Juriidilisest küljest võib juhtum olla: Eetiline ja seaduslik Eetiline, kuid ebaseaduslik Ebaeetiline, kuid seaduslik Ebaeetiline ja ebaseaduslik Abijuhised Formaalsed Ettevõtte poliitika, eetilised koodeksid, Kas juhtum on vastuolus kuldse reegliga Mitteformaalsed testid Ema-test kas avaldaksite oma otsuse (kui oleksite juhtumis otsustaja) oma kõige lähedasemale inimesele TV-test kas te julgeksite oma otsuse avaldada (enda nimel) kõige laiemale üldsusele Lõhna-test kas lahend "lõhnab" hästi, st. tundub hea ja õige Teise-nahas-olemise-test: kas teile meeldiks lahend, kui seaksite enda teise (vastas- osaleja) kohale Turu-test: kas teie otsus annab teile turul eelise Eetilise printsiibid Hinnang vastavalt Kanti kategoorilisele imperatiivile Vastavuse printsiip (kas säärast tegu võiks lubada kõigile, st laiendada kõigile) Austuse printsiip (kas on austatud inimest kui eesmärki iseeneses, mitte kasutatud teda kui vahendit)
.. , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! !
väärtusega, lõpetab programm arvutamise ning kuvab iga saadud x-i ja vastava y-i väärtuse tabelina ekraanile. Juhul kui kasutaja poolt määratud vahemiku ja sammu tõttu tuleb leida funktsiooni väärtus enamas kui 15's punktis, piirdub programm vaid esimese 15 väärtuse arvutamise ning kuvamisega. Juhul kui funktsiooni väärtus ei kuulu saadud punktis reaalarvude hulka (näiteks negatiivne arv ruutjuure all), kuvab programm tabelis vastaval kohal, et lahend puudub. Juhul kui kasutaja poolt antud algväärtus A ületab maksimaalset väärtust B, ei arvuta programm ning sulgub. 6 Algoritm 7 8 Ekraanitõmmised Joonis 3. Programmi töö üldjuhul Joonis 4. Programmi töö erijuhul kui lahend puudub 9
d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv.
L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab
paika väide
N.
N.
2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks
Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega
Pn()=0.
Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete
kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0
m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend.
Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii:
Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n
Pn(x)=0 P3(x)=x3-8 P3(x)=0 x3-8=0 (x-2)(x2+2x+4)=0 x1=2 x2+2x+4=0 V: 3 lahendit. Üks
reaalne ja kaks kompleksset
2.6 Ratsionaalfunktsioonide lahutamine osamurdudeks
Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kus Qm(x) on m-astme ja Pn(x) n-astme polünoom ning
m
võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool V: x ; 2,2 3 ; d) Viirutada -2,2 3 x e) Kirjutada võrratuse lahend 3. KÕRGEMA ASTME VÕRRATUS (𝑥 2 − 𝑥)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0 Lahenduskäik sama, mis ruutvõrratusel 𝑥(𝑥 − 1)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0 Nullkohad: 0; 1; 1; -2 -2 0 1 x
Koostisosad:muutuja, parameetrid, funktsioon, võrrand, samasusvõrrand, käitumisvõrrand, tasakaaluvõrrand. MMT eelised: *konkreetsus, täpsus probleemi püstitamisel *hea jälgitavus igal etapil: kui on eeldused siis ka järeldused. 5)n-dat järki dif võrrandi üldlahend, erilahend -n-dat järku DV üldkuju: F(t, y(t), y´(t), y´´(t),.., y(n) (t))=0 üldlahendiks: on n konstandist C1 , C2 ,...,Cn =0 ja argumendist t sõltuv fun. Y= (t, C1, C2, ..., Cn). Iga lahend mis saadakse üldlahendist konstantide C1,C2, ..., Cn arvuliste väärtuste puhul, on DV erilahend. 6) ilmutamata ja ilmutatud funktsioonid, ilmutamata funtsiooni teoreem. Ilmutamata fun.teoreem-1) fun-il F pidevad osatuletised Fy, F1, Fm punkti (y 0 ,x10 ,.., xm0 ) mingis ümbruses 2)punktis (y0 ,x10 ,.., xm0 ) mis rahuldab y=f(x 1,..,xm) ja Fy ei=0-ga selles p-is. SIIS J1) m-dimensionaalse punkti (x10,...,xm0 )ümbruses N kus y on muutujate (x 1,...,xm) üheselt määratud ilmutatud fun
.......... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
.......... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2 x=5 2) kaks lahendit Nt: x2 = 9 x = 9 x1 = 3 x2 = -3
sarnased on ka need mille ees pole üldse mitte midagi (nt 4 ja 3). NÄIDE: Kuna me saime eelmise reegli põhjal võrduse 4x-6x-2x=34-9-65, siis nüüd peame me need tehted ära tegema mõlemal pool, vaskule poole tuleb 4x-6x-2x= -4x ja paremale poole tuleb 34-9-65= -40 ning nüüd saame võrduse -4x= -40 nüüd jagame mõlemad pooled x'i ees oleva arvuga, selleks on -4 seega -4x : -4 =1 ja -40 : (-4)= 10 ning siis saame võrrandi 1x=10, ja see ongi võrrandi lahend, kuna kontrollides on mõlemad pooled samaväärsed. AGA kui võrrandi lahend on lõpmatu arv näiteks 1.666666... siis kirjutame selle hariliku murruna, seekord siis -40/-4.
Kaotame summad ja vahed astendajas 32x-2*32x*3-1-2*32x*3-2=1 Toome sulgude ette 32x 32x(1- 2/3 -2/9) =1 32x * 1/9 =1 32x = 1: 1/9 32x = 9 32x = 32 2x = 2 x=1 Kontroll: 32*1-2*32*1-1-2*32*1-2= 9-2*3-2*1 = 9-6-2=1 III Eksponentvõrrandi taandamine ruutvõrrandiks muutujavahetuse abil. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x-2*3x-3=0 32x -2*3x-3=0 Teeme muutujate vahetuse 3x=a a2-2a-3=0 Selle ruutvõrrandi lahenditeks on (lahenda ise!) a1= -1 ja a2= 3. Seega 1) 3x= -1 Sellel võrrandil lahend puudub. 2) 3x= 3 x=1 Kontroll: 91-2*31-3= 9-6-3=0 Näide 2. Lahendame võrrandi 22x-1 - 2x+1 = 16 Kaotame summad ja vahed astendajas: 22x*2-1 - 2x*21 =16 0,5* 22x - 2*2x -16 = 0 Teeme muutujate vahetuse 2x=a 0,5a2 - 2a - 16 = 0 Selle ruutvõrrandi lahenditeks on (lahenda ise!): a1= -4 ja a2= 8. Seega 1) 2x= -4, sellel võrrandil lahend puudub. 2) 2x=8 2x= 23 x=3 Kontroll: 22*3-1 - 23+1 = 25-24= 32-16 = 16
vastavate elementaarvõrratuste väljaselgitamist. Võrratuse (süsteemi) lahendamisel asendatakse see järkjärgult lihtsamate võrratustega (süsteemidega), kuni jõutakse elementaarvõrratusteni. Sellises asendamisprotsessis võib kasutada vaid esialgse võrratusega (süsteemiga) samaväärseid võrratusi (süsteeme). Kaht võrratust nimetatakse samaväärseiks , kui neil on kõik lahendid ühised, st kui esimese võrratuse iga lahend rahuldab teist võrratust ja vastupidi. Meenutame tähtsamaid reegleid, mida kasutame võrratuste lahendamisel. 1) Võrratuse pooltele võib liita ja neist võib lahutada ühesuguseid avaldisi. Siit järeldub, et võrratuses võib liikmeid viia teisele poole võrratuse märki, muutes liikme märgi vastupidiseks. 2) Võrratuse korrutamisel positiivse suurusega säilib võrratus; võrratuse korrutamisel negatiivse suurusega muutub võrratus vastupidiseks.
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka
Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A ¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u J¨ areldus 5. V~
16 x + 9 y = b 3. Milliste parameetrite a ja b väärtuste korral on võrrandisüsteemil lõpmata 12 x + ay = 8 palju lahendeid? 2ax + 3 y = 15 4. Millise parameetri a väärtuse korral võrrandisüsteemil lahend puudub? 4x - 5y = 5 5. Lahenda võrrandisüsteem xy + y 2 = 5 x 2 - y 2 = 24 1) ; 2) . 2 x + 3 y = 7 x+ y=6 6. Kui arv x jagada arvuga y, siis jagatis on 4 ja jääk 30. Kui nüüd liita jagatav, jagaja, jagatis ja jääk, siis see summa on 574. Leia jagatav x ja jagaja y. 7. Kolme paaki mahub kokku 1440 l vett
Selle alglähendi (nn lähislahendi) x0 võime näiteks saada skitseerides funktsiooni f (x) graafiku. Olgu xn+1 = g (xn) (n N {0}). (1.24.3) Algoritmiga (1.24.3) oleme määranud võrrandi (1.24.1) lahendi x* lähendite jada {xn} . Teatud eeldustel funktsiooni g(x) kohta jada {xn} koondub täpseks lahendiks x , st 4 Kui x on võrrandi (1.24.1) täpne lahend, siis x* = g (x* ) . (1.24.4) Seostest (1.24.3) ja (1.24.4) järeldub, et iga n N {0} korral xn+1 - x* = g(xn) - g (x*) siis seoste (1.24.5) ja (1.24.6) põhjal saame |xn+1 - x | q |xn - x | . 5 Seega |xn - x | q |xn-1 - x | q2 |xn - x | . . . qn |x0 - x | ,
Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3. Neist x1 2 on esialgse võrrandi lahend, x2 3 on aga võõrlahend (nimetaja on x = 3 korral null). Vastus. Võrrandi lahendiks on x = 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas. Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid võrrand x 7 2 3 ei ole juurvõrrand.
Milline võiks olla firma päevane tootmisprogramm raadiovastuvõtjate tootmiseks, et nende realiseerimisest saada maksimaalset kasumit, kui kasumit saadakse vastavalt 30 ja 20 eurot raadiovastuvõtja kohta. 1. Määrata kindlaks tundmatud 2. Koostada kitsendused 3. Esitada sihifunktsioon sõnadega ja matemaatiliselt. 4. Lahendada ülesanne graafiliselt. 5. Milline on optimaalne lahend ja sellele vastav sihifunktsiooni väärtus? 1 RV 2 RV Võimsus I tüüpi liin 1 60 II tüüpi liin 1 75 Elektronskeem 10 8 800 x1 <'='60 x2 <'='75 10x1+8x2<'='800 F= 30x1+20x2 -> max x1>'='0, x2>'='0 esimene kitsendus x1<'='60 teine kitsendus x2<'='75
14. 20. 09. 06 Ruutvõrrand. Ruutvõrrand ax2 + bx = 0 ax² + bx = 0. Harjutamine 1) ül 1371, 1374 Taandatud ruutvõrrand. x2 + px + q = 0 Ruutfunktsioon ja Taandatud ruutvõrrandi lahend: 15. 21. 09. 06 Taandatud ruutvõrrand 1) lk 58 60, ül 218 - 221 ruutvõrrand. 2 p p x = - ± -q
KORRUTAMISE ABIVALEMID (a+b)(a-b)=a²-b² - ruutude vahe valem (a+b)²=a²+2ab+b² - summa ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a
tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrdub võrrandite arvuga 2)võrrsüs kordajate maatriksi determinant erineb nullist. Crameri peajuhul {a11x1+.. +a1nxn=b1 ..;.. an1x1+.
Z 8 4 6 6 3 90 250 bj 40 40 50 40 80 220 1. Kas transpordiülesanne on kinnine või lahtine? Miks? lahtine ülesanne sest paskkumine ja nõudlus ei ole võrdsed 2. Leida esialgne lubatav lahend Vogeli meetodil. 3. Kontrollida lahendi optimaalsust potentsiaalide meetodil. 4. Kas on alternatiivseid lahendeid? TULEB VALIDA VEERG/RIDA KU Vogeli meetod TARBIJAD TOOTJAD A B C D
· TV-test kui oleksin Sebe juht, ei julgeks ma seda uudist avalikkuse ees avaldada, kuna ükskõik kuidas ma ka ei prooviks süüd enda kaelast ära ajada on ikkagi näha, et ma ei ole käitunud eetiliselt. Kui oleksin bussijuht julgeksin avalikustada, kuna mul pole väga suurt võimalust ostsuseid teha- ma kas rikun seadust või jään ilma töökohast. Kuigi olen ka valesti käitunud, usun et mind mõistetaks. · Lõhna-test Sebe lahend ,,lõhnab" suhteliselt hästi, kuna nad on lubanud teha täiendavaid koolitusi kõigile töötajatele, et vältida tulevikus sarnaseid juhuseid, sama võis artiklist välja luged ähvarduse kui ei meeldi mine minema, meil on töötajaid kuhjaga võtta (,,Tegelikult on firmal kahjulik, kui juht teeb ületunde, sest kui seadus isegi seda lubaks, siis lisatundide eest tuleks rohkem maksta. Tööle soovijate puudust firmal ei ole" väidab Kuldar Väärsi) .
2 3 0 1 0 1 1 3 1 1 2 0 0 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 7 / 2 1/ 2 0 0 1/ 2 0 3 / 2 1/ 2 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1/ 2 3 / 2 7 / 2 0 0 1/ 2 1 1/ 2 2 2 1 0 1 0 0 Viimane simplekstabel on lubatav kui ka duaalselt lubatav, seetõttu vastab ta optimaalsele lahendile. Optimaalne lahend on: x* (0, 2, 1 / 2, 0, 3 / 2, 0). Duaalse ja primaarse simpleksmeetodi järjestikune rakendamine Kui simplekstabel ei ole lubatav ega ka duaalselt lubatav, siis ei ole täidetud eeldused ei primaarse ega ka duaalse simpleksmeetodi rakendamise jaoks. Sel korral rakendatakse algul üht neist meetoditest lihtsustatud kujul, teisel etapil aga teist meetodit eespool kirjeldatud kujul.
ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga, kusjuures ülejäänud veerud jäävad oma endistele kohtadele. D = 0, siis selleks, et l.v.s oleks lahend ka sellisel juhul, peavad kehtima tingimused D 1 = D2 = ...=Dn, sellisel juhul on l.v.s rohkem kui üks lahend. Determinanti on võimalik arendada tema suvalise rea/veeru järgi. Kompleks arvutus i2 = -1
= ± = ± x1 = + = = 6, x2 = - = = 5. 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... Tundmatule x leidsime 2 väärtust. Tundmatu y väärtuste leidmiseks kasutame teist võrrandit: x + y = 11 1) x = 6 6 + y = 11 y = 11 - 6 = 5 2) x = 5 5 + y = 11 y = 11 - 5 = 6 Saadud kaks lahendit on sisuliselt samaväärsed: üks otsitavatest arvudest on 5, teine 6. Kontrollime kas, lahend rahuldab ülesande tingimusi. 1) Arvude korrutis: x y = 5 6 = 30. 2) Arvude summa: x + y = 5 + 6 = 11. Ülesanne 1 (6) Vastus ... Osutus, et leitud arvud rahuldavad ülesande tingimusi ja võime välja kirjutada vastuse: Vastus: Otsitavad arvud on 5 ja 6. Ülesanne 2 Kahe arvu summa suhtub nende korrutisse nagu 4 : 15, samade arvude vahe suhtub nende summasse nagu 1 : 2. Leida need arvud. Lahendus
Simpleksmeetod Graafiline lahendus Lahendamine käsitsi Simpleksmeetod on lineaarsete planeerimis-ülesannete universaalne lahend Meetodi autor on ameerika matemaatik G. B. Dantzing aastast 1947. Nimetus t nimetatakse n-dimensionaalses ruumis kumerat hulktahukat, millel on n+1 tipp Selleks, et lahendada ülesannet simpleks-meetodiga, peab ülesanne vastama j 1. Kõik kitsenduste süsteemi vabaliikmed peavad olema mittenegatiiv (negatiivse vabaliikme korral korrutada võrratuse mõlemaid pooli -1-ga). 2. Sihifunktsioon peab olema esitatud maksimumfunktsioonina (max f(x) = - min f(x)). 3
____________________________________________ k1k2 C1e k x + C2e k x k1=k2= (C1 + C2x)e x k1=+i, k2=-i ex (C1 cos x + C2 sin x) 19 3. Mittehomogeense võrrandi erilahendi leidmine DV parem pool f(x) Tingimus Mittehomogeense võr- randi erilahend y MHE a) Pn(x) 0 ei ole kar. Qn(x)=B0xn+...+Bn _ võrr. lahend _____________________________ 0 on kar. võrr. lahend xQn(x) b) exPn(x) ei ole kar. exQn(x) võrr. lahend ____________________________ on kar.võrr. xkexQn(x) k-kordne lah. ______________________________________________ c) ex(Pn(x)cosx+ ex(Us(x)cosx+ +i ei ole kar. +Qm(x)sinx) võrr. lahend
437 cm 1 adm I-profiilide tabelist valin profiili nr 20a. 2 A2 := 28.9cm i1 := 2.32cm l := = 129 i1 y E k := = 1.43 Leian interpoleerimise teel nõtketeguri. ( 0.45 - 0.4) 9 2 := 0.45 - = 0.405 10 Kuna leitud nõtketegur ühtib esialgsega arvutustäpuse piires, siis saadud lahend sobib. Fcr := 2 adm A1 = 151.9 kN Kuna arvutatud kriitiline jõud on suurem kui postile mõjuv jõud, siis antud profiil vastab tingimustele. Vastus: Sobib I-profiil nr 20a.
vabaliikmetega. Neid determinante tähistatakse lühidalt tähtedega Dx ja Dy. a 2 ab b 2 a b u v u v u 3 v 3 a1 x + b1 y = c1 477. Lahenda võrrandisüsteemid determinantide abil. Seega võrrandisüsteemi lahend esitub kujul a 2 x + b 2 y = c 2 ¦ x 3y 4 ¦5 x 6 y 11 ¦3x 4 y 0 a) § b) § c) § x Dx ja y Dy , kus D 0
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tundmatute väärtuste asendamisel võrrandisse saame samasuse: 5·1 + 3 ·(-1) - 2 ·3 -4
siis kohaldatakse (Riigikogu). välislepingut. Eesti Vabariik ei sõlmi Enne kohaldamist välislepinguid, mis tuleb välisleping on vastuolus transformeerida põhiseadusega seadusesse. RAHVUSVAHELISED LEPINGUD: EUROOPA LIIT Põhiseaduse täiendamise seaduse : § 1 sätestab: Eesti võib kuuluda Euroopa Liitu, lähtudes Eesti Vabariigi põhiseaduse aluspõhimõtetest. Õiguse allikad: EL õigus Euroopa Liidu õiguse ülimuslikkus Euroopa Kohtu lahend Costa v ENEL Euroopa Liidu õiguse otsekohaldatavus Euroopa Kohtu lahend Vad Gend & Loos Euroopa ühenduse õigus Euroopa Ühenduse õigus esmane õigus teisene õigus (asutamisleping) määrused direktiivid ÕIGUSE ALLIKAD: SEADUS Riigikogu poolt SEADUSED SEADUSED või rahvahääletusel vastu võetud KONSTITUTSIOONILISED
x + Cf(x) = x. Tähistame g(x) = x + Cf(x) ning saamegi vajaliku kuju x = g(x) Hariliku iteratsioonimeetodi korral arvutatakse lahendid järgmise eeskirja põhjal: xn = g(xn-1), (2) st x1 = g(x0), x2 = g(x1), jne. Harilik iteratsioonimeetod on ühesammuline meetod. Uurime meetodi viga: Olgu x* võrrandi (1) täpne lahend, st x* = g(x*). Lähendi xn tõeline viga on |xn – x*|. Kui Limn→∞|xn – x*| = 0, Siis koondub lähend xn täpseks lahendiks x*, st xn → x*. Oluline tingimus sellise koondumies jaoks on: |g’(x)| ≤ q ≤ 1. (3) Teoreem: Leidugu võrrandi (1) lahendit x* sisaldav vahemik (a, b), milles on täidetud võrratus (3). Olgu funktsioon g(x) selline, et ∀x ∈ (a, b) korral g(x) ∈ (a, b). Olgu x0 ∈ (a, b)
x f X= 2 , F= 2 . ... ... x f n n Kui m < n , siis on alamääratud süsteem, osa tundmatuid jääb määramata, kui m > n , siis on ülemääratud süsteem, lahend võib üldse puududa, kui m = n , siis on üks lahend kui det A 0 . Homogeense võrrandsüsteemi vabaliige on null ehk AX = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil esineb alati triviaalne lahend X = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil on m = n korral mittetriviaalsed lahendid ainult juhul, kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1
2 Kodune töö (Majandusmatemaatika) Ülesanne 1 (x-b)(x-a)=-ax-bx+ab x2-ax-ax+a2+x2-bx-bx+b2+2x2-2ax-2bx+2ab=0 2x2-2ax-2bx+a2+b2+2x2-2ax-2bx+2ab=0 4x2-4ax-4bx+a2+2ab+b2=0 a b c X1;2= X1;2= X1;2= = = Kontroll: Kui a=2 ja b=4 => = = 3 (x) +2= -1-1+2= 0 Ülesanne 2: Üks õmblustöökoda pidi valmistama päevas x ülikonda ja teine töökoda päevas x+4 ülikonda. Esimesel töökojal kulus aega ja teisel Kuna esimene töökoda sai töö valmis tähtajast 3 ja teine 6 päeva varem ning töö valmimiseks oli antud sama aeg siis X1;2= X1;2=-1737 X1=20 X2= -54 (ei sobi) Kontroll: 1 töökojal kulus 810:20=40,5 päeva ja 2. töökojal 900: 24=37,5 päeva 1 töökoda sai töö valmis tähtajast 3 ja teine töökoda 6 päeva varem ning töö valmimiseks oli antud sama aeg: 40,5+3=37,5+6 43,5=43,5 päeva Vastus: 1 töökoda valmistas 20 ja 2. Töökoda 24 ülikonda päevas. Ülesanne 3 I z=13-5x-4y...
Juhtreaks valitakse kõige negatiivsema vabaliikmega rida. Näide Juhtreaks saab teine rida Juhtelemendiks valitakse negatiivne element sellest reast Kui negatiivseid elemente ei ole, on üles-anne vastuoluline Hinnang selle rea negatiivsele elemendile saadakse sihifunktsiooni rea elemendi jagamisel hinnatava elemendiga Duaalne ülesanne Igale LP ülesandele saab seada vastavusse temaga duaalse LP ülesande Duaalse ülesande lahend iseloomustab lähteülesande lahendi tundlikkust kitsenduste suhtes Standardkujul antud lähteülesande korral ontemaga duaalne ülesanne miinimumülesanne, kitsendused aga tüüpi võrratused Järeldused duaalteoreemidest · sihifunktsioonide optimaalsed väärtused on võrdsed · lähteülesande põhimuutujate optimaalsete väärtuste korrutis duaalse ülesande lisa- muutujate optimaalsete väärtustega on 0
elus üldse. Enesejuhtimine Eesmärgid Probleemide lahendamine Edu Ajajuhtimine Enesemotivatsioon Isiksus ja enesehinnang Emotsioonide juhtimine Eesmärgi püstitamine Eesmärk on tulemus, mida me soovime saavutada Lähieesmärk Kaugem eesmärk EESMÄRKIDE olemasolu: motiveerib tegutsema võimaldab oma tegevusi planeerida ja organiseerida võimaldab tegutseda suunatult Probleemide lahendamine Tunnetamine Sõnastamine Eesmärk Lahendusvariandid Parim lahend Tegevusplaan Tegevus EDU EDU VALEM: Võimed Motivatsioon Võimalus Ebaedu põhilised põhjused. Ajajuhtimine (timemanagement) Aja juhtimine (timemanagement) sisaldab tehnikaid ja vahendeid aja planeerimiseks, selleks, et muuta aja kasutamine tõhusamaks nii isiklikul tasandil kui organisatsiooni tasandil. Aja juhtimine eeldab, et inimene teab oma prioriteete ja eesmärke. Enesemotivatsioon
positiivse arvu. Järelikult, kui arvu -1 astendada paarisarvulise astendajaga, saame ühe. Võrdsustame astme aluse -1-ga, saame x+2=-1; x4=-3. Nüüd peame veel kontrollima, kas siis, kui x=-3 on astendaja paarisarv. (-3)2-(-3)=9+3=12. Seega ka lahend x4=-3 rahuldab võrrandit. Kontrollime nüüd lahendeid graafiliselt ja vaatame, kas sel võrrandil võib olla veel lahendeid. Joonestame funktsioonide y =(x+2)x2-x, y =1 graafikud ja leiame nende lõikepunktid, mis ongi võrrandi (x+2)x2-x=1 lahenditeks. Siit graafikult näeme, et tegelikult pole funktsioon y =(x+2)x2-x määratud reaalarvude
Nimetatud piirangu kohaldamisel tuleb hinnata andmesubjekti õigustatud huvide kahjustamise määra ehk iga kord konkreetse juhtumi asjaoludele tuginedes kaaluda, kas vajadus isiku nõusolekuta isikuandmete edastamiseks kolmandatele isikutele kaalub üles andmesubjekti õiguste ja huvide riive, seisab riigikohtu lahendis. Seega kaotas EMT vaidluse kõigis kolmes kohtuastmes ning kohtuvaidluse menetluskulud jäävad riigikohtu otsusel poolte kanda. (Riigikohtu lahend 3-3-1-70-11) Kui varasemalt oli juttu n-ö tavainimestest, siis pisut teisiti tuleb eetikaregulatsioonide ja EIK praktika järgi käsitleda avaliku elu tegelasi. Eesti ajakirjanduseetika koodeksi (1998) punkt 1.6 ütleb: “Poliitilist ja majanduslikku võimu ning avalikkusele olulist informatsiooni valdavaid inimesi käsitleb ajakirjandus avaliku elu tegelastena, kelle tegevuse üle on ajakirjanduse tavalisest suurem tähelepanu ja kriitika õigustatud.”
aga q(x) ei=0, siis tuleb LmitteHDv Bernoulli võrrand y`+p(x)y=q(x)ya kus (- , ) . Kui = 0 või = 1 , siis on tegi L võrrandiga. Seega eeldame et 0, 1 Toome ya sulgude ette, siis - 1- y y y `+ p( x ) y - f ( x) = 0 ning , kui a>0, siis y=0 on üheks lahendiks. Kui teeme sulus muutujavahetuse z=y1-a ja saame z-i suhtes lineaarse võrrandi z`+(1+a)p(x)z=(1-a)f(x) Riccat- võrrand y`+p(x)y+q(x)y2=r(x) Saame lahendada, kui teada üks konkreetne lahend y* sellisel juhul saab asendusega u=y-y*. Riccat võrrand teisendada Bernoulli võrrandiks. Eksaktne DV M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nim. Eksaktseks e. täisD-ga võrrandiks, kui leidub f-n u=u(x,y) nii, et täisD on kujul du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy st. u ( x, y ) u ( x, y) = M ( x, y ) = N ( x, y) x , y Eksaktse DV lahendamine taandub sobival kujul f-i u määramisele
n n Selleks, et leida minimaalne kulu osaleja kohta on vaja eelmisest avaldisest 45000 2 n− =0 tuletis ja võrdsustada see nulliga. Saame n2 . Sellest saame lahendi n=±150 . Negatiivne lahend ei ole majandusliku sisu tõttu rakendatav, sest külastajate arv ei saa olla negatiivne. Teine tuletis antud avaldisest on 225 00 2− n3 , kui n=150, siis on selle väärtus positiivne, järelikult on tegemist miinimumpunktiga. Kuna aga külastajaid võib olla vaid kuni 120, siis on selle tingimusega minimaalne kulu osaleja kohta n=120 juures. Sellisel juhul C ( n) 45000 =2∙ 120+30+ n 120 =645.
KORDAMISKÜSIMUSED 2.7-2.9 ja 3.3 1. Vaadake üle ministrid, millist ministeeriumi keegi juhib. Andrus Ansip peaminister Mart Laar kaitseminister Rein Lang kultuuriminister Jaak Aaviksoo haridusminister Keit Pentus keskkonnaminister Kristen Michal justiitsminister Juhan Parts majandus- ja kommunikatsiooniminister Helir-Valdor Seeder põllumajandusminister Jürgen Ligi rahandusminister Siim Valmar Kiisler regionaalminister(siseministeeriumi juhib) Ken-Marti Vaher siseminister Hanno Pevkur sotsiaalminister Urmas Paet kaitseminister Mis on enamusvalitsus, vähemusvalitsus, üheparteivalitsus ja koalitsioonivalitsus? Peate põhjendama, millist eelistate ja miks. Enamusvalitsus-üheparteiline valitsus, selle saab luua erakond, kellele kuulub vähemalt pool parlamendi kohtadest. Vähemusvalitsus- mitmeparteiline e. koalitsioonivalitsus. Sinna lähevad need parlamendis esindatud erakonnad, kes suudavad tulevase poliitika põ...
(0;a0) a1-tõus c) ratsionaalf. N murrud d) mittealgebralised f. n juured, astmed, exp, log, trig. 4. Tasakaalu mõiste, turu tasakaalu mudelid (1.ja 2. ning n hüvisega) Tasakaalu mõiste- valitud üksteisega seotud mutujate väärtuste niisugune seis, et süsteemi seisund säilub. Turu tasakaalu mudelid: 1 hüvisega: 3 muutujat Qd, Qs, P eeldus Qd-Qs=0, Qd, Qs 4 parameetrit a, b, c, d>0 d ja b tõusud Q d=a-bP langev sirge Lahend: Qd, Qs, P Qd=Qs=Q lahend järjestatud paar (P;Q) Qs=-c+dP tõusev sirge 2 hüvisega: Qd1-Qs1=0 Qd2-Qs2=0 Qd1=a0+a1P1+a2P2 Qd2=a0+a1P1+a2P2 Qs1=b0+b1P1+b2P2 Qs2=b0+b1P1+b2P2 (a0-b0)+(a1-b1)P1+(a2-b2)P2=0 n hüvisega: kõik hüvised sõltuvad kõigist hindadest. Koefitsendid arvulisedlahend arvuline. 5. Maatriksid ja vektorid, maatriksitehted, vektortehted. Maatriks: Olgu i reaindeks ja j veeruindeks siis x1-1.ve-s, xj- j-ndas veerus, aij i-nda võrrandi j-nda muutuja koef
Siit Teine variant võrramdist, mida saame lahendada on: (10.3) (10.3)' Sel juhul asendame . Diferentseerime mõlemad pooled x-suhtes, leiame Kus üldlahend parameetrilisel kujul (10.4) (10.3)' saame eralduvate muutujatega võrrandi: Esimest järku võrrandi lahendi olemasolu teoreem ja ühesuse teoreem. Teoreem 10.1 Vaatleme võrrandit, kus (10.5) Olgu f: f(x,y) pidev ristkülikus ja olgu täidetud Lipscitzi tingimus y-muutuja suhtes. Siis eksisteerib üksainus võrrandi (10.5) lahend: , mis rahuldab algtingimust . Lipschitsi tingimusest järeldub: . Järelikult, kui eksisteerib osatuletis , siis saame, et (tõkestatud K-ga absoluutväärtus). 11. Claeraut' ja Lagrange'i võrrandid Need võrrandid on võrrandi (10.3) erijuhud. Claeraut' võrran omab kuju: (11.1) . Lagrange'i võrrandi kuju on: (11.2) . Mõlemal juhul asendame ja diferentseerimine võrduse mõlemat pool x suhtes. (11.1) saame ja . (11.3) sirgete parv Teine võimalus . Siit saame iseärase lahendi: (11
arvamusi võrdlemisi lihtne piirata. Näiteks analüüsis Riigikohus Internetti ülesriputatud teksti, kus väidetavalt maausuliste huve esindanud isik kutsus üles muu hulgas likvideerima kõik kristlased ning juudid ja purustama kirikud. Lauris Kaplinski anti kohtu alla KarS § 151 järgi süüdistatuna selles, et ta koostas ajavahemikus 1995-1998 teksti "Meie võitlus", mis olles suunatud juutide, kristlaste ja demokraatide vastu 6 Euroopa inimõiguste kohtu 08.07.1986 lahend asjas nr. 103 ,,Lingens vs Austria" 7 ,,Kas kaubanduslik sõnavabadus väärib põhiseaduslikku kaitset?" K. Saaremäel Juridica 2002, nr 9 8 ,,Riigiõigus" Taavi Annus 2006, lk 313 5 õhutas sotsiaalset vaenu ja sisaldas üleskutset relvastatud terrorile. Teksti pani ta üles Tartu Ülikooli Botaanika ja Ökoloogia Instituudi arvutiserverisse vaba juurdepääsuga internetiaadressil
Kes Mida Kuhu Kuidas Millal · Muutuste üldeesmärgid ja ajakava Vajalikkuse põhjendus Mõju organisatsioonile ja selle liikmetele Konkreetse töötaja konkreetsed töö ümberkorraldused Lisainfo kontaktid Ettepanekute ja arvamuste avaldamise võimalused Kommunikatsiooni barjäärid Ettevõtte keeruline juhtimisstruktuur (sh kaastöötajate ebavõrdne staatus) Lahend: juhtide videomaterjalid, kohtumised kõikide töötajatega, juhikabineti lahtiste uste päev Info üleküllus (n tootmistöötajatele) Lahend: prioriteetide määratlemine, info filtreerimine Inforamtsiooni subjektiivne filtreerimine Lahend: juhtkonna avatus, lubaduste täitmine, töötajatele info eesmärkidest ja tulemustest, info kinnihoidmise karistus) Kommunikatsioonikanalite tehniline baas Organisatsiooni sisene suhtekorraldus
Puudusega kauba või teenuse puhul on tarbijal õigus esitada müüjale kaebus kahe aasta jooksul alates ostmise päevast. Puuduse tekkimise põhjuste tõendamise kohustus esimesel kuuel kuul pärast ostu sooritamist on müüjal ning pärast kuue kuu möödumist lepitakse tõendamisega seonduv müüja ja tarbija vahel kokku. Pärast kaubal puuduse avastamist tuleb koguda kokku müügidokumendid ja minna kauplusesse tagasi. Müüjale tuleb selgitada probleemi ja esitada omapoolne soovitav lahend. Müüja kas nõustub esitatud pretensiooniga ja lahendab selle positiivselt või on seisukohal, et puudus tootel on tingitud väärast kasutamisest. Viimast on müüja kohustatud tõendama. Puudusega kauba korral on tarbijal õigus: ·nõuda esmalt asja tasuta parandamist või selle asendamist uue kaubaga; ·nõuda ostuhinna alandamist või lepingu tühistamist, kui: 1) müüjal ei ole võimalik kaupa parandada või asendada või 2) parandamine või asendamine ebaõnnestub või
TV-test – kui oleksin Sebe juht, ei julgeks ma seda uudist avalikkuse ees avaldada, kuna ükskõik kuidas ma ka ei prooviks süüd enda kaelast ära ajada on ikkagi näha, et ma ei ole käitunud eetiliselt. Kui oleksin bussijuht julgeksin avalikustada, kuna mul pole väga suurt võimalust ostsuseid teha- ma kas rikun seadust või jään ilma töökohast. Kuigi olen ka valesti käitunud, usun et mind mõistetaks. Lõhna-test – Sebe lahend „lõhnab“ suhteliselt hästi, kuna nad on lubanud teha täiendavaid koolitusi kõigile töötajatele, et vältida tulevikus sarnaseid juhuseid, sama võis artiklist välja luged ähvarduse kui ei meeldi mine minema, meil on töötajaid kuhjaga võtta („Tegelikult on firmal kahjulik, kui juht teeb ületunde, sest kui seadus isegi seda lubaks, siis lisatundide eest tuleks rohkem maksta. Tööle soovijate puudust firmal ei ole“ väidab Kuldar Väärsi) .
See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 . 2 4) log 45 1=0 , sest 450 = 1. 5) log 5 (-25) ei ole olemas, sest võrrandil 5x = -25 lahend puudub. Logaritme alusel 10 nimetatakse kümnendlogaritmideks ja tähistatakse sümboliga log (alust märkimata): log 10 x =log x Näiteid: 1) log 10=1 , sest 101 = 10. 2) log 100=2 , sest 102 = 100. -1 1 3) log 0,1=-1 , sest 10 = =0,1. 10 Logaritme alusel e nimetatakse naturaallogaritmideks ja tähistatakse sümboliga ln (alust märkimata): log e x =ln x . Näiteid: 1) ln e=1 , sest e1 = e.
104493 IAPB21 ÜLESANNE 1 = 2 # + 8 $ , # = 1, $ = 1 Kirjutan välja karakteristliku võrrandi: $ - 2 - 8 = 0 Leian karakteristliku võrrandi lahendid. = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 # = 4 I $ = -2 Seega on rekurrentse võrrandi lahend: = I# 4 + I$ (-2) Leian I# ja c$ . I# 4# + I$ (-2)# = 1 4I# - 2I$ = 1 4I# = 1 + 2I$ I# = 0,25 + 0,5I$ I# 4 + I$ (-2) = 1 $ $ 16I# + 4I$ = 1 16(0,25 + 0,5I$ ) + 4I$ = 1 4 + 8I$ + 4I$ = 1 12I$ = -3 I$ = -0,25 I I# = 0,125 Vastus: = 0,125 4 - 0,25 (-2) ÜLESANNE 2 Koostan rekurrentse seose. Olgu An eri viiside arv, kuidas sportlane saab moodustada endale n- kilomeetrise treeningu
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
