Implikatsioon - jreldamine 5. Milliseid kvantoreid on vimalik eitada? Olemasolu kvantorit 6. Millised kvantorid on olemas? Olemasolukvantor ldsusekvantor 7. Kui loogikaavaldises pole sulgudega mratud tehete jrjekorda,siis KONJUNKTSIOONI, INVERSIOONI, DISJUNKTSIOONI leidumisel tehaksekigepealt... a-inversioon b-konjunktsioon c-disjunktsioon 8. Mitu erinevat tehet kasutatakse lausearvutuses? 5 9. Loogika tehetel on olemas vrsnalised nimetused! Loogiline korrutamine - konjunktsioon Eitus - Inversioon Jreldamistehe - Implikatsioon Loogiline liitmine - disjunktsioon Loogiline lahutamine - puudub 10. Mida thendab humrgiga eksistentsikvantor? Humrk tpsustab, et leidub "tpselt 1".
4 -7 2 -3 2 -4 Näide: A= 6 0 5 B= 1 -3 2 7(4-(-3) -9(-7-2) 6(2-(-4) A-B= 5(6-1) 3(0-(-3) 3(5-2) 4) KORRUTAMINE ARVUGA (c) ja c0 c*A = (c*aij)mn 7 -9 6 14(7*2) -18(-9*2) 12(6*2) Näide: 2*(A-B) = 2* 5 3 3 = 10(5*2) 6(3*2) 6(3*2)
. ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral. Omadused: A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+=+A=A; A+(-A)=(-A)+A=0;k(A+B)=kA+kB. 3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,...,m; j=1,...,n; k=1,...q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma
8. KLASSI MATEMAATIKA ÜLEMINEKUEKSAM 1. Tehted arvude ja astmetega. Ruutjuur · Astmete korrutamine am × an=am+n · Astmete jagamine am : an=am-n · Korrutise astendamine(a × b)n=an × bn · Astme astendamine (am)n=amn · Jagatise astendamine ( )n=( ) · Kui astendaja on 0 a0=1 a 0 · Kui astendaja on negatiivne täisarv a-n = a0 Ruutjuur · Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga.
Trüki = 3. Klõpsa lahtril A2 4. Trüki * 5. Klõpsa lahtril B2 6. Vajuta Enter - klahvi Nüüd peaks lahtrisse C2 tekkima valemi väärtus. Põhilised aritmeetilised tehted: liitmine, lahutamine, jagamine, korrutamine. Mõned näited: Liitmine =A1+B1,lahutamine =A1-B1, korrutamine - =A1*B1, jagamine - =A1/B1. Funktsioonide MAX, AVERAGE kasutamine Märgistada lahter, kuhu keskmine tuleb. Seejärel vajutada või võib kasutada ka fx funktsiooni. Sealt valida Keskmine (Average) ja esimese variandi puhul kontrollida, kas andmeplokk, kust keskmist leitakse, on õigesti märgitud ja vajutada Enter klahvi. Teise variandi
Arvuti ajalugu Elvis Liivamägi 10. c klass Arvuti... ...on masin, mille abil on võimalik arvutada ja seda palju kiiremini kui peast arvutades Vanim masin, mida võib nimetada arvutiks, on abakus Abakus leiutati arvatavasti Mesopotaamias ning seda u 3000 eKr Abakus 1694 täiustas Saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhem von Leibniz liitmismasinat Sai võimalikuks ka masina abil korrutamine 1820 hakkasid levima mehaanilised arvutusmasinad, kalkulaatorid prantslane Charles Xavier Thomas de Colmar leiutas masina mille abil sai korrutada, jagada, liita ja lahutada inglise matemaatika professor Charles Babbage (17991871) tõeline arvuti Esimese generatsiooni arvuti See oli 30 * 50 jala suuruse ruumi suurune ja kaalus 30 t Arvutil oli 18000 vaakum elektronlampi mida kasutati arvutuste teostamiseks kiirusel 5000 tehet sekundis.
Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z )
Juhendaja: Mikk Põdra Arvuti... ...on masin, mille abil on võimalik arvutada ja seda palju kiiremini kui peast arvutades Vanim masin, mida võib nimetada arvutiks, on abakus Abakus leiutati arvatavasti Mesopotaamias ning seda u 3000 eKr Abakus Blaise Pascali Aastal 1642 leiutas tema liitmismasina. Liitmismasin koosnes tol ajal ratastest. Oli ainult võimalik liita. 1694- täiustas Saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhem von Leibniz liitmismasinat Sai võimalikuks ka masina abil korrutamine 1820- hakkasid levima mehaanilised arvutusmasinad, kalkulaatorid prantslane Charles Xavier Thomas de Colmar- leiutas masina mille abil sai korrutada, jagada, liita ja lahutada inglise matemaatika professor Charles Babbage (1799- 1871)- tõeline arvuti Esimese generatsiooni arvuti See oli 30 * 50 jala suuruse ruumi suurune ja kaalus 30 t Arvutil oli 18000 vaakum elektronlampi mida kasutati arvutuste teostamiseks kiirusel 5000 tehet sekundis.
10. lvs lahendamine crameri peajuhul Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi, milles võrrandeid ja tundmatuid ühepalju m = n Moodustame võrrandisüsteemi kordajatest n-järku determinandi Determinanti D nim võrrandisüsteemi determinandiks Eeldame, et . Def Crameri peajuhu määravad tingimused ja m = n (2) Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks 2. Maatriksid: liitmine, arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine. Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Kuigi maatriks on iseenesest lihtsalt tabel, pakuvad maatriksid huvi eelkõige sellepärast, et maatriksi elementidega tehtavate tehete (liitmine ja
1.Skalaarid ja vektorid:Suurusi mille määramiseks piisab ainult arvväärtustest,nimetatakse skalaarideks. 18.Harmooniliste võnkumiste liitmine: -Kahe (aeg,mass,inertsimoment jne) Suurusi ,mida ühesuguse sagedusega(),samasihiliste,kuid erinevate iseloomustab arvväärtus(moodul) ja suund, nimetatakse amplituudidega ja algfaasidega võnkumise liitmisel on 31.Molekulaarkineetilise teoooria põhivõrrand: all vektoriks.1.Vektori korrutamine skalaariga: summaks jäle sama sagedusega harmooniline mõistetakse avaldist,mis seob gaasi molekulide 2.Vektorite liitmine: võnkumine.-Kahe samasihilise,kuid erineva sagedusega kineetilise energia gaasi rõhu ja ruumalaga.Molekulide 3.Vektorite skalaarne korrutamine: kahe vektori harmoonilise võnkumise liitmisel on tulemuseks keskmise kinetilise energia saame leida valemiga
Selle süsteemi põhiühikud on : meeter (m), kilogramm (kg) , sekund (s), amper (A), kelvin (K), kandela (cd) ja mool (mol). Skalaarid ja vektorid. Suurusi , mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest,nimetatakse skalaarideks. Näiteks: aeg , mass , inertsmoment jne. Suurusi , mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund , nimetatakse vektoriks. Näiteks: kiirus , jõud , moment jne. Vektoreid tähistatakse sümboli kohal oleva noolekesega v , F . Tehted vektoritega: 1. Vektori korrutamine skaalariga. av = av 2. Vektorite liitmine. v = v1 + v2 3.Vektorite skalaarne korrutamine. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari , mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. ( v1 v2 ) = v1· v2 = v1 v2 cos , kusjuures v1· v2 = v2· v1 4. Vektorite vektoriaalne korrutamine. Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne
Matemaatika on lõbus Kert Adams AUTORI EESSÕNA See raamat on mõeldud 2 klassile matemaatika treenimiseks.Seda võiks teha koos ema või isaga.Kõik ülesanded on järjestatud teemade kaupa,mis tähendab et kõik teemad tuleb läbi võtta.Juhul kui laps oskab juba nt 2 klassi liitmist ja käib 2 klassis,oleks tarvilik ikkagi algusest alustada,et laps materjali kinnistaks.Lisaks on veel ka iga natukese aja tagant kontrolltöö sarnased leheküljed kus all on hinde lahter kuhu vanem võib lapsele hinde panna ja iga teemal on ka osa punast teksti ,mis tähendab et see tuleb meelde jätta. HEAD LAHENDAMIST 2 KLASS KELL 1H = 60min 30min = pool tundi 15min = veerand tundi 45 min= kolmveerand tundi 1min = 60s TÄIDA TABEL KELL KELL KELL PRAEGU 30 MIN 1H PÄRAST PÄRAST 6.00 8.00 10.40 4.00 8.45 KIRJUTA LÜNKA SÕNAD ABI SAAD KELLAL...
Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad? Universaalhulk Hulkade ühisosa on hulkade korrutamine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on väiksem kui operanidideks olnud hulgad. Hulgaelementide loetelut esitatakse {loogsulgude vahel} Tühi hulk ja universaalhulk on iga hulga osahulkadeks Väär Hulka ennast tähistatakse tavaliselt suurtähega ja hulga elemente tähistatakse tavaliselt väiketähetedega. Hulkade esitamise viisid: Hulgaelementide täielik loetelu Hulgaelementide osaline loetelu, milles nähtub mingi regulaarne seaduspärasus Venni diagramm koos hulgaelementidega
(day == "Laupäev")? "Nädalalõpp" : "Mitte laupäev" TEHTED STRINGIDEGA. Aritmeetika- ja võrdlustehted. · Stringidele kehtivad mitmed aritmeetika ja võrdlustehted "Tere tulemast " + "meie tundi" Welcome = "Tere tulemast " Welcome += "meie tundi"; "The" == "he" Vastuseks false TEHETE PRIORITEEDID. Kõrgeim Sulud: (, ), [, ] Negatsioon (!, ~, -), suurendamine (++), vähendamine (--) Korrutamine, jagamine, moodul: *, /, % Liitmine, lahutamine: +, - Bitinihked: <<, >>, >>> Võrdsus: ==, != Võrdlused: <, <=, >=, > Bitikaupa välistav või (XOR): ^ Bitikaupa VÕI (OR): | Bitikaupa JA (AND): & Omistamine: =, +=, -=, *=, /=, %= Madalaim Koma (eristab funktsiooni Madalaim parameetreid) SUHTLEMINE KASUTAJATEGA.
SKRIPTIKEELED. Põhimõtted. Plussid/miinused. Erinevad skriptikeeled: Javascript on Netscape Communications Corporation'i poolt loodud kliendi-poolne (Client- Side) interpreteeritav objektorienteeritud programmeerimiskeel, mida kasutatakse koos HTMLiga veebilehtede koostamisel. Veebilehe laadimisel kuvab brauser selle vastavalt HTML-dokumendi tekstile ja täidab ka selles paikneva Javascripti programmi. Põhimõt e on HTML vormide valideerimiseks · interaktiivsuse tõstmiseks · dünaamilisuse tõstmiseks Javascript on lihtne ja tasuta Shellscript , JavaScript, VBA Skriptikeelte plussid Kiire loomistsükkel Lihtne õppida Platvormist sõltumatu Kompaktne ning suhteliselt kiire · Skriptikeelte miinused Piiratud funktsionaalsus (sisseehitatud vahendid) Kood avalikult nähtav Vähe töövahendeid (esialgu) JAVASCRIPT. Ajalugu. JavaScript loodi firma Netscape poolt 1995 aastal · Esmalt sai se...
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = , ...
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ...
Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a
Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad.
Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Answer: 5 Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Eitus on inversioon Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Küsimus 5 Osaliselt õige Hinne 0,50 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: implikatsioon distributsioon inversioon ekvivalents konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6
Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q P ainult siis, kui Q Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehted on binaarsed? Binaarsed tehted seovad kahte lauset, nendeks on konjuktsioon, disjunktsioon, ekvivalents ja implikatsioon. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehted on unaarsed? Unaarsed tehted on rakendatavad ühele lausele. Unaarseks on eitus. Milline aritmeetiline tehe vastab igale loogikatehtele? Konjuktsioon korrutamine. Disjunktsioon liitmine. Ekvivalents võrdumine. Implikatsioonile ei ole aritmeetikas analoogi. Millist loogikatehet nimetatakse loogikaliseks korrutamiseks? Millist loogikaliseks liitmiseks? Loogiline korrutamine on konuktsioon, liitmine on dusjunktsioon. Milline omavaheline seos on ekvivalentsil ja implikatsioonil? Ekvivalentsitehete mõlemad operandid on samaaegselt teineteise eelduseks ja järelduseks ehk P<->Q puhul P->Q ja Q<-P Millised on elementaarsed loogikatehted
X1=0011 esitus tähis X2=0101 olekutabel f0 konstantne OOOO Väljundis f0=0 null on signaal alati 0 f1 konjuktsioon OOO1 väljundis on f1=X1*X2 e. Loogiline 1, kui kõikides X1 korrutamine süsteemides on X2 & y e. NING sisendites 1 f2 X2 keeld OO1O väljund võrdub f2=X1* X2 sisendiga X1 kui X2=0. Korral & on väljundis 0 sõltumatult X1-st f3 X1 kordus OO11 f3=X1
Taandamine murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga ( 2-ga jaguvad paarisarvud; 3-ga jaguvad arvud, mille ristsumma jagub 3-ga; 5-ga jaguvad arvud, mis lõpevad 0 või 5-ga; 10-ga jaguvad arvud, mis lõpevad 0-ga) 18 9 3 18 3 Näide: = = taandatud kõigepealt 2-ga ja seejärel 3-ga või = taandatud 6-ga 24 12 4 24 4 Laiendamine murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama arvuga. Kasutame murdude võrdlemisel ja liitmisel-lahutamisel. 2( 4 8 3( 3 9 2 ( 4 3( 3 4 9 13 1 Näide: = < = või + = + = =1 3 12 4 12 3 4 12 12 12 12 Segarvude liitmine/ lahutamine täisosad liida/ lahuta omavahel, murdosad omavahel, need tuleb vajadusel teha ühenimelisteks. Lõpptulemus tuleb vajadusel taandada ja /või teisendada liigmurd segaarvuks
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku
18 9 (jagasime lugeja ja nimetaja 2-ga); näiteks = 16 8 2 6 2 (jagasime lugeja ja nimetaja 3-ga); = 9 3 3 b) murru laiendamisel (murru lugeja ja nimetaja korrutamisel ühe ja sama nullist erineva arvuga): 8 40 (korrutasime lugeja ja nimetaja 5-ga). näiteks = 15 75 Murdude korrutamine Murdude korrutiseks on murd, mille lugejaks on tegurite lugejate korrutis, ning nimetajaks tegurite nimetajate korrutis. 1 Näited 1) 5 3 5 3 5 = = . 12 4 12 4 16 4 2) 2 1 7 2 = 11 23 = 11 23 = 253 = 16 13 . 5 3 5 3 53 15 15 Murdude jagamine Murdude jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja ja jagaja
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7
3. KLASSI MATEMAATIKA TASEMETÖÖ Alus: haridus- ja teadusministri määrus nr 59 § 7, vastu võetud 17. septembril 2010. TASEMETÖÖ EESMÄRK Tasemetööga kogutakse informatsiooni põhikooli riikliku õppekava üld- ja valdkonnapädevuste kujunemise, läbivate teemade ning õppe- ja kasvatuseesmärkide saavutatuse ning kooliastme õpitulemuste omandatuse kohta. TASEMETÖÖ VORM JA AEG · Tasemetöö on kirjalik. · Tasemetöö koostatakse ühes variandis. · Tasemetöö korraldatakse neljandal õppeveerandil. TASEMETÖÖ KORRALDAMINE · Õpetaja tutvub tasemetöö ning selle korraldamise juhendiga üks tund enne tasemetöö algust. · Tasemetöö kestab ühe õppetunni ehk 45 minutit. Selle aja hulka ei arvestata õpilaste juhendamist, st õpilasele peab ülesannete lahendamiseks jääma vähemalt 45 minutit. · Tasemetöö on ühes variandis, s.t. valimisse kuuluvad õpilased peavad istuma pingis üksinda (soovitav eraldi ruumis) ja neil peab olema võimalus segamatult tö...
6. Kuidas toimub arvu ümardamine 2ndsüsteemis? 7. Kuimitut formaadist väljajäävat (formaati mittemahtuvat) 2ndjärku on vaja kasutada/arvestada 2ndsüsteemis ümardamisel? 8. Kas 2ndarvu murdosa on võimalik ümardada? 9. Kas 2ndarvu täisosa on võimalik ümardada? 10. Millisel juhul osutub ümardamine „ebaefektiivseks“ ehk samaväärseks mittemahtuvate järkude lihtsa „äralõikamisega“? ARITMEETIKA: LIITMINE ja KORRUTAMINE ERINEVATES ARVUSÜSTEEMIDES 1. Misjuhul tekkib liitmisel ülekanne kõrgemasse naaberjärku (liitmisel suvalises arvusüsteemis alusega p)? 2. Kuidas korrutamisel nimetatakse ühte tegurit ja kuidas nimetatakse teist tegurit? 3. Milline/kumb korrutatav 2ndarv on soovitav valida korrutajaks? 4. Mis on osakorrutis? 5. Kuidas paiknevad liidetavad osakorrutised üksteise suhtes, kui neid osakorrutisi on palju? 6
VILL Lambavill ainult see vill, mis on lambalt pügamise teel saadud. Meriinovill merinolambalt saadud, peenete ja elegantsete esemete jaoks. Tallevill saadud kuni 6 kuu vanustelt talledelt pügamise teel. Eriti pehme ja siidine. Angooravill angooraküülikutelt saadud vill. Kasmiirvill kasmiirkitselt saadud, kõige luksuslikum vill. Teda segatakse tihti mohäärvillaga, mis omakorda on pärit mohäärkitsedelt. See vill ei vildistu ja hoiab hästi soojust. Laama ja alpaka vastupidavad villad, mis pärinevad kaamelilt. Villa kasutatakse enamasti pealisriiete valmistamiseks, kuid angooravillane aluspesu parandab reumaatilisi vaevusi. Villa kasutatakse toorainena nii vildi, madratsipealsete, polstrite ja täitematerjalide kui ka mütside ja vaipade valmistamisel. Tänu karva kräsulisusele ja elastsusele hoiab vill soojust kõikidest tekstiilikiududest kõige paremini ja on seejuures temperatuuri tasakaa...
Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u*v= u * v *cos v u v cos 0°=1 u =180° v v . =90° u v cos 180°= -1
omadustega osahulkade hulk. Kolm tingimust: Ükski plokk pole tühi hulk Mistahes kaks plokki ei oma ühisosa. Kõikide plokkide ühend võrdub tükeldatud hulgaga. Tükeldust märgitakse kompaktsemal kujul P={{abe}{cd}}(P=Õpikus toodud näitega). Seega edaspidi kasutame tükeldusel P(Eeldatavsti sõnast Partition) Milliseid tehteid saab tükeldustega teha? Tükelduse jaoks on defineeritud 2 aritmeetilist tehet: liitmine ja korrutamine ning võrdlustehted <,>. Kas erinevate hulkade tükeldustega saab teha tehteid? Ei, omavahel liita,korrutada ja võrrelda saab ainult sama hulga tükeldusi. Mis on tükelduste korrutiseks või tükkelduste summaks? Korrutis: Tegurite plokkide ühisosad on korrutise plokkideks. Liitmine: Kui liidetavate tükelduste mingi plokkipaar omab ühisosa, siis nende kahe ploki ühend kuulub summas ühte plokki. Vt. näited lk 125-126 Millisel juhul on tükeldus mingist teisest tükeldusest väiksem?
(m,n)-maatriksit X-Y=X+(-Y) 46.maatriksi arvuga korrutamine- Reaalarvu ja mistahes mõõtmetega maatriksi korrutiseks nimetatakse maatriksit, mille elemendid saadakse maatriksi vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga. Tähiseks on nt. Kui korrutatakse maatriksit A 2-ga siis 2A a11 ⋯ a 1q 47.maatriksi korrutamine maatriksiga-maatriksite ( A= ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 ⋯ a pq ) ja ( ) ( )
Skalaarne suurus on selline suurus, mida saab avaldada ühe arvuga (pikkus, laius). Vektoriaalseks suuruseks nimetatakse sellist suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda (kiirus, jõud). Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. Vektorit iseloomustavad siht (kuidas vektor asetseb), suund (kummale poole vektor on suunatud) ja vektori arvväärtus. Vektoreid tähistatakse kas AB (nool peal) või a (nool peal). Kollinaarsed vektorid on samasihilised ehk paralleelsed, nende vastavad koordinaadid on võrdelised. Kollineaarseteks nimetatakse kaht vektorit u ja v, mille vahel kehtib seos u = kv, kus k on konstant. Jagunevad sama- ning vastassuunalisteks. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt ühtivad. Vastandvektoriteks nimetatakse vektoreid, mis on samasihilised, võrdse pikkusega aga vastandsuunalised. V...
Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u·v= u · v ·cos v u v cos 0°=1 u =180° v v . =90° u v cos 180°= -1
Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist Kui v ( a; b) u (c; d ) v u v (u ) (a; b) (c;d ) (a c; b d ) Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga Kui v = (m;n) ja k on reaalarv, siis kv = (km;kn) k >0 k <0 k = –1 k =0 Vektorite skalaarkorrutis u · v = u · v · cos v u v cos 0° = 1 u =180° v v . =90° u v cos 180° = –1
Ratsionaalarvude lahutamine Lahutamine on vastandarvu liitmine Ratsionaalarvude liitmine lahutamine on vastandarvude liitmine. Posiiivse arvu B vastandarv on -B Negatiivse arvu -B vastandarvuks on positiivne arv B Seega vastandarvu vastandarv on arv ise Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu Kahepunkti vaheline kaugus arvteljel Vähendatava ja vähendaja järjestuse muutmisel mmuutub vahemärk vastupidiseks ,ei muutu absoluutväärtus Ratsionaalarvude korrutamine Sama märgiliste arvude korrutamisel on korrutiseks positiivne arv Kahe arimärgilise arvude korrutamisel on korrutiseks negatiivne arv Mitme arvu korrutis Vahetavuse seadus ehk ommunikatiivsus Ühendavuse seadus ehk assotsiatiivsus Mitme 0-st erineva arvu korrutis on negatiivne kui negatiivseid tegureid on paarituarv ja positiivne kui negatiivseid tegureid on paarisarv Arvuaste Astendatav ehk astme alus on arv mille ise endaga korrutamisel teda antud arv korda saadakse aste
8.ristkülik 34. Kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega, siis need kolmnurgad on võrdsed 9.võrsed 10.Romb 11. kaht punkti 12. läbib keskpunkti 13. ringjoon 14. algarvuks 15. kordarv 16. naturaalarvu kordne 17.naturaalarvu tegur 18.lihtmurd 19.on murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga 20.on murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nulist erineva arvuga 21.nürinurk 22.teravnurk 23.kõrvunurkadeks 24.ühe 25.sama nurga 26.üksliikmete summa
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisar...
Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist Kui v ( a; b) u (c; d ) v u v (u ) (a; b) (c;d ) (a c; b d ) Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga Kui v = (m;n) ja k on reaalarv, siis kv = (km;kn) k >0 k <0 k = –1 k =0 Vektorite skalaarkorrutis u · v = u · v · cos v u v cos 0° = 1 u =180° v v . =90° u v cos 180° = –1
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! ,, -1" ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 a); -a 1= - (a + 1); a + 1= - (-a 1) II valemid: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, ük...
astendatakse. 24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26. Negatiivse astendaja puhul pöörame arvu ringi ehk tekib pöördarv. 27. Astendaja 0 puhul on ükskõik millise aluse väärtus 1. 28. Arvu standartkuju on , kus k kuulub hulka Z ja 1 29. Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 30. Korrutamine Jagamine 31. Juurimine Astendamine (, kui m kuulub hulka Z, siis a ei võrdu 0-ga) 32. Taandamine 33. Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. 34. Juurte koondamiseks nim 35. Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi.
1.Mis on kümnendsüsteemi esimesed neli numbrijärku? Üks Kümme Sada Tuhat 2.Mis on kahendsüsteemi esimesed viis numbrijärku? 1 01 10 11 001 3. Mis on neljandsüsteemi suurim ja väikseim arv? Väikseim 0 Suurim 3 4. Mis on kuueteistkümnendsüsteemi suurim ja väikseim arv? Väiksem 0 ja suurim 9 5. Teisenda kahendsüsteemist, kümnendsüsteemi. (Korrutamine 0ga ei ole välja toodud, kuna vastus ikka 0) 10112 = (1x23)+(1x21)+(1x20)=8+2+1=1110 1010112 = (1x25)+(1x23)+(1x21)+(1x10)=32+8+2+1=4310 11101112 = (1x26)+(1x25)+(1x24)+(1x22) +(1x21) +(1x20)=64+32+16+4+2+1=11910 101010102 =(1x27)+ (1x25)+ (1x23)+ (1x21)=128+32+8+2=17010 6. Teisenda kümnendsüsteemist kahendsüsteemi. 3710 = 37 I 2 I 1 18 I 2 I 0 9I2I1 4I2I0 2 I 2 I 1 =1001012 6310 = 63 I 2 I 1 31 I 2 I 1 15 I 2 I 1 7I2I1...
100 - (-10) =………….. -1 - 42 =…………………. 5093 - 6093 =………… -19 - 20 =…………….. 200 - 500 =…………………. -89 - (-3) =………………… 6 - 216 =……………… -4 - 40 =…………… 3 - (-419) = ……………… -79 - (-16) =………………. Kahe arvu korrutamine. 1) Arvuta. 4 · (-3) =…………… 90 · (-0,1) =…………… -2 · 7 =………………. -20 · 2,2 =………………….. -20 · (-5) =…………………. 5 · 10 =……………. -102 · 2 =………………… -25 · 0 =………………. -7 · (-7) =……………….. 96 · (-0,25) =…………………..
arvude korral. • Lahutame vaadeldava arvu täisarvust ja liidame ühe. Täisarvuks loeme vastavalt kas F, FF, FFFF, FFFFFFFF jne. 12. Milleks kasutatakse ASCII ja EBCDIC tabeleid? Tähemärkidele ja sümbolitele arvväärtuse andmist 13. Milline eelis on ujukoma arvudel võrreldes fikskoma arvudega? Saab esitada väga suuri või väga väikseid arve mõistlikumalt. 14. Liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine kahendsüsteemis ning liitmine, lahutamine ja korrutamine kuueteistkümnend süsteemis. Liitmine, 1+1 = 1 + carry bit Suuremast arvust väiksem: 1) Väiksem ehk teine number sama pikaks kui esimene. 2) Leia väiksema arvu teine täiend: 1) I täiend – 0->1 ja 1->0, 2) II täiend – liidame I täiendile 1. 3) Liidame (viimast carryt ei arvesta). Väiksemast arvust suurem: 1) Leiame suurema ehk teise numbri II täiendi. 2) Liidame saadud II täiendile väiksema numbri. 3) MSB nulliks.
Hariliku murru avaldamisel protsentides teisendatakse arv kümnendmurruks ja toimitakse nii nagu kümnendmurru puhulgi. Et protsendist saada arvu tuleb jagada protsent 100-ga. 2. Arvu leidmine Protsendi järgi 1) Ühe protsendi kaudu 20% on 90 9020=4,5 4,5100=450 2) Jagades osamääraga 9020100=450 3. Osa leidmine 1) Ühe osa kaudu 60% 240-st 240100=2,4 2,460=144 2) Osamääraga korrutamine =144 Tervik korrutatakse osamääraga ja tulemus jagatakse 100-ga 4. Jagatise väljendamine protsentides 8 16-st 816=0,5 05100=50 65 6-st 656=10,8(3)10,8 10,8100=1080% Esimene arv jagatakse teisega ja tulemus avaldatakse protsentides. 5.Sagedustabel Sagedustabel arvandmed korrastatud kujul Sagedus loendamisel saadud tulemus Suhteline sagedus näitab, kui suure osa moodustab antud sagedus 6
Valemid 5 Aritmeetikatehted Arv 1 Arv 2 Summa Vahe Korrutamine Jagamine Astendamine Protsent 23 65 88 -42 1495 0,35385 529 23,00% 45 47 92 -2 2115 0,957447 2025 45,00% 2 32 34 -30 64 0,0625 4 2,00% 3 5 8 -2 15 0,6 9 3,00%
True False Question 5 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Correct Mark 1 out of 1 Loogiline lahutamine on Loogiline korrutamine on Loogiline liitmine on Eitus on Järeldamistehe on Question 6 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi,
.. või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... Täisarv arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena. Liigmurd harilik murd, mille lugeja absoluutväärtus ei ole väiksem nimetaja absoluutväärtusest (NT 4/3). Lihtmurd harilik murd, mille lugeja absoluutväärtus on väiksem kui nimetaja absoluutväärtus (NT 3/4). Murru taandamine murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Murru laiendamine murru lugeja ja nimeraja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Nurk geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirge. Haarade vaheline nurk on 180 kraadi. Täisnurk sirgnurga poolitamisel saadud nurk, mis on võrdne oma kõrvunurkadega. Kõrvunurgad nurga ühe haara pikendamise saame 2 kõrvunurka, mille summa on 180 kraadi. Tippnurgad nurgad, millest ühe nurga haarad on teise haarade pikenduseks. Eva-Maria Pedosk 8A
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
