massiga m liikuma kiirusega v. Ek=mv2/2=Iω2/2 5. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand – Moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi I ja nurkkiirenduse ε korrutisega. M=Iε. Pöörleva keha energia Wk=Iω2/2. 6. Harmooniline võnkumine – Võnkumiseks nim. protsesse, milledel on iseloomulik teatud korduvus. Harmooniline võnkumine on protsess, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukonta kirjeldav koordinaat x muutub ajas siinus või koosinus funkt. järgi. x=A0·sin(ωt+φ0). 7. Lained – laineks nimetatakse võnkumise ruumislevimise protsessi 8. Akustika – käsitleb elastsuslaineid, millised asuvad sageduste vahemikus 20HZ kuni 20 kHz. Akustika on füüsika osa, mis käsitleb häält ning tema seost teiste füüsikaliste nähtustega. Helid jaotatakse: lihthelid, liithelid ja mürad. Heli minimaalset intensiivsust e. tugevust nimetatakse kuuldeläveks. Valulävi I=10W/m2 9
TRIGONOMEETRIA VALEMILEHT 10. KLASS Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel 3 0° 30° 45° 60° 90° 180°() 270° 6 4 3 2 2 1 2 3 sin 0 1 0 -1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 -1 0 2 2 2 3 tan 0 1 3 puudub 0 puudub 3 3 cot ...
0 x Perioodi arvutamise valem: 2 T = 0 66. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage füüsikalise pendli perioodi arvutamise valem. 67. Kasutades füüsikalise pendli perioodi arvutamise valemit, tuletage matemaatilise pendli võnkumise võrrand. 68. On antud sumbuva võnkumise võrrand. Ilmutage siit sumbuvustegur ja defineerige see. Mis on sumbuvuse logaritmiline dekrement? võtame x', kus koosinus on üks: Sumbuvustegur näitab amplituudi kahanemist ajaühikus. <- Logaritmiline dekrement näitab amplituudi kahanemist ühe perioodi jooksul. 69. Graafikul on kaks resonantskõverat. Kumb sumbuvustegur on suurem? Mida tähendab A0? Mis on resonants? A 2 1 A0 0,5 1 1,5 2,5 0 1 > 2
1.Skalaarid ja vektorid-Suurused (ntx aeg ,mass,inertsmom),mis on määratud üheainsa arvu poolt. Seda arvu nim antud füüsikalise suuruse väärtuseks.Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (ntx jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted:a)vektori * skalaariga av = av b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on vektor,mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sin korrutisega,siht on risti tasandiga,milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 2.Ühtlaselt muutuv kulgliigumine-Ühtlaselt muutuva kulgliikumise korral on konstandiks kiirendus (a=const);Vt=V0+at;S=V0t+at2/2; v= 2as . Vt tegelik kiirus , v - kiirus, a kiirendus, t - aeg, s pindala.Kul...
tan = cos cos cot = sin 1 1 + tan 2 = cos 2 1 1 + cot 2 = sin 2 · Nurkade summa ja vahe, kahekordse siinus, koosinus ja tangens sin ( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan ( ± ) = 1 tan tan sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 = 1 - 2 sin 2 = 2 cos 2 -1 2 tan tan 2 = 1 - tan 2
teise punkt. Jõurööpküliku aksioom- keha seisundit muutmata võib kaks tema mingis punktis rakendatud jõudu asendada resultandiga , mis võrdub jõudude geomeetrilise summaga. Mõju ja vastumõju aksioom(Newtoni III seadus)- kaks keha mõjutavad teineteist võrdvastupidiste jõududega , millel on ühine mõjusirge. Jäigastumise aksioom- deformeeruva keha tasakaal ei muutu , kui lugeda keha deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks. Suunakoosinus- koosinus nurgast , mis asub telja ja vektori positiivse suundade vahel. Sidemed-igasugune liikumise tõke. Keha ja sideme vahel tegutsevad vastastikused mõjujõud. Sidemereaktsioon- jõud , millega side mõjub kehale. Need reaktsioonid tekivad ainult siis kui mingi muu jõud püüab keha liikuma panna. Liikuma panevad jõud on aktiivsed, aktiivsetest jõududest sõltuvad sidemereaktsioonid on aga passiivsed.
Jõud, jõumoment, vastasmõju, olek Jõud on suurus, mille abil kirjeldatakse kehade vastasmõju. Jõumomendiks M = F · l nimetatakse jõu F ja tema õla pikkuse l korrutist; jõu õlg on võrdne jõu mõjumissihi kaugusega pöörlemisteljest. Vastasmõju ei tähenda midagi enamat kui vastastikust ("sina mulle - mina sulle") mõjustamist. Füüsikas on vastasmõju tagajärjeks oleku muutus. Oleku all mõistame keha kirjeldavate parameetrite väärtuste (täielikku) komplekti 2. Tasakaalu tingimused Keha on tasakaalus parajasti siis, kui: a) temale mõjuvate jõudude summa on null; b) temale mõjuvate jõumomentide summa on null. 3. Kiirus; kiirendus, normaalkiirendus; tangentsiaalkiirendus Liikumisvõrrandi esimest tuletist aja järgi nimetatakse kiiruseks. See näitab, kui kiiresti liigub keha antud ajahetkel. Liikumisvõrrandi teist tuletist aja järgi (kiiruse esimest tu...
koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´ (1/x)´=-1/x² (uv)´=u´v+uv´ c´=0 (u/v)´=u´v-uv´/v² x´=1 (x)=1/2x n n-1 (x)´=n x x Liitfunktsioon e
Dimensioonita suurus. Kõige paremini neelavad taimelehed sinises ja punases piirkonnas. Lehtede kaldenurkade ja orientatsiooni jaotus mis nurga all lehed paiknevad, nt okaspuul paiknevad nooremad okkad ladva pool. Lehe pinnanormaali kaldenurk ja lehe pinnanormaali asimuut. G=0.5 sfääriline orientatsioon, G=cos0 horisontaalsed lehed, G = 2/pii sin0 vertikaalsed lehed. Katvus ja läbipaistvus - Läbipaistvus kõrgusel z ja suunas 0, ekponentsiaalne funktsioon, lehepinnaindeks, koosinus kalde all teepikkus suureneb. Katteväärtus e katvus kui suur osa maapinnast on taimedega kaetud KV = 1 a(0,0) Metsas on analoogiline suurus LIITUS e võrade katvus. Võrade liitus ja võrastiku liitus erinevus on kattuvate võrade arvestamise, võrastiku liituse arvutamisel arvestatakse vaid ühekordselt, võrade katvusel nii palju kordi kui on kattuvaid võrasid. Nt LIDAR 3D puu struktuuri mõõtmiseks; Saab määrata puude kõrgust ja katvust.
Koosinusteoreem lahendada kaks kolmnurka. a2=b2+c2-2bc*cos Nürinurgast on b2=a2+c2-2ac*cos miinusega. Kõige suuremale küljele vastab kõik pikem külg jne. c2=a2+b2-2ab*cos 30o 45o 60o 90o Siinus on + I ja II veerandis sin 1/2 2/3 3/2 1 Koosinus on + I ja IV veerandis Tangens on + I ja III veerandis cos 3/2 2/2 1/2 0 tan 3/3 1 3 - II veerand: 180o antud nurk III veerand: antud nurk - 180o cot 3 1 3/3 - IV veerand: 360o antud nurk sin(± ) = sincos±cos sin cos(± ) = coscos sinsin
Tõestamine vastuväiteliselt öeldakse, et esitatud väide ei kehti. Eeldusest ja väite eitusest lähtudes teisendatakse võrratust seni, kuni jõutakse vastuoluni eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis
KINEMAATIKA ALUSED Kulgliikumise kinemaatika- Kulgliikumisel jääb iga kehaga jäigalt ühendatud sirge paralleelseks iseendaga. Sirgjooneline liikumine - Keha liikumise tegelik tee on trajektoor. Nihkvektoriks s¯ nimetame keha liikumise trajektoori alg-ja lõpppunkti ühendavat vektorit.Olgu nihe ∆S¯ ajavahemikku ∆t jooksul,siis kiirusvektor: V¯=lim ∆S¯/∆t=dS¯/dt Kui kiirus ajas ei muutu,siis diferentsiaale ei kasutata ning vektorseosed kattuvad skalaarseostega,sest on tegemist sirgjoonelise liikumisega.Järelikult on ajaühikus läbitud teepikkus võrdne kiirusega ühtlasel sirgliikumisel: V=S/t Ja aja t jooksul läbitud teepikkus on siis vastavalt S=Vt. SI süsteemis on kiiruse mõõtühikuks m/s. Ühtlane ringliikumine - Ühtlase ringliikumise korral on nii joonkiirus kui nurkkiirus konstantsed.ω-nurkkiirus ω=φ’ ω=φ/t f-sagedus T-periood f=l/T=ω/2Π V=Rω an=v2/R an- normaalkiirendus. Ühtlaselt muutuv ringliikumine - Nurkkiirus pole konstantne sellepä...
SIN(a) SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
Amplituud on maksimaalne kaugus tasakaalu asendist - 0 . Võnkeperiood on täisvõnke sooritamiseks kulunud aeg –T. 3. Harmoonilised võnkumised, harmooniliste võnkumiste faas. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui võnkumine algab tasakaaluasendist (antakse tõuge). Koosinus esineb juhul, kui võnkumine algab maksimaalse hälbe asendist (keha lastakse sellest asendist lahti). Faas on tsüklilise protsessi hetkeseisund. Näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel. Faas muutub ajas lineaarselt, niisamuti nagu pöördenurk ühtlasel ringliikumisel. Faasi muutumise kiirust nimetatakse ringsageduseks
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
Kasutame kolmnurga pindala valemit kahe külje ja b nendevahelise nurga kaudu bc sin 25 6 sin 4 S 60 sin . 2 2 5 c Nüüd kasutame puuduva külje leidmiseks koosinusteoreemi. Leiame esmalt nurga koosinuse. Kuna tegemist on nürinurgaga, siis on koosinus negatiivne. 2 4 3 cos 1 sin 1 . 2 5 5 Koosinusteoreemist 3 a 2 b 2 c 2 2bc cos a 2 25 2 6 2 2 25 6 841 a 29cm . 5 Vastus
tüüpi väärtuse (näiteks π väärtuse). • Funktsiooni esitusviis on üldiselt Funktsioon(argument1, argument2, ...), kus argumendid on funktsiooni tööks vajalikud sisendandmed. • Funktsiooni argumendiks võib olla ka avaldis, mis omakorda sisaldab funktsioone. • ? Pi() Aritmeetikafunktsioonid • abs(N) - absoluutväärtus • acos(N) - arkuskoosinus • asin(N) - arkussiinus • atan(N) - arkustangens • cos(N) - koosinus • dtor(N) – kraadid radiaanideks • exp(N) – eksponentfunktsioon • int(N) – täisosa arvust N on siin mistahes arvuline väärtus või arvtüüpi avaldis Vaadake ka slaidi Tähistused andmetüüpidele Aritmeetikafunktsioonid • log(N) – naturaallogaritm • log10(N) – kümnendlogaritm • pi() – 3.14159... • rand() – ühtlase jaotusega juhuarv • round(N1,N2) – ümardab arvu N1 jättes N2 kümnendkohta
1.Skalaarid ja vektorid - Suurused (ntx aeg ,mass,inertsmom),mis on määratud üheainsa arvu poolt. Seda arvu 3.Ühtlaselt muutuv ringliikumine - Nurkkiirus pole konstantne sellepärast et on olemas nurkkiirendus ,mille nim antud füüsikalise suuruse väärtuseks.Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (ntx jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted: a) vektori * skalaariga av-=av-- b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektor on nurkkiiruse vektoriga samasuunaline e aksiaalvektor. ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.2 Kompleksarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.4 Tehted kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 15.5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 15.6 Siinus ja koosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 15.7 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16 Kompleksarvu juured. Eksponentkuju 145 16.1 Kompleksarvu n-astme juured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16.2 Kompleksarvu eksponentkuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
................................................................... 24 Seosed ühe ja sama nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel.........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus................................................................................. 26 Kahe nurga summa ja vahe tangens................................................................................... 26 Taandamisvalemid..................................................................................................................26 Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid............................................................... 27
tan 150° = tan(180° – 30°) = – tan 30°, sest 150° on teise veerandi nurk sin 1200° = sin (3 · 360° + 120°) = sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60°, sest 120° on teise veerandi nurk. © Allar Veelmaa 2014 17 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHE NURGA SUMMA JA VAHE SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS Kui on teada kahe nurga x ja y siinus, koosinus ja tangens, siis saab leida ka sin( x y ) cos(x y ) tan(x y ) Järgmiste valemite abil on võimalik lihtsustada trigonomeetrilisi avaldisi ja leida ka mõningate nurkade siinuse, koosinuse või tangensi täpset väärtust. sin(x y ) sin x·cos y cos x·sin x cos(x y ) cos x·cos y sin x·sin y tan x tan y tan(x y ) 1 tan x·tan y Näide: Leiame sin 105° täpse väärtuse.
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] …) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid a - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk s näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718… on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718…). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavaldis (erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega
52) A1 cos( 01t ) + A2 cos( ( 02 + )t ) Kasutame kahe nurga summa siinuse ja koosinuse valemeid: 14 sin( ( 01 + ) t ) = sin( 01t ) cos( t ) + cos( 01t ) sin( t ) cos( ( 01 + ) t ) = cos( 01t ) cos( t ) - sin( 01t ) sin( t ) . (7.53) on väga väike, mistõttu tema koosinus võrdub ligikaudu ühega ja siinus erineb väga vähe nullist. Seetõttu võib süsteemi (7.53) mõlemas valemis paremal pool jätta ära teise liidetava ja selliselt toimides saame valemi (7.52) viia kujule sin ( 01t ) tan = = tan ( 01t ) . cos( 01t ) Siis peab olema liitvõnkumise faas = 01t . Järelikult tekib liitvõnkumine sagedusega 01 ja tema amplituud muutub sagedusega . Niisugust nähtust nimetatakse tuiklemiseks. 7.6 Sundvõnkumine
vahelise kauguse ( l ) ruuduga. I = I + m 10. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand Mz = Iz Moment telje z suhtes võrdub keha inertsmomendi ( I ) ja nurkkiirenduse ( ) korrutisega. Pöörleva keha energia. Wk = I /2 11. Harmooniline võnkumine Harmooniline võnkumine on protsess, kus punktmass liigub mõõda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat (x) muutub ajas sinus või koosinus funktsiooni järgi. x = A0sin(t +0) 12. Matemaatiline pendel On kaajutu ja venimatu mass. Matemaatiliseks pendliks nimetatakse väikeste mõõtmetega keha, mis on riputatud venimatu ja väga väikese massiga niidi otsa. Kui niit on vertikaalne, siis tasakaalustab kuulikesele mõjuv niidi elastsusjõud raskusjõu . See pendli asend on tasakaaluasend. Väikeste kaldenurkade korral on matemaatilise pendli liikumise kiirendus võrdeline hälbega tasakaaluasendist . Siit võib järeldada, et
1.*** Mida uurib klassikaline füüsika ja millistest osadest ta koosneb? Mis on täiendusprintsiip? Mis on mudel füüsikas? Tooge kaks näidet kursusest. Uurib aine ja välja omadusi ja liikumise seadusi. Klassikaline füüsika koosneb staatikast, kinemaatikast ja dünaamikast. Niels Henrik David Bohr (1885 1962, Taani, Nobeli preemia 1922): Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue teooria piirjuhtum. Nii on omavahel seotud erinevad valdkonnad. Puudub kindel piir valdkondade vahel. Mudel on keha või nähtuse kirjeldamise lihtsustatud vahend, mis on varustatud matemaatilise tõlgendusega. näiteks: punktmass, ideaalse gaasi mudel, absoluutselt elastne keha, ainepunkt. 2.Mis on mateeria ja millised on tema osad? Mis on ruum ja aeg? Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras. ...
x- hälve x0- amplituud w0- ringsagedus wot+j- faas j- algfaas cos on perioodiline funktsioon perioodiga T 2 1 t + 2 T= = t +T = 0 0 0 + 0 (t + T ) = 0t + 2 + 33. On antud sumbuva võnkumise võrrand. Ilmutage siit sumbuvustegur ja defineerige see. Mis on sumbuvuse logaritmiline dekrement? Graafikul on kaks resonantskõverat. Kumb sumbuvustegur on suurem? Mida tähendab A0? Mis on resonants? x = xmax e - t cos t võtame x', kus koosinus on üks: Sumbuvustegur näitab amplituudi kahanemist ajaühikus. <- Logaritmiline dekrement näitab amplituudi kahanemist ühe perioodi jooksul. A0 on amplituud sel juhul, kui välist jõudu ei ole. x = x0 cos 0t 0 = const 34. Kujutage alljärgnev võnkumine vektordiagrammina. 35. Lähtudes alljärgnevatest valemitest , tuletage tuiklemise võrrand. 36. Mis on laine, ristlaine, pikilaine, lainefront, samafaasipind?
Elementaarmatemaatika 1. Teooria Mõistete definitsioonid; selgitavad joonised, tekstid 1. Arvuhulga järjestatus- Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a > b , a = b või a
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 27. Defineerida hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. (lk 20) Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolsed funktsioonid on eksponentfunktsiooni abil määratletud funktsioonid, mis on analoogsed trigonomeetriliste funktsioonidega. Trigonomeetrilised funktsioonid on elementaarfunktsioonid siinus, koosinus, tangens, kootangens, seekans ja kooseekans, mille argument on geomeetriliselt tõlgendatav ühikringjoone kaarepikkusena või vastava kesknurgana. 28. Kirjeldada funktsiooni esitust ilmutatud kujul ja ilmutamata kujul. (lk 21) Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. näiteks y = x 2 − x
Keskkonnafüüsika Mehhaanika Füüsikaline suurus kirjeldab mingi nähtuse või objekti omadust Füüsikalisel suurusel on nimi, nt pikkus, kiirus. Peab olema mõõdetav, omab mõõtühikut. Kokkuleppelised. (SI süsteem) Rahvusvaheline mõõtühikute süsteem, milles on 7 põhiühikut ◦ Pikkusühik – 1 meeter (m) ◦ Massiühik – 1 kilogramm (kg) ◦ Ajaühik – 1 sekund (s) ◦ Voolutugevuse ühik – 1 amper (A) ◦ Temperatuuri ühik – 1 kelvin (K) ◦ Ainehulga ühik – 1 mool (mol) ◦ Valgustugevuse ühik – 1 kandela (cd) Mehaanika harud: Kinemaatika – kehade liikumine ruumis. Dünaamika – kehade liikumist põhjustavate jõudude käsitlus. Staatika – tasakaalus olevad kehad. Ühtlane sirgjooneline liikumine: Liikumine sirgel, mille korral mis tahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused Mõisted: asukoha muutus (läbitud teepikkus) ∆x, aeg ∆t, kiirus v. Ühtlase kiirendusega liikumine: Liikumine, mille kiirus muutub mis tahes võrdset...
3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus = ; cos = , cos = a hüpotenuus c c vastaskaatet a b Teravnurga tangens = ; tan = , tan = b lähiskaatet b a lähiskaatet b a
SQRT(a) SUM(ap1 [ ; ap2 ] ...) TAN(a) TRUNC(a) unktsioonid - arvavalis(erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk näidatud argumendid ei ole kohustuslikud Absoluutväärus Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 Arkustangens radiaanides. Koosinus. Argument radiaanides Teisendab radiaanid kraadideks Eksponent: e^a, kus e=2,718... on naturaallogaritmi alus Faktorial: a!. 0<= a <= 170 Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Lahtriplokis asuva maatriksi deteminant
Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus ; cos , cos a hüpotenuus c c vastaskaatet a b Teravnurga tangens ; tan , tan b lähiskaatet b a lähiskaatet b a
= 1 ( tan y ) 1 1 + tan y 1 + x 2 2 cos y ( arctan x ) = 1 1+x 22. Hüperboolsed funkts ja nende tuletised: 1. Hüperboolne siinus: def: shx = (e astm x e astm x)/2; (X=R Y=R). 2. hüperb koosinus: def: chx = (e astm x + e astm x)/2 ; (X=R Y=[1;+)). 3. hüperb tan: def: thx = shx/chx (X=R Y=(-1;1) 4. hüperb cot: def: cthx = chx/shx (X=R{0} Y=R[-1;1]). Tuletised: 1. (shx)' = ((e astm x e astm x)/2)' = (e asmt x + e astm x)/2 = chx 2. (chx)' = (( e astm x + e astm x)/2)' = (e astm x e astm x)/2 = shx 3. (thx)' = (shx/chx)' = (chx*chx-shx*shx)/ch ruut x = [ch ruut x sh ruut x = 1] = 1/ch ruut x. 4. (cthx)' = (chx/shx)' = (shx*shx-chx*chx)/sh ruut x = -1/sh ruut x.
Võnkumine on keha perioodiline liikumine tasakaaluasendi ümber. Võnkumisel mõjub kehale tasakaaluasendi poole suunatud jõud, mis tasakaaluasendile lähenemisel liikumist kiirendab, sellest asendist kaugenemisel aga pidurdab. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui võnkumine algab tasakaaluasendist (antakse tõuge). Koosinus esineb juhul, kui võnkumine algab maksimaalse hälbe asendist (keha lastakse sellest asendist lahti). Suurus A on maksimaalne hälve, mida nimetatakse amplituudiks. Suurust t nimetatakse faasiks. Faasi SI- ühikuks on radiaan. Faas näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel. Faas muutub ajas lineaarselt, niisamuti nagu pöördenurk ühtlasel ringliikumisel
2. var ruutjuur = Math.sqrt(81); 3. document.write(ruutjuur); 4. Objekti Math meetodid · Math.abs(a) - absoluutväärtus · trigonomeetrilised pöördfunktsioonid; tulemus radiaanides o Math.acos(a) o Math.asin(a) o Math.atan(a) · Math.ceil(a) - vähim täisarv, mis on argumendist suurem või võrdne · siinus, koosinus või tangens, sulemus radiaanides o Math.cos(a) o Math.sin(a) o Math.tan(a) · Math.exp(a) - naturaallogaritm · Math.floor(a) - suurim täisarv, mis on argumendist väiksem või sellega võrdne · Math.log(a) - kümnendlogaritm · Math.max(a,b) - kahest argumendist väljastatakse suurim · Math.min(a,b) - kahest argumendist väljastatakse suurim · Math
l 0 f ( x ) sin l xdx ; f ( x ) n =1 bn sin l x Suvaliste funktsioonide Fourier´ ridadest Sisalduvad üldsiselt nii cos kui ka sin. Kui tahame arendist saada(0,l) on võimalik saada koosinus rida või sinus rida. 1. kui defineerime abifunktsiooni : F(x) { f(x), 0xL { -f(x), -Lx0 paarisfunktsioon F(x) esitub koos koosinusreana Nt: F(x)= x- x2/ 2, [0,2] 14
Võttes kokku need kaks võrrandit saame süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T 1,T2], näeb süsteem välja järgmine: Võrrandeid nimetatakse f-n y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graafikuks. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid: Hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid on: , hüperboolne siinus , hüperboolne koosinus , hüperboolne tangens , hüperboolne kotangens Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: x = arsinh y areasiinus, x = arcosh y areakoosinus, x = artanh y areatangens, x = arcoth y areakotangens. Nii hüperboolsed triginomeetrilised funktsioonid, kui ka areafunktsioonid on elementaarfunktsioonid. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on
Võnkumine on keha perioodiline liikumine tasakaaluasendi ümber. Võnkumisel mõjub kehale tasakaaluasendi poole suunatud jõud, mis tasakaaluasendile lähenemisel liikumist kiirendab, sellest asendist kaugenemisel aga pidurdab. Harmoonilise võnkumise korral muutub keha hälve (kõrvalekalle) tasakaaluasendist x ajas siinus- või koosinusseaduse kohaselt: x = A sin t või x = A cos t. Siinusega on tegemist juhul, kui võnkumine algab tasakaaluasendist (antakse tõuge). Koosinus esineb juhul, kui võnkumine algab maksimaalse hälbe asendist (keha lastakse sellest asendist lahti). Suurus A on maksimaalne hälve, mida nimetatakse amplituudiks. Suurust t nimetatakse faasiks. Faasi SI-ühikuks on radiaan. Faas näitab, millises seisundis võnkuv keha parajasti on. Faasi mõõtmine nurga kaudu põhineb sarnasusel võnkumise ja ringliikumise (pöörlemise) vahel. Faas muutub ajas lineaarselt, niisamuti nagu pöördenurk ühtlasel ringliikumisel. Faasi muutumise kiirust
faasis olevast voolust ees nihkenurga võrra. Tavaliselt öeldakse vastupidi: vool jääb pingest nurga võrra maha. Nihkenurk saab olla vahemikus 0° (kui induktiivsus puudub) kuni 90° (kui aktiivtakistus on induktiivtakistusega võrreldes kaduvväike). Vahelduvvoolutehnikas kasutataksegi induktiivsuse osatähtsuse iseloomustamiseks voolu- ja pingevektori vahelist nurka , mis on ühtlasi klemmipinge- ja aktiivpingevektori vaheline nurk. Sagedamini kasutakse mõistet koosinus fii Ua cos = . U Ua aktiivpinge voltides (V) U klemmipinge voltides (V) Takistuskolmnurk Kui pingekolmnurga kõik küljed vooluga I läbi jagada, saadakse pingekolmnurgaga sarnane takistuskolmnurk. Eelnevast on teada, et Ua = r on aktiivtakistus, I UL = x L on induktiivtakistus. I Takistuskolmnurga kolmas külg hüpotenuus tähistatakse tähega z ja kannab nime näivtakistus. 89
süsteemi vabavõnkumise sagedusega. Igal võnkuda saaval süsteemil on oma vabavõnkumise sagedus, seda nimetatakse ka omavõnkesageduseks. Näiteks: kiikumisel hoo juurde andmine, august auto väljalükkamine, majade purunemine maavärinal, pilli kõlakast, ja esineb sildadel ning merejääl. Harmooniline võnkumine Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse võnkumist, mida saab kirjeldada siinus või koosinus funktsiooni abil. x = x0 sin ( t ) - võnkumiste ringsagedus t - võnkumiste faas määrab ära võnkuva süsteemi oleku. Võnkumine kordub faasi intervalliga 2 (täisring, - 180 ) o Võnkumiste graafikud antakse nii, et aja teljel on aeg või Faas. Näidisülesanne: (võnkeamplituud, aja graafik) x = 0,2 sin 0,5 t x0 = 0,2 2 2 0,5 T= = = 4s f = = = 0,25 Hz
Matemaatikafunktsioonid Argumendid: a - arvavaldis(erijuhul konstant või lahtriviit), p - lahtriplokk, ap - arvavaldis või lahtriplokk Nurksulgudes näidatud argumendid ei ole kohustuslikud ABS(a) Absoluutväärus ACOS(a) Arkuskoosinus radiaanides. -1<= a <=1 ASIN(a) Arkussiinus radiaanides. -1<= a <=1 ATAN(a) Arkustangens radiaanides. COS(a) Koosinus. Argument radiaanides DEGREES(a) Teisendab radiaanid kraadideks EXP(a) Eksponent: e^a, kus e=2,718… on naturaallogaritmi alus FACT(a) Faktorial: a!. 0<= a <= 170 INT(a) Ümardab arvu lähima täisarvuni, mis on väiksem kui a LN(a) Naturaallogaritm (alus e=2,718…). a>0 LOG(a [; alus ]) Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 LOG10(a) Logaritm alusega 10. a>0
16 toodud ellipsi ülemine (x- telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri väärtustele t [0, ]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt füüsikas. Parameeter t tähistab seal enamasti aega. Näiteks esitab parameetiline joon ajas liikuvat punkti tasandil. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid. Nendeks on: sinh x = - hüperboolne siinus , cosh x = - hüperboolne koosinus , tanh x = sinh x/cosh x = - hüperboolne tangens , coth x =cosh x/sinh x = - hüperboolne kotangens . Hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel: sech x = = - hüperboolne seekant. csch x = = - hüperboolne koseekant . Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid. Nii nagu hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid elementaarfunktsioonid.
olemasolu lindlaks määramisel. 3. Pendel säilitab alati võnkumise kestel oma võnketasapinna, selle abil on võimalik tõestada Maa pöörlemist. Resonants. Resonants on nähtus, mille puhul võnke ampiltuud järsult kasvab, kui keha oma võnkesagedus saab võrdseks sundiva jõu võnkesagedusega. Faasi nihe. Kui on vaja näidata kahe võnkumise faasi nihet, tuleb mõlemad võnkumised kujutada ühe ja sama trigonomeetrilise funktsiooniga, kas siinus või koosinus funktsiooniga. Ja siis on võimalik neid kas arvutada või kujutada graafiliselt. Kordamisküsimused. 1. Millist liikumist nimetatakse võnkliikumiseks? (pendli ja vedrupendli puhul joonis). 2. Võnkliikumise tekkimiseks ja jätkumiseks vajalikud tingimused. (mis on tagasisuunavaks jõuks niitpendli ja vedrupendli puhul?) 3. Mis on sundvõnkumised? 4. Mis on vabavõnkumised? 5. Mis on sumbuvad võnkumised? 6. Mis on võnkliikumist iseloomustavad suurused? 7
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
