Logaritmfunktsioon
Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni
y=logax , kus a>0 , a1 ja x>0
1) 0
log b c = log a b · Eksponentfunktsioon Kui y = ax, a > 1, siis on kasvav funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ja graafik läbib punkti (0; 1). Kui y = ax, 0 < a < 1, siis on kahanev funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ning graafik läbib punkti (0; 1). · Logaritmfunktsioon Kui y = loga x, a > 1, siis on kasvav funktsioon. Tema graafik ei lõika y-telge ning graafik läbib punkti (1; 0). Kui y = loga x, 0 < a < 1siis on kahanev funktsioon. Tema graafik ei lõika y-telge ja graafik läbib punkti (1; 0). · Eksponentvõrrand a = b x = loga b x
hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame y= f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja muutuja vahetavad kohad, samuti vahetavad kohad määramis- ja muutumispiirkond. g[ f(x) ] = x, f[ g(y) ] = y Kui g on f-ni f pöördfunktsioon, siis f on g pöördfunktsioon. Nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes (peegelduvad). Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon, sest x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = graafikut maksimaalselt ühes punktis. Kuju: , kus a on logaritmi alus. Kehtivad seosed: ja . Kuna pöördfunktsiooni võtmisel vahetavad määramispiirkond ja väärtuste hulk kohad, siis f-ni määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt: X=(o,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev.
Ühe muutuja funtsiooni diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhivalemid Funktsioon Diferentseerimisvalem Põhiintegraal Konstant a '=0 adx =axC n-1 n1 Astmefunktsioon x ' ' ' =nx x x ' ' dx = n1 C 1 2 x '= 2 x xdx = 3 x 3C x x x Eksponentfunktsioon a ' =a ln a a x dx= lna a C e x dx=e...
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring,...
LOGARITM
Eksponetfunktsiooniks nim funktsiooni y=ax ,kus a>0 ja a=1
Eksponetfunktsiooni omadused:
*Eksponentfunktsiooni y=ax määramispiirkond on reaalarvude hulk R
*Muutumispiirkond on positiivsette reaalarvude hulk.
* Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
Kuna logaritmi alus 3 > 1, siis logaritmfunktsiooni monotoonsuse tõttu x - 2 9, millest saame lahendi: x 11. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 11}. Ülesanne 2 Lahendada võrratus log1/ 3 ( x + 1) -3. Lahendus Kuna log1/ 3 27 = -3, siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: log1/ 3 ( x +1) log1/ 3 27 Kuna ühest väiksema alusega logaritmfunktsioon on kahanev, siis x +1 27, millest x 26. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 26}. Ülesanne 3 (I) Lahendada võrratus 3 - x < log 5 ( 20 + 5 x ). Lahendus Kuna 3 - x = log 5 53-x siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: log 5 53-x < log 5 ( 20 + 5 x ), millest järeldub, et
www.andmill2.planet.ee/gmat.html Funktsioonid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumko...
(sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx (arcsin (arccos (tan (log e ) xe = =nx (arctan = 1 -ln2 xxcos x1a -x xx 1+ x 2 Arcusfunktsioon Eksponentfunktsioon Trigonomeetrilised funktsioonid Logaritmfunktsioon Liitfunktsioon Eksponentfunktsioon Astmefunktsioon
väärtused, siis leidub punktide a ja b vahel vähemalt üks punkt x=c, milles funktsioon
omandab väärtuse null f(c) = 0
Sellel teoreemil on geomeetriline sisu: Pideva funktsiooni graafik, mis ühendab punkte M1(a;
f(a)) ja M2(b;f(b)), kus f(a) < 0 ja f(b) > b lõikab x telge vähemalt ühes punktis.
5) Defineerida logax
Logaritmfunktsioon: y=logax (0
argumendiga x 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe
vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y= loga astmes x Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks,
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 4. Funktsioonid ja nende graafikud Põhiteadmised Võrdeline sõltuvus; pöördvõrdeline sõltuvus; üksühene seos; funktsiooni mõiste; lineaar- ja ruutfunktsioon; funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond; funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad; funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel...
x = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni x = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond X = (-; 1). 13 Elementaarsed põhifunktsioonid Elementaarsed põhifunktsioonid Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = xa , kus a on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv. Logaritmfunktsioon: y = log a x, kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, 15 y = arctan x, y = arccot x. Astmefunktsioon y = xa, a on positiivne täisarv y
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...
Def. Muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka nimetatakse selle muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse kasvavaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast suurem. Muutuvat suurust nimetatakse kahanevaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast väiksem. Vastavalt definitsioonile on funktsioon antud, kui on teada : a) funktsiooni määramispiirkond X, b) eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil III Numbriline esitus tabeli abil Tabelilisel esitamisel kirjutatakse kindlas järjekorras argumendi väärtused 1 2, , ... ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7. Funktsioonide liike Paaris- ja paaritud funktsioon...
kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0 ja Antud funktsiooni korral X = R ja Y = (0;1). 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse kõigi selliste x X hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ;
Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x)
Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f (x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x
Logaritmimine ja sh funktsiooni y = e omadusi; potentseerimine. 4) selgitab arvu logaritmi mõistet Üleminek logaritmi ja selle omadusi; logaritmib ning potentseerib lihtsamaid avaldisi; ühelt aluselt 5) kirjeldab logaritmfunktsiooni ja teisele. selle omadusi; Logaritmfunktsioon 6) joonestab eksponent- ja , selle graafik ja logaritmfunktsiooni graafikuid omadused. ning loeb graafikult funktsioonide Eksponent- ja omadusi; logaritmvõrrand, 7) lahendab lihtsamaid eksponent- nende ja logaritmvõrrandeid ning lahendamine. võrratusi;
F ( x ) = f [ ( x ) ] Pöördfunktsioon. y = ( x) Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis rahuldab seost ( g ( x) ) = x Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veerandi nurgapoolitaja suhtes Teineteise pöördfunktsioonideks on: eksponent- ja logaritmfunktsioon tirgonomeetrilised ja arkusfunktsioonid Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetatakse lõpmata väikeseks lim an = 0, ehk an 0 lim f ( x) = 0, ehk f ( x) 0 n xa Lõpmata väikeste suuruste omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus. Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus.
a q n 1
Sn 1 .
q 1
Hääbuva geomeetrilise jada (0
= 234 perioodiga 8. Funktsioonid = 0 1 , = 4 1 ja = 234 on paaritud ning = 230 paaris. LIISI KINK 4 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 4) Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Olgu antud funktsioon = ! . Eeldame, et iga korral hulgast leidub ainult üks nii, et valitud on selle -i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon ! on üksühene. Üksühese funktsiooni =
y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele Tõkestatud hulga kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui lim () = definitsioon. omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema parameetri t muutumispiirkond on lõik [T, T], siis Arvtelje mõiste määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik
4 2 4 4 4a 3 4 b 3 x Ülesanne 6. Logaritmi avaldis 5c 4 Siit leiad veel midagi huvitavat logaritmi kohta. http://www.crjg.vil.ee/materjalid/kursus/logaritm.ppt LOGARITMFUNKTSIOON Funktsiooni y = logax nimetatakse logaritmfunktsiooniks. Logaritm ja eksponentfunktsioon on teineteise pöördfunktsioonid. Nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. Joonisel on kujutatud eksponentfunktsiooni y = e^x ja tema pöördfunktsiooni y = lnx graafikud. Uuri logaritmfunktsioonide omadusi nende graafikute põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/logaritmid1.pdf Saime teada, et logaritmfunktsiooni korral Elve Vutt
mõjutavatest teguritest, mida nimetatakse endogeenseteks ja eksogeenseteks muutujateks: endogeensete muutujate, ehk uuritavate näitajate, väärtused määratakse kindlaks antud mudeliga (käitumisvõrrandite ning võrdustega); eksogeensed muutujad on uuritavat näitajat mõjutavad mudelivälised tegurid, mida käsitletakse mudeli seisukohalt etteantud suurustena. 17. Erineva kujuga regressioonimudelid: muutujate suhtes lineaarne, astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, hüperbool, parabool, logaritmfunktsioon, polünoom. Mudelite võrrandid, joonised, elastsuskoefitsient, lineariseerimine, parameetrite tõlgendused, võrrandite nimetused (poollogaritmiline, log-lin jt), erinevate regressiooni- mudelite võrdlemine. Muutujate suhtes lineaarne mudel Kõige tavalisem mudeli esitusviis on muutujate suhtes lineaarne mudel kujul Y=a0+a1*X+e Regressioonikordaja a1 tähendus:
Kvartiilhälve iseloomustab lühimat võimaliku intervalli pikkust, kuhu satub pool kogu valimi mahust. Kvartiilide x0,75 ja x0,25 vahe. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? Aritmeetiline keskmine üldkogumi keskväärtus Ruutkeskmine teisenduseks ruutfunktsioon Geomeetriline keskmine teisenduseks logaritmfunktsioon Harmooniline keskmine teisenduseks pöördfunktsioon Kaalutud keskmine juhusliku suuruse iga väärtus Xi korrutatakse mingi kaaluga Wi, summeeritakse korrutised ning jagatakse tulemus kaalude summaga Tinglik keskmine juhusliku suuruse selliste väärtuste arit. Keskmine mis rahuldab teatud tingimust. 15. Mis on standardhälve, standardviga, asümmeetriakordaja, ekstsess, dispersioon? Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub
log b c = log a b · Eksponentfunktsioon Kui y = ax, a > 1, siis on kasvav funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ja graafik läbib punkti (0; 1). Kui y = ax, 0 < a < 1, siis on kahanev funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ning graafik läbib punkti (0; 1). · Logaritmfunktsioon Kui y = loga x, a > 1, siis on kasvav funktsioon. Tema graafik ei lõika y-telge ning graafik läbib punkti (1; 0). Kui y = loga x, 0 < a < 1siis on kahanev funktsioon. Tema graafik ei lõika y-telge ja graafik läbib punkti (1; 0). · Eksponentvõrrand a = b x = loga b x
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu ε...
Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik: Logaritmfunktsioon: Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt ühes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon üksühene ning tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y , kus a on logaritmi alus. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et a > 0 ja a = 1. Vastavalt valemitele (1.2) kehtivad seosed loga[ax] = x ja aloga y = y. Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad oma kohad, siis lähtudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) näeme, et funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev (joonised 1.6 ja 1.7)
funktsioonid. y=tanx X=R, Y=R y=cotx X=R, Y=R. tanx ja cotx periood on . Cox on paarisfunktsioon, ülejäänud on paritud funktsioonid. 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. a. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid a.i. Funktsioon f on üksühene, kui igale argumendi x väärtusele vastab määramispiirkonnas üks kindel y ninh iga y korral hulgast Y leidub
ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb anult selles, et f seab x-le vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Def. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a1. Kehtivad seosed Määramispiirkond on (0,) ja Y= Def. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Funktsiooni y=sinx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x=arcsiny. Kehtivad seosed arcsin[sinx]=x ja sin[arvsiny]=y, neist esimene iga x korral. Funktsiooni y=cosx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy.
ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb anult selles, et f seab x-le vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Def. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a1. Kehtivad seosed Määramispiirkond on (0,) ja Y= Def. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Funktsiooni y=sinx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x=arcsiny. Kehtivad seosed arcsin[sinx]=x ja sin[arvsiny]=y, neist esimene iga x korral. Funktsiooni y=cosx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy.
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev
seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Konstantne funktsioon y = c. Astmefunktsioon y = xa Eksponentfunktsioon y = ax Logaritmfunktsioon y = logax Trigonomeetrilised funktsioonid Arkusfunktsioonid o Olgu funktsiooni y = f (u) määramispiirkond U ja funktsiooni u = f (x) määramispiirkond X. Tähistame U' = {x R | u = g (x), x x}. Kui U' U, siis saab iga x X korral leida y väärtuse: x (u =g (x)) u y ( y = f (x). See vastavus määrab piirkonnas X funktsiooni y = f (g
1.1 Funktsioon DEF 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f, tähistatakse y=f(x) DEF 2. Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y c R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühemuutuja funktsioon f. [(x, y) I xX ja y=f(x)] DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f. DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)). DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f...
3. Kui on positiivne murd, siis paarisarvulise nimetaja korral X = [0; ), paarituarvulise nimetaja korral aga X = (-; ); 4. Kui on negatiivne murd, siis paarisavulise nimetaja korral X = (0; ), paarituarvulise nimetaja puhul X = (-; 0) (0; ); Eksponentfunktsioon y =(1/2)x y y = 2x 1 x Määramispiirkond: X = (-; ); Logaritmfunktsioon y y = loga x 1 0 1 a x Määramispiirkond: X = (0; ) Trig. funktsioonid siinus ja koosinus y 1 y = cos x -/2 /2 - 0 x
1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. 10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x 1, x2, x3, ... Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav. a rt...
Kordamisküsimused 1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui l...
funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. · Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. · Funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes: kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. · Funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes Logaritmfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = log a y, kus a on logaritmi alus. a > 0 ja ei võrdu 1. X = (0,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev. y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. y = sinx, x [-/2,/2] x = arcsiny : X = [-1,1], Y = [- /2, /2] y = cosx, x [0,] x = arccosy : X = [-1,1], Y = [0,]
Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on kujutis, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja määramispiirkond. Kui x ja y vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.a>0, a ei tohi olla 1. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] +graafikud! 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama määramispiirkonnaga funktsiooni f(x)
Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus - nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused: |-a|=|a| |ab|=|a||b| |a+b||a|+|b| |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused - Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+), kus > 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-,-M), kus M > 0. Tõkestatud hulgad - Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Jääv suurus suurus, mille arvuline väärtus ei muutu. Muutuv suurus suurus, m...
Paaritu f-n: 5. Nimetage elementaarsed põhifunktsioonid! Astnef-nid, eksponentf-nid, logaritmf-nid, trigonomeetrilised f-nid, arkusf-nid 6. Mis on astmefunktsioon? Esitage astmefunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Astmef-n on funktsioon, kus f-n on reaalarvulises astmes. 7. Mis on eksponentfunktsioon? Esitage eksponentfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Eksponentf-n on f-n milles sisaldub e ( ....), mis on võetud astmesse x. 8. Mis on logaritmfunktsioon? Esitage logaritmfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Logaritmf-n on eksponentf-ni pöördf-n. 9. Miks logaritmfunktsioon ja ja eksponentfunktsioon on koordinaatteljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes sümmeetrilised? Sest nad on teineteise pöördf-nid. 10. Millega võrdub =? 11. Millega võrdub =? 12. Millega võrdub =? 13. Millega võrdub =? 14. Nimetage 2 nurgamõõtu! kraadid, radiaanid 15. Mis on radiaan? 16
Leiame MP: selleks, et logaritmid eksisteeriksid, peavad logaritmitavad avaldised olema positiivsed. 2 x + 6 > 0 15 - x > 0. Siit MP on ]-3;15[. 12 Nüüd asendame esialgses võrratuses 1 = log 10 ja edasi teisendades saame 2x + 6 log > log 10 . 15 - x Kuna logaritmfunktsioon on igal alusel ]1;[ (praegu alusel 10) rangelt kasvav, siis 2x + 6 > 10, mille lahendiks on ]12;15[. 15 - x Et MP eelnevat piirkonda ei kitsenda (jääb tervikuna selle sisse), siis on esialgse logaritmvõrratuse lahendiks ]12;15[. NB! Kui ülesandes on logaritmide alus vahemikus ]0;1[, siis muutub võrratuse märk logaritmide ärajätmisel vastupidiseks. Näiteks log0,5 (x+2) < log0,5 (x-3) x+2 > x-3.
Matemaatiline analüüs (vähendatud programm) KT nr. 1 Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarv...
Funktsioon y = f(x) on kasvav vahemikus ]a; b[, kui ta rahuldab tingimust f ´(x) > 0. Funktsioon y = f(x) on kahanev vahemikus ]a; b[, kui ta rahuldab tingimust f ´(x) < 0. 29.Elementaarsed põhifunktsioonid. Nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone. Astmefunktsioon: y = xa Logaritmfunktsioon: y = logax Eksponentfunktsioon: y = ax Trigonomeetrilised funktsioonid: y= sin x, y =cos x, y= tan x , y = cot x Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x Eksponentfunktsioon: y = ax 30.Elementaarfunktsioonid Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse
Aegridade tasandamise meetodid: libiseva keskmise meetod(Libisev keskmine keskmine on fikseeritud arvu naabervaatluste aritmeetiline keskmine. Osaperioodide arvu, mida libisev keskmine hõlmab, nimetatakse libisemissammu pikkuseks) vähimruutude meetod(Aegrea taandamine mingile geomeetrilisele joonele NT: sirge, parabool, hüperbool, polünoom, logaritmfunktsioon, eksponentfunktsioon, astmefunktsioon) Vähimruutude meetodil tasandamisel läbitakse järgmised 3 etappi: Valitakse sobiv tasandusjoon; Nn. normaalvõrrandite süsteemi või sellest tuletatud lihtsustatud võrrandisüsteemi abil leitakse empiirilist kõverat tasandava teoreetilise joone parameetrilised hinnangud, Leitakse teoreetilise joone punktide arvväärtused ning
Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on kujutis, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja maaramispiirkond. Kui x ja y6 vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.ä>0 a ei tohi olla X = (0,) ja Y = R. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] 5.Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama maaramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x).
enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x ) .Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algse funktsiooni graafikuga, sirge y=x suhtes. Teineteise pöördfunktsioonideks on: eksponent- ja logaritmfunktsioon , tirgonomeetrilised ja arkusfunktsioonid. Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused- Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks. Lõpmata väikese suuruse omadused: 1. Lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike(0+0=0) 2. Tõkestatud suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike (A*0=0) 3. Lõpmata väikeste suuruste korrutis on ka lõpmata väike (0*0=0)
Kahanev, kui 0
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
