Mehaanika. Mehaaniline liikumine – keha asukoha muutumine ruumis mingi ajaühiku jooksul. Liikumise pidevus ruumis tähendab, et oma liikumisel peab keha läbima kõik trajektoori punktid. Liikumise on pidev ajas tähendab seda, et keha ei saa olla ühel ja samal ajahetkel kahes erinevas kohas. Punktmass – ühe punktina ettekujutatav keha, mille mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata. Punktmass on mudel. Punktmassina võime keha vaadelda siis, kui nihe on tunduvalt suurem keha mõõtmetest. Trajektoor – joon, mida mööda keha liigub Liikumise liigid : Trajektoori järgi a) Sirgjooneline b) Kõverjooneline c) Ringjooneline Kiiruse järgi a) Ühtlane liikumine – mistahes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused. b) Mitteühtlane liikumine Liikumise suhtelisus – erinevate taustkehade suhtes võib liikumine olla erinev. Teepikkus – iseloomustab keha liikumist, mõõdetakse mööda t...
Mehaanika. Mehaaniline liikumine keha asukoha muutumine ruumis mingi ajaühiku jooksul. Liikumise pidevus ruumis tähendab, et oma liikumisel peab keha läbima kõik trajektoori punktid. Liikumise on pidev ajas tähendab seda, et keha ei saa olla ühel ja samal ajahetkel kahes erinevas kohas. Punktmass ühe punktina ettekujutatav keha, mille mõõtmed jäetakse lihtsuse mõttes arvestamata. Punktmass on mudel. Punktmassina võime keha vaadelda siis, kui nihe on tunduvalt suurem keha mõõtmetest. Trajektoor joon, mida mööda keha liigub Liikumise liigid : Trajektoori järgi a) Sirgjooneline b) Kõverjooneline c) Ringjooneline Kiiruse järgi a) Ühtlane liikumine mistahes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused. b) Mitteühtlane liikumine Liikumise suhtelisus erinevate taustkehade suhtes võib liikumine olla erinev. Teepikkus iseloomustab keha liikumist, mõõdetakse mööda tra...
16 toodud ellipsi ülemine (x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri väärtustele t ∈ [0, π]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt füüsikas. Parameeter t tähistab seal enamasti aega. Näiteks esitab parameetiline joon ajas liikuvat punkti tasandil. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid. Nendeks on: sinh x = − hüperboolne siinus , cosh x = − hüperboolne koosinus , tanh x = sinh x/cosh x = − hüperboolne tangens , coth x =cosh x/sinh x = − hüperboolne kotangens . Hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel: sech x = = − hüperboolne seekant. csch x = = − hüperboolne koseekant . Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid. Nii nagu hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid,
(Sin a >0) a ×b =ab sin 2. Millal on kahe vektori vektorkorrutis negatiivne? a ×b =ab sin (Sin a <0) 3. Millal on kahe vektori skalaarkorrutis positiivne? kui on väiksem kui 90 kraadi (I ja IV veerand) 4. Millal on kahe vektori skalaarkorrutis negatiivne? kui on suurem kui 90 kraadi (II ja III veerand) 5. Millal on kahe vektori vektorkorrutis 0? Kui vektorid on paralleelsed 6. Millal on kahe vektori skalaarkorrutis 0? Kui koosinus on null ehk vektorid on risti 7. Nimetada SI-süsteemi põhiühikud. teepikkus meeter massiühik kilogramm ajaühik sekund elektrivoolu tugevus amper termodünaamiline temperatuur kelvin ainehulk mool valgusühik - kandela 8. Kirjutada kiiruse ühik põhiühikute kaudu kiirus = teepikkus/aeg (meeter/sekundiga) 9. Kirjutada kiirenduse ühik põhiühikute kaudu. a=1m/s2 10. Kirjutada sageduse ühik põhiühikute kaudu. 1 Hz = 1 / 1s 11
1 MERESÕlDUASTRONOOMIA OLEMUSEST Üldastronoomia käsitleb universumi ehitust, taevakehade omavahelist asendit, nende tegelikku liikumist ja püüab seletada universumis toimuvate protsesside põhjusi ning arengut. Meresõiduastronoomia tegevusalaks on taevakehade näiv liikumine, selle seos ajaga ja saadud tulemuste kasutanine navigatsioonis. Kokkuvõttes peab meresõiduastronoomia võimaldarna määrata laeva asukohta ja kompassiõiendit taevakehade järgi. Kuna meresõiduastronoomia põhiülesanded lahendatakse taevakehade näiva liikumise alusel, siis lähtutakse seisukohast, et kogu universum tiirleb ümber Maa.Võib-olla seepärast ei olegi meresõiduastronoomia teadusena kirikuga kunagi konflikti läinud. Päikesesüsteemi kuuluvate taevakehade liikumise vaatluse juures peab siiski arvestama tegelikku olukorda, et seletada nende koordinaatide muutumist taevasfääril. Meresõiduastro...
arkustangensfunktsioon: y = arctanx arkuskootangensfunktsioon: y= arccotx e x - e -x · Hüperpoolsed funktsioonid- hüperpoolne sinus: y=shx = 2 e x + e -x hüperpoolne koosinus: y = chx= 2 hüperpoolne tangens: y = thx hüperpoolne kootangens: y = cthx · Areafunktsioond - areasiinus: y = arshx areakoosinus: y = archx areatangens: y = arthx areakootangens: y = arcthx 4. Funktsiooni piirväärtuste ( lim x a f (x) = A ja lim x a f (x) = ± ) definitsioonid
. 347 trigonomeetria ja perioodilised Kuidas integreerib arvuti? ............................349 funktsioonid ...................................... 230 Ringliikumine ja trigonomeetria .................. 231 integraal ja tuletis ............................ 352 Kraadid ja radiaanid .....................................234 Algfunktsioon ja määramata integraal ........ 353 Koosinus, siinus ja elastne vedru* ................236 Algfunktsioon ja määratud integraal ...........354 Newtoni-Leibnizi seos .................................356 trigonomeetrilised avaldised ja nende teisendamine ........................ 240 trigonomeetriliste funktsioonide vahelised seosed .......................................241 kõik võngub* .................................
Vaatleme lihtsaimat juhtu, kus kehale massiga m mõjub konstantne jõud . Et asi lihtsam oleks, võtame taustsüsteemi, kus keha hetkel t=0 on paigal . Selline keha hakkab liikuma sirgjooneliselt (jõusuunalise kiirendusega) ja hetkeks t on tema kiirus: . Arvutame nüüd jõu poolt ajavahemiku t jooksul tehtud töö. Et liikumine oli jõu mõjumissuunas, on vektorite vaheline nurk null ja selle koosinus 1. Järelikult on töö A võrdne jõu F ja läbitud tee pikkuse s korrutisega. Viimase leiame valemist ja töö . Suuruse Ft leiame kiiruse valemist: ja asendame töö valemisse: . See töö kulus liikuma pandud keha energia suurendamiseks: juhul, kui keha seisis enne jõu mõjuma hakkamist paigal. Leitud suurust
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1...
Võnkumine on keha perioodiline liikumine tasakaaluasendi ümber. Võnkumisel mõjub kehale tasakaaluasendi poole suunatud jõud, mis tasakaaluasendile lähenemisel liikumist kiirendab, sellest asendist kaugenemisel aga pidurdab. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui võnkumine algab tasakaaluasendist (antakse tõuge). Koosinus esineb juhul, kui võnkumine algab maksimaalse hälbe asendist (keha lastakse sellest asendist lahti). Suurus Aon maksimaalne hälve, mida 25 nimetatakse amplituudiks. Suurust t nimetatakse faasiks. Faasi SI-ühikuks on radiaan. Faas näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel.
Normaalvektorid saame aga tasandite 1 ja 2 üldvõrranditest: Nendeks on Nüüd valemi (2) abil saame (4) Sama valem normaalvektorite koordinaatide kaudu Märgime, et saadud valem on kasutatav ka paralleelsete tasandite korral. Kui tasandid on normaalvektorid on ka paralleelsed, seega mingi arvu jaoks. Nüüd valemi (4) paralleelsed, siis nende vaheline nurk on 0, mille koosinus on 1. Teiselt poolt nende | · | | · | ||| · | järgi cos , | · || · | ||| · | 1.
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 5. Hüperboolsed funktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond e x - e-x Hüperboolne siinus y = sh x = X = Y = (- , ) 2 e x + e-x Hüperboolne koosinus y = ch x = X = (- , ) Y = [1, ) 2 Hüperboolne tangens y = th x = sh x / ch x X = (- , ) Y = (- 1,1) Hüperboolne kootangens y = cth x = ch x / sh x X = (- ,0 ) (0, ) Y = (- ,1) (1, ) y = sh x y = ch x y = th x y = cth x 6. Areafunktsioonid
sundiva jõu sageduse ning süsteemi omasageduse vahest. Kui see on null, on faasinihe ning amplituud maksimaalne: Vahelduvvoolu efektiivväärtused - Vahelduvvoolu efektiivväärtused on aktiivtakistusel R sama võimsuse P tekitavad alalisvoolu I väärtused (220 V ja 380 V). Loeng 16 Laine, ristlainetus, pikilainetus Laine on keskkonna osakeste võnkumine, milles osalevad osakesed ei muuda oma asukohta ja kus võnkefaas sõltub allika kaugusest (siinus või koosinus funktsiooni järgi). · Kui toimub osakeste (laine) võnkumine sihis üles-alla, siis on see ristlainetus. · Kui toimub osakeste (laine) võnkumine sihis vasakult-paremale, siis on see pikilainetus. * Osakesed ei muuda oma asukohta, sest nad liiguvad tagasi tasakaaluasendisse (ühed enne, seejärel teised). Tasalaine, keralaine Tasalaine on lainetus läbi tasapindade, kus osakesed liiguvad paralleelselt läbi nende pindade.
sundiva jõu sageduse ning süsteemi omasageduse vahest. Kui see on null, on faasinihe ning amplituud maksimaalne: Vahelduvvoolu efektiivväärtused - Vahelduvvoolu efektiivväärtused on aktiivtakistusel R sama võimsuse P tekitavad alalisvoolu I väärtused (220 V ja 380 V). Loeng 16 Laine, ristlainetus, pikilainetus Laine on keskkonna osakeste võnkumine, milles osalevad osakesed ei muuda oma asukohta ja kus võnkefaas sõltub allika kaugusest (siinus või koosinus funktsiooni järgi). · Kui toimub osakeste (laine) võnkumine sihis üles-alla, siis on see ristlainetus. · Kui toimub osakeste (laine) võnkumine sihis vasakult-paremale, siis on see pikilainetus. * Osakesed ei muuda oma asukohta, sest nad liiguvad tagasi tasakaaluasendisse (ühed enne, seejärel teised). Tasalaine, keralaine Tasalaine on lainetus läbi tasapindade, kus osakesed liiguvad paralleelselt läbi nende pindade.
Võnkumine on keha perioodiline liikumine tasakaaluasendi ümber. Võnkumisel mõjub kehale tasakaalu- asendi poole suunatud jõud, mis tasakaaluasendile lähenemisel liikumist kiirendab, sellest asendist kaugenemisel aga pidurdab. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui aja arvestus algab tasakaaluasendist. Koosinus esineb juhul, kui aja arvestus algab maksimaalse hälbe asendist. Suurus A on maksimaalne hälve, mida nimetatakse amplituudiks. Suurust t nimetatakse faasiks. Faasi SI-ühikuks on radiaan. Faas näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel. Faas muutub ajas lineaarselt, niisamuti nagu pöördenurk ühtlasel ringliikumisel
Võnkumine on keha perioodiline liikumine tasakaaluasendi ümber. Võnkumisel mõjub kehale tasakaalu- asendi poole suunatud jõud, mis tasakaaluasendile lähenemisel liikumist kiirendab, sellest asendist kaugenemisel aga pidurdab. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui aja arvestus algab tasakaaluasendist. Koosinus esineb juhul, kui aja arvestus algab maksimaalse hälbe asendist. Suurus A on maksimaalne hälve, mida nimetatakse amplituudiks. Suurust t nime- tatakse faasiks. Faasi SI-ühikuks on radiaan. Faas näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel. Faas muutub ajas lineaarselt, niisamuti nagu pöör- denurk ühtlasel ringliikumisel
11.1.INERTSIAALNE TAUSTSÜSTEEM EINSTEIN JA MEIE Albert Einstein kui relatiivsusteooria rajaja MART KUURME Liikumise uurimine algab taustkeha valikust leitakse mõni teine keha või koht, mille suhtes liikumist kirjeldada. Nii pole aga alati tehtud. Kaks ja pool tuhat aastat tagasi arvas eleaatidena tuntud kildkond mõtlejaid, et liikumist pole üldse olemas. Neid võib osaliselt mõistagi. Sest kas keegi meist tunnetab, et kihutame koos maakera ja kõige temale kuuluvaga igas sekundis umbes 30 kilomeetrit, et aastaga tiir Päikesele peale teha? Eleaatide järeldused olid muidugi rajatud hoopis teistele alustele. Nende neljast apooriast on köitvalt kirjutanud mullu meie hulgast lahkunud Harri Õiglane oma raamatus "Vestlus relatiivsusteooriast". Elease meeste arutlused on küll väga põnevad, kuid tõestavad ilmekalt, et palja mõtlemisega looduses toimuvat tõepäraselt kirjeldada ei õnnestu. Aeg on näidanud, et ka nn. terve mõistusega ei jõua...
Võnkumine on keha perioodiline liikumine tasakaaluasendi ümber. Võnkumisel mõjub kehale tasakaalu- asendi poole suunatud jõud, mis tasakaaluasendile lähenemisel liikumist kiirendab, sellest asendist kaugenemisel aga pidurdab. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui aja arvestus algab tasakaaluasendist. Koosinus esineb juhul, kui aja arvestus algab maksimaalse hälbe asendist. Suurus A on maksimaalne hälve, mida nimetatakse amplituudiks. Suurust t nimetatakse faasiks. Faasi SI-ühikuks on radiaan. Faas näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel. Faas muutub ajas lineaarselt, niisamuti nagu pöör- denurk ühtlasel ringliikumisel
7. Defineerime h¨ uperboolsed funktsioonid : h¨ uperboolne siinus def sh x = (ex - e-x )/2 (X = R Y = R) (kasutatakse samuti t¨ ahist sinh x, n¨aiteks paketis SWP), h¨ uperboolne koosinus def ch x = (ex + e-x )/2 (X = R Y = [1; +) ) 27 (paketis SWP cosh x), h¨ uperboolne tangens def th x = sh x/ch x (X = R Y = (-1; 1) (paketis SWP tanh x) ja h¨ uperboolne kootangens def cth x = ch x/sh x (X = R{0} Y = R [-1; 1])
close faili sulgemine 52 or loogiline liitmine 49 command AutoCAD-käsu täitmine 47 pause ooteaja organiseerimine 39 cond paljuharuline hargnemine 49 pi arv 3.1415926 39 cons listi ette elemendi lisamine 43 polar punkt polaarkoordinaatides 44 cos koosinus 41 princ info saatmine käsureale/faili 45 defun funktsiooni kirjeldamine 38 progn lausete järjend üheks lauseks 50 distance kahe punkti vaheline kaugus 44 prompt teksti kirjutamine käsureale 45 entlast viimasena loodud objekt 47 read andmete lugemine sõnest 52
x→0 x→0 x s.t. lim sinx x = 1. x→0 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 75 Arv π kui kahekordne koosinusfunktsiooni vähimast positiivsest π πnullkohast, defineeritakse alapeatükis 6.7. Selgub, et siinus on rangelt kasvav lõigus − 2 , 2 ja koosinus on rangelt kahanev lõigus [0, π]. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid h π πi arcsin : [−1, 1] → − , , arccos : [−1, 1] → [0, π] 2 2 ning π π arctan : R → − , , arccot : R → (0, π)
faasis olevast voolust ees nihkenurga võrra. Tavaliselt öeldakse vastupidi: vool jääb pingest nurga võrra maha. Nihkenurk saab olla vahemikus 0° (kui induktiivsus puudub) kuni 90° (kui aktiivtakistus on induktiivtakistusega võrreldes kaduvväike). Vahelduvvoolutehnikas kasutataksegi induktiivsuse osatähtsuse iseloomustamiseks voolu- ja pingevektori vahelist nurka , mis on ühtlasi klemmipinge- ja aktiivpingevektori vaheline nurk. Sagedamini kasutakse mõistet koosinus fii Ua cos = . U Ua aktiivpinge voltides (V) U klemmipinge voltides (V) Takistuskolmnurk Kui pingekolmnurga kõik küljed vooluga I läbi jagada, saadakse pingekolmnurgaga sarnane takistuskolmnurk. Eelnevast on teada, et Ua = r on aktiivtakistus, I UL = x L on induktiivtakistus. I Takistuskolmnurga kolmas külg hüpotenuus tähistatakse tähega z ja kannab nime näivtakistus. 89
24. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja muutumispiirkond Y = (-; ). y 4 2 -2 2 x -2 -4 Joonis 1.24: h¨ uperboolne siinus y = sh x H¨ uperboolne koosinus y = ch x on defineeritud kui ex + e-x ch x = . 2 H¨ uperboolse koosinuse graafik on joonisel 1.25. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = (-; ) ja nmuutumispiirkmond Y = [1; ). H¨uperboolse siinuse ja koosinuse jaoks kehtib rida analoogilisi seoseid, mis on tuttavad trigonomeetriliste siinuse ja koosinuse korral. · ch2 x - sh2 x = 1;
asin, asinl arvutab arkussiinust atan, atanl arvutab arkustangensit Programmeerimise algkursus 76 - 89 atan2, atan2l arvutab arkustangensit Bessel arvutab Besseli funktsiooni _cabs, _cabsl leiab kompleksarvu absoluutväärtuse ceil, ceill leiab ümardatud täisarvu cos, cosl arvutab koosinuse cosh, coshl arvutab koosinus hüperbolicuse div jagab täisarve ning tagastab tulemuse ja jäägi exp, expl arvutab eksponenti fabs, fabsl leiab absoluutväärtuse fmod, fmodl leiab reaalarvulise jäägi frexp, frexpl arvutab eksponenti log, logl arvutab naturaallogaritmi log10, log10l arvutab 10-nendlogaritmi _matherr, _matherrl käsitleb veasituatsioone
& loogiline "ja", konjuktsioon arcsin x arkussiinus v loogiline "ja", konjuktsioon arctan x arkustangens w loogiline "või", disjunktsioon const konstant Y järeldub, "kui ..., siis" cos x koosinus ¬ loogiline eitus, "pole tõsi, et" cot x kootangens > eksisteerimine, olemasolu ctg x kootangens oe iga (element, objekt), üldsus exp x eksponentfunktsioon lim f funktsiooni või jada piirväärtus Tuletised ja integraalid
on väljavõte aritmeetilistest funktsioonidest: acos, acosl arvutab arkuskoosinust asin, asinl arvutab arkussiinust atan, atanl arvutab arkustangensit atan2, atan2l arvutab arkustangensit Bessel arvutab Besseli funktsiooni _cabs, _cabsl leiab kompleksarvu absoluutväärtuse ceil, ceill leiab ümardatud täisarvu cos, cosl arvutab koosinuse cosh, coshl arvutab koosinus hüperbolicuse div jagab täisarve ning tagastab tulemuse ja jäägi exp, expl arvutab eksponenti fabs, fabsl leiab absoluutväärtuse fmod, fmodl leiab reaalarvulise jäägi frexp, frexpl arvutab eksponenti log, logl arvutab naturaallogaritmi log10, log10l arvutab 10-nendlogaritmi _matherr, _matherrl käsitleb veasituatsioone
Võnkumiste korral nimetatakse sagedusele vastavat suurust ring- ehk nurksageduseks, kuigi tähistus on sama kui nurkkiirusel. Ringsagedus näitab ajaühikus raadiuse poolt läbitud nurka (faasinurka) radiaanides. Kuna iga pöördega kaetakse raadiuse poolt nurk 2 radiaani, siis kehtib ka seos =2f. Faasi saab avaldada mitmeti ja seepärast võib harmoonilise võnkumise võrrandil olla mitu kuju. x = x0 sin2ft või x = x0 sin2t/T . Siinuse asemel võib funktsiooniks olla ka koosinus, kui aega hakata lugema amplituudasendist: x = x0 cost . Harmooniliselt võnkuva keha kiirus v = dx/dt ; x = x0sint; dx/dt = x0cost , v = x0cost. Kiirendus a = dv/dt = 2x0sint = 2x, a = 2x. Muuseas, igasugust perioodilist funktsiooni sagedusega saab esitada harmooniliste võnkumiste summana, mille sagedused on , 2, 3, .....n, valides sobivalt amplituude xn ja algfaase. (Fourier' teoreem) k x = x n sin( n t + n ) n =1 Vt Fyysika.ee 11.09.2008 Fourier ridade simulatsioon 9
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
