Meie lokaalne probleem - Läänemere saastatus Läänemere tutvustus Üleilmses mõõtmes on Läänemeri väike, kuid maailma ühe suurima riimveekoguna on ta ökoloogiliselt ainulaadne Ida-Euroopa sisemeri. Läänemere pindala on 415 266 km2, samas kui selle maa-ala, millelt veekogu toitub (1,7 miljonit km² )on ligi neli korda suurem kui meri ise. Mere ümber elab ~85 milj inimest. Kogu Läänemere keskmine sügavus on ligikaudu 50 meetrit. Vesi on sügavaim Ava-Läänemere Landsorti süvikus, mille sügavuseks on registreeritud 459 meetrit. Veehulk Läänemeres on ligikaudu 21000 km3. Läänemere ääres asuvad riigid on Taani, Eesti, Soome, Saksamaa, Läti, Leedu, Poola, Rootsi ja Venemaa. Läänemere valgalal asuvad ka Ukraina, Tsehhi, Valgevene ja Slovakkia. Probleemid Läänemerd on nimetatud üheks reostunud veekoguks. See on inimtegevuse tagajärg, sest ole...
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20
Ülesanne 4.4. Oletame , et üliõpilane õpib t tunni jooksul selgeks n punkti, kusjuures n = 40 t , 0 t 10. Leida 4 a) keskmine omandamise kiirus vahemikus 4-st 9 nda tunnini (vt.Ül.4.3.); b) omandamise kiirus 4 . tunnil. 4.2. Lokaalsed ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi piisav ja tarvilik tingimused Funktsioonil y = f (x) on lokaalne maksimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x U(a) korral f(x) < f(a) . Funktsioonil y = f (x) on lokaalne miinimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x U(a) korral f(x) > f(a) . y Lokaalne maksimum Lokaalne maksimum Lokaalne miinimum
Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud. Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne maksimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmax u = u ( P0 ) = A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.
lõikaja võrrand on Puutuja f-ni y=f(x) graafikule punktis (a, f(x)) on lõikaja piirseid piisprotsessis x0. Minnes piirile, saame puutuja võrrandiks: Et juhul kui 0<|f '(a)|<+ on joone puutuja tõusunurga tangensi ja normaali tõusunurga tangensi korrutis -1, siis normaali tõusunurga tangensiks on -1/f'(a) ja funktsiooni y=f(x) graafikule punktis (a, f(a)) tõmmatud normaali võrrandiks on N. y=2x puutuja ja normaal kui puutuja abtsiss on nt 1 1.22. Funktsiooni lokaalne ekstreemum Kui f-nil y=f(x) eksisteerib tuletis ja f'(x) on <0 punktis x, siis see funktsioon on punktis x rangelt kasvav ja f'(x)>0 puhul rangelt kahanev. f'(x)>0 Rangelt kasvav. f'(x)<0 Rangelt kahanev. Kui range kahanemine läheb üle rangeks kasvamiseks või vastupidi, siis funktsiooni tuletis selles puntkis peab võrduma nulliga. Sellist punkti f(x) korral, kus tema tuletis on 0 nim. Funktsiooni statsionaarseks punktiks. N
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x - , x) ja x2 (x, x + ) korral f(x1) > f(x) > f(x2). Kui f'(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a. Kui f'(a) = c < 0, siis funktsioon on rangelt kahanev punktis a. Kui funktsioon y = f(x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline > 0, et 0 < |x| < y/x< 0. Fermat' teoreem: Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null, st f'(x)=0. 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. 9. Rolle'i teoreemi tõestus. Oeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < |x| < y <= 0.
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b)
Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
funktsiooni jaoks rakendatav Rolle teoreem, st vahemikus (a,x), kui x>a, või vahemikus (x,a), kui x
kasvamispiirkond kasvamispiirkond 7 x 2 - 4, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 < x < 2 x 2 - 4, kui x 2. X = {(- 2;0 ); (2; )} X = {(- ;-2 ); (0;2 )} 8 Funktsiooni ekstreemumpunkt Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus f ( x) < f (a) ( f ( x) > f (a)) Maksimumpunkt Miinimumpunkt (a;f (a)) y y y = f (x) (a;f (a))
a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 5. funktsioon kasvamise ja kahanemise omadused 1 Iga u ¨lesanne annab 4 punkti. 1 2 6. Funktsioonil y = f (x) on punktis x0 lokaalne miinimum, kui y ordub (x4 + 5x2 )3 ) 7. Millega v~ a b x 8. Kujundi pindala S v~ ordub b
Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal- funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt- punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum- funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks
Tuletada funktsiooni y = f(x) Taylori polünoom punktis x = a. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Pn(a) = C0 , P′n (a) = 1! C1 , P′′n (a) = 2! C2 , P′′′n (a) = 3! C3 , . . . , P(n)n(a) = n! Cn . Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) ≈ Pn(x). Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 3. Defineerida funktsiooni lokaalne maksimum, lokaalne miinimum ja lokaalne ekstreemum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19. Kahe muutuja ilmutamata funktsiooni osatuletised. 22. Defineerida lokaalne miinimum, lokaalne maksimum, statsionaarne punkt 24. Tõestada kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused 25. Mitme muutuja funktsiooni globaalne ekstreemum.
muutujate vahetuses suhtes.
Lause 3. Kehtivad seosed:
Tõestan ühe neist. d(f(x))=(f'(x))dx
Lause 4. Kui funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis Geomeetriliselt tähendab funktsiooni
diferentsiaal punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja punkti ordinaadi muutu, mis vastab
argumendi muudule . Tihti kasutatakse valemit ka kujul . Geomeetriliselt teljestikul...
N. (a=1024)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et
suvalise x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
tuletist (n-1) järku tuletisest.
F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´.
+LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS !
1.14 Funktsiooni diferentsiaalid
DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x
ja tähistatakse dy või df.
dy=f´(x)x
DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni
(n-1)-järku diferentsiaalist.
dny=d(dn-1 y)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvalise
x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID. Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
vastupidi 2. Sõnastada f(x) ekstreemumi olemasolu jaoks tarvilik tingimus.Mis on kriitilised punktid.? Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas tuletis võrdub nulliga voi lõplik tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks(täpsemini:esimest jarku kriitilisteks punktideks). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum siis x1 on selle funktsiooni kriitiline punkt. Vastupidine vaide kehti. Funktsioonil voib olla selliseid kriitilisi punkte kus ekstreemumeid ei ole. 3. Sõnastada ekstreemumi olemasolu piisav tingimus. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. Kui labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muu- tub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotonselt kasvav iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoonselt kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoonselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f''(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x)f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0, siis punktis A range lokaalne miinimum. Kui definitsioonis on mitterangete võrratuste asemel ranged võrratused siis nimetatakse punkti
(Rätsep 1964: 212) III ja IV järgu ehk kärbusliku külmumise korral tekib kudede kärbus veresoonte kahjustuse ja tromboseerumise tõttu. III järgu puhul kahjustuvad kõik nahakihid, IV järgu korral ka sügavamal asuvad koed kuni luukoeni. (Jänes 1989: 488) Esimese ja teise astme kahjustuste korral on nahk valge ning neid kudesid saab veel päästa. Kui lokaalselt külmunud nahk muutub aga lillakas-siniseks, on tegemist kolmanda astmega, mille puhul kehaosa tavaliselt amputeeritakse. Lokaalne külmumine on salalik trauma, sest inimene saab teada trauma tõsidusest alles jäseme sulamisel. (Tervishoiuakadeemia 24.10.2015) Üldine külmumine tekib siis, kui organism sooja suurenenud äraandmise puhul ei suuda eluks vajalikku kehatemperatuuri taastada. Üldist külmumist soodustavad samad tegurid, mis kohalikku külmumist. Üldise külmumise algastmes tekib kerge hüpotermia, kehatemperatuur on langenud 35-36 kraadini. Sümptomiteks on külmavärinad, külmatunne, naha ja
dx <-märgi ära et t(x) on tuletis f(x) t ( -2) 0 f ( -2) -2 <-kontrollime ja arvutame funktsiooni väärtused ekstreemumitel t( 0) 0 f ( 0) 2 10 <-funktsiooni lokaalne maksimum on (0,2) 5 f ( x) <-lokaalne miinimumpunkt on 0 (-2,-2) t ( x) -5 <-Miinus lõpmatusest -2 ja
𝑑 𝑛 𝑦 = 𝑑(𝑑 𝑛−1 𝑦) Saab näidata, et 𝑑 𝑛 𝑦 = 𝑓 (𝑛) (𝑥)(𝑑𝑥)𝑛 . 7).(Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb)). 1) juhul kui on paaritu arv, on funktsioonil punktis range lokaalne ekstreemum, kusjuures korral on punktis range lokaalne Kui meil eksisteerib ka -järku tuletis , , siis saame jääklikmele nn
Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotoomsel kasvav iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoomsel kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoomselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? f´(x)=0 Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks maksimumpunktiks. Kui f´´(a)<0 siis punktis A range lokaalne maksimum. Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a) Punkti A=(a,f(a)) nimetatakse lokaalseks miinimumpunktiks. Kui f´´(a)>0 siis punktis A range lokaalne miinumum.
Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
16.Joone puutuja võrrand antud punktis: Joone puutuja võrrand punktis ( ) Antud juhul ja Funktsiooni tuletis y`=(x2)` = 2x ja f`(x0) = 2x0 = 2x0 = 2·( ) Asendades viimast võrrandisse (1) saame otsitava puutuja võrrandit y=-x- 17.Milliseid punkte nimetatakse funktsiooni statsionaarseteks punktideks, kriitilisteks punktideks, maksimum ja miinimumpunktideks. Joonis: Lokaalsed maksimumid ja miinimumid. Kolm statsionaarset punkti (a) lokaalne miinimum (b)lokaalne maksimum (c) lokaalne ekstreemum puudub Punkti a nim. funktsiooni y=f(x) statsionaarseks punktiks kui f`(a)=0 Punkte kus ei eksisteeri funktsiooni nim. selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. 18.Nimetage funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilik ja piisav tingimus. Funktsiooni ekstreemumid on vaadeldava funktsiooni suurimad (vähimad) väärtused naaberväärtustega võrreldes
(x2). Kui funktsiooni y = f (x) on rangelt kahanev, leidub selline > 0, et 0 < | x| < y / x < 0. Kui funktsiooni f (x) tuletis kohal x on positiivne ( negatiivne), siis funktsioon f (x) kasvab (kahaneb) rangelt punktis x. o Kui punkt a on funktsiooni f (x) statsionaarne punkt ja f'' (x) on pidev punktis a ning f'' (a) 0, siis funktsioonil f (x) on punktis range lokaalne ekstreemum, kusjuures f'' (a) < 0 on punktis a range lokaalne maksimum ja f'' (a) > 0 korral on punktis a range lokaalne miinimum. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < | x| < y 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline arv > 0, et 0 < | x| < y 0.
suurpaneel suurplokk 8 tellis, väikeplokk tehisplaat muu 3. Ehitise tehnosüsteemid (märkida X või "muu" korral materjal) elekter küttesüsteem puudub puudub X 220 V kaugkeskküte 380 V lokaalne keskküte 20 kV elektriküte 35110 kV X maaküte 220330 kV ahju- või kaminaküte muu muu vesi kütte liik puudub puudub võrk masuut
järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b. Diferentsiaali omadused: c. 2. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui: a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju. Kahe muutuja funktsioonia z=f(x,y) jaoks, kusjuures 13. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga punkti P U (A) (P A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f punktis A lokaalne maksimum. DEF: Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A). Kui iga punkti P U (A) (P A) korral f (P) f (A), siis on funktsioonil f punktis A lokaalne miinimum. DEF: Kui eelnevates definitsioonides kasutada rangeid võrratusi f (P) < f (A) ja f (P) > f (A), siis saame vastavalt range lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioonid. Punkti, milles on täidetud tingimused nimetatakse funktsiooni u = f (x1; ... ; xn) statsionaarseks punktiks.
f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a - δ; a) f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a; a + δ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a - δ; a) f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a; a + δ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum.
läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle
T -5 -3 -1 0 2 4 3 2 1 0 -1 -2 C -6 -4 -2 -1 1 3 5 4 3 2 1 0 C -7 -5 -3 -2 0 2 4 5 4 3 3 2 G -8 -6 -4 -3 -1 1 3 5 5 4 3 4 Maksimumskoor on 5 ACAGTCGAAC G | | | | | | | AC CGTC _ _ _CG 6. Leidke käsitsi kahe järjestuse lokaalne joondamine Smith-Watermani algoritmi järgi kokkulangevus = +1, mittekokkulangevus = -1, tühik = -1. ACGTGACAT CGTGAT Vastus: ACGTGACAT _ CGTGA_ _ _ A C G T G A C A T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
29. Mida tähendab, et transpordiülesanne on tasakaalustatud? Transpordiülesanne on tasakaalustatud kui nõudlus ja pakkumine (ladude reservid ja vajadused) on võrdsed 30. Milliste tingimuste täidetust tuleb jälgida transpordiülesande lahendamisel potentsiaalide meetodiga? Et ülesanne oleks tasakaalustatud ning igal sammul peab olema tabelis m + n – 1 vedu (m ja n on kauplused ja laod) 31. Defineerida kahe muutuja funktsiooni lokaalne maksimum ja miinimum. Funktsioon on lokaalne maksimum (miinimum) kui see asub kogupiirkonnast valitud lõigust suuremas (väiksemas) kohas. 32. Defineerida kahe muutuja funktsiooni globaalne maksimum ja miinimum antud piirkonnas D. 33. Millised on tarvilikud tingimused selleks, et kahe muutuja funktsioon z = f (x, y ) omaks lokaalset ekstreemumit punktis P (x * , y * ) ? Lokaalne ekstreemum on sellisel juhul, kui selles punktis on lokaalne maksimum või miinimum
Õhurõhu ehk baarilist välja iseloomustab õhurõhu muutlikkus ajas ja ruumis, mingi meteoroloogilise elemendi välja kujutamiseks on kõige otstarbekam kanda erinevates punktides kaardile antud meteoroloogilise elemendi väärtused ja hiljem ühendada joontega ühesuguse väärtusega punktid. Selliseid jooni nim. Sama- ehk isobaarideks. 4 Kliimasüsteem. Globaalne, regionaalne ja lokaalne kliima 1. millised on globaalse kliimasüsteemi tähtsamad komponendid? Atmosfäär, hüdrosfäär, litosfäär, krüosfäär ja biosfäär. 2. kuidas avalduvad kliimasüsteemi komponentide vastastikused mõjutused? Vaatamata atmosfääri suhteliselt väikesele massile, tekitab tema liikumise hulga vahetus ookeaniga suurema osa Maailmamere vete liikumisest. Merehoovuste kaudu teostub laiuskraadidevaheline soojusvahetus ookeanis. Selle
Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. Kehtib võrratus: , kui Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 24. Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( 2. Igal puhul kehtib võrratus Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui saame näidata: 1. Funktsioon on määratud mingis ümbruses 2. Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat'lemma - Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on samas
Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
Seetõttu kasutatakse polünomiaalset lähendamist 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = inseneriteadustes üsna palju. kui v 0. Käsitlesime f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a üumbruses, mis avaldub valemiga 24. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui P_1 (x)=f(a)+f^' (a)(x-a). 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); Funktsioon P1(x) koos oma tuletisega langeb punktis x = a kokku funktsiooniga f(x), st 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). P_1 (a)=f(a),P_1^' (a)=f^' (a).
temast erinevate punktide (x;y) puhul. Funktsiooni maksimum ja miinimumi nim. tema ekstreemumiks, st. öeldakse, et funktsioonil on antud punktis ekstreemum, kui tal on selles punktis maksimum või miinimum. Punkte, kus või puudub ja või puudub, nim. kahe muutuja funktsiooni kriitilisteks punktideks. Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarviklik tingimus: Kui kahe muutuja funktsioonil z=f(x,y) on puntis M0 lokaalne ekstreemum, siis punk M0 on selle kahe muutuja funktsiooni kriitiline punkt. Niisuguseid kriitilisi punkte, kus mõlemad osatuletised võrduvad 0-ga, st. punkte, mis on võrrandisüsteemi lahenditeks. Selliseid punkte nim. kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) statsionaarseteks punktideks. Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks: Olgu M0 kahe muutuja funktsioon z=f(x,y) statsionaarne punkt. 1
Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine
tähtedest ja tähtedevahelisest ainest. Mõhn- Galaktika tsentraalne mõhn on piirkond mida moodustavad vanemad tähed Halo on enam vähem sfääriline komponent, mis koosneb vanadest tähdedest ja peaaegu ei sisalda gaasi ja tolmu. 21. galaktikad ei paikne ühtlaselt, vaid on kogunenud parvedesse, kihtidesse, ahelatesse. 1) LOKAALNE RÜHM- linnutee + 30 lähimat galaktikat , ligikaudu 1 Mpc (suurus) 2) VIRGO PARVE - sisaldab ligikaudu 2500 galaktikat , ligikaudu 3 Mpc 3) LOKAALNE PARVE 22. galaktikate eemaldumise kiirus on võrdeline nende kaugusega
Alajäseme kriitiline krooniline isheemia Ettekanne aines Veresoonte kirurgia Jaak Timberg Tartu, 2010 Alajäseme kriitiline krooniline isheemia Üle kahe nädala kestnud rahuolekuvalu, mis eeldab korrapärast valuravi või haavand või lokaalne nekroosikolle ja vererõhk hüppeliigese piirkonnas < 50 mmHg või suurvarba piirkonnas <30 mmHg. Alajäseme isheemia Fontaine klassifikatsioon : I - sümptomiteta II - klaudikatsioon III - rahuolekuvalu IV - Koekahjustus: alajäseme kriitiline krooniline a. Isheemiline haavand isheemia b. Lokaalne nekroosikolle Click to edit Master text styles Second level Third level
Vibratsioon Vibratsioon on tahke keha võnkumine, mida mõõdetakse korrigeeritud kiirenduse ühikuga m/s 2 . Üldvibratsiooni korral vastab korrigeeritud kiirendus standardile ISO 2631-1:1997. Kohtvibratsiooni korral vastab see standardile ISO 5349-1:2001. Üldvibratsiooni kehtiv norm on 0,5 m/s 2 . Lokaalse vibratsiooni norm on 2,5 m/s 2 . Kohtvibratsiooni tervisele ohtlik võnkesagedus on 25-150 Hz (kuni 300 Hz) ja üldvibratsiooni puhul 4-8 Hz. Lokaalne vibratsioon on tingitud masina poolt tekitatud vibratsiooni otsesest mõjust kontaktsele kehaosale (nt kätele) või muule kehapiirkonnale. Näiteks traktoril töötavale inimesele mõjub nii lokaalne kui üldine vibratsioon. Lokaalne vibratsioon on tingitud rooli ja kangide vibreerivast mõjust otse kontaktsele kehapiirkonnale (nt kätele). Üldine toime on tingitud traktori enda võnkumisest, mistõttu vibratsioon mõjub kogu kehale. Seega üldine vibratsiooni toime avaldub kogu kehale
{0;lõpmatus).
22. Mis on funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond, monotoonse kasvamise ja
kahanemise piirkond? Kuidas neid leida? Funktsiooni f(x) nimetatakse piirkonnas A
kasvavaks, kui a < b f(a)
QR = f'(x0) · x QR = dy PR = y PQ = PR PQ PQ = 7. Diferentsiaali omadused. (omaduse 2 tõestus). 1. d(u ± v) = du ± dv, 2. d(uv) = vdu + udv, 3. d = , kui v0. 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, Tõestus: d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = u'vdx + dv'dx = u'dx · v + u · v'dx = vdu + udv 8. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Definitsioonid. Lokaalsed ekstreemumid. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon. Lokaalne maksimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Definitsioon. Lokaalne miinimum: Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1.funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). 9. Fermat' lemma (tõestusega). Teoreem
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
Säästliku maja projekteerimine Kaile Helena Nele Üllar Säästlike majade tunnused • Keskkonnasõbralike materjalide kasutamine • Minimaalsed maja küttekulude efektiivne energia kasutamine • Päikesepaneelid – energia kasutaminevihmavee kasutamine – vihmavee kasutamine tarbeveeksreovee käsitlemine – lokaalne veepuhastus ja komposteerimise süsteemtuulegeneraator – tuuleenergia kasutamine • Nende majade põhimõtteline erinevus tavamajadest seisneb ennekõike selles, et need on soojustatud oluliselt paremini, seina soojustuse paksus on u. 45 cm ja katusealuse soojustuskiht u. 50-60 cm. Maja kuju • Mida suurem on pind, seda suurem on soojakadu Hoone paigutamine • Suunates suured aknapinnad lõunasse, saate talvel suurimat
EKSEEM Ekseem on nahapõletik Põhjuseks peetakse endogeenseid tegureid Sageli tekib inimesel, kellel on eelsoodumus Tunnused: sügelemine, ketendus, naha punetus Sagedasemad ekseemiliigid on atoopiline dermatiit, seborroiline ekseem, infektsioosne ekseem, nummulaarne ekseem. ATOOPILINE EKSEEM Kõige tüüpilisem ekseemi vorm Võib ka dermatiidiks nimetada Palju mitmekesisem ekseemi liik, kui teised Haigestunude kasv (steriilne keskkond) Veresooned ahenevad(jahedad käed/jalad) Suur sügelemine Areneb välja 1-5ndal eluaastal Pole leitud haigusetekitaja geeni Mõlemal vanemal haigus-lapsel 70% tõenäosusega Kuiv nahk nahabarjääri kahjustuste tõttu Nahas vähe keramiide (suur aurustumine) Reaktiivsus erinevate keskkonnategurite suhtes Keha ei tooda piisavalt antimikroobseid peptiide DIAGNOOSIMINE On olemas ka kaks üldist haiguse diagnoosim...
...xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n Füüsikaline tõlgendus: Geomeetriline tõlgendus: Kuidas leida vaata Mitme muutuja funktsioonid lk 4 7. Ekstreemumid(lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon) DEF: Funktsionil z=f(P)=f(x1;....xn) on määramispiirkonna sisepunktis A(a1....,an) lokaalne maksimum, kui punkti A küllalt lähedases ümbruses on f(A) ¿ f(P) ja lokaalne miinimum, kui f(A) ¿ f(P). Kahe muutuja funktsiooni korral on funktsiooni z=f(x,y) väärtus punktis x0,y0 suurem kõigist tema naabruses asuvatest funktsiooni väärtustest siis on see lokaalne maksimum. Kui on väiksem kõigist tema naabruses asetsevaist funktsiooni väärtustest siis lokaalne miinimum 8. Statsionaarne punkt(definitsioon)
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
