eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis tõusunurga tangensit, mida nimetatakse tõusuks. Tõusu tähistatakse tavaliselt tähega k (k=tan a).
=e x 0 x x sin x Piirväärtus lim . x 0 x OB = 1 S OAB S OAB S OAC S OAB = 12 × 1 × sin x S OAB = 12 × 1 × x S OAC = 12 × 1 × tan x sin x x tan x 2 × 2 2 2 sin x 1 sin x cos x , siit saame, et 1 sinx x cos x (need võrratused kehtivad ka siis, kui x<0) x 1 Eksisteerib piirväärtus lim cos x = 1 x 0 sin x Vastavalt teoreemile (5
=e x 0 x x sin x Piirväärtus lim . x 0 x OB = 1 S OAB S OAB S OAC S OAB = 12 × 1 × sin x S OAB = 12 × 1 × x S OAC = 12 × 1 × tan x sin x x tan x 2 × 2 2 2 sin x 1 sin x cos x , siit saame, et 1 sinx x cos x (need võrratused kehtivad ka siis, kui x<0) x 1 Eksisteerib piirväärtus lim cos x = 1 x 0 sin x Vastavalt teoreemile (5
Kolmnurk + + = 180º Pindala: Ümbermõõt: P = a + b + c Võrdkülgne kolmnurk Kõrgus: Pindala: Ümbermõõt: P = 3 · a Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem: a2 + b2 = c2 Pindala: sin = cos = cos = sin = tan = tan = Trapets Pindala: Trapetsiks nimetataksenelinurka,mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed Ringjoon, ring Ringjoone pikkus: C = 2 · · r Pindala: S = · r2 Ruumilised kujundid Kuup
TTÜ Materjaliteaduse instituut Füüsikalise keemia õppetool Töö pealkiri Töö nr. 15 Vedeliku viskoossuse temperatuuriolenevuse määramine Üliõpilane: Õpperühm Töö teostamise Kontrollitud: Arvestatud: kuupäev: 10.11.2010 Töövahendid. Höppleri viskosimeeter, stopper, ultratermostaat. Töö eesmärk. Määrata vedeliku viskoossuse temperatuuriolenevus. Arvutada viskoossuse aktiveerimisenergia. Töö käik. Täidetakse viskosimeetri toru kuni 25 mm toru otsast allapoole uuritava vedelikuga ja pannakse kohale tabeli alusel valitud kuul. Viskosimeetri mantel ühendatakse termostaadiga, mis on reguleeritud nutavale temperatuurile. Katset võib alustada10 ..15 min järel, mis on vajalik temperatuuri ühtlustumiseks uuritavas vedelikus ja termostaadis. Pööratakse viskosimeetrit ja mdetakse stopperi abil aeg, mille jooksul kuul...
Mata eksami küsimused ja vastused 1. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kolme põhilise elementaarfunktsiooni graafikud. - y=f(x), on eeskiri, mis seab ühe muutuja (sõltumatu muutuja ehk argumendi) igale väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist ...
valime daM2 = 220 mm, hammasvöö laius b2 0,75d a1 , kui z1 = 1...3 ja b2 0,67 d a1 , kui z1 =4, b2 0,75d a1 = 0,75 * 58 = 43,5 mm valime b2 = 42 mm. Teo ringkiirus d 0,05 * 152 v1 = 1 = 3,8 m/s 2 2 libisemiskiirus v1 3,8 v1 = = 3,8 m/s. cos cos 4,57 Selle libisemiskiiruse puhul hõõrdenurk (Lisa 1, Tabel 1) Ülekande kasutegur, silmas pidades energia kaod ülekande määrimiseks tan tan 4,57 1 = 0,96 = 0,96 0,69 tan( + ) tan( 4,57 +1,8) Kontrollime ajami võimsust PT 707 PM = = 1,15 kW 1 2 3 0,69 * 0,92 * 0,99 3 3 Valitud mootori võimsust piisab mehhanismi käivitamiseks Valime ülekande täpsuseklass 7. Siis dünaamikategur Kd = 1,1 (Lisa 1, Tabel 2). Koormuse ebaühtlast jagunemist arvestatav tegur
Diferentseerime saadud võrduse mõlemaid pooli x järgi, arvestades, et y on x funktsioon: Asendades y avaldisega x saame lõplikult y = x-1 Valem on õige ka siis, kui x < 0, kui x omab mõtet. Näide: y = x3 Leida y' kasutades logaritmilist diferentseerimist! ln y = ln x3 ln y = 3 ln x y' = 7. Tuletada funktsiooni y = arctanx diferentseerimise valem Eeldame, et on teada tan x ' = Arcustangens on tangensfunktsiooni pöördfunktsioon, st y = arctanx tan y = tan arctan tan y = x (1) Teoreem : Funktsiooni arctan x tuletis on Tõestus: Eeldusest x'y = Järelikult: y'x = Kuid Et (1) tan y = x, siis saame lõpuks y' = Teooriatöö lühiküsimused: 1) Defineerida funktsiooni y = f(x) tuletis y'
b) Pinnase omadused: γ′ – tallast allapoole jääva pinnase efektiivmahukaal (keskmine talla laiuse sügavuseni); γ′1 – tallast ülespoole jääva pinnase keskmine mahukaal; ϕ′d – efektiivsisehõõrdenurk; c′d – efektiivnidusus; cud – dreenimata nihketugevus; q′ – pinnase omakaalust tingitud efektiivpinge talla tasapinnas, q′ = d γ′ . c) Pinnase kandevõimetegurid: ( N q = eπ tan ϕ ′ tan 2 45 + ϕ ′ 2 ) N c = (N q − 1)cot ϕ ′ Nγ = 2(N q − 1)tan ϕ ′ d) Talla kuju arvestavad tegurid: dreenimata tingimuste puhul B′ sc = 1 + 0,2 , L′ dreenitud tingimuste puhul B′ sγ = 1 − 0,3 ,
a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x · Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius)
g ( x) on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g (a) 0. Näide. Funktsioon y = 2 x 2 - e x on pidev piirkonnas R, sest u = 2, v = x2 , z = ex on pidevad selles piirkonnas. Teoreem. Iga elementaarfunktsioon on pidev igas punktis, milles ta on määratud. 28 Näide 2 Näitame, et funktsioon tan x on pidev oma määramispiirkonnas. sin x tan x = , cos x sin x ja cos x on pidevad kõikjal, seega tan x on pidev igal kohal x, kus cos x 0. Et punktid x, kus cos x = 0 (s.o. punktid x = + k , k Z ), 2 ei kuulu funktsiooni tan x määramispiirkonda, siis tan x on 29
- Vektorite skalaarkorrutis a b = a1 b1 + a 2 b2 a1 b1 + a 2 b2 cos = a b - Nurk kahe vektori vahel 2. Sirge võrrandid y 2 - y1 k = tan = - Sirge tõus ja tõusunurk x 2 - x1 y - y1 = k ( x - x1 ) - Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y = kx + b - Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand x - x1 y - y1 - Kahe punktiga määratud sirge võrrand =
alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ≠ 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y= x 1 =1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ∞). Kui a > 1 (graafik) Kui 0 < a < 1 (graafik) Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] , (graafik) y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] , (graafik) y = tan x : X = R / {( 2k + 1) 2 π||k ∈ Z } ,Y=R (graafik) y = cot x : X = R / { k π π||k ∈ Z } ,Y =R (graafik) 4
x x<0 ( ln x ) = ( ln( - x ) ) = 1 1 ( - 1) = . -x x ax a dx = +C ; x 4. ln a e dx = e +C ; x x 5. 6. sin xdx = -cos x +C 7. cos xdx = sin x +C dx 8. cos x = tan x + C 2 dx 9. sin x = -cot x + C 2 dx 10. 1 -x 2 = arcsin x + C dx 11. x 2 +1 = arctan x + C 1 + x2 1 1 x2 Näide 1: dx = x + x dx = x dx + xdx = ln x + +C x 2 dx x -2 1
d2/2 m Fr Ft Fa l/2 l m2 Ringjõud Ft : Ft d2 Radiaaljõud Fr : - sirghammastega silindriliste hammasrataste korral Fr Ft tan , kus α on hammasratta hambumisnurk (α = 20 º). tan - kaldhammastega hammasratta korral Fr Ft , kus β on cos hamba kaldenurk mis võib varieeruda vahemikus 8 < β < 45 º.
= s = ( x 2 - x 1 ; y 2 - y1 ) x 2 - x 1 y 2 - y1 · Kahe punktiga (x1; y1) ja (x2; y2) määratud sirge y 2 - y1 k = tan = , kus on sirge tõusunurk, k - tõus x 2 - x1 k1 = k 2 A1 B 1 t1 t2 ( sirged t 1 ja t 2 on paralleelsed ) A 2 B2
Variant 1: Ülesanne 1 4m paksuse liivakihi all on 5m savi. Veetase asub 1m maapinnast. Veetasemest kõrgemal on liiva mahukaal 18,7kN/m3 ja veesisaldus 17,8%. Allpool veetaset on liiva poorsus samasugune. Savi mahukaal on 15,5 kN/m3 ja suhtelise kokkusurutavuse moodul mv = 1 MPa-1. Liiva poorsus veealandamisel ei muutu ja veepinnast kõrgemal pärast alandamist on liiva omadused samad kui olid enne alandamist ülemise meetri osas. Liiva erikaal s = 26,7 kN/m3. Kui palju muutub savikihi paksus ehk palju vajub maapind kui veetaset alandatakse 2m? Leida kogupinge, neutraalpinge ja efektiivpinge savikihi peal ja all enne ja pärast veealandust? 18,7 kN d = = = 15,8 3 1 + w 1 + 0,178 m 26,7 e = s -1 = - 1 = 0,695 d 15,8 e * w 0,695 * 10 S r = 1, w = = = 0,260 s 26,7 ...
ROOLISEADME ARVUTUS Roolilehe mõõtmed L= 175 m pikkus B= 24 m laius T= 6 m süvis v= 20 m/sek kiirus Roolilehe pindala arvutus F=µ*L*T/100*(0,75+150/(L+75) µ= 1 koefitsent 0.015-0.023 F= 7,78 m² Hüdrodünaamiline survejõud Pn=(k*F*v²*sin)/(0.195+0.305*sin) k= 5,3 ühe sõukruviga laevadel F= 7,78 m² roolilehe pindala ...
alfa 0 30 45 60 9 1 2 3 0 8 7 6 0 0 0 sin 0 0.5 Rut2 Rut3 1 0 -1 0 /2 /2 cos 1 Rut Rut2 0.5 0 -1 0 1 3/2 /2 tan 0 Rut 1 Rut3 - 0 - 0 3/3 cot - Rut 1 Rut3 1 - 0 - 3 /3
Purunemine toimub kui nihkepinge saavutab teatud taseme f, mis on funktsioon normaalpingest. f = f( ) (5.1) Graafiliselt on see esitatud joonisel 5.1 f = () f = c + tan c Joonis 5.1 Mohri-Coulomb`i tugevustingimus Tavapäraste geotehnika probleemide puhul ei ole normaalpingete muutus eriti suur ning seepärast saab üldjuhul kõverjoonelise funktsiooni asendada lineaarsega, nagu seda tegi juba Coulomb. f = c + tan (5.2)
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
cos = ( u ) ( v ) Sirge Sirgjoon,mis lõikab x-telge, tema tõusunurgaks nimetatakse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Kui tõusunurk on terav, siis sirge tõuseb, kui tõusunurk on nüri, siis sirge langeb. Kui sirgjoon ei lõika x-telge, siis ta on x-teljega paralleelne ja tõusunurgaks loeme 0. Sirge y 2- y 1 tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. k = tan = x 2- x 1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand on y y1 k( x- x1 ). Tõusu ja algoordinaadiga määratud sirge võrrand y kx + b. Kahe punktiga määratud sirge võrrand on y- y 1 x - x1 x - x 1 y- y 1 = y 2- y 1 x 2- x1 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand on sx
x<0 ( ln x ) = ( ln( - x ) ) = 1 1 ( - 1) = . -x x ax a dx = +C ; x 4. ln a e dx = e +C ; x x 5. 6. sin xdx = -cos x +C 7. cos xdx = sin x +C dx 8. cos x = tan x + C 2 dx 9. sin x = -cot x + C 2 dx 10. 1 -x 2 = arcsin x + C dx 11. x 2 +1 = arctan x + C 2 1 + x2 1 1 x2 Näide 1: dx = x + x dx = x dx + xdx = ln x + +C
695000 695500 Kõverikud KA KK KL 5+15,27 10+79,87 16+44,47 16+44,47 21+61,80 26+79,14 x (l-est) y (l-est) 6401000 694900 6401100 696000 6400450 696920 6400500 697950 L-Est kõõlu ja tan kõõlu dir-nurk kõõlu pikkus vaheline nurk x y 1,5170 86,3226 84,72 6401052,08 695497,70 695498 3,3075 88,1131 184,62 6401052,73 695597,68 695598 5,0980 89,9036 284,35 6401047,13 695697,51 695698 6,8885 91,6941 383,80 6401035,30 695796,79 695797
c = 0 ( ln x ) = 1 x = 1 x ( x ) = 2x 2 ( log a x ) = 1 x ln a ( x ) = 3x 3 2 (sin x ) = cos x 1 1 =- 2 (cos x ) = -sin x x x ( x ) = 2 1 x ( tan x ) = 1 cos 2 x (x ) = nx n n -1 [ u ( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) [ u ( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [c u ( x )] = c u ( x ) ( uv ) = u v + vu u u v - uv = v v2
1. Vedaval d a = d1 + 2m = 59,031 + 2 1,5 = 62,031mm 1 2. Veetava d a2 = d 2 + 2m = 164,969 + 2 1,5 = 167,969mm Jalgringjoone läbimõõt: 1. Vedaval d f = d1 - 2,5m = 59,031 - 2,5 1,5 = 55,285mm 1 2. Veetava d f 2 = d 2 - 2,5m = 164,969 - 2,5 1,5 = 161,219mm Jõud hambumises Ringjõud ehk tangensiaaljõud: M 10 3 2 264,54 10 3 Ft = 2 h = = 3212,58 N d2 164,969 Radiaaljõud: Ft tan Fr = = cos 3212,58 tan 20° = = 1179,9 N cos 7,692° = 20° , kus Aksiaaljõud: Fa = Ft tan = = 3212,58 tan 7,692 = 433,9 N 8 Tegelikud pinged hammastel: 1. Suurratta paindepinged: K F Y K F K Fv YF2 Ft 0,91 0,945 1,08 1,2 3,61 3212,58
F mõjuv jõud F. Seda pinnaühikule mõjuvat jõudu S nimetatakse tangensiaalpingeks. Jõu F mõjul risttahukas deformeerub ja tema külgservad moodustavad oma esialgse asendiga nurga . a tan Nihkedeformatsiooni iseloomustatakse suhtelise nihkega b kus a on absoluutne nihe, b risttahuka kõrgus. Hooke’I seaduse põhjal on elastsel deformatsioonil suhteline nihe võrdeline deformatsiooni põhjustava pingega. Seega 1 F tan G S Materialist olenev suurus G on igale ainele iseloomulik konstant, mida nimetatakse nihkemooduliks. F G Valemist järgneb: S tan
SISEJÕUDUDE MÄÄRAMINE VARRASTARINDITES. LÕIGETE MEETODI IDEE. Painutatud varraste arvutamisel suurimate normaal- ja tangentsiaalpingete leidmiseks on vaja teada suurimat paindemomenti, suurimat põikjõudu ja lõikeid, milles need esinevad. Nende ohtlike lõigete leidmine on lihtsam, kui paindemomentide ja põikjõudude suurused on piki varrast kujutatud graafiliselt. Vastavaid graafikuid nimetatakse epüürideks. Nii tugevusõpetuses kui ka ehitusmehaanikas kasutatakse sisejõudude leidmiseks lõigete meetodit. Sisejõudude määramiseks lõigete meetodiga tuleb läbida järgmisi etappe: 1. Lõigatakse varras vaadeldavas ristlõikes tinglikult läbi; 2. Eemaldatakse varrastarindi (tala, raam, sõrestik jms) üks pool koos temale mõjuvate jõududega; 3. Eemaldatud osa mõju allesjäänud osale asendatakse sisejõududega (N, Q, M); 4. Kasutades sisejõudude määramise tööreegleid ja mär...
(e ) = e x x 2 x (a ) = a x x ln a ( ln x ) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a ( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid:
1. Variandi number 06. 2. Konveieri tootlikkus on Q = 600 T/h. 3. Tõstekõrgus H = 5 m. 4. Kaldenurk on =12°. 5. Materjaliks on slakk, mille mahumass = 750 kg/m3 = 0,75 T/ m3. 6. Lindi kuju lame. 3 2. KONVEIERI LINDI ARVUTUS 2.1. Lindi laiuse B leidmine Lameda kujuga lindi laius B on arvutatud valemiga (2.1) Q B= ,(2.1) 576 tan v c kus B lindi laius m; Q tootlikkus T/h, (Q = 600 T/h); tegur, mis arvestab kaldenurga mõju tootlikkusele; v lindi kiirus m/s, (v = 3 m/s [1, lk. 75, tabel 84]); materjali erikaal T/m3, ( = 0,75 T/m3); c kaldenurka arvestav tegur (c = 0,95 [1, lk. 72, tabel 76]). Tegur mis arvestab kaldenurga mõju tootlikkusele on arvutatud valemiga (2.2) = 0,35 = 0,35 0,4 50 = 7, (2.2)
Mehhanosüsteemide komponentide õppetool Kodutöö nr 1 õppeaines TUGEVUSÕPETUS I (MHE0011) Variant Töö nimetus A B Varrastarindi tugevusanalüüs pikkele 3 5 Üliõpilane Üliõpilaskood Esitamise kuupäev Õppejõud P.Põdra Tarind, mis koosneb kahest komponendist, terastrossist 7x7 ja männipuit-ümarvardast, on koormatud vertikaalse koormusega F, mis mõjub komponente ühendavale liigendile. Arvutada puitvarda optimaalne läbimõõt d jakoormuse F suurim lubatav väärtus lähtudes komponentide omavahelisest asendist ja komponentide tugevusomadustest (valmistam...
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletiseks nimetatakse funktsioonimuudu ja argumendimuudu suhete piirväärtust argumendi muudu lähenedes nullile. lim x xlim f ( x + x ) - f ( x ) y ' = f ' ( x ) =x 0 = 0 y x Funktsiooni tuletise valemid: ' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x [ f ( x) ± g ( x)] ' = f ' ( x) ± g ' ( x) (x ) n ' = n x n -1 [ f ( x ) g ( x )] ' = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x) ' f ( x) f ' ( x) g ( x ) - f ( x) g ' ( x) ...
FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ] 2 TULETISTE VÄÄRTUSED: (x a )' = a * x a-1 ( a x )' = a x * ln a (e x )' = e x 1 -1 ( )' = 2 x x 1 (log a x)' = xln a 1 (ln x )' = x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sind x 1 (tan x)' ...
3 a-x x A a B Antud: AB a , DC b , AD c. Leida: kolmnurga AOB kõrgus h. 1) Tähistame otsitava kauguse OE = h, lõigud EB x, AE a x ja nurgad 1DBA ja 1DCA 1CAB 3 . a) Vaatleme kolmnurki BOE ja AOE. h 2BOE : tan , siit h x tan ja x h 2AOE : tan 3 , siit h (a x) tan 3 . a x Järelikult x tan (a x) tan 3 , siit a tan 3 x . tan tan 3 a tan 3 tan Seega h . tan tan 3 b) Avaldame tan ja tan 3 antud suuruste a, b, ja c kaudu ning asendame need h saadud avaldisesse. c 2 2ADB : tan . a
MATEMAATIKA GÜMNAASIUMILE valemid TRIGONOMEETRIA Sin x Cos Tan x x 0o 0 1 0 30o 0,5 45o 1 60o 0,5 90o 1 0 puudub VIETE'I TEOREEM ARITMEETILINE JADA kui a = 1, siis an = a1 + (n-1)d x1 + x2 = - b x1 * x2 = c TULETISED (u±v)'=u' ± v' GEOMEETRILINE n1 JADA (uv)' u'v + uv' an = a1q Hääbuv geomeetriline jada [u(v[x])]'=u'(v[x])v'[x]
3 1) 0,125 2) 0,25 3) 0,333 4) 0,375 5 -4 B-1 Arvuta +6 5 . 5 +2 B-2 Leia võrrandi 13 3 2 -2 x + 3 5 -2 x = 1080 lahend või lahendite summa. ( ) B-3 Leia võrrandi log 4 x 2 - 7 x + 49 = log 2 ( 2 x - 7 ) lahend või lahendite summa. log 0, 5 tan 3 3 3 - 2 7 9 arcus cos( - 0,5) - 3 2 B-4 Arvuta + + . 3 3 -2 7 log 0, 5 tan arccos( - 0,5) - 3 2
7. x-telje positiivse suunaga 30o nurga all ja y-telje positiivse suunaga 60o nurga all olev sirge liigub x- telge mööda kiirusega v. Missuguse kiirusega liigub selle sirge ja y-telje lõikepunkt? Antud: = 30 = 60 Leida: v' = ? Lahendus: Ajaga, mil sirge liigub mööda x-telge vahemiku s võrra, nihkub lõikepunkt vahemiku s' võrra. Vahemik s on leitav s = vt ja s' on leitav s' = v' t . Teepikkus s' on leitav ka järgmiselt s' = s tan . Asendame s'-i ja s-i avaldame kiiruse v' v' t = vt tan . Viimasest avaldisest saame v' = v tan = v tan 30 Vastus: Sirge ja y-telje lõikepunkt liigub kiirusega v tan 30 . Koostas Kristiina Paunel (Kasutatud kirjandus: B. Kogan. Ülesandeid füüsikast. Tln, 1976.) Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee Mehaanika. Sirgjoonelise liikumise kinemaatika
nr I (rad) tan BH (BH-Bk)2 1 0,54 37,5 0,654498469 0,767326988 1,65299E-005 9,203E-013 2 0,64 42 0,733038286 0,9004040443 1,66955E-005 6,300E-013 3 0,74 45,5 0,79412481 1,017607393 1,70808E-005 1,668E-013 4 0,84 49,5 0,86393798 1,1708495661 1,68513E-005 4,068E-013
Funktsiooni piirväärtuse arvutamine x lim = 1) x →6 3 lim ln x= 2) x →1 2 lim = 3) x →2 2 x−5 1 lim = x→ π tan x 4) 4 lim ( x 3−5 x ) = 5) x →3 2 4 x −1 lim = 1 2 x +1 x→ − 6) 2 x 2 −1 lim = 7) x →1 x−1 x 2 −x−6 lim = 8) x →3 x−3 9−x lim = 9) x→9 √ x−3 x lim = 10) x →0 √ 4+x−2 2 x +4 lim = 11) x → ∞ 3 x +1
Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3 ...
konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R {(2k + 1)/2 || k Z}, Y = R, y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. Funktsioonid y=sin x ja y=cos x on perioodilised perioodiga 2 ning y=tan x ja y=cot x perioodiga . Funktsioonid y=sin x, y=tan x ja y=cot x on paaritud ning y=cos x paaris. (joonised lk 14,15) 4.
1. Töötan täiskohaga. Astusin TTÜ magistriõppesse (päevane õppevorm, täiskoormusega. Kas mul on õigust õppepuhkusele? Kui jah, kas õppepuhkuse ajaks säilitatakse mulle töötasu? Töötamise ja õppimise valdkonnad kattuvad (IT). Kui pikale õppepuhkusele? On õigus õppepuhkusele. (§ 67. Õppepuhkus (1) Töötajal on õigus saada õppepuhkust täiskasvanute koolituse seaduses ettenähtud tingimustel ja korras.) Tääsikasvanute koolituse seaduse § 8. kohaselt (2) Koolitusel osalemiseks antakse töötajale või avalikule teenistujale koolitusasutuse teatise alusel õppepuhkust kuni 30 kalendripäeva kalendriaasta jooksul. (3) Tasemekoolitusega ja tööalase koolitusega seotud õppepuhkuse ajal makstakse töötajale ja avalikule teenistujale keskmist töötasu 20 kalendripäeva eest. 2. 7-10 a lapse vanem võib puhata lapse koolivaheajal oma soovitud ajal, teatades sellest ette vähemalt 2 nädalat. Küsimus selline: Kas see kehtib ka suvise koolivaheaja kohta? Et töö...
s min = (1) l Pikksilma suurendus Kaugel asuvaid esemeid ei näe me selgelt just sellepärast, et nende vaatenurk on liiga väike. Selleks, et eristada ka kaugel asuvate esemete väikseid detaile, kasutatakse optilisi seadmeid (näiteks pikksilmi), mis muudavad vaatenurga suuremaks. Optilise seadme poolt tekitatud suurendusefekti hinnatakse tavaliselt valemiga tan s= , (2) tan Kus s on suurendus, ' optilise seadme poolt tekitatud vaatenurk ja vaatenurk palja silmaga vaatamise korral. Lihtsaimaks mooduseks pikksilma suurenduse hindamiseks on ühtlastejaotistega skaala (näiteks joonlaud) vaatlemine üheaegselt nii pikksilma kui ka palja silmaga,st. Ühe silmaga läbi pikksilma ja teisega pikksilmakõrvalt otse. Kui jaotise tegelik pikkus skaalal on l0 ja läbi
Kahe punkti A ja B kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) B ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Punkti A ja sihivektori s kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) s ( s1 ; s 2 ; s 3 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = = t kanooniline s1 s2 s3 x = x1 + s1t y = y1 + s 2 t parameetriline z = z +s t 1 3 Tõusu k ja algordinaadi b (y väärtus, kui x=0) kaudu: k; b y = kx +b k = tan Kahe sirge s ja t vahelise nurga arvutamine: s = ( s1 ; s 2 ; s 3 ) t = (t1 ; t 2 ; t 3 ) s t = s t cos s t s1 t1 + s 2 t 2 + s 3 t 3 cos = = s t s12 + s 22 + s 32 t12 + t 22 + t 32 Kui vektorite vaheline nurk on nürinurk, tuleb see lahutada 180-st. Kahe sirge lõikepunkti leidmine: Kanooniliselt tuleb lahendada süsteem. Parameetriliselt tuleb leida t ja selle abil x; y ja z väärtused.
cos = b2 + c2 a2 ; cos = a2 + c2 b2 ; cos = a2 + b2 c2 2bc 2ac 2ab Kui kolmnurgas on antud 2 külge ja nendest lühema külje vastasnurk, siis on kolmnurgal kaks lahendust! 7. Täisnurkne kolmnurk sin = vastaskaatet hüpotenuus cos = lähiskaatet . hüpotenuus tan = vastaskaatet lähiskaatet
www.andmill2.planet.ee/gmat.html Funktsioonid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumko...
2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1 y = arccot x y' = - y = sin x y ' = cos x 1+ x2 y = cos x y ' = - sin x y = ax y ' = a x ln a 1 y = ex y' = e x y = tan x y' = 1 cos 2 x y = log a x y' = 1 x ln a y = cot x y' = - 2 sin x y = ln x 1 y '= 3 x Tagasi Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Teoreem Kui funktsioonid f ja g on diferentseeruvad punktis x0, siis ka f
Alina Sivitski, tuba AV-416; [email protected] MHE0042 MASINAELEMENDID lI TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT 4 EAP - 1-1-1- E MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL 2010/2011. õ.a. KEVADSEMESTER ______________________________________________________________________ · Radiaaljõud Fr : - sirghammastega silindriliste hammasrataste korral Fr = Ft tan = 3100 tan 20° = 1128,3 N, kus on hammasratta hambumisnurk ( = 20 º). tan - kaldhammastega hammasratta korral Fr = Ft cos , kus on hamba kaldenurk mis võib varieeruda vahemikus 8 < < 45 º. Radiaaljõud Fr = 1128,3 N, ringjõud Ft = 3100 N 2. Lewis'e paindepingete arvutus hamba jalas A, n (hambaprofiili (konsooli) punktis A mõjub painde nimi-tõmbepinge A, n) (vt
lim f ( x) lim f ( x ) = xa lim , kui g ( x) 0 x a g ( x) lim x a g ( x) xa lim [C f ( x)] = C lim f ( x) x a x a x lim 1 1 + = e ; x R x x lim sin x =1 x 0 x x lim r r 1 + = e x x lim tan x =1 x 0 x lim Kui funktsioon y = f(x) on pidev kohal x=a, siis f ( x) = f (a) x a Tegurdamine: 1. Sulgude ette toomine 2. Korrutamise abivalemid a2 b2 = (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 3. Rühmitamine 4. Ruutkolmliikme tegurdamine ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx = 2 +c sin xdx =-cos x +c cos xdx =sin x +c dx cos 2 x = tan x + c dx x = 2 x +c e x dx =e x dx x = ln x +c f ( x)dx =F ( x) +c [ f ( x) +g ( x)]dx = f ( x)dx +g ( x)dx af ( x)dx =a f ( x) dx Määratud integraal. b f ( x)dx = F (b) -F (a) a b b a cf ( x) dx = c f ( x)dx a b b b [ f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx a a a b a
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
