Kopmositsioon. 3.4 Teha kindlaks, kas ühel ja samal hulgal määratud transitiivsete relatsioonide kompositsioon on alati samuti transitiivne. 4. Suurim ühistegur 4.1 Tõestada, et suvaliste naturaalarvude a ja b korral kehtib võrdus SÜT(2a, 2b)= 2SÜT(a,b). 4.2 Olgu arvude a ja b korral leitud arvud s ja t nii, et SÜT(a,b)= as+bt. Millised on vastavad arvud 2a ja 2b korral? 4.3 Millised on vastavad arvud eelmises punktis arvude a ja a+b korral? 4.4 Olgu a ja b fikseeritud naturaalarvud. Valime naturaalarvud s ja t selliselt, et nad oleksid nii arvudega a ja b kui ka omavahel ühistegurita. Milliseid väärtusi võib omandada arvude as ja bt suurim ühistegur, kui arvude a ja b suurim ühistegur on d.
2. Tõestada, et ei tarvitse kehtida sisaldavus (R U S)2 c R2 U S2 4. Jagavus 1. Defineerida jagavus. 2. Tõestada vahetu arutlisega, lähtudes jaguvuse mõistest, et kui a | b ja a | c, siis ka a | b + c, a | b c ja a | bc. 3. Vaatleme Eukleidese algoritmi sammu a1b b1r. Tõestada, et kui mingi arv d on vasaku poole arvude tegur, siis on ta ka parema poole arvude tegur ja ümberpöördult. 4. Olgu a, b ja c sellised naturaalarvud, et a | c, b | c, kuid a b. Tõestada, et ei tarvitse kehtida a | c/b. 5. Milliseid tingimusi peab arv a rahuldama, et suvaliste selliste arvude b ja c jaoks, mille puhul a | c, b | c ja a b, kehtiks a | c/b?
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL INFOTEHNOLOOGIA TEADUSKOND Arvutitehnika instituut Massiivid Juhendaja: Margit Aarna Teadur Tallinn 2011 Autorideklaratsioon Kinnitan, et käesolev töö on minu töö tulemus ja seda ei ole minu ega kellegi teise poolt varem esitatud. 2 Sisukord Ülesande püstitus..........................................................................lk4 Algoritm.................................................................................lk5-6 Programmikood.........................................................................lk7-9 Töö seletus................................................................................lk10 Pilt programmist................................
Kuueteistk ümnendsüsteemis tähistatakse: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F. 21. Milline on suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem? Suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem on kuueteistkümnendsüsteem. 22. Milleks 16ndsüsteemi kõige enam kasutatakse? 16ndsüsteemi kasutatakse arvutimälus hoitavate baitide sisu kompaktsemaks esitamiseks. Kuidas saab arve teisendada 2ndsüsteemi , 8ndsüsteemi ja 16ndsüsteemi vahel? Millised arvud on naturaalarvud ? Millised arvud on algarvud ? Millised murdarvud on ratsionaalarvud ? Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus ? Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul ? Millised kahendvektorid on lähisvektorid? Mitu erinevat lähisvektorit on n-järgulisel kahendvektoril? Mis on intervall? Millised järgud on intervalli olulised järgud? Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga?
a ) { 1,3,5} j a { 5,3,1} on, j ärj ekord pole tähtis (kas kuulub või ei kuulu) b ) { {1} } ja { 1,{ 1} } nii j a naa(s is ult võrds ed), 1)alamhu lk, el.1 2)hulk el. 1, ala mhulk ka el.1, s iin es itus e küs imus N -naturaalarvud Z- täis arvud R -reaalarvud Q -rats ionaalarvud C -kompl eks arvud K ehtib: N Z Q R Lõplik hulk- kindel arv elemente (on alati ka loenduv) Lõpmatu hulk-piiramata arv ele ment e Loenduv hulk- kui tema elementid ele s aab s eada vas tavus s e naturaalarvud e hulga D ef. Olgu U u n ivers aalh u lk , A ja B tem a alam h ulgad . Hu lga A täien d ik s eh k ab s olu u ts ek s täien d ik s n im etataks e hu lk a A = { x U | x A} N 5: A ntud on univers aalhulk U = {E ,T , K , N , R , L , P} ja hulk A = { L , P} . Leida hulga A täiend. D ef. Kah e hu lga X ja Y üh is os a X Y = { z | z X ja z Y } D ef. Kah e hu lga X ja Y üh en d X Y = { z | z X või z Y } N 6: A ntud on hulgad A = {a ,b ,c} , B = {b ,c , d } j a C = {b ,c ,e}
Bernoulli valem on tõenäosus teoorias valem, mis näitab n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A). Tuletus: Sündmus A toimub n katse korral m korda, siis sündmuse A vastandsündmus toimub n m korral. Binoomjaotus Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks. Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve DX. Keskväärtus: Dispersioon: Poissoni jaotus Poissoni jaotus harva esinevate sündmuste jaotusseadus. Poissoni jaotust kasutame kui katseseeriate arv n st. n30 ja tõenäosus p5. m on antud arv.
2ndsüsteemist 8nd või 16ndsüsteemi teisendamiseks tuleb jagada 2ndarv vastavalt järkude kolmikuks ( ) või nelikuks ( ) ning need teisendada soovitavasse arvusüsteemi. | | | | | | | 8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt 2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0
TEST Loeng 1 - Naturaalarv loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik.
TEST Loeng 1 - Naturaalarv loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu
k 1 1 1 = cos u du = sin u + C = sin kx + C k k k 1 sin kx dx = - k cos kx + C 1 cos 8x cos 6x dx = 2 ( cos 2x + cos 14x ) dx = Näide: 1 1 1 1 1 = sin 2x + sin 14x + C = sin 2x + sin 14x + C 2 2 14 4 28 Integraalid kujul I n , m = sin x cos x dx n, m naturaalarvud kui m ja n on paarisarvud. n m 2. 1 sin 2 x = (1 - cos 2 x ) 2 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 k 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2 x ) cos x 2k 2m m 1 1 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2x ) 2 ( 1 + cos 2x ) 2 ( 1 + cos 2x ) dx =
· Vahetu järgnevuse omadust pole · On tihe · On pidev (Milline on kõige suurem ühest väiksem arv?) · Kinnine kõigi nelja põhitehte suhtes väljaarvatud nulliga jagamine. Ka ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust jääb reaalarvuks. Kuid kinnine juurimise suhtes ei ole · Tehetega seotud omadused kehtivad. 5. Arvuhulkade vahelised kuuluvusseosed- · Iga naturaalarv on ühtlasi täisarv · Mõned täisarvud ei ole naturaalarvud · Iga täisarv on ratsionaalarv · Iga ratsionaalarv pole täisarv · Mõni ratsionaalarv on naturaalarv · Iga naturaalarv on ratsionaalarv 6. Lineaarfunktsiooni graafik, omadused · Funktsiooni, mis avaldub kujul y=ax+b, nimetatakse lineaarfunktsiooniks. · Uurime graafikut (X;Y; kasvamine, kahanemine, a ja b tähendus). Näitame a tähenduse (y2-y1)/(x2-x1). · Funktsioon y=2x+1
1 1 1 = cos u du = sin u + C = sin kx + C k k k 1 sin kx dx = - k cos kx + C 1 cos 8x cos 6x dx = 2 ( cos 2x + cos 14x ) dx = Näide: 1 1 1 1 1 = sin 2x + sin 14x + C = sin 2x + sin 14x + C 2 2 14 4 28 Integraalid kujul I n , m = sin x cos x dx n, m naturaalarvud kui m ja n on paarisarvud. n m 2. 10 1 sin 2 x = (1 - cos 2 x ) 2 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 k 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2 x ) cos x 2k 2m m
Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m (1) ja n VEERGU elementidega a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, (2) nimetatakse (m × n)-MAATRIKSIKS. Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi REAINDEKSIKS. Selle abil loendatakse maatriksi ridu
Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m (1) ja n VEERGU elementidega a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, (2) nimetatakse (m × n)-MAATRIKSIKS. Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi REAINDEKSIKS. Selle abil loendatakse maatriksi ridu
.............................................................................13 VALEMID (SEADUSED)........................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge;
4. Kui ratsionaalavaldis on kujul R (cos x ) sin x , siis integraali R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x . Siis dt = - sin xdx ja integraal (8) teiseneb jälle ratsionaalavaldise integraaliks: R(cos x ) sin xdx =- R( t )dt. 5.Kumbagi kahest viimasest muutuja vahetusest ei saa kasutada siis, kui integraalis sin m x cos n xdx naturaalarvud m ja n on mõlemad paarisarvud. Niisugust tüüpi avaldiste integreerimiseks kasutatakse poolnurga siinuse ja koosinuse valemeid: 1 - cos 2 x sin 2 x = , 2 1 + cos 2 x cos 2 x = . 2
Järeldus: Pole olemas algoritmi, mis suvalise arvutatava f.-ni f korral teeks kindlaks, kas võrrand f(x) = 0 on arvutatav või mitte. 32. Posti vastavuse probleemi mittelahenduvus. Mittelahenduvate ülesannete näited. A = {x1,..,xn} f: A A on ühskohaline kõikjal määrat' naturaalarvuline f.-n. f on Nn tükki. Kõigi ühekohaliste naturaalarvuliste f.-nide arv aga on |N| |N| - kontiinumi võimsus. Kõigil arvutatavatel f.-nidel on Gödeli numbrid need aga on naturaalarvud seega ei saa kõik f.-nid olla lahenduvad. · Turingi masina peatumine (kas A(x) = lõpmatus?) · Hiberti kümnes probleem kas täisarvuliste kordajatega polünoomi P(x1,..,xn) korral on võrrandil P(x1,..,xn) = 0 naturaalarvulisi lahendeid? · Posti vastavuse probleem Posti vastavuse probleem: korteezhid tähestikus : = (1,..,n) = (1,..,n) Kas leidub indeksite jada i1,..,ik nii, et 1i1i2..ik = 1i2..in See ei ole lahenduv.
Kuidas ajalugu sõltub sellest, kuidas me sellest räägime? Väga sõltub. 2 paralleelset ajalugu tormilised muutused ja sündmused vs see mis on püsiv/järjepidev lugu. "meeste" ja "naiste" ajalugu, aga tegelikkuses 1 ei saa olla teiseta, seega ei ole 2 ajalugu. Mis on sündmus? Tähtsamad on need sündmused, millel on otsene tagajärg. Esmalt tuleb tuvastada märke, mille abil sündmuseid kirjeldatakse, mitte sündmuseid ennast. Carlo Ginzburg - "Clues, Myths and the Historical Method" 1989 "Juust ja vaglad" otsis tõendeid oma teooriatele, leidis. "Universum on nagu juust" "Ajaloo ööpoolel" Semiootika 3 eelajaloolist allikat: - Jahindus jahimees interpreteerib kogu aeg ilma märke, looma jälgi jne - meditsiin mis on haigus? Seda me ei näe, see on kuskil sees, aga me näeme selle erinevaid märke (sümptomid). Ravimine algab samuti märkide interpreteerimisega. - kriminalistika uusim nendest terminitest. Aga olukord phm ...
n n +1 ja c)indukts iooni s amm: an + 4 = an + 2 + an + 3 ( 3 / 2 ) + ( 3 / 2 ) = ( 3 / 2) (1 + 3 / 2) >= ( 3 / 2) ( 9 / 4) = ( 3 / 2) n n +1 n n n+2 T u gev in du k s tioon ip rin ts iip (R .Palm järgi) O lgu P (n) üldväide, mil le para meetr i n väärtus teks on naturaalarvud. Kui a) väide P(1) kehtib b) iga naturaal arvu k korral järeldub s elles t, et väide kehtib kõigi P(m) korral, kus m< k, väite kehtivus P(k) j aoks , s iis väide P(n) kehtib iga naturaalarvu n korral. N äide: Sokolaadit ahvel mõõtmet ega a ×b ruutu murtaks e mööd a j ooni tükkideks , kuni enam murda ei s aa. Tões tada, et murdmis t e arv on a*b- 1. a) induks tiooni baas n= 1: s iis a= 1; b= 1 ja murd mi s te arv on 1*1-1= 0.
an 2 3 / 2 an 3 3 / 2 n n 1 ja c)indukts iooni s amm: an 4 an 2 an 3 3 / 2 3 / 2 3 / 2 1 3 / 2 3 / 2 9 / 4 3 / 2 n n 1 n n n2 Tugev in du k s tioon ip rin ts iip (R .Palm järgi) O lgu P (n) üldväide, mil le para meetr i n väärtus teks on naturaalarvud. Kui a) väide P(1) kehtib b) iga naturaal arvu k korral järeldub s elles t, et väide kehtib kõigi P(m) korral, kus m< k, väite kehtivus P(k) j aoks , s iis väide P(n) kehtib iga naturaalarvu n korral. N äide: Sokolaadit ahvel mõõtmet ega a b ruutu murt aks e mööda jooni tükkideks , kuni enam murda ei s aa. Tões tada, et murdmis te arv on a*b-1. a) induks tiooni baas n= 1: s iis a= 1; b= 1 j a murdmis te arv on 1*1-1= 0.
kõigi nende indiviidide xX korral, mille korral muutub tõeseks predikaat Px. Üldisuskvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Igal x-il on omadus Px ehk Iga x korral P. Näiteks võtame predikaadi A(x), kus xN (,,x on algarv", x kuulub naturaalarvude hulka). Üldisuskvantori rakendamisel saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Iga naturaalarv on algarv ehk Kõik naturaalarvud on algarvud. See üldjaatav lause on väär. Olemasolukvantori rakendamine ühekohalisele predikaadile Px, kus xX, muudab selle predikaadi lauseks: Leidub selline x, millel on omadus Px ehk Leidub selline x, et Px. Näiteks rakendame olemasolukvantorit eelpooldefineeritud predikaadile A(x), kus xN. Saame lause: x(xN)Ax ehk x(xN)A(x) ehk x Ax, mida võiks antud juhul lugeda: Leidub vähemalt üks naturaalarv, mis on algarv ehk Mõned naturaalarvud on algarvud. See osajaatav lause on tõene.
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus .
käsitletakse kui tervikut ja mittekogumõisted-nende sisu iseloomustab vastava klassi igat elementi - näiteks meeskond vs mängija) MÕISTE MAHT - esemete klass, mis sisaldub/peegeldub mõistes. Palju teisi mõsiteid sellesse mahub. Esemete klass võib olla mahult: Tühi-mida ei eksisteeri(kentaur) Lõplik- jäämegi loendama(maailmas elavad inimesed) Lõpmatu-näiteks naturaalarvud Kahe mõiste omavaheline side võib olla erinev: Absoluutselt erinevad mõisted- kahel mõistel puuduvad ühised tunnused täielikult. (inimene, kivi) Suhteliselt erinevad mõisted – kahel mõistel on vähemalt üks ühine tunnus (inimene, mees). Jaguneb: Sõltuvad- inimene ja mees, esimene mõiste peegeldab liiki, teine sugu Samasoolised- üheaastane taim ja kaheaastane taim, mõiste ühisosa ehk sootunnus on mõlemal mõistel ühine
2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Kontrolltöö teemad 1. Reaalarvu absoluutväärtus ja selle omadused (enamus neist on loogiliselt tuletatavad). 2. Summa sümbol. Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa
kuna järgnevate arvude hulgas tegurit enam tõenäoliselt ei leidu. b). Fermat' väike teoreem- asendadada arvud Fermat' väikesesse teoreemi. c). Miller-Rabini test- ehkki tegu on tõenäosusliku polünomiaalse meetodiga, on tulemus suhteliselt usaldusväärne, kuna eksimisvõimalus on harilikult 0,01% või vähemgi. *Erathosthense sõel- (Antiikne) meetod selekteerimaks n naturaalarvu seast välja algarve. Üles kirjutatakse kõik antud vahemiku naturaalarvud 1,2,3....n ning nende seast hakatakse järjest välja kriipsutama n-1 kordseid arve. Alles jäävad vaid algarvud. [24].Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. Iga naturaalarvu n saab esitada kujul n = , ehk sisuliselt teatud (astmesse tõstetud) algarvude korrutisena. Arv n jagub kõigi nende algarvudega p. Iga naturaalarv n on esitatav täpselt ühe unikaalse kanoonilise kuju avaldisena. Nt. 35 = 5*7 ==> Kanoonilise kuju näide.
Hulkade võrdsus o DEF: Kahte hulka A ja B loetakse võrdseteks ja kirjutatakse A = B, kui hulgad A ja B koosnevad samadest elementidest: A = B ⇔ ∀x [x ∈ A ⇔ x ∈ B]. Tühi hulk o DEF: Tühjaks hulgaks e. tühihulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi. Tühja hulka tähistatakse sümboliga ∅. ∅ = { x| x ≠ x }. 13. Põhilised arvuhulgad: N, Z, Q, R, C, reaalarvude intervallid. [3, 4, 5] Põhilised arvuhulgad o N = {1, 2, 3, …} naturaalarvud e positiivsed täisarvud o Z = {..., 2,1, 0, 1, 2, …} täisarvud o Q = {q | q=m/n, m∈Z, n∈N} ratsionaalarvud o R = reaalarvud o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11 o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk
Defineerida jada tõkestatuse ja koonduvuse mõiste: Jada (xn) on tõkestatud parajasti siis, kui ∃m,M ∈ IR : m ≤ xn ≤ M iga n ∈ IN korral, selle tingimuse võime esitada kujul ∃K > 0 : |xn| ≤ K iga n ∈ IN korral Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata jadadest. Tõkestatud: konstantne jada (3, 3, 3, …), hääbuv jada (1, ½, ⅓, ¼, … ) Tõkestamata: tõkestamatult kasvav (6-ga jaguvad naturaalarvud alates arvust 6), tõkestamatult kahanev (3, 0, -3, -6, -9, …) Tõestada, et iga koonduv jada on tõkestatud (lause 2.1). Lause (koonduva jada tõkestatus) (xn) koonduv => (xn) tõkestatud Tõestus: Olgu (xn) koonduv s.t. leidub a € R lim xn=a Vaja näidata, et (xn) on tõkestatud, s.t. leidub m,M : iga n m ≤ x n ≤ M Kuna lim xn=a, siis rakendades (*) e = 5 korral Leidub N : iga n (n ≥ N |xn - a|< 5) Valime m = min {x1,x2,…,xN-1,a-5} M = max {x1,x2,…,xN-1,a+5}
Väljendit ,,leidub täpselt üks" tähistatakse tavaliselt sümboliga !. Näiteks, !x , 2x - 4 = 0. Näide: x , x2 + 1 > 0 tähendab, et iga reaalarvu x korral on x2 + 1 suurem nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest. Näide: Eitame lauset: ,,Kõik naturaalarvud on algarvud." 1. Antud juhul P(x) = ,,x on algarv" 2. ¬(x , x on algarv) 3. x , ¬(x on algarv) 4. x , x ei ole algarv Leidub naturaalarv, mis ei ole algarv. Näide: Eitame lauset: ,,Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1." 1. Antud juhul P(x) = ,,x2 = 1" 2. ¬(x , x2 = 1) 3. x , ¬(x2 = 1) 4. x , x2 1 Iga reaalarvu x korral x2 1
Eelduste vahetamise probleemi käsitletakse pikemalt entümeemi peatükis. 9 b) Demonstratiivne süllogism Alljärgnevas lõigus vaadeldakse üksnes korrektseid süllogisme. Võrdleme kahte süllogismi. 1) Kõiki objekte, mis koosnevad osadest, saab osadeks lammutada. Kõik ainelised objektid koosnevad osadest. Järelikult on igasugune aineline objekt osadeks lammutatav. 2) Kõiki ainelisi objekte saab ruumis liigutada. Naturaalarve ei saa ruumis liigutada. Järelikult pole naturaalarvud ainelised objektid. Mõlemad süllogismid on korrektsed, ent esimene mõjub veenvamalt kui teine. Mis seda tingib? Küsimus on keskterminis. Kuna kesktermin läheb lõppjärelduses kaduma, siis on raske märgata kesktermini tähtsat rolli. Esimeses süllogismis on keskterminiks „osadest koosnev”. See on ka põhjus, miks saab midagi osadeks lammutada. Teises süllogismis on keskterminiks „ruumis liigutamist võimaldav”. Naturaalarvude mitteainelisus ei tulene mitte
b) Demonstratiivne süllogism Alljärgnevas lõigus vaadeldakse üksnes korrektseid süllogisme. Võrdleme kahte süllogismi. 1) Kõiki objekte, mis koosnevad osadest, saab osadeks lammutada. Kõik ainelised objektid koosnevad osadest. Järelikult on igasugune aineline objekt osadeks lammutatav. 2) Kõiki ainelisi objekte saab ruumis liigutada. Naturaalarve ei saa ruumis liigutada. Järelikult pole naturaalarvud ainelised objektid. Mõlemad süllogismid on korrektsed, ent esimene mõjub veenvamalt kui teine. Mis seda tingib? Küsimus on keskterminis. Kuna kesktermin läheb lõppjärelduses kaduma, siis on raske märgata kesktermini tähtsat rolli. Esimeses süllogismis on keskterminiks ,,osadest koosnev". See on ka põhjus, miks saab midagi osadeks lammutada. Teises süllogismis on keskterminiks ,,ruumis liigutamist võimaldav". Naturaalarvude mitteainelisus ei tulene mitte
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
