cos 0 0 d 0 d Integreerime avaldise d tan K , ning saame 0 tan K cos cos Võrrandi paremal poolel on tabeli integraal, seega võime kirjutada: 0 0 tan K ln tan 45 ln tan 45 2 2 Sellele võrrandile vastavat kõverat Maa pinnal nimetatakse loksodroomiks. Kui K = 0° või 180° on 0 = 0 , laeva liikumistee ühtib meridiaaniga, mis teatavasti on suurringi kaar. Kui K = 90° või 270° on tanK = , laeva liikumisteeks on paralleel ehk väike ring.
3) b = lim( f ( x) - kx ) x Funktsiooni täielik uurimine 1. Määramispiirkond. 2. Katkevuspunktid. 3. Paarsus, perioodisus. 4. y ' ( x) uurimine. Kasvamine, kahanemine, ekstreemumid. 5. y ' ' ( x) uurimine. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. 6. Asümptoodid. 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 38 Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Definitsioon 1 Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F (x), mille korral (1.1) F ' ( x ) = f ( x ) Definitsioon 2 Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka. Määramata integraali omadused: 1. (1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus
3) b = lim( f ( x) - kx ) x Funktsiooni täielik uurimine 1. Määramispiirkond. 2. Katkevuspunktid. 3. Paarsus, perioodisus. 4. y ' ( x) uurimine. Kasvamine, kahanemine, ekstreemumid. 5. y ' ' ( x) uurimine. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. 6. Asümptoodid. 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 38 Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Definitsioon 1 Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F (x), mille korral (1.1) F ' ( x ) = f ( x ) Definitsioon 2 Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka. Määramata integraali omadused: 1. (1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus
asendatakse algmõõtmetega 2.21. Kuidas on seotud joonkoormuse ja sellele vastava sisejõu funktsioonid? 1.20. Mis on materjali piirseisund? materjali seisund koormuse mõjudes, mil Joonkoormusest tekkinud piki-sisejõu avaldis on selle joonkoormuse avaldise koormuse edasine suurenemine põhjustab materjali töövõime kadumise (ja integraal konstruktsiooni avarii). 2.22. Kuidas määratakse pikikoormatud detaili ohtlik ristlõige? sisejõu epüüri 1.21. Mis juhtub detailiga selle materjali piirseisundi saabudes? Detail- põhjal konstruktsioon läheb katki 2.23. Mis on mehaaniline pinge?*** 1.22. Mis on materjali tõmbediagramm? = (pinge - deformatsiooni tunnusjoon) 2.24. Kirjeldage normaalpinget
TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. Asendusvõte
4.2.4 Cauchy keskväärtusteoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.5 L’Hospitali reegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Taylori valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5 Integreeruvad funktsioonid 106 5.1 Kõvertrapetsi pindala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Riemanni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks . . . . . . . . . 107 4 5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused . . . . . 109 5.2.3 Darboux’ ülem- ja alamintegraal. Integreeruvuse kriteerium . . . . . . 111 5.3 Riemanni integraali omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kahekordse 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ punktil leidub niisugune ümbrus Uε (x2,y2), et iga P(x, y) ∈ Uε(x2, y2) on f(x, y) > f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes integraali omadused: Omadus 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdne nende 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ sinφ punktist P0 erineva punkti P(x, y) korral f(x, y) = x2 + y2 > 0.Näide 2. Funktsioonil z = x2 − y2 ei ole punktis P0(0; 0) funktsioonide kahekordsete integraalide summaga ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠ψ
Tegemist on positiivse suurusega. Tähis Ix või Iy , Ühiks cm 4 , väljendub integraalina Ix=y2dA ja vastupidi ka. Inertsiraadius- kui kujutame kujundi pindala nii , et see koondub ühte punkti , siis inertsiraadius on selle punkti kauguse vastavast teljest. Nt . ix on selle punkti kaugus x teljest. Tsentrifugaalmoment- pinnakarakteristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotust kahe telje suhtes. Tähis Ixy, arvutatakse integraali abil Ixy=xydA integraal üle A, ühik on cm 4. Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne, võib võrduda ka nulliga. Polaarinertsimoment- kirjeldab pinnaelementide laotust ristlõike varda telje suhte. Samuti on ta pinnakarakteristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotuvust pooluste suhtes. Arvutatav integraaliga Ip=r2dA üle piirkonna A. R on pinnaelemendi dA polaarraadius. Alati positiivne ja ühik on cm4. Polaarinertsmomendi seos telginertsmomendiga- Ip=Ix+Iy , sest r2=x2+y2
mikroprotsessor. E-riigist: mis on xtee, selle keskus, inimeste identiteedi haldamine, Transisor: 1947, Bell Telephone Laboratories, William Shockley Samuel: 1952, esimene AI programm(kabe) Shockley semiconductor: 1955, William Shockley -----> Fairchild Semiconductors 1957 Fortran: 1957, FORmula TRANslator, proge keel mis kasutab loope Sage: 1958, sõjaväe radarivõrk Texas instruments: 1954 - esimesed silikon transistorid, hiljem integraal skeem. Integraalskeem: 1958, Kilby, esimesed integraalskeemid Cobol: 1960, common business oriented language Lisp: 1960, AI jaoks proge keel Pdp-1: 1960, esimene ekraaniga arvuti, DEC poolt tehtud System 360: 1964, IBM, arvuti Moore’i seadus: Transistorite arv kiibis double’b iga 2 aastaga Intel: 1968, Gordon Moore Amd: 1969, Sanders Engelbart: Arvuti hiir Unix: 1969, AT&T UNIX op systeem
x x - x a katkevuskoht. Katkevuskohas x = a on funktsioonil sageli vertikaalne asümptoot. 4.9 Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni y = f ( x ) diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul dy = f ( x ) dx = ydx , kus dx = x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F ( x ) , mille puhul F ( x ) = f ( x ) , 36 nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks. Kuna F ( x ) = ( F ( x ) + C ) , siis avaldist F ( x ) + C nimetatakse algfunktsioonide üldavaldiseks, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f ( x ) algfunktsioonide üldavaldist nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse
Elektriväljad on sõltumatud; laengule mõjub summaarne väli. Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga. Gauss'i teoreem. Elektrivälja tugevuse voog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sisse jäävate laengute summaga. pideva ruumlaengu korral on võrrandi paremas pooles summa asemel integraal. Fundamentaalfüüsikas peetakse Gaussi teoreemi üheks olulisemaks, kuna ta seob jõuväljade valemite pöördruutsõltuvuse (ingl. inverse square relation, tähendab, et kaugmõju väheneb allikast eemaldumisel võrdeliselt kauguse ruuduga, valemina F~r-2) füüsikalise ruumi kolmemõõtmelisusega. Loeng 12. Ohm'i seadus ja Joule-Lenz'i seadus. Ohmi'i seadus (1826) - Voolu tugevus juhis on võrdeline pingega
Tõus - on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on . Kui - on joone asümptoot protsessis , siis - ja avalduvad valemitega - lim / lim 0 - 1 '. '. 26) Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni 2 nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks hulgas 3, kui iga 3 korral kehtib võrdus 2 . Kui 2 on funktsiooni algfunktsioon hulgas 3, siis kõik funktsiooni algfunktsioonid hulgas 3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse funktsiooni määramata integraaliks ja tähistatakse 5 2 4, kus 4 on konstant.
(koordinaadist), siis tulebki alati kasutada asendust (4.14) ja lahendada sel viisil saadud eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Selle lahendamine on aga lihtne -- diferentsiaalvõrrandi mõlemaid pooli tuleb sobivalt korrutada (või jagada) nii, et ühenimelised muutujad oleksid ühel pool, teisenimelised teisel pool (näiteks: v-liikmed vasakul, x-liikmed paremal). Sealjuures peab muutuja diferentsiaal (dv, dx, jms) olema lugejas. Nüüd tuleb võrrandi mõlemast poolest võtta integraal ja lisada juurde (kas vasakule või paremale poole) integreerimiskonstant (kui võtta määramata integraal). Kui aga võtta määratud integraal, siis tuleb mõlemale integraalile panna õiged rajad ja siin muidugi integreerimiskonstante ei panda. 3C) Tekib keerulisem diferentsiaalvõrrand, mida ei saa nimetatud asendustega (4.13 või 4.14) teisendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks. Siin tuleb tekkinud diferentsiaalvõrrandi ise ära lahendada kasutades diferentsiaal- J
2 5 x + 2 3 cos x F 2 = 4 cos 3 - 3 x2 +3 F2 Keskmine F3 pos keskmine F1 integraal F2 pindala F3 max F3max x Err:509 #DIV/0! #VALUE! #VALUE! Err:509 Err:509 Funktsioonide uurimine: 12 10 8 F1
Kui kehale mõjuv resultantjõud pole konstantne, s.t. muutub ajas mingi seaduse Fres = Fres (t ) järgi, siis lõppimpulssi valemi (5.4) viimases liidetavas asendub korrutis integraaliga. t p = p 0 + Fres (t )dt . 0 (5.5) Saadud valemis paremal pool olevat integraali nimetatakse kehale mõjuvaks jõuimpulsiks. Jõuimpulss kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. Jõuimpulss võrdub keha impulsi muuduga. Konstantse jõu korral võrdub jõuimpulss lihtsalt kehale mõjuva resultantjõu ja mõjumisaja korrutisega. Saadud valemid (5.4) ja (5.5) on antud vektorkujul ja neid ei saa seetõttu ülesannete lahendamisel kasutada. Seega tuleb nad avaldada ka komponentkujul. Konstantse resultantjõu korral valem (5.4) esitub komponentides p x = p 0 x + Fres , x t . (5.6) Valemi (5.5) komponentkujule
x 1 2 s=s(t) 7. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust ühtlaselt kiireneval liikumisel? Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal kiirusest aja järgi: 8. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. ds dv v= a= dt dt 9. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 10. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 11
katkevate funktsioonidega x = 0 ... l1, kus M = M1(x) ja m = m1(x); integreerimisvahemik 0 ... l x = l1 ... l2, kus M = M2(x) ja m = m1(x); jagatakse pidevate x = l2 ... l3, kus M = M3(x) ja m = m2(x); funktsioonidega vahemikeks: vahemiku integraal on osavahemike integraalide summa: 1 l l1 l2 l3 Mm v= dx = M 1 ( x )m1 ( x )dx + M 2 ( x )m1 ( x )dx + M 3 ( x )m 2 ( x )dx ; 0
katkevuskoht. Katkevuskohas x a on funktsioonil sageli vertikaalne asümptoot. 4.9 Funktsiooni diferentsiaal Funktsiooni y f x diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul dy f x dx ydx , kus dx x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f x x f x f x x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F x , mille puhul F x f x , 36 nimetatakse funktsiooni f x algfunktsiooniks. Kuna F x F x C , siis avaldist F x C nimetatakse algfunktsioonide üldavaldiseks, kus C on suvaline konstant.
y i j r=r1-r2 x s=s(t) 16. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal kiirusest aja järgi: 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Liikumisvõrrand kirjeldab keha koordinaadi muutust ajaühukus valemi näol(x=20+23t; x=t- 10t2) Liikumise sõltumatuse printsiip: igasuguse liikumise saab lahutada kolmeks osaks (x, y, z suunaliseks) ja need toimivad teineteisest sõltumatult 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. dv ds a= v=
F2 1 F3 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -1 -2 -3 -4 F2 keskmine F3 abskesk. F2 integraal F3 pindala F3 max asuk. ABSF3 sum -0,11312303 0,417304206 -1,154019891 27,44281482 Err:509 140,25551 F1 F2 F3 6 <0 >0 Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala
+i(b+d). (Näit. (2+3i)+(1-5i)=2+1+(35)i=32i ) Analoogiliselt liitmisega toimub ka lahutamine. Kahe kompleksarvu a+ib ja c+id korrutiseks nimetatakse kompleksarvu (ac-bd)+i(ad+bc). Näit. (2+3i)(1-5i)=21-3(-5)+i(2(- 5)+31)=2+15+i(-10+3)=17-7i Koos aritmeetiliste tehetega "+" (liitmine) ja "·" (korrutamine) on kompleksarvude hulk C korpus (kompleksarvude korpus), mis sisaldab reaalarvude korpust R. · Tuletis ja integraal. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega
Tõmbel on jõuepüüri graafik positiivne, survel negatiivne.(???) 19. Kuidas avaldub pikijõu N epüüril iga üksikkoormus? Iga üksikjõu mõju avaldub jõuepüüril astmena 20. Kuidas avaldub pikijõu N epüüril iga konstantne joonkoormus? Iga ühtlase joonkoormuse mõju avaldub pikisisejõuepüüril kaldsirgena 21. Kuidas on seotud joonkoormuse ja sellele vastava sisejõu funktsioonid? Joonkoormusest tekkinud piki-sisejõu avaldis on selle joonkoormuse avaldise integraal. 22. Kuidas määratakse pikikoormatud detaili ohtlik ristlõige? Lõikemeetodi abiga(???) 23. Mis on mehaaniline pinge? Pinge = sisejõu intensiivsus mõttelise sisepinna mingis punktis (pinnaühiku kohta tulev sisejõud ehk sisejõu tihedus lõikepinna mingis punktis) 24. Kirjeldage normaalpinget! Normaalpinged - kui sisejõu mõjumise siht ühtib antud lõike normaali sihiga 25. Kirjeldage nihkepinget! Nihkepinged - kui sisejõu mõjumise siht on lõike normaali sihiga risti 26
Newton 1665 aasta aprilliks bakalaureuse kraadi. Kuni selle ajani polnud temas pesitsev geenius veel esile kerkinud. See juhtus alles siis kui ülikooli oli 1665 aasta suvel sunnitud katku pärast oma uksed sulgema. Newton pöördus tagasi Lincolnshire'i, kus ta vähem kui kaheaastase perioodi vältel alustas revolutsioonilisi edusamme matemaatikas, optikas, füüsikas ja astronoomias. Ta polnud siis veel 25-aastanegi. Sel ajal kui Newton kodus oli, pani ta aluse diferentsiaal ja integraal arvutusele. See oli mitu aastat varem selle iseseisvast avastamisest Leibnizi poolt. Tema diferentsiaalarvutus baseerus otsustava tähtsusega arusaamisel, et funktsiooni integratsioon on lihtsalt selle diferentseerimise vastupidine protseduur. Võttes diferentseerimise baasoperatsiooniks, produtseeris Newton lihtsad analüütilised meetodid, mis ühendasid endas mitmed varem eraldiseisnud tehnikad. Newton kirjutas "De Methodis Serierum et Fluxionum" 1671 aastal, kuid ei suutnud seda avaldada
( x ) = lim C = = ( x ) ning ( x ) = ; funktsioon varda telje l BC 0 x - x C B dx GI 0 ( x ) koordinaadi x suhtes: · ristlõike pöördenurga avaldis on on suhtelise x väändedeformatsiooni avaldise integraal: = dx ; 0 Ümarvarda väändenurga 1 T kus: T = f(x) väändemomendi G I0 = dx funktsioon varda valem üldjuhul: telje x suhtes,
3 mase numbri järgi) 1 x a 7 9 1) 1) a a Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F2 kesk, F3 poskesk 0 F1 integ, F2 pind 0 1 F1 kesk, F3 negkesk 1 F2 pind, F3 integ 1 2 F3 kesk, F2 negkesk 2 F2 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 abskesk 3 F1 pind,F3 integ 3 4 F2 kesk, F3 abskesk 4 F1 pind, F1 integ 4
ja JETA1 JETB kuni -60 kraadini (segu petrooleumist ja bensiinist tihedus) mõeldud 15 kraadi juures bensiinil 0,77 petro. 0,82 Põhi kulule lisaks 45 min reserv erand korras 30min reserv 3 eri liiki paagid o Pehmed paagid, kere või spets kohtades paksus 0,5 ja 1mm vahel kõige kergem marliit (kaks kihti nailonit ja kummeeritud kütusekindlaks) o Jäigad paagid-al sulamid, plastik. o Integraal paagid- integreeritud tiiva kessiooni sisse, polüsulfiidi baasil kutsutakse ka märjaks paagiks, sellepärast, et kui on väiksed väljaimbumised siis need on lubatud. Tankimine o Tankimisava tiiva keskosas gravitatsiooniga täidetakse, puudusteks vesi ja sademed võivad sisse sattuda, kütust võib üle voolata, o Survega täitmine, tiiva alaosas tankimisava, välistatud vee ja prahi
4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n_asukoht F1 F2 F3 26 27 28 29 30 Funktsioonide variandid (valida õppemärkmiku viimase numbri järgi) mbri järgi) Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F1 abskesk, F3 kesk 0 F2 integ, F3 pind 0 1 F2 poskesk, F3 kesk 1 F1 pind, F2 integ 1 2 F2 abskesk, F3 kesk 2 F1 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 negkesk 3 F3 integ, F3 pind 3 4 F1 abskesk, F3 kesk 4 F2 integ, F2 pind 4
Tuletage vedeliku või gaasisamba rõhu arvutamise valem. Üldjuhul pole rõhk vektor. Pideva massijaotuse korral integraal: 56. Lähtudes töö avaldisest pöördliikumisel, tuletage võimsuse 1 1
ühikmoment või nende grupp. Joonsiirde leidmiseks rakendatakse ühikjõud, pöörde leidmiseks ühikmoment. Telje kahe punkti vastastikuse pöörde leidmiseks rakendatakse nendesse punktidesse kaks vastupidist jõupaari momendiga 1 ja kahe punkti omavahelise eemaldumise või lähenemise leidmiseks kaks vastupidist ühikjõudu. 3. Leitakse rakendatud jõududele vastavad sisejõud. 4. Arvutatakse Mohr’i integraal, mis võrdub otsitava üldistatud siirdega. Kui integraal on positiivne, siis siire rakendatud ühikjõu suunas, kui aga negatiivne, siis vastassuunas. 11. Lihtsamaid staatikaga määramatuid konstruktsioone: Konstruktsiooni ehk tarindi tugevus- või jäikusarvutuseks tuleb eelnevalt leida sisejõud. Sisejõud määratakse lõikemeetodi kohaselt lõikega eraldatud tarindiosa tasakaaluvõrranditest. Sidemete (reaktsioonide) arv võrdub tasakaaluvõrrandite arvuga
Keskaja filosoofia 1. Seotus religiooniga. Jumalakesksus olemuse ja heaolu allikaks jumal. Maailma on jumal loonud ei-millestki. Jumal valitseb loodu üle. Kõige usaldusväärsem tõe allikas jumal. 2. Retrospektiivsus e. tagasivaatamine. Veendumus, et mida vanem ning iidsem seda algupärasem ja ehtsam, mida ehtsam ja algupärasem, seda tõesem. Autoriteedid valitsesid inimeste üle. Kõige iidsem allikas piibel eksimatult tõene. Kõik uus, mida ei kinnitanud kirik, sisaldas kahtlust. Suurim väärtus erudeeritus. 3. Kogu keskaja filosoofia oli õpetuslik ja kasvatuslik. Ei tuntud huvi kust ja kuidas saada uusi teadmisi. Jagati ühtesid ja samu teadmisi skolastiline filosoofia. Universaalid abstraktsed objektid, omadused, suhted, arvud. Partikulaarid konkreetsed objektid. Universaale saame mõelda, patrikulaare meeltega tajuda. Realistid - universaalid on olemas reaalselt kas konkreetselt asjadest enestest...
2. Eklektikiline (erinevate meetodite ja protseduuride rakendamine) 3. Integraalne (erinevate teooriate ühendamine raamistik praktikasse) 4. Pluralistlik (paljusus, ei eelista üht teisel, ei ühtsusele, koostöö kolleegidega) Sotsiaalpedagoog on oma praktilises töös eelkõige eklektik. Sotsiaalpedagoogi (Sp) intellektuaalne ja eetiline areng: 1. Dualistlik (kui alustatakse tööd on kaks vaatenurka). 2. Mitmene: edasi saab teist eklektik või integraal. 3. Relativistlik. 4. Pühendunud (ollakse viimaks). Kui praktikat tähtsustatakse üle, muutub see harjumuspärseks ja me ei õpi uusi lähenemise. Kui me reflekteerime praktikat saame küsida, mis teeb praktika heaks läbi teooria ja praktika. Sotsiaalpedagoogi ees on selline probleem, millele on palju lahendusi ja lähtub kliendist. Erinevad perspektiivid. Sotsiaalpedagoog vaatab haridust läbi sotsiaalsete prillide sotsiaalne reaalsus läbi hariduse.
1. Loeng Teoreetiline mehaanika uurib kehade liikumist. Absoluutselt jäik keha on keha, mille kahe mistahes punktivaheline kaugus on jääv sõltumata kehale mõjuvatest jõududest. Teoreetiline mehaanika jaguneb: · Staatika- uurib kehade tasakaalu tingimus ja neile mõjuvate jõudude süsteeme · Kinemaatika- vaatab mehaanilist liikumisi geomeetria seisukohalt · Dünaamika- uurib kehade liikumisi kui seda põhjustavaid jõude Mehaanika uurimisel kirjeldas Newton integraal ja diferentsiaal arvutust. Kujunes välja 2 uurimismeetodit: geomeetriline ja analüütiline Masspunkt- on keha geomeetriline punkt, kuhu on koondunud ta mass ja mis asub keha raskuskeskmes. Absoluutselt sile keha välistab igasuguse hõõrde. Kasutatakse aksiomaatilisi meetodeid (väited mis ei vaja tõestust) VEKTORID: Skalaarid -suurused mis on määratud täielikult oma mõõtarvuga on skalaar (temperatuu, arv).
dt Tekkinud elektromotoorjõud võrdub pooli takistuse ja voolutugevuse korrutisega (kui on teada galvanomeetri takistus, siis tuleks pooli takistusele liita ka galvanomeetri takistus). dΦ E = IR = − dt RIdt = −dΦ Voolutugevuse integraal üle aja on elektrilaeng Q. Integraal üle dΦ on magnetvoog Φ. QR = −Φ Magnetvoog Φ võrdub pooli ristlõikepindala S ja magnetinduktsiooni B korrutisega. QR = −BS 20 QR B=− (23)
14. Mis on vektorite vektorkorrutis? Joonis ja kaks näidet kursusest. 15. Mis on taustsüsteem? Taustsüsteem on targalt väljavalitud keha, millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. 16. Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi: Üldjuhul teepikkus arvutatakse, kui integraal. 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. See ongi liikumise sõltumattuse printsiip. 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. 19. Ellimineerige alljärgnevatest võrranditest aeg ja ilmutage ilma ajata kinemaatilisi suurusi siduv valem. 20
avaldub pindalana q1=A12BA. Isotermilisele paisumisele järgneb isoentroopiline paisumine 2-3. Selles protsessis tehtud töö valdub pv-diagrammil pindalana B23CB 52. Carnot ringprotsessi termiline kasutegur q2 t ql1 1 q1 1 T 2 T1 53. Clausiuse integraali mõiste ja sisu. Clausiuse integraal tagastamatute ringprotsesside korral negatiivne, tagastatavate korral aga võrdub nulliga dq T D 54. Mis on erisoojus ja tema liigid Erisoojuseks nimetatakse soojushulka, mis on vaja anda teatud kogusele kehale tematemperatuuri tõstmiseks ühe kraadi võrra Leiavad kasutamist kolme liiki erisoojused: 1) masserisoojus - c J/(kg K), antuna l kg gaasi kohta; 2) mahterisoojus - c' J/(m3 K), antuna l m3 gaasi kohta;
paisumistöö avaldub pv-diagrammil pindalana A12BA Mainitud töö tehakse protsessi juhitud soojuse arvel (saadakse soojusallikalt), mis Ts-diagrammil avaldub pindalana q1=A12BA. Isotermilisele paisumisele järgneb isoentroopiline paisumine 2-3. Selles protsessis tehtud töö valdub pv-diagrammil pindalana B23CB 53. Carnot ringprotsessi termiline kasutegur q2 t = ql1 = 1 - q1 = 1 - TT 12 54. Clausiuse integraali mõiste ja sisu. Clausiuse integraal tagastamatute ringprotsesside korral negatiivne, tagastatavate korral aga võrdub nulliga dq T D 55. Mis on erisoojus ja tema liigid Erisoojuseks nimetatakse soojushulka, mis on vaja anda teatud kogusele kehale tema
Jsn=Jk/2,5 normaalsel käivitustingimustel Jsn=Jk/1,6-2 rasketel käivitustingimustel Teadmata käivitusvool kui käivitusvool ei ole teada Jsn= 5xJn Raskendatud tingimused Jsn=(3,13-2,5) Jn TÖÖ NR.2 Elementide tähised elektriskeemis A Seade (võimendi,telejuhtitav seade, releelise kaitse) B Mitteelektriliste suuruste muundur elektrilisteks ning vastupidi (nende hulka ei kuulu toiteallikad ega genekad) (väljuhääldi,mikker,termotundelikud seadmed) C kondensaator D integraal ja mikroskeemid (mäluseadmed ,loogilised elemendid, viivituselemendid, analoog- ja numbrilised integraalskeemid) E erinevad elemendid (valgustusseadmed, kütteseadmed) F lahendid, kaitseseadmed (diskreetsed voolu ja pinge kaitse elemendid, sulavkaitse, lahendid) G generaatorid, toiteallikad (patareid, akumulaatorid, el.genekad, voolu allikad) H indikatsioon ja signalisatsiooni seadmed (hääl ja valgussignaaliga seadmed, indikaatorid)
1) jaotustihedusena, mis def jaotusfunktsiooni tuletisena 2) jaotusfunktsioonina, mis def tõenäosusena Diskreetne juhuslik suurus Tingimused: mittenagtiivsus ja normeeritus Üldtingimused jaotusfunktsioonile: monotoonsus ja normeeritus Pidev juhuslik suurus Pidev juhuslik suurus võimalike väärtuste hulk on pidev (kontiinum), nt enamik mõõtmistulemusi inseneripraktikas. Jaotusfunktsioon F(x) ja jaotustihedus f(x) on omavahel üksüheselt seotud nagu integraal ning tuletis ning nende põhiomadused on järgmised: 1) omavaheline seos 2) monotoonsus: kui b>a, siis F(b) F(a); f(x) 0 3) normeeritus 4) lõigu tõenäosus Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Juhul kui pole vaja teada juhusliku suuruse omadusi täielikult/ammendavalt, vaid piisab juhusliku suuruse põhiomaduste teadmisest, võib neid juhusliku suuruse põhiomadusi kirjeldada juhusliku suuruse arvkarakteristikute abil: 1) Keskväärtus: enim kasutatav asendikarakteristik
3 mase numbri järgi) 1 x a 7 9 1) 1) a a Karakteristikute variandid a - õppemärkmiku viimane number, b - eelviimane, c - vimmase ja eelviimase numbri sum integraal või a keskmine b c pindala 0 F2 kesk, F3 poskesk 0 F1 integ, F2 pind 0 1 F1 kesk, F3 negkesk 1 F2 pind, F3 integ 1 2 F3 kesk, F2 negkesk 2 F2 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 abskesk 3 F1 pind,F3 integ 3 4 F2 kesk, F3 abskesk 4 F1 pind, F1 integ 4
50 1. Isohoorilise protsessi korral on ruumala konstantne, gaas ei paisu ja järelikult tööd ei tee; 2. Isobaarilisel protsessil, kus rõhk konstantne, kehtib lihtne valem: 3. Isotermilisel protsessil, kus temperatuur konstantne, tuleb avaldada rõhk ruumala ja temperatuuri kaudu ning lahendada diferentsiaalvõrrand: Töö kui integraal: dA = p dV; kõvera alla jääv pindala saadakse lõpmata väikeste ristkülikute pindalade summana. Avaldame olekuvõrrandist: millest pärast integreerimist saame 51 Küsimus: Kas suudate leida valemi, kus isotermilise protsessi töö leitakse gaasi alg- ja lõpprõhu kaudu? Protsesside, mille käigus muutuvad kõik kolm olekuparameetrit, töö arvutamine on keerulisem
J väärtused. järgmisel viisil iga segment töödeldakse kõvasti sõltub signaali spekter. Põhi idee signaalis). Iga komplekseksponendi faas on tema 8. Ühekordse signaali Fourier' integraal ja aknafunktsiooniga, üksteisele järgnevad segmendid kriteeriumidel on viia sisse nö penalty funktsiooni amplituudi kui komplekssuuruse faas. Maatrikskuju Kumbagi liidetavat saab tekitada omaette. Esimene aga määratakse andmetest nii, et nad kattuvad
16) Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutjasuunaline antud trajektoori punktis. Δr dr v lim Δt0 Δt dt Keskmine kiirus nihke järgi r v t Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal. ds v ,..........ds v dt ,....s v dt dt 17) Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse printsiip. 18) Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand.
3) x b 3 3 x 7 1) x < d x d 5 x x) xa ) x >a 7 x c x >c 9 9 sin( x +1 ) 4 x +3 x integraal või a keskmine b c pindala 0 F2 kesk, F3 poskesk 0 F1 integ, F2 pind 0 1 F1 kesk, F3 negkesk 1 F2 pind, F3 integ 1 2 F3 kesk, F2 negkesk 2 F2 integ, F3 pind 2 3 F1 kesk, F2 abskesk 3 F1 pind,F3 integ 3 4 F2 kesk, F3 abskesk 4 F1 pind, F1 integ 4
elemendi ruumala dV=hdA. 52. Peenike tasandilise teljega varras, konstantse ristlõikepindalaga A ja pikkusega l. Siis on ruumala V=Al ja elemendi ruumala dV=Adl. 53. Raskuskeskme leidmise võtteid xdV xC = V = 0. 54. V Kui kehal on sümmeetriatasand, siis paikneb raskuskese selles tasandis. Kahel pool tasandit võib alati leida kaks ruumelementi millede xdV on vastasmärgilised, mistõttu integraal ò xdV=0 55. 56. Kui kehal on sümmeetriatelg, siis paikneb raskuskese sellel teljel. Kahel pool telge võib alati leida kaks ruumelementi millede xdV, ydV ja zdV on vastasmärgilised. 57. Tükeldamine 58. Keha või kujundit tükeldatakse osadeks, mille raskuskeskme asukoht on teada. Siis arvutustes asendatakse keha või kujundi osad nende raskuskeskmetes olevate punktmassidega, ning lahendatakse punktmassidest süsteemide jaoks tuletatud valemite abil
Seega jõujooned ei lõiku. Elektriväljatugevus on jõujoonte arv pinnaühikus. 4. Punktlaengu elektrivälja tugevuse valemi tuletus lähtudes Coulomb' seadusest. 5. Elektriväljatugevuse vektori voog. Joonis, valem. Voog läbi kinnise pinna on määratud ainult pinna sees olevate laengutega ja ei sõltu pinna kujust. Elektriväljatugevuse voo ühik on V*m 6. Gauss'i teoreemi tuletus. Kui on suvaline pind, siis integraal. Gauss'i teoreem määrab E vektori voo läbi suvalise kujuga kinnise pinna, mis ümbritseb laenguid. Vaatame ühte laengut, mille ümber kujutame kinnise pinna. Korrastasime suvalise pinnatüki kerapinna osana, mis toetub ruuminurga elemendile d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. Leiame voo läbi kogu suletud pinna: 7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna juures ja sümmeetria kaalutlustest, on elektrivälja
Seega jõujooned ei lõiku. Elektriväljatugevus on jõujoonte arv pinnaühikus. 4. Punktlaengu elektrivälja tugevuse valemi tuletus lähtudes Coulomb' seadusest. 5. Elektriväljatugevuse vektori voog. Joonis, valem. Voog läbi kinnise pinna on määratud ainult pinna sees olevate laengutega ja ei sõltu pinna kujust. Elektriväljatugevuse voo ühik on V*m 6. Gauss'i teoreemi tuletus. Kui on suvaline pind, siis integraal. Gauss'i teoreem määrab E vektori voo läbi suvalise kujuga kinnise pinna, mis ümbritseb laenguid. Vaatame ühte laengut, mille ümber kujutame kinnise pinna. Korrastasime suvalise pinnatüki kerapinna osana, mis toetub ruuminurga elemendile d. Leiame voo läbi kogu suletud pinna. Leiame voo läbi kogu suletud pinna: 7. Lõpmatu laetud tasandi elektriväljatugevus.Joonis ja tuletus. Lähtudes ühiklaengu käitumisest pinna
EMT0110 Projekteerimise metoodika, teemad/küsimused eksamiks 2018/2019 1. Tehnilised süsteemid ja nende omadused. Tehnilised süsteemid on kunstlikult loodud geomeetrilis-materiaalsed moodustised, mis täidavad kindlat eesmärki (funktsiooni), see tähendab teostavad operatsioone (füüsikalisi, keemilisi, bioloogilisi protsesse). Konkreetsed omadused: 1)erinevat uudsust ja tuntust (füüsikalised tingimused, konstruktsiooni liik, normeerimisaste); 2) erinevat komplektsust (energiate füüsik efektide liik ja arv, materialide liik, osade komplektsus, toote komplekts, tootmisprogrammi komplektsus); 3) erinevaid turge (majandusharude liik, turu suurus, geograafiline ulatus); 4) kindlat määratud omadusi (elementide liik, kujundus, asetus); 5) kaudselt määratud omadusi (funktsioon, ohutus, kasutamine, tootmine, ergonoomika, keskkond, kulutused,aeg; 6) norme, seadusi, garantiisid (normid, reeglid, seadused, tarbijale garanteeritud omadused jne) ...
objekti modelleerimise ja redigeerimise tööriistu peegeldamaks reaalset maailma; analüüsi tööriistu võrgu jälgimine, pinnase loomine ja manipulatsioon; ühe objekti kohta mitut geomeetriat - tagamaks nii ühe objekti mitmekülgse kujutamise; kaardi projektsiooni ja koordinaatsüsteemi definitsiooni ja konfiguratsiooni; mitme koordinaatsüsteemi manageerimist; andmebaasi päringute tööriistu nii Smallworldi skript kui ka SQL; Integraal CASE vahendit andmemudeli defineerimiseks ja dokumenteerimiseks. 14 15 GeoMedia GeoMedia ning teised MGE tooted on populaarsed GIS tarkvarad. GIS ja teised produktid on toodetud firmas Integraph, mis praeguseks on juba üle 30 aasta tegutsenud. GeoMedia pakub suure valiku võimalusi andmete sisestamiseks, analüüsimiseks ja salvestusmeetodeid. Osta on
teine komponent läheb rikki on 5%. Arvuta tõenäosused järgnevatele P( H i ) P( A H i ) mis on määratud eeskirjaga. Keskväärtus on sündmustele: P ( H i A) = n . olemas, kui vastav summa või integraal omab lõplikku väärtust. Keskväärtus on juhusliku vähemalt üks komponent töötab; täpselt üks komponent töötab; P( H ) P ( A H ) i =1 i i
Füüsika eksam 1. Liikumise kiirendamine. Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Kohavektor on vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Trajektoor on keha või ainepunkti teekond liikumisel ruumis või tasandil. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis võrdub nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajagavahemiku suhtega(kiirusvektor on igas trajektoori punktis suunatud mööda trajektoori puutujat selles punktis) Kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus. Kiirendus näitab keha kiiruse muutumist ajaühikus (Kiirendusvektor lahutub kiirenevalt liikuva keha trajektoori igas punktis trajektoori puutuja sihiliseks tangentsiaalkiirenduseks ning sellega risti olevaks normaalkiirenduseks ehk tsentrifugaalkiirenduseks) 2. Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine. a=consT =>kolmikvalem, Keha liigub sirgjoonelisel tra...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
