Funktsioonid ja nende graafikud © T. Lepikult, 2010 Funktsioon Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne. Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks
1. Funktsiooni mõiste, esitusviisid ja liigitamine. o Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnast X on reegli f abil seatud vastavusse muutuja y täpselt üks väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X ja tähistatakse kujul y = f (x). o Funktsiooni põhilised esitusviisid. Ilmutatud kuju y = f (x). Nt y = a x +b; y = ax2 + b x + c Ilmutamata kuju f (x, y) = 0. Nt x2 + y2 = 4 Parameetriline kuju . Nt Geomeetriline esitus graafiku abil. o Numbriline esitus tabeli abil. Funktsioonide liigitamine. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x)
2. 5 = 5 , kus on konstant
3. Kui 5 =2 + 4 ja , on konstandid, siis
5 + = (2 + +4
28) Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise
valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja).
Vaatleme määramata integraali 5 . Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle
integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon O = P ja integreerimine
muutuja järgi asendatakse integreerimisega muutuja O järgi. Eeldame, et P on üksühene ja
diferentseeruv. Tähistame funktsiooni P pöördfunktsiooni Q-ga. Seega = Q O . Paneme
<'
kirja funktsiooni Q tuletise diferentsiaalide jagatisena:
Nim. Uurimust, kus vastused teoreetiliselt põhjendatud uurimusküsimustele leitakse empiirilise uuringuga ANDMED: Mingile probleemile vastuseleidmiseks viiakse läbi andmete kogumine (laboratoorium, looduses, inimeste hulgas, olemasolevatest andmebaasidest) Andmete analüüs, järelduste tegemine EESMÄRGID: 1. Kirjeldamine uurija püüab dokumenteerida, mis nähtused ilmnevad, ta otsib korduvaid mustreid 2. Seoste otsimine uuringus leiatkse ühe muutuja seotud teise muutujaga, uuritakse vahekorda kahe muutuja vahel, mille üle uurijal puudub otsene mõjutamise võimalus. 3. Põhjuslike seoste otsimine uurija manipuleerib ühe muutuja taset ja vaatleb teise muutuja taseme muutust 4. Prognoosimine millegi kulgemise suuna ja viisi ettenägemine TEOREETILINE Uurimus, kus teadmisi saadakse loogilise järelduse, intuitsiioni või lugemise abil olemasoleva teabe analüüsil ANDMED:
¿ x´1 x´3 x´4 ( 1 ) v x´1 x´3 x 4 ( 1 ) v x´1 x 3 x´4 ( 0 ) v x´1 x 3 x 4 (1 ) v x 1 x´3 x´ 4 ( 0 ) v x 1 x´3 x 4 (1 ) v x 1 x 3 x´4 ( 0 ) v x 1 x 3 x 4 ( 1 ) =¿ ¿ x´1 x´3 x´4 ( 1 ) v x´1 x´3 x 4 ( 1 ) v x´1 x 3 x 4 ( 1 ) v x 1 x´3 x 4 ( 1 ) v x1 x 3 x 4 ( 1 ) 8. Shannoni disjunktiivne arendus MDNK-le vabalt valitud kahe muutuja järgi f ( x 1 , x 3 , x 4 )= x´1 x´3 v x 4= x´1 x´3 ( 11 v x 4 ) v x´ 1 x 3 ( 10 v x 4 ) v x 1 x´3 ( 01 v x 4 ) v x 1 x 3 ( 00 v x 4 )=¿ ¿ x´1 x´3 ( 1 ) v x´1 x 3 ( x 4 ) v x 1 x´3 ( x 4 ) v x 1 x 3 ( x 4 ) 9. Shannoni konjunktiivne arendus vabaltvalitud kahe muutuja järgi x 1 , x 3 järgi. Arendame muutujate f ( x 1 , x 3 , x 4 )= x´1 x´3 v x 4=¿
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
y 2 0 2 6 x -1 y=6x x 0 6 y 6 0 5. Lahendage võrrandisüsteem : y = -15 + 3x y = 28-4x y = -15 + 3x y = 28-4x · Lahendus asendusvõttega ( asendan ühe tundmatu ühes võrrandis , teise võrrandiga ) 28 4x = -15 + 3x 28 + 15 = 4x + 3x 43 = 7x x = 6,14 ( kui üks muutuja on arvutatud , siis saadus väärtus tuleb panna ükskõik kumba võrrandisse , arvutamaks teist muutujat ) y = -15 + 3*6,14 y = 3,42 · Lahendus liitmisvõttega ( ära tuleb kaotada esmalt üks tundmatu , et teist saaks välja arvutada ) y = -15 + 3x * 4 y = 28-4x *3 7y = 24 y = 3,42 ( kui üks muutuja on arvutatud , siis saadus väärtus tuleb panna ükskõik kumba
"rasvkude" siis viin selle kokku koe tasemega jne.) 2. Tean mõistet hüpotees, oskan etteantud näite varal õigesse järjekorda panna teadusliku uurimistöö etappidena (nagu me tunnis Maardu järve vee reostuse kohta tegime). Oskad ka etteantud probleemi kohta hüpoteesi esitada 3. Tead, mida tähendavad mõisted: botaanika, zoloogia, mikrobioloogia, etoloogia, füsioloogia, ökoloogia, histoloogia ja antoomia, neuraalne regulatsioon, muutuja, biomolekul, teaduslik fakt. 4. Tean elu tunnuseid 5. Tean erinevusi mõistetel ja oskan iga juurde tuua ühe näite!!: autotroof ja heterotroof; suguline ja mittesuguline paljunemine; otsene ja moondega areng; populatsioon ja liik Vastused: 1) 1. Molekukaarne tasand (biomolekulid sahhariidid, lipiidid e. rasvad, valgud,fruktoos, nukleiinhapped) 2. Organelli tasand (enamik elu tunnuseid puudub, raku ehituslikud üksused) 3
võrdsed teepikkused ja trajektooriks on sirgjoon.Füüsikaline mudel - idealiseeritud keha või nähtus. Kiirus on peamine liikumist iseloomustav suurus, näitab kui suure teepikkuse läbib keha teatud aja jooksul. Igal vektoril on suurus ja arvväärtus ehk moodul. Mitteühtlast liikumist iseloomustab keskmine kiirus. Hetkkiiruseks nimetatakse keha kiirust mingil konkreetsel ajahetkel. Ühtlasel liikumisel on hetkkiirus ja keskmine kiirus võrdsed. Hetkkiirus on alati suunatud trajektoori muutuja sihiks. Ühtlaselt muutuvaks kiiruseks nimetatakse liikumist, kus kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguste väärtuste võrra. Kiirendus iseloomustab kiiruse muutumist . Sisuliselt on kiiruse muutumine kiirendus. Kiireneval liikumisel on kiirendusvektor ja kiiursvektor samasuunalised. Aeglustuval vastassuunalised.Igasugune kõverajooneline liikumine on kiirendusega liikumine. Raskuskiirendus kiirendus millega vabalt langev
Sümbolid · char(16-bitiline Unicode-sümbol, 'u0000'(0) kuni 'uffff'(65535)) Nimi: · on tõstutundlik · võib sisaldada tähti, numbreid, _ , $ · ei tohi alata numbriga · ei tohi olla Java võtmesõna, · ei tohi olla true, false, null Ühiksuurendamine, ühikvähendamine ++muutuja : Muutujat suurendatakse ühe võrra ja seejärel arvutatakse avaldise väärtus kasutades muutuja uut väärtust muutuja++ : Avaldise väärtus arvutatakse kasutades muutuja vana väärtust ja seejärel suurendatakse muutujat ühe võrra --muutuja : Muutujat vähendatakse ühe võrra ja seejärel arvutatakse avaldise väärtus kasutades muutuja uut väärtust muutuja-- : Avaldise väärtus arvutatakse kasutades muutuja vana väärtust ja seejärel vähendatakse muutujat ühe võrra Tüübiteisendus Avaldise arvutamisel: · Kui ühe operandi tüüp on double, siis teine teisendatakse ka double-tüüpi
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 f(x1 , x2 , x3 )= x1 x2x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1x2x3 Erinevate loogikafunktsioonide f(x1 ,x2 ,...xn) arv K on 2 2 n . n=1 K=4 n=2 K=16 n=3 K=256 n=4 K=65536 n=5 K=4,3 · 109 Järgnevalt tutvume kõikvõimalike kahe muutuja funktsioonidega f(x1 , x2 ). x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tabelis on kirjeldatud järgnevad funktsioonid:
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 f(x1 , x2 , x3 )= x1 x2x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1x2x3 n Erinevate loogikafunktsioonide f(x1 ,x2 ,...xn) arv K on 2 2 . n=1 K=4 n=2 K=16 n=3 K=256 8 n=4 K=65536 n=5 K=4,3 109 Järgnevalt tutvume kõikvõimalike kahe muutuja funktsioonidega f(x1 , x2 ). x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tabelis on kirjeldatud järgnevad funktsioonid: f0 - konstant "0"
Kõik kitsendused ning samuti sihifunktsioon peavad olema võrrandite kujul, m kordajaga 1 ja esineb ainult ühes võrrandis. universaalne lahendusmeetod. ast 1947. Nimetus tuleneb geomeetrilisest tõlgendusest. Simpleksiks t, millel on n+1 tippu. ülesanne vastama järgmistele tingimustele: ma mittenegatiivsed aid pooli -1-ga). ktsioonina undmatud vasakule ja kitsendustele ,," lisatakse abimuutujad. a võrrandite kujul, milles igaühes esineb baasimuutuja so. muutuja s Optimiseerimisülesanne koosneb: - Meie poolt mõjutatavatest otsustusmuutujatest: x1 ja x2 Antud näites nemad tähistavad kahe kauba toodetavat kogust - 1 on kitsendus mingi materjali kohta: x1 kauba tootmisel kulub seda 3 ühikut ( ja x2 kauba tootmisel kulub seda 1 ühik, ning kokku on seda kasutada 9 ühiku (samamoodi teised võrratused) - x 0 kitsendus - Negatiivne x1 kordaja II võrrandis võiks olla näiteks CO2 kitsendus puu korr auto korral suureneb
Pxy on kujutis, mis seab igale idiviidide järjestatud paarile(x;y), kus x kuulub hulka M, vastavusse ühe kindla tõeväärtusega (tõene või väär). UNIVERSAALHULGAKS ehk UNIVERSAALSEKS HULGAKS nimetatakse hulka, mis sisaldab alamhulkadena kõiki antud probleemi või arutluse raames vaadeldavaid hulki. Kvantori ulatuses paiknevat valemit nimetatakse ka KVANTORILE ALLUVAKS VALEMIKS. Muutuja esinemine predikaatarvutuse valemis on SEOTUD, kui muutuja esineb mõne kvantori ulatuses. Kui muutuja esinemine ei ole seotud, siis on see muutuja esinemine VABA. Muutuja ON valemis SEOTUD, kui kõik tema esinemised valemis on seotud. VASTASEL JUHUL on muutuja VABA Valem on KINNINE, kui kõik tema muutujad ON SEOTUD. VASTASEL JUHUL nimetatakse valemid LAHTISEKS. LAUSEKS nimetatakse kinnist predikaatarvutuse valemit, st valemit, milles ei ole vabu muutujaid. TULETUS TULETUS on lausete jada, kus iga lause on kas tuletuse eeldus või saadud temale
2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja 3 u = g ( x ) = 2 x - 1 . Siis y = f g ( x) = ( 2 x - 1) .
valimine, iga kahekümnes isik valitakse. Selline valik aga nõuab, et nimed oleksid nimekirjas juhuslikus järjekorras. Sõltumatu tunnus [Independent Variable] - uuritav või mõõdetav karakteristik, mis eeldatavasti mõjutab sündmust. Sündmus ei mõjuta sõltumatut tunnust, kuid sõltumatu tunnus võib olla sündmuse põhjustajaks või soodustada selle variatsiooni. Sõltuv muutuja (Dependent Variable)- muutuja või tegur, mille väärtus sõltub või oletatavalt sõltub teiste uuritavate [põhjuslike] muutujate mõjust. Üldistamine (Generalizing)- elementidest ühtse terviku moodustamine. Tunnus (Variable)- näitaja, mida mõõdetakse ja mis võib erinevatel objektidel omada erinevaid väärtusi. Tunnused võivad olla uuritavad ja taust- ehk abitunnused Tõenäosuslik/juhuslik valik (probability/random sampling): – populatsiooni igal liikmel on
Kirjutada programm, mis viskab 5 täringut, ehk mõtleb välja 5 arvu Kirjutada äraarvamismän ühest kuueni, ning arvutab silmade summa numbri ühest sajani. Küs NB! Lahendus peab olema tehtud tsükliga. Kui kasutaja vastab vale Vihje: tsüklis summa arvutamiseks tuleb summat sisaldav muutuja number oli suurem või vä enne tsükli käivitamist väärtustada nulliga ja tsükli kehas liita vastust senikaua kuni ka sellele üks haaval väärtusi otsa (sum = sum + ...) arvab. Kirjutada äraarvamismäng. Arvuti "mõtleb välja" ühe numbri ühest sajani. Küsib kasutajalt, mis number oli. Kui kasutaja vastab valesti, siis ütleb kas arvatud number oli suurem või väiksem. Programm küsib astust senikaua kuni kasutaja numbri õigesti ära arvab.
..,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
süsteemil eripärased. Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstandid, sõltuda ajast või mudeli muutujatest
jms.) Siia võiks liigitada ka vanade arhiveeritud videosalvestiste läbivaatamised; - Küsitlused , mis jagunevad omakorda mitmeks alaliigiks : suuline küsitlus, iseregistreerumine ja korrespondentsvaatlus. EKSPERIMENT. Eksperiment on uurimismeetod, mille käigus kontrollitakse püstitatud hüpoteesi, luues ise vajalikud tingimused muude muutujate kontrolli all hoidmiseks. Eksperimendi käigus kontrollitakse, kuidas sõltuv muutuja muutub vastavalt sellele, kuidas manipuleeritakse sõltumatu muutujaga (näiteks herilaste toitumise sõltuv muutuja uurimiseks asetatakse tassile tilk suhkruvett sõltumatu muutuja . Kontrollimiseks kasutatakse samasuguseid tasse ilma suhkruta). Eksperiment ehk katse on selline uurimismeetod, mille puhul uurija ise sekkub nähtuse loomulikku olemusse, mõjutades seda uute, uurimise eesmärgile vastavate tingimuste loomise teel
anda - siin seda võimalust aga ei kasutata. Järgneb kasutajale nähtav toiming, ehk Console.WriteLine("Tere"); Console klass asub nimeruumis System ja on üleval märgitud using lause tõttu kasutatav. Klassi käsklus WriteLine lubab kirjutada konsoolile ehk tekstiekraanile. Praegu piirdutakse ühe väikese teretusega. Jutumärgid ümber selleks, et arvuti saaks aru, et tegemist on tekstiga - mitte näiteks käskluse või muutuja (märksõna) alla salvestatud andmetega. } } Kaks sulgu lõpus lõpetamas eespool avatud sulgusid. Iga sulg, mis programmikoodi sees avaneb, peab ka kusagil lõppema - muidu ei saa arvuti asjast aru, hing ei tule sisse ja programm ei hakka tööle. Tühikud ja reavahetused on üldjuhul vaid oma silmailu ja pildi korrastuse pärast. Kompilaatori jaoks võiks kõik teksti rahumeeli ühte ritta jutti kirjutada, enesele kasvaks aga selline programm varsti üle pea
0 3460sek (6)7min 57,0(6)mi 3. 1.5 3424sek n (tabel nr.1) 14. Kordasin punkte 6.-13. kaussides 2.-3. ja kriiditükkidega , kui happe kontsentratsioon on 1.0M ja 1.5M 15. Koostasin graafik nr.1 telgedega: y-telg on sõltuv muutuja ja x-telg on sõltumatu muutuja Graafik: Graafik nr.1(Reaktsiooniks kulunud aeg) 16. Analüüsisin laboratoorse töö tulemusi lähtuvalt katse eesmärgist, hüpoteesist, muutujatest ja veast (minimaalselt pool lehekülge, igas mõttes sisalduv peamine sõna peab olema Boldis) 17. Kirjutasin hinnangu tehtud tööle lähtudes katses ette tulnud inimvigadest ja meetodis vigadest
määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. Asendusvõte. Vaatleme määramata integraali f(x)dx . Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame
maksimaalne liige on üsna lähedane naaberliikmetele või erineb sellest sadu kordi. Keskväärtust mõjutab jäme viga ehk erind märgatavalt. Eespool oli vaadeldud kogumi uurimist ühe tunnuse seisukohalt. Sageli on vaja kogumit uurida kahe või enama tunnuse järgi. Korrelatsioon. Korrelatsioonikordaja. · Statistiline sõltuvus - muutuvad suurused on juhuslikud, igale ühe muutja võimalikule väärtusele ei vasta üksainus kindel teise muutuja väärtus. · Statistilise sõltuvuse korral saab ühe muutuja iga väärtusega seada vastavusse teise muutuja sagedusjaotuse. · Tulemuste esitamiseks kasutatakse korrelatsioonivälja: korrelatsiooniväljaks nimetatakse koordinaattasandile kantud punktihulka, kus iga punkti x- koordinaadiks on uuritava objekti esimese tunnuse väärtus ja y-koordinaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus. Kui punktid paiknevad mingi joone ümber, siis on tegu korrelatiivse seosega
a a a a f(ax) = f(ax) võrdle: (6x)' = 6 (ax)' = a 3. Esitada määramata integraalide tabel ja tõestada selle kolm valemit. Tõestused 1) 2) cos(x) = sin(x), cos(x) dx = sin(x) + c 3) ex dx = (ex) dx = ex + C 4. Esitada ja tõestada määrmata integraali muutuja vahetuse valem. Tuletada valem integraali f ' ( x) f ( x) dx leidmiseks Muutuja vahetuse valem x = g(t) ' dx = [ g(t)] Eeldame et eksisteerib f ( x ) dx. 1) teeme muutujavahetuse Saame uue funktsiooni f ( x)dx = [ g (t )]g (t ) '''
kommenteerimine nõuab liiga palju resurssi. ? 1 Muutujate loomine Muutujad on nimelised mälupesad, millele on omistatud mingi väärtus. Põhimõtteliselt võiks seda kirjeldada kui konteinerit, mille sisuks võib olla näiteks tekst või number. Ja kuna tegemist on muutujaga, siis selle sisu võib alati muutuda. Meie võimuses on määrata ise muutujale nimi ja määrata, mis on selle sisuks - oluline on et muutuja algaks dollariga ($). Näiteks: mul on vaja hoida mälus eesnimesid. Selleks pean välja mõtlema muutujale nime, millel võiks olla mingi tähendus. Valin selleksks $enimi. Nüüd omistan (=) sellele tekstilise väärtuse näiteks "Karin". PHP's tuleb see kirja panna nii: $enimi="Karin". NB! Kõik tekstid lisatakse jutumärkide vahele! Kasutusel on nii ühekordsed (' ') kui ka kahekordsed (" ") jutumärgid. Mis on nende vahe, vaatame kohe allpool. Muutuja nime andmine
· Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2. Arvuta parabooli haripunkti koordinaadid. Lahendus: ,, Leiame: Nüüd asendame leitud xh väärtuse 2 ülesandes antud ruutfunktsiooni valemisse muutuja x asemele ja arvutame haripunkti ordinaadi väärtuse: Oleme saanud parabooli haripunkti koordinaadid:H(2;1). 3. Arvuta parabooli nullkohad. Lahendus: Lahendame parabooli vastavad ruutvõrradi . Selleks viime ruutvõrrandi normaalkujule: ,, lahendame saadud ruutvõrrandi kasutades ruutvõrrandi lahendusvalemit Vastus: parabooli nullkohad ehk lõikepunktid x-teljega on ja .
ÜLESEHITUS uses crt; begin clrscr käsk või käsud readln; end. ;- käsu lõpu tunnus := omistamistehte märk 'tekst' - tekstikonstant uses crt - tuuakse käsutusele lisakäsud. clrscr; - ekraani puhastamine Sisestamiskäsk Readln( sulgudes on muutuja); Väljastamiskäsk writeln( loetelu ); hargnemiskäsk: if tingimus then käsk või käsud else käsk või käsud else- võib puududa, else ees pole KUNAGI semikoolonit. käsk või käsu osad võivad olla begin ja end vahel. korduskäsud: 1)Loendajaga korduskäsk kasutatakse kui korduste arv on ette teada. begin for i:=1 to 10 do end; 2) Eelkontrolliga korduskäsk Tingimust sisaldav korduskäsk, kus korduste arv ei ole ette teada, võib olla i:=1; loendaja algväärtus while <=20 do while - senikui begin käsk või käsud tingimuse muutmine või loendaja muutmine i:=i + 8; sammuga 8 , võib olla sammuga misiganes. end; 3) Järelkontrolliga korduskäsk Liidame kõik arv...
Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= 1(x,y) ja ülalt pinnaga z= 2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada 1 ja 2 vahe integraalina, st V= [ 2(x,y) 2(x,y)] dxdy D 8. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordne integraal (x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P'=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu piirkonna D siis, siis kujutuspilt P' kujundav uv-tasandi teatud piirkonna D'. Et kehiks järgmine vahetuse valem peab olema täidetud kaks tingimust: 1) x=x(u,v) ja y=y(u,v) 2) Olgu nim
Korporatiivsed linnad arenesid välja, kui tootmine oli detsentraliseeritud ja majanduslik võimsus oli keskendunud väiksematesse asulatesse ja linnadesse. Korporatsioonid nii era- kui ka avalikus omandis formaalsed organisatsioonid, juriidilised isikud, kus kontroll tegevuse üle kuulub majandusjuhtide eliidile, kuhu inimesi valitakse nende saavutuse järgi. Korrelatsioon kirjeldab, kuidas ühe muutuja väärtuse muutmine on seotud teise muutuja väärtusega muutmisega. Kosmopoliitsus tähendab uute mõtete, väärtuste ja ideoloogiate ning tehnoloogia levimist linnapiirkondadest mujale ühiskonda. Kultuur niisuguse inimkoosluse ühine omadus, kelle liikmetele on ühine territoorium ja keel, kes tunnevad vastutust üksteise eest ja tunnustavad oma ühist identiteeti. Kultuuri tootmine väljendab organisatsioonilist ahelat, mis määratleb kultuuriliste
mingil viisil, kuid intervalle ei saa absoluutarvudeks tõlgendada. ‘Have your heard people in Malta say XXX?’ A: 1=yes, 0=no Ordinaalskaala – variandid on kindlas järjekorras (tõusevad või langevad), nt koolihinded. Ordinaalskaala intervalle ei saa absoluutarvudeks ümber tõlgendada. ‘How often do people in Malta say XXX?’ A: 3=frequently, 2=sometimes, 1=hardly ever Intervallskaala – kasutatakse kvantitatiivsete andmete puhul, mille väärtust saab mõõta. Pideva muutuja puhul võib iga väärtus esineda, diskreetse muutuja korral ainult kindlad väärtused. Pidevad muutujad saadakse otsesel mõõtmisel ja tegemist on lõpmatu arvu võimalike väärtustega. Diskreetsed tunnused saadakse loendamisel ja tegemist on lõpliku arvu täisarvulise väärtusega. Diskreetne: ’How many schools in Valletta are English-only schools?’ A: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… Pidev: ’How long have you been exposed to English?’
Kui järjestus ei ole tagatud (nt atomaarse operatsiooni, sünkroniseerimise vmt abil), siis võib race condition põhjustada bugi. Race conditionist põhjustatud mitmelõimelise programmi viga on väga raske tuvastada, sest see ei ole üheselt korratav – vea ilmnemine sõltub lõimede tööaja jagunemisest ja täitmise järjekorrast, mis erineb igal täitmisel 14. Millised võimalused on turvaliseks andmete jagamiseks lõimede vahel? 1. võimalus: final muutuja abil Kõik lõimed näevad garanteeritult final muutuja õige väärtust esimesel korral kui nad seda loevad Samas see ei ole ülearu kasulik, sest final muutuja tuleks initsialiseerida hiljemalt konstruktoris Final tuleb kasutada kui soovite, et teie lõim näeks kindlasti mingit objekti, mille olete loonud enne lõime käivitamist Esimesena uurige alati, kas on võimalik andmete jagamist vältida, korraldada enne lõime käivitamist või minimiseerida.
1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Kirjutame välja vektorid, mille korral funktsiooni väärtus on 0. TKNK = f(x1...x4) = (1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4) 7 7. Shannoni disjunktiivne arendus ühe muutuja järgi MDNK = f(x1...x4) = 1 2 4 v 1 2 3 v 2 3 4 v 1 2 3 4 v 1 2 3 4 Shannoni disjunktiivne arendus x2 järgi: f(x1...x4) = 2 ( 1 1 4 v 1 1 3 v 0 3 4 v 1 1 3 4 v 1 1 3 4 ) v 2 ( 1 0 4 v 1 0 3 v 1 3 4 v 1 0 3 4 v 1 0 3 4 ) = 2 ( 1 4 v 1 3 v 1 3 4 v 1 3 4 ) v 2 (3 4 ) Tulemus: 2 ( 1 4 v 1 3 v 1 3 4 v 1 3 4 ) v 2 (3 4 ) 8. Shannoni disjunktiivne arendus vabaltvalitud kahe muutuja järgi MDNK = f(x1...x4) = 1 2 4 v 1 2 3 v 2 3 4 v 1 2 3 4 v 1 2 3 4
6. neljandat järku standardmoment on võrdne kolmega 7. kui ekstsess on neg, siis jaotuskõver on lamedam ja laiem 8. puudub sümmeetria (esineb sümmeetria) 9. standarthälve = 0 (siis on sirge) 11. keskväärtus on alati = 0 (ei ole alati, näiteks vanus või pikkus) Kümne aasta pikkusele aegreale arvutati tasandusjoone võrrand Y=20,5 2,5X. Kuidas saadud tulemus tõlgendada? 1. See funktsioon näitab sõltuva ja sõltumatu muutuja vahel väga tugeva seose olemasolu 2. Mitte kuidagi, sest parameeter b ei saa tulla negatiivne 3. Näitab sõltuva muutuja 2,5 ühikulist vähenemist x-i ühe ühikulise juurdekasvu korral 4. Näitab sõltuva muutuja 2,5 kordset kasvu x-i ühe ühikulise juurdekasvu korral (vale) 5. Mitte kuidagi, sest kordaja absoluutväärtus peab jääma 0 ja 1 vahele Tasandusjoon Y=18,5 0,48X 1. Näitab kasvavat lineaarset tendentsi (kahanevat) 2
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b
Probleem on uurimuse lähtekohaks. Muutujad (variables) – nähtused mida uurija kavatseb oma uurimuses mõõta, näiteks uuritavate inimeste tunnused (vanus, kaal, haridus, sissetulek) või uuritavate riikide tunnused (rahvaarv, keskmine sissetulek). Muutujad võivad omada erinevaid väärtusi, st. nad pole kõikidel inimestel sama väärtusega (nagu kaal) või pole samal inimesel kogu aeg sama väärtusega (nagu vanus). Muutuja vastandiks on konstandid, mis on kõikide inimeste või ühiskondade jaoks kogu aeg sama väärtusega (nagu Maa gravitatsioon) ja mida pole seega sotsioloogilise uurimuse käigus mõtet mõõta. Muutujate tüübid: 1) sõltumatu muutuja (independent variable) – muutuja mis uurija hüpoteesi järgi mõjutab mingit teist uuritavat muutujat, aga pole ise ühegi uuritava muutuja poolt mõjutatud;
majandusnähtuste vahelise seose tugevuse ja usaldatavuse ning samas ka seose funktsionaalse vormi. Regressioonianalüüsi põhiülesanded:1) hinnata kvantitatiivselt majandusnähtuste vaheliste seoste suunda, tugevust ja kuju; 2)prognoosida maj. nähtuste ja protsesside tõenäosuslikku arengut; 3)kontrollida empiiriliselt maj. teoreetiliste seisukohtade ja hüpoteesi paika pidavust. Regressioonivõrrandiks on lineaarne mitme muutuja funktsioon. Regressioonikordaja i näitab mitme ühiku võrra muutub sõltuv muutuja Yt kui sõltumatu muutuja Xi muutub 1 ühiku võrra. Kui regressioonmudelis on 1 sõltumatu muutuja, siis on tegemist lihtsa regressioonvõrrandiga Y=b0+ b1xi+ei, i=1,2...n. Kui sõltumatuid muutujaid on vähemalt 2 (k>2), siis on tegemist mitmese regressioonimudeliga. Enim praktikas kasutusel olev mittelineaarne regressioonvõrrand on ruutmudel e. parabool. Parabooli abil on
8. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsioon. Tuletise geomeetriline tähendus. Kõrgema järku tuletised. Diferentsiaal. · y'= f '(xn) Fuktsiooni tuletis on joone y=f(x) tõus punktis M0 (x0; y0) · y= f(u), kus u = g(x) Diferentsiaal funktsioonide tuletiste leidmine 9. Funktsiooni uurimine 10. L Hospitali reegel (piirväärtuse leidmine) 11. Määramata integraal (defenitsioon, omadused), arvatamine, muutuja vahetuse ja ositi integreerimise abil. 12. Määratud integraal. Neuwtoni-Leibnitzi valem. Rakendused
leitud suurused õiged ning rahuldavad antud võrrandeid. Ülesanne 2.Antud on kolm mittelineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Esialgsete x ja y väärtustena kasutage x0 = 2.1 ja y0 = 0.45. Ülesande lahendamiseks leiame kõigepealt antud võrrandite osatuletised muutuja x ja seejärel muutuja y järgi. Saame 6 osatuletist, millesse asendame muutujate x ja y esialgsed väärtused. Tulemuseks saame J maatriksi (Jacobi maatriks). Tabel 6. Jacobi maatriks 5.55 5.4 92.61 -2.7 -0.7 -9.9 Järgnevalt asetame muutujate x ja y esialgsed väärtused algvõrranditesse ja leiame neile esialgsed väärtused. Nende kaudu leiame maatriksi K (Tabel 7), mis on tegelike mõõtmistulemuste ja parameetrite esialgsete väärtuste põhjal võrranditest leitud
Hindajatevaheline reliaablus Korrelatsioon r (mõõdetakse) Küsimustikes: sisemine konsistentsus Cronbachi alfa Valiidsus - väline - ökoloogiline - sisu - konstrukti Näiv, kriteerium (ennustus, konkureeriv) Tõenäosuslik valim Mittetõenäosuslik valim Ajaline periood: ristlõikeline v läbilõikeline, longitudinaalne, järgnevuslik võrdlus Eksperiment: - Laboratoorne või loomulik eksperiment - Kontrollgrupp vs eksperimentaalgrupp - Sõltuv muutuja ja sõltumatu muutuja Vaatlus - Enese vs teiste - Struktureeritud vaatlus - Pool-struktureeritud - Struktureerimata - Loomulik vs varjatud - Osalus vs mitteosalus Intervjuu - Struktureeritud vaatlus - Pool-struktureeritud - Struktureerimata Test - Objektiivtest (küsimustik, küsitlus) - Projektiivtest Juhtumianalüüs (case study) Uurimiseetika - Eetikakomisjoni luba
Programmeerimise etapid *Formaliseerimine ·Mis on antud? lähtetingimused ·Mida on tarvis leida? tulemus ·Probleemi lahendamise (matemaatiline) eeskiri välja töötada *Algoritm Tegevused, mis on vaja teostada ülesande täitmiseks Lahendusmeetod Enne algoritmi kirjeldamist tuleb määrata meetod, mida probleemi lahendamisel kasutatakse Ülesanne võib nõuda oma meetodi väljatöötamist! Plokkskeem *Programmeerimine ·Programm Käskude jada, mida arvuti peab ülesande lahendamiseks täitma ·Programmeerimiskeeled ·Masinkood Programm sisaldab vahetult protsessori käske Käsud on numbrilisel kujul Töötatakse vahetult arvuti mäluaadressidega Kõigis teistes keeltes kirjutatud programmid teisendatakse täitmiseks alati masinkoodi ·Sümbolkeel Käskude andmiseks kasutatakse numbrite asemel käsku kirjeldavaid lühendeid Madala taseme keeled on seotud riistvaraga Kõr...
Kui on kolm ===, siis ei teisenda tüüpi. null == 0 on näiteks tõene. TypeOf() true ja false väikeste tähtedega. JS converdib true 1-ks ja false'i 0-ks, juhul kui == kasutada. NaN - kui arvutustel tekib mingi viga, st "not available number" Javascripti dictionary vastab java objektidele. Dicte saab panna ka üksteise sisse. Array-sid saab ka sinna sisse panna. Tegelikult array sisse saab ka teisi arraysid panna. Kui panna var ette, siis tekib lokaalne muutuja, kui var-i ei pane, siis globaalne. Kui JS-s on mingi viga, siis brauser ei näita mingit viga. Dict on põhiline alternatiiv XML-ile. K6ige populaarsem andmete saatmise viis. Kuna see on native Javas sees. Ei pea midagi konvertima. Seda süntaksit nimetatakse JSON-iks.
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy
Empiirilise uurimise etapid 1. Probleemi püstitamine Probleem on uurimuse lähtekohaks. Muutujad (variables) - nähtused, mida uurija kavatseb oma uurimuses mõõta (uuritavate inimeste või riikide tunnused). Muutujad võivad omada erinevaid väärtusi. Muutujate vastandiks on konstandid, mille väärtus ei muutu (nt. maa gravitatsioon) ja mida pole seega sotsioloogilise uurimuse käigus mõtet mõõta. Muutujate tüübid: a) Sõltumatu muutuja (independent variable) - muutuja, mis uurija hüpoteesi järgi mõjutab mingit teist uuritavat muutujat, kuid pole samal ajal ühegi teise muutuja poolt mõjutatud. b) Sõltuv muutuja (dependent variable) - muutuja, mis on uurija hüpoteesi järgi mingi teise uuritava muutuja poolt mõjutatud, kuid ise ta ühtegi teist muutujat ei mõjuta. 2. Hüpoteesi püstitamine Hüpotees - uurija oletus selle kohta, kuidas tema arvates asjad on. Hüpotees
BCU3610 Mikroökonoomika (kaugõpe) Alustatud pühapäev, 11. oktoober 2015, 13:45 Olek Valmis Lõpetatud pühapäev, 11. oktoober 2015, 14:16 Aega kulus 31 minutit 9 sekundit Punktid 25,7/27,0 Hinne 9,5, maksimaalne: 10,0 (95%) Küsimus 1 Otsusta, millise tootmisteguriga on igal nimetatud juhul tegemist. Valmis Hinne 2,0 / 2,0 pangaametnik töö printer kapital autoosad kapital laohoone kapital nafta leiukoht maa karjamaa maa Tootmistegurid ehk tootlikud ressursid on kõik vahendid, mida kasutatakse hüviste valmistamiseks. On olemas kolm tootmistegurite kategooriat: maa, töö ja kapital. ...
12. Psühholoogia harud: Teoreetiline-BKSIA,Rakenduslik-KTOTK 13. Vastutus hajumine-tendents tunda, et tegutsemise vastutus on jagatud või kohalolijate vahel hajutatud. 14. Hawthorne efekt-ljudi znajut shto provoditsja eksperement i ih rabota uludshaetsja. 15. Topeltpime katse-nii eksperementaator kui katseisik hoitakse teadmatuses. 16. Eetika eksp.: privaatsus,vabatahtlik,informirovanie,bezvrednost. 17. Positiivne korrelatsioon-ühe muutuja suurenedes suureneb ka teine 18. Korrelatsiooni puudumine-puudub igasugune nii positiivne kui negatiivne seos 19. Negatiivne korrelatsioon- ühe muutuja suurenedes teine väheneb. 20. Testi omadused:reliaablus e usaldusväärsus,valiidsus e kehtivus. 21. Keele kaks aspekti:retseptiivne(keeleoskus),ekspressiivne(keelekasutus). 22. Keelelise relatiivsuse hüpotees(e Saripi-Whorfi hüpotees)-inimese ettekujutus maailmast ja tema mõtlemisviis on mõjutatud sellest,missugust keelt ta räägib. 23
a2006 TTU M.Veimer 10 Majandusfunktsioone Näide Ettevõtte tootmisplaan näeb ette valmistada teatud toodet vähemalt 10 partiid nädalas. Ka on teada, et ettevõte suudab nädalaga toota kõige rohkem 100 partiid ning ühe partii müügihind on 300 eurot, kusjuures mittetäielike partiide müük pole võimalik. Tähistades tehase nädalatoodangu tähega Q ja tulu tähega , saame funktsiooni = 300*Q Q sõltumatu muutuja ehk argument sõltuv muutuja Määramispiirkonnaks on hulk {10, 11, 12, ..., 100} ja funktsioon = f (Q) on antud valemiga = 300Q. Märkame, et see funktsioon seab hulga igale elemendile vastavusse kindla positiivse täisarvu (10 partiile vastab 3000 eurot, 11 partiile 3300 eurot jne kuni 100 partiile vastab 30 000 eurot). Definitsioonis märgitud hulgaks Y võib seega võtta näiteks positiivsete täisarvude hulga või vahemiku. Funktsiooni muutumispiirkonnaks aga on hulk
hulgast. Statistilise sõltuvuse puhul saab rääkida ainult teatud iseloomulikest seostest kahe tunnuse elementide vahel. Statistilist tõenäosuslikku seost, mis ei ole rangelt funktsionaalne nimetatakse korrelatiivseks seoseks ning korrelatiivne ehk mittetäielik seos valitseb nähtuste vahel siis, kui ühe suuruse igale arvväärtusele vastab teise suuruse hulk arvväärtusi, mis jaotuvad selliselt, et igaüks neid võib esineda teatud tõenäosusega. Korrelatsioon on kahe omaduse või muutuja seose mõõt. Korrelatsiooni ilmnemine ei eelda aga põhjus-tagajärje suhet kahe muutuja vahel. Korrelatsiooniteooria käsitleb korrelatsioonianalüüsi ja sellega vahetult seotud regressioonianalüüsi meetodeid. Eristatakse korrelatiivseid seoseid kahe nähtuse vahel ehk paariskorrelatsiooni ning korrelatiivseid seoseid mitme nähtuse vahel ehk mitmest korrelatsiooni. Mittetäielik seos- korrelatiivne seos.
anda - siin seda võimalust aga ei kasutata. Järgneb kasutajale nähtav toiming, ehk Console.WriteLine("Tere"); Console klass asub nimeruumis System ja on üleval märgitud using lause tõttu kasutatav. Klassi käsklus WriteLine lubab kirjutada konsoolile ehk tekstiekraanile. Praegu piirdutakse ühe väikese teretusega. Jutumärgid on ümber selleks, et arvuti saaks aru, et tegemist on tekstiga - mitte näiteks käskluse või muutuja (märksõna) alla salvestatud andmetega. } } Kaks sulgu lõpus lõpetamas eespool avatud sulgusid. Iga sulg, mis programmikoodi sees avaneb, peab ka kusagil lõppema - muidu ei saa arvuti asjast aru, hing ei tule sisse ja programm ei hakka tööle. Tühikud ja reavahetused on üldjuhul vaid oma silmailu ja pildi korrastuse pärast. Kompilaatori jaoks võiks kõik teksti rahumeeli ühte ritta jutti kirjutada, enesele kasvaks aga selline programm varsti üle pea
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
