ) , mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit. 2. Esitus tabeli abil. Esitatakse tabel, kus on näidatud arguendi väärtused x1, x2, x x1 x2 ... xn ..., xn ja neile vastavad funktsiooni väärtused y1, y2, ..., yn. y y1 y2 ... yn
Hulgas võivad elemendid ka täielikult puududa: { } Reaalarvude hulk R on lõpmatu ja mitteloenduv. Elementideta hulka nimetatakse tühjaks. Tühja hulka tähistatakse ka ∅ ( Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ) ehk: ∅ ={ } HULGAARITMEETILISED TEHTED Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks: On 1 unaarne ja 4 binaarset hulgaaritmeetilist operatsiooni. ∀A ( ∅ ⊂ A ) (binaarsetel on operandideks on 2 hulka) — hulkade ÜHEND ∪ ( hulgaaritmeetiline liitmine )
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
